Цахилгаан талбайн индукцийн вектор. E ба d векторуудын урсгал. Цахилгаан индукцийн векторын урсгал Цахилгаан орны индукцийн векторын Гауссын теорем

Цахилгаан цэнэгүүдийн харилцан үйлчлэлийн хуулийг - Кулоны хуулийг Гауссын теорем гэж нэрлэгддэг хэлбэрээр өөрөөр томъёолж болно. Гауссын теоремыг Куломбын хууль ба супер байрлалын зарчмын үр дүнд олж авсан болно. Энэхүү нотолгоо нь хоёр цэгийн цэнэгийн харилцан үйлчлэлийн хүчний хоорондын зайны квадраттай урвуу пропорциональ байдал дээр суурилсан болно. Тиймээс Гауссын теорем нь урвуу квадрат хууль ба суперпозицийн зарчим, жишээлбэл, таталцлын талбарт үйлчлэх аливаа физик талбарт хамаарна.

Цагаан будаа. 9. Хаалттай гадаргууг дайрсан цэгийн цэнэгийн цахилгаан талбайн хүч чадлын шугамууд X

Гауссын теоремыг томъёолохын тулд суурин цэгийн цэнэгийн цахилгаан талбайн хүчний шугамын зурганд буцаж оръё. Ганц цэгийн цэнэгийн хүчний шугамууд нь тэгш хэмтэй, радиаль шулуун шугамууд юм (Зураг 7). Ийм олон тооны шугам зурж болно. Тэдгээрийн нийт тоог илэрхийлье Дараа нь цэнэгээс хол зайд байгаа хүчний шугамын нягт, өөрөөр хэлбэл радиусын бөмбөрцгийн нэгжийн гадаргууг огтлолцсон шугамын тоо тэнцүү байна. цэгийн цэнэг (4), шугамын нягт нь талбайн хүч чадалтай пропорциональ байгааг бид харж байна. Нийт хүчний шугамын N тоог зохих ёсоор сонгосноор бид эдгээр утгыг тоон тэнцүү болгож чадна.

Тиймээс цэг цэнэгийг хүрээлсэн дурын радиустай бөмбөрцгийн гадаргуу нь ижил тооны хүчний шугамыг огтлолцдог. Энэ нь хүчний шугамууд тасралтгүй байна гэсэн үг юм: өөр өөр радиустай төвлөрсөн аль ч хоёр бөмбөрцгийн хоорондох интервалд шугамуудын аль нь ч таслагдаагүй бөгөөд шинээр нэмэгдэхгүй. Хүчний шугам тасралтгүй үргэлжлэх тул ижил тооны хүчний шугамууд цэнэгийг хамарсан аливаа хаалттай гадаргуутай огтлолцдог (Зураг 9).

Хүчний шугамууд чиглэлтэй байдаг. Эерэг цэнэгийн хувьд тэд зураг дээр үзүүлсэн шиг цэнэгийг тойрсон битүү гадаргуугаас гардаг. 9. Сөрөг цэнэгийн хувьд гадаргуугийн дотоод хэсэгт ордог. Хэрэв гарч буй шугамын тоог эерэг гэж үзэж, ирж буй шугамын тоог сөрөг гэж үзвэл томъёо (8) -д бид цэнэгийн модулийн тэмдгийг орхиж, маягтаар бичиж болно.

Сэтгэлийн хурцадмал байдлын урсгал.Гадаргуугаар дамжих талбайн хүч чадлын векторын урсгалын тухай ойлголтыг танилцуулъя. Дурын талбарыг оюун санааны хувьд жижиг хэсгүүдэд хувааж болох бөгөөд эрч хүч нь хэмжээ, чиглэлээрээ маш бага өөрчлөгддөг тул энэ талбайн доторх талбайг жигд гэж үзэж болно. Ийм талбай бүрт хүчний шугамууд нь зэрэгцээ шулуун шугамууд бөгөөд тогтмол нягтралтай байдаг.

Цагаан будаа. 10. Талбайн хүч чадлын векторын сайтаар дамжих урсгалыг тодорхойлох

Жижиг талбайд хичнээн хүчний шугам нэвтэрч байгааг авч үзье. Хүчний шугамд перпендикуляр хавтгай дээрх проекц байг. Хүлээн зөвшөөрөгдсөн нөхцлийн дагуу ижил шугамын тоо, шугамын нягтрал нь талбайн хүч чадлын E модултай тэнцүү тул

A хэмжигдэхүүн нь Е векторын тухайн талбайн хэвийн чиглэл рүү чиглэсэн проекц юм

Тиймээс талбайг дайран өнгөрөх хүчний шугамын тоо нь

Бүтээгдэхүүнийг гадаргуугаар дамжин өнгөрөх талбайн хүч чадлын урсгал гэж нэрлэдэг.Формула (10) нь Е векторын гадаргуугаар дамжих урсгал нь энэ гадаргууг дайран өнгөрөх хүчний шугамын тоотой тэнцүү болохыг харуулж байна. Гадаргуугаар дамжин өнгөрөх хүчний шугамын тоо шиг эрчим хүчний векторын урсгал нь скаляр болохыг анхаарна уу.

Цагаан будаа. 11. Е эрчим хүчний векторын талбайгаар дамжих урсгал

Урсгал нь хүчний шугамтай харьцуулахад талбайн чиглэлээс хамааралтай болохыг Зураг дээр үзүүлэв.

Дурын гадаргуугаар дамжин өнгөрөх талбайн хүч чадлын урсгал нь энэ гадаргууг хувааж болох үндсэн хэсгүүдээр дамжих урсгалын нийлбэр юм. (9) ба (10) харилцааны дагуу цэгийн цэнэгийн талбайн хүч чадал нь цэнэгийг хүрээлсэн аливаа хаалттай гадаргуу 2 -аар дамждаг гэж маргаж болно (9 -р зургийг үз). Энэ гадаргуугаас тэнцүү Энэ тохиолдолд ердийн векторыг энгийн хэсгүүдэд хаалттай гадаргууг гадагш чиглүүлэх ёстой. Хэрэв гадаргуу дээрх цэнэг сөрөг байвал хүчний гадаргуу нь энэ гадаргуугийн дотор ордог бөгөөд цэнэгтэй холбоотой талбайн хүч чадлын векторын урсгал бас сөрөг байна.

Хэрэв хаалттай гадаргуу дотор хэд хэдэн цэнэг байгаа бол суперпозиция зарчмын дагуу тэдгээрийн талбайн хүч чадлын урсгал нэмэгдэх болно. Нийт урсгал нь гадаргуу дээрх бүх цэнэгийн алгебрийн нийлбэр гэж ойлгох ёстой газартай тэнцүү байх болно.

Хэрэв хаалттай гадаргуу дотор цахилгаан цэнэг байхгүй эсвэл тэдгээрийн алгебрийн нийлбэр нь тэг бол энэ гадаргуугаар дамжин өнгөрөх талбайн хүч чадлын нийт урсгал тэг болно: гадаргуугаар хязгаарлагдсан эзэлхүүн рүү хичнээн олон шугамын хүч орж ирнэ, тэр хэмжээгээр гадагшилна.

Одоо бид Гауссын теоремыг томъёолж болно: ямар ч хаалттай гадаргуугаар вакуум дахь цахилгаан талбайн хүч чадлын Е векторын урсгал нь энэ гадаргуу дээрх нийт цэнэгтэй пропорциональ байна. Математикийн хувьд Гауссын теоремыг (9) томъёогоор илэрхийлдэг бөгөөд цэнэгийн алгебрийн нийлбэрээр үүнийг илэрхийлдэг. Туйлын электростатикт

нэгжийн CGSE систем, коэффициент ба Гауссын теоремыг хэлбэрээр бичнэ

SI ба хаалттай гадаргуугаар дамжих хүчдэлийн урсгалыг томъёогоор илэрхийлнэ

Гауссын теоремыг электростатикт өргөн ашигладаг. Зарим тохиолдолд, түүний тусламжтайгаар тэгш хэмтэй байрлалтай цэнэгийн үүсгэсэн талбарыг тооцоолоход хялбар байдаг.

Тэнцвэртэй эх үүсвэрийн талбарууд.Гауссын теоремыг ашиглан гадаргуу дээр жигд цэнэглэгдсэн радиустай бөмбөрцгийн цахилгаан талбайн хүчийг тооцоолох болно. Тодорхой болгохын тулд бид түүний төлбөрийг эерэг гэж үзэх болно. Талбарыг үүсгэдэг цэнэгийн хуваарилалт нь бөмбөрцөг тэгш хэмтэй байдаг. Тиймээс талбар нь ижил тэгш хэмтэй байдаг. Ийм талбайн хүчний шугамууд цацрагийн дагуу чиглэгддэг бөгөөд бөмбөгний төвөөс ижил зайд байрлах бүх цэгүүдэд эрчим хүчний модуль ижил байдаг.

Бөмбөгний төвөөс алслагдсан хээрийн хүчийг олохын тулд бид бөмбөлөгтэй төвлөрсөн радиус бүхий бөмбөрцөг гадаргууг зурдаг бөгөөд энэ бөмбөрцгийн бүх цэгүүдэд талбайн хүч нь түүний гадаргуутай перпендикуляр чиглэсэн байдаг. хэмжээний хувьд эрчим хүчний урсгал нь бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбайн хүч чадлын бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү юм.

Гэхдээ энэ хэмжээг Гауссын теорем ашиглан илэрхийлж болно. Хэрэв бид бөмбөгний гаднах талбайг сонирхож байгаа бол, жишээлбэл, SI -д, (13) -тай харьцуулахад бид олж мэднэ.

CGSE нэгжийн системд мэдээжийн хэрэг

Тиймээс бөмбөгний гадна талбайн хүч нь бөмбөгний төвд байрлуулсан цэгийн цэнэгийн талбайнхтай адил юм. Хэрэв бид бөмбөг доторх талбайг сонирхож байгаа бол бөмбөгний гадаргуу дээр тархсан цэнэг бүхэлдээ бөмбөрцгийн гадна байгаа тул бид оюун санааныхаа дагуу зурдаг. Тиймээс бөмбөг дотор талбар байхгүй байна:

Үүний нэгэн адил Гауссын теоремыг ашиглан хязгааргүй цэнэгийн үүсгэсэн цахилгаан статик талбарыг тооцоолж болно

онгоцны бүх цэг дээр тогтмол нягтралтай хавтгай. Тэгш хэмийн шалтгаанаар хүчний шугамууд хавтгайд перпендикуляр, түүнээс хоёр чиглэлд чиглэсэн бөгөөд хаа сайгүй ижил нягтралтай байдаг гэж бид үзэж болно. Үнэн хэрэгтээ хэрэв өөр өөр цэг дээрх хүчний шугамын нягтрал өөр байсан бол цэнэглэгдсэн хавтгайн хөдөлгөөн нь эдгээр цэгүүдийн талбарыг өөрчлөхөд хүргэдэг бөгөөд энэ нь системийн тэгш хэмтэй зөрчилддөг. талбарыг өөрчлөх. Өөрөөр хэлбэл, хязгааргүй жигд цэнэгтэй онгоцны талбар жигд байна.

Гауссын теоремыг ашиглах хаалттай гадаргуугийн хувьд бид цилиндрийн гадаргууг дараах байдлаар сонгоно: цилиндрийн генератор нь хүчний шугамтай параллель, суурь нь цэнэглэгдсэн хавтгайтай параллель, эсрэг талд байрладаг түүний талууд (Зураг 12). Хажуугийн гадаргуугаар дамжих талбайн бат бэхийн урсгал тэг байна, тиймээс хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх нийт урсгал нь цилиндрийн суурийн дагуух урсгалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Цагаан будаа. 12. Нэг жигд цэнэгтэй хавтгайн талбайн хүчийг тооцоолоход

Гауссын теоремын дагуу ижил урсгалыг цилиндр дотор байрлах хавтгайн хэсгийн цэнэгээр тодорхойлдог бөгөөд SI -д тэнцүү байдаг. Эдгээр урсгалыг урсгалын хувьд харьцуулж үзвэл бид олох болно.

CGSE системд жигд цэнэглэгдсэн хязгааргүй хавтгайн талбайн хүчийг томъёогоор тодорхойлно

Хязгаарлагдмал хэмжээтэй жигд цэнэглэгдсэн хавтангийн хувьд олж авсан илэрхийлэл нь хавтангийн ирмэгээс хангалттай хол, түүний гадаргуугаас хэт холгүй хэсэгт ойролцоогоор хүчинтэй байна. Хавтангийн ирмэгийн ойролцоо талбай нь жигд байхаа больж, хүчний шугам нь нугалав. Хавтангийн хэмжээтэй харьцуулахад маш хол зайд талбар нь цэгийн цэнэгийн талбартай адил зайгаар буурдаг.

Тэгш хэмтэй тархсан эх үүсвэрээр бүтээгдсэн талбаруудын бусад жишээнүүдийн нэгэн адил уртын дагуу жигд цэнэглэгдсэн хязгааргүй шулуун шугаман утас, жигд цэнэгтэй хязгааргүй дугуй цилиндрийн талбар, бөмбөгний талбар,

эзлэхүүн дээр жигд цэнэглэгдсэн гэх мэт. Гауссын теорем нь эдгээр бүх тохиолдолд талбайн хүчийг хялбархан тооцоолох боломжийг олгодог.

Гауссын теорем нь тухайн талбар ба түүний эх үүсвэрүүдийн хоорондын хамаарлыг өгдөг бөгөөд энэ нь Кулумбын хуулийг өгсний эсрэгээр өгөгдсөн цэнэгийн цахилгаан талбарыг тодорхойлох боломжийг олгодог. Гауссын теоремыг ашиглан цахилгаан талбайн тархалтыг мэддэг орон зайн аль ч бүс дэх нийт цэнэгийг тодорхойлох боломжтой.

Цахилгаан цэнэгүүдийн харилцан үйлчлэлийг дүрслэхдээ холын болон богино зайн ойлголтуудын хооронд ямар ялгаа байдаг вэ? Эдгээр ойлголтуудыг таталцлын харилцан үйлчлэлд хэр зэрэг хэрэглэж болох вэ?

Цахилгаан талбайн хүч чадал гэж юу вэ? Тэд үүнийг цахилгаан талбайн хүч чадлын шинж чанар гэж нэрлэхэд тэд юу гэсэн үг вэ?

Хээрийн шугамын хэв маягаас тодорхой хугацаанд талбайн хүч чадлын чиглэл, модулийг хэрхэн шүүх вэ?

Цахилгаан орны хүчний шугамууд огтлолцож чадах уу? Хариулах үндэслэлээ хэлнэ үү.

Хоёр цэнэгийн цахилгаан статик талбайн хүчний шугамын чанарын зургийг зур.

Цахилгаан талбайн хүч чадлын битүү гадаргуугаар дамжих урсгалыг GSE -ийн нэгжийн систем, SI -ийн янз бүрийн томъёогоор (11) ба (12) илэрхийлнэ. Гадаргууг дайран өнгөрөх хүчний шугамын тоогоор тодорхойлогддог урсгалын геометрийн утгатай үүнийг хэрхэн уялдуулах вэ?

Гауссын теоремыг ашиглан цахилгаан талбайн хүчийг олохын тулд цэнэгүүдийн тэгш хэмтэй хуваарилалтыг олох вэ?

Сөрөг цэнэгтэй бөмбөрцгийн талбайн хүчийг тооцоолохдоо (14) ба (15) томъёог хэрхэн ашиглах вэ?

Гауссын теорем ба физик орон зайн геометр.Гауссын теоремын нотолгоог арай өөр өнцгөөс харцгаая. Томъёо (7) руу буцаж оръё, үүнээс ижил тооны хүчний шугамууд цэнэгийг тойрсон бөмбөрцөг гадаргуугаар дамжин өнгөрдөг гэж дүгнэсэн болно. Энэхүү дүгнэлт нь хоёр талын тэгш эрхийн хуваагдал буурсантай холбоотой юм.

Баруун талд энэ нь Куломбын хуулиар тодорхойлсон цэнэгүүдийн харилцан үйлчлэлийн хүч нь цэнэг хоорондын зайны квадраттай урвуу пропорциональ байдлаас үүдэлтэй юм. Зүүн талд, гадаад төрх нь геометртэй холбоотой: бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай нь түүний радиусын квадраттай пропорциональ байна.

Гадаргуугийн талбайн шугаман хэмжигдэхүүний квадраттай пропорциональ байдал нь гурван хэмжээст орон зайд Евклидийн геометрийн онцлог шинж юм. Үнэн хэрэгтээ талбайнууд нь бүхэл тоон бус, шугаман хэмжигдэхүүнтэй яг тэнцүү байх нь орон зайн онцлог шинж юм.

гурван хэмжээст. Энэхүү экспонент нь яг хоёр бөгөөд үл тоомсорлосон хэмжээгээрээ хоёроос ялгаатай биш гэдэг нь энэхүү гурван хэмжээст орон зайн муруйлт биш, өөрөөр хэлбэл түүний геометр нь яг Евклидийн шинж чанартай болохыг гэрчилдэг.

Тиймээс Гауссын теорем нь цахилгаан цэнэгийн харилцан үйлчлэлийн үндсэн хуульд физик орон зайн шинж чанарын илрэл юм.

Физикийн үндсэн хууль ба сансар огторгуйн шинж чанаруудын хооронд нягт уялдаа холбоотой байх санааг эдгээр хуулиудыг өөрсдөө батлахаас нэлээд эртнээс олон гайхалтай оюун ухаантнууд илэрхийлсэн байдаг. Тиймээс Кулантийн хуулийг нээхээс 30 жилийн өмнө И.Кант сансрын шинж чанаруудын талаар ингэж бичжээ: "Гурван хэмжээст байдал нь оршиж буй ертөнцөд байгаа бодисууд бие биендээ нөлөөлж, үйл ажиллагааны хүчийг өгдөгтэй холбоотой юм. зайны квадраттай урвуу пропорциональ байна. "

Кулоны хууль ба Гауссын теорем нь үнэндээ өөр өөр хэлбэрээр илэрхийлэгддэг нэг байгалийн хуулийг илэрхийлдэг. Куломбын хууль нь алсын зайн үйл ажиллагааны тухай ойлголтыг тусгасан бол Гауссын теорем нь орон зайг дүүргэдэг хүчний талбар, өөрөөр хэлбэл богино хугацааны үйл ажиллагааны тухай ойлголтоос үүдэлтэй юм. Электростатикт хүчний талбайн эх үүсвэр нь цэнэг бөгөөд эх үүсвэртэй холбоотой талбайн шинж чанар - эрчим хүчний урсгал нь өөр цэнэг байхгүй хоосон орон зайд өөрчлөгдөх боломжгүй юм. Урсгалыг талбайн хүчний шугамын багц хэлбэрээр төсөөлж болох тул урсгалын хувиршгүй байдал нь эдгээр шугамын тасралтгүй байдлаас илэрдэг.

Гауссын теорем нь харилцан үйлчлэлийн зайны квадраттай урвуу пропорциональ байдал ба суперпозиция (харилцан үйлчлэлийн нэмэлт) зарчим дээр үндэслэсэн бөгөөд урвуу талбайн хууль үйлчилдэг аливаа физик талбарт хамаарна. Тодруулбал, энэ нь таталцлын талбарт бас хүчинтэй байна. Энэ нь санамсаргүй тохиолдлоор тохиолдсон зүйл биш бөгөөд Евклидийн гурван хэмжээст физик орон зайд цахилгаан болон таталцлын харилцан үйлчлэл хоёулаа тоглож байгаагийн тусгал юм.

Цахилгаан цэнэгийн харилцан үйлчлэлийн хуулийн ямар онцлог дээр Гауссын теорем үндэслэсэн бэ?

Гауссын теоремд үндэслэн цэгийн цэнэгийн цахилгаан талбайн хүч нь зайн квадраттай урвуу пропорциональ болохыг нотлох. Энэхүү нотолгоонд орон зайн тэгш хэмийн ямар шинж чанарыг ашигладаг вэ?

Физик орон зайн геометрийг Куломбын хууль болон Гауссын теоремд хэрхэн тусгасан бэ? Эдгээр хуулиудын ямар онцлог нь Евклидийн геометрийн шинж чанар, физик орон зайн гурван хэмжээст байдлыг гэрчилдэг вэ?

Цахилгаан индукцийн векторын урсгалын тухай ойлголтыг танилцуулъя. Хязгааргүй жижиг талбайг авч үзье. Ихэнх тохиолдолд зөвхөн сайтын хэмжээ төдийгүй орон зайд чиг баримжаагаа мэдэх шаардлагатай байдаг. Вектор-платформ гэсэн ойлголтыг танилцуулъя. Тухайн талбайн хэмжээтэй перпендикуляр чиглэсэн, талбайн хэмжээтэй тэнцүү векторыг вектор-талбар гэж хүлээн зөвшөөрье.

Зураг 1 - Векторын тодорхойлолт руу - сайт

Векторын урсгалыг нэрлэе сайтын даяар
векторуудын цэгэн бүтээгдэхүүн ба
... Тиймээс,

Векторын урсгал дурын гадаргуугаар бүх үндсэн урсгалыг нэгтгэх замаар олддог

(4)

Хэрэв талбай жигд, тэгш гадаргуутай бол талбайд перпендикуляр байрладаг, дараа нь:

. (5)

Дээрх илэрхийлэл нь тухайн талбайд нэвтэрч буй хүчний шугамын тоог тодорхойлдог нэгжийн цаг тутамд.

Остроградский-Гауссын теорем. Цахилгаан талбайн хүч чадлын зөрүү

Дурын хаалттай гадаргуугаар цахилгаан индукцийн векторын урсгал чөлөөт цахилгаан цэнэгийн алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна энэ гадаргуугаар хучигдсан байдаг

(6)

Илэрхийлэл (6) нь интеграл хэлбэрээр O-G теорем юм. 0-D теорем нь салшгүй (нийт) эффектээр ажилладаг. хэрэв
Дараа нь энэ нь тухайн орон зайн судалж буй хэсгийн бүх цэгүүдэд цэнэг байхгүй гэсэн үг үү, эсвэл энэ орон зайн өөр өөр цэгүүдэд байрлуулсан эерэг ба сөрөг цэнэгүүдийн нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү байгаа эсэх нь тодорхойгүй байна.

Тухайн талбайн байршсан цэнэг, түүний хэмжээг олохын тулд цахилгаан индукцийн векторыг холбосон холбоо хэрэгтэй болно ижил цэг дээр цэнэглэгдсэн өгөгдсөн цэг дээр.

Бид тухайн цэг дээр цэнэг байгаа эсэхийг тодорхойлох хэрэгтэй гэж бодъё a(зураг 2)

Зураг 2 - Векторын зөрүүг тооцоолох

Бид O-G теоремыг ашигладаг. Цахилгаан индукцийн векторын урсгал нь тухайн цэгийн эзэлхүүнийг хязгаарласан дурын гадаргуугаар дамждаг a, -тай тэнцүү байна

Эзлэхүүн дэх цэнэгийн алгебрийн нийлбэрийг эзлэхүүний интеграл хэлбэрээр бичиж болно

(7)

хаана - нэгжийн эзлэхүүн тутамд цэнэглэх ;

- эзлэхүүний элемент.

Талбай ба цэгийн хоорондох холболтыг олж авахын тулд aбид эзлэхүүнийг багасгаж, гадаргууг цэг хүртэл татах болно a... Энэ тохиолдолд бид тэгш байдлынхаа хоёр талыг үнэ цэнээр нь хуваадаг ... Хязгаар хүртэл бид дараахь зүйлийг олж авна.

.

Үүссэн илэрхийлэлийн баруун тал нь тодорхойлолтоор орон зайн тооцоолсон цэг дэх эзэлхүүн цэнэгийн нягт юм. Зүүн тал нь хаалттай гадаргуугаар дамжих цахилгаан индукцийн векторын урсгалын эзлэхүүн тэг болоход энэ гадаргуугаар хязгаарлагдсан эзлэхүүний харьцааны хязгаарыг илэрхийлнэ. Энэхүү скаляр хэмжигдэхүүн нь цахилгаан орны чухал шинж чанар бөгөөд үүнийг нэрлэдэг ялгаатай байдлын вектор .

Тиймээс:

,

эндээс

, (8)

хаана - их хэмжээний цэнэгийн нягтрал.

Энэ харьцааг ашиглан электростатикын урвуу асуудлыг зүгээр л шийддэг, өөрөөр хэлбэл. мэдэгдэж буй талбарт тархсан төлбөрийг олох.

Хэрэв вектор бол өгөгдсөн бол түүний төсөөллийг мэддэг болно
,
,
координатын тэнхлэг дээр координатын функц болж, өгөгдсөн талбарыг үүсгэсэн цэнэгийн тархсан нягтыг тооцоолохдоо эдгээр хувьсагчийн гурван хэсэгчилсэн деривативын нийлбэрийг харгалзах хувьсагчдын хувьд олоход хангалттай юм. Үүний тулд
ямар ч төлбөр байхгүй. Хаана байгаа цэгүүд дээр
эерэг байна, бөөн нягтралтай тэнцүү эерэг цэнэг байна
, мөн эдгээр цэгүүдэд
сөрөг утгатай байх болно, сөрөг цэнэг байгаа бөгөөд түүний нягтыг мөн ялгаварлах утгаар тодорхойлно.

Илэрхийлэл (8) нь 0-Г теоремыг дифференциал хэлбэрээр илэрхийлнэ. Энэ хэлбэрээр теоремыг харуулав цахилгаан талбайн эх үүсвэр нь үнэгүй цахилгаан цэнэг юм;Цахилгаан индукцийн векторын хүчний шугамууд эерэг ба сөрөг цэнэгүүдээр эхэлж дуусна.

Электростатикийн хэрэглээний гол асуудал бол янз бүрийн төхөөрөмж, төхөөрөмжид үүссэн цахилгаан талбайн тооцоо юм. Ерөнхийдөө энэ асуудлыг Кулоны хууль болон супер байрлалын зарчмыг ашиглан шийддэг. Гэсэн хэдий ч олон тооны цэг эсвэл орон зайн хуваарилагдсан төлбөрийг авч үзэхэд энэ даалгавар маш төвөгтэй болно. Сансарт диэлектрик эсвэл дамжуулагч байх үед E 0 гадаад талбарын нөлөөн дор микроскопийн цэнэгийн дахин хуваарилалт үүсч, өөрийн нэмэлт талбарыг бий болгодог E. арга, техникийг математикийн нарийн төвөгтэй аппарат ашиглан ашигладаг. Остроградский - Гауссын теоремыг ашиглахад үндэслэсэн хамгийн энгийн аргыг авч үзэх болно. Энэхүү теоремыг томъёолохын тулд бид хэд хэдэн шинэ ойлголтуудыг танилцуулж байна.

A) цэнэгийн нягтрал

Хэрэв цэнэглэгдсэн бие том бол биеийн доторх цэнэгийн тархалтыг мэдэх хэрэгтэй.

Бөөн цэнэгийн нягтрал- нэгж эзэлхүүн дэх цэнэгээр хэмжигддэг:

Гадаргуугийн цэнэгийн нягтрал- биеийн нэгжийн гадаргуу дахь цэнэгээр хэмжигддэг (цэнэгийг гадаргуу дээгүүр тараах үед):

Шугаман цэнэгийн нягтрал(дамжуулагчийн дагуу цэнэг хуваарилах):

б) вектор электростатик индукц

Электростатик индукцийн вектороор (цахилгаан нүүлгэн шилжүүлэлтийн вектор) нь цахилгаан талбарыг тодорхойлдог вектор хэмжигдэхүүн юм.

Вектор векторын бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна тухайн цэг дэх диэлектрикийн үнэмлэхүй тогтмол дээр:

Хэмжээг шалгаж үзье Д. SI нэгжээр:

оноос хойш
,

дараа нь D ба E хэмжээсүүд давхцахгүй бөгөөд тэдгээрийн тоон утга нь бас өөр байна.

Тодорхойлолтоос Энэ нь векторын талбарын хувьд дараах байдалтай байна талбайн хувьд ижил суперпозиция зарчимтай :

Талбар талбарын нэгэн адил индукцийн шугамаар графикаар дүрслэгдсэн болно ... Индукцийн шугамыг цэг бүр дэх тангенс нь чиглэлтэй давхцаж байхаар зурсан болно , мөрийн тоо нь энэ байрлал дахь D тоон утгатай тэнцүү байна.

Танилцуулгын утгыг ойлгохын тулд Жишээ авч үзье.

v) урсгалын вектор цахилгаан статик индукц

Цахилгаан орны S гадаргууг авч үзээд нормын чиглэлийг сонго

1. Хэрэв талбай жигд байвал S гадаргуугаар дамжих хүчний шугамын тоо:

2. Хэрэв талбай нь нэг төрлийн биш бол гадаргууг тэгш бус гэж үздэг хязгааргүй жижиг элементүүд dS гэж хуваана, тэдгээрийн эргэн тойрон дахь талбай нь жигд байна. Тиймээс гадаргуугийн элементээр дамжих урсгал нь: dN = D n dS,

ба аливаа гадаргуугаар дамжих нийт урсгал:

(6)

N индукцийн урсгал нь скаляр хэмжигдэхүүн юм;  -ээс хамааран энэ нь> 0 эсвэл байж болно< 0, или = 0.