Logaritmų sandauga su skirtingų bazių pavyzdžiais. Veiksmo taisyklės logaritmas su logaritmais

Instrukcija

Užrašykite pateiktą logaritminę išraišką. Jei išraiška naudoja 10 logaritmą, tada jo žymėjimas sutrumpinamas ir atrodo taip: lg b yra dešimtainis logaritmas. Jei logaritmo pagrindas yra skaičius e, tada išraiška rašoma: ln b yra natūralusis logaritmas. Suprantama, kad bet kurio rezultatas yra laipsnis, iki kurio turi būti padidintas bazinis skaičius, norint gauti skaičių b.

Surandant dviejų funkcijų sumą, tereikia jas atskirti po vieną ir sudėti rezultatus: (u+v)" = u"+v";

Surandant dviejų funkcijų sandaugos išvestinę, reikia padauginti pirmosios funkcijos išvestinę iš antrosios ir pridėti antrosios funkcijos išvestinę, padaugintą iš pirmosios funkcijos: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Norint rasti dviejų funkcijų dalinio išvestinę, reikia iš dividendo išvestinės sandaugos, padauginto iš daliklio funkcijos, atimti daliklio išvestinės sandaugą, padaugintą iš daliklio funkcijos, ir padalyti visa tai daliklio funkcija kvadratu. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Jei duota kompleksinė funkcija, tai reikia padauginti vidinės funkcijos išvestinę ir išorinės išvestinę. Tegul y=u(v(x)), tada y"(x)=y"(u)*v"(x).

Naudodami aukščiau pateiktą informaciją galite atskirti beveik bet kurią funkciją. Taigi pažvelkime į keletą pavyzdžių:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^xx^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^xx^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Taip pat yra užduočių, skirtų išvestinei taške apskaičiuoti. Tegul funkcija y=e^(x^2+6x+5) duota, reikia rasti funkcijos reikšmę taške x=1.
1) Raskite funkcijos išvestinę: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Apskaičiuokite funkcijos reikšmę duotame taške y"(1)=8*e^0=8

Susiję vaizdo įrašai

Naudingi patarimai

Išmok elementariųjų išvestinių lentelę. Taip sutaupysite daug laiko.

Šaltiniai:

• pastovi išvestinė

Taigi, kuo skiriasi neracionali lygtis nuo racionalios? Jei nežinomas kintamasis yra po kvadratinės šaknies ženklu, tada lygtis laikoma neracionalia.

Instrukcija

Pagrindinis tokių lygčių sprendimo būdas yra abiejų dalių pakėlimo metodas lygtysį aikštę. Tačiau. tai natūralu, pirmiausia reikia atsikratyti ženklo. Techniškai šis metodas nėra sunkus, tačiau kartais gali kilti problemų. Pavyzdžiui, lygtis v(2x-5)=v(4x-7). Padalinus abi puses kvadratu, gaunama 2x-5=4x-7. Tokią lygtį nesunku išspręsti; x=1. Bet numeris 1 nebus suteiktas lygtys. Kodėl? Vietoj x reikšmės lygtyje pakeiskite vienetą, o dešinėje ir kairėje pusėje bus išraiškos, kurios neturi prasmės, tai yra. Tokia reikšmė negalioja kvadratinei šakniai. Todėl 1 yra pašalinė šaknis, todėl ši lygtis neturi šaknų.

Taigi, neracionali lygtis išspręsta naudojant abiejų jos dalių kvadratūros metodą. Ir išsprendus lygtį, reikia nupjauti pašalines šaknis. Norėdami tai padaryti, pakeiskite rastas šaknis į pradinę lygtį.

Apsvarstykite kitą.
2x+vx-3=0
Žinoma, šią lygtį galima išspręsti naudojant tą pačią lygtį kaip ir ankstesnė. Perkėlimo junginiai lygtys, kurie neturi kvadratinės šaknies, į dešinę pusę ir tada naudokite kvadrato metodą. išspręskite gautą racionaliąją lygtį ir šaknis. Bet kitas, elegantiškesnis. Įveskite naują kintamąjį; vx=y. Atitinkamai gausite tokią lygtį kaip 2y2+y-3=0. Tai yra, įprasta kvadratinė lygtis. Raskite jo šaknis; y1=1 ir y2=-3/2. Tada išspręskite du lygtys vx=1; vx \u003d -3/2. Antroji lygtis neturi šaknų, iš pirmosios matome, kad x=1. Nepamirškite apie būtinybę patikrinti šaknis.

Išspręsti tapatybes yra gana paprasta. Tam reikia atlikti identiškas transformacijas, kol bus pasiektas tikslas. Taigi, paprasčiausių aritmetinių veiksmų pagalba bus išspręsta užduotis.

Jums reikės

• - popierius;
• - rašiklis.

Instrukcija

Paprasčiausios tokios transformacijos yra algebrinės sutrumpintos daugybos (pavyzdžiui, sumos kvadratas (skirtumas), kvadratų skirtumas, suma (skirtumas), sumos (skirtumo) kubas). Be to, yra daug trigonometrines formules, kurios iš esmės yra tos pačios tapatybės.

Iš tiesų, dviejų narių sumos kvadratas yra lygus pirmojo kvadratui plius dvigubai pirmojo ir antrojo sandaugai plius antrojo kvadratui, tai yra (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Supaprastinkite abu

Bendrieji sprendimo principai

Pakartokite iš matematinės analizės arba aukštosios matematikos vadovėlio, kuris yra neabejotinas integralas. Kaip žinote, apibrėžtojo integralo sprendimas yra funkcija, kurios išvestinė duos integrandą. Ši funkcija vadinama antiderivatine. Pagal šį principą konstruojami pagrindiniai integralai.
Pagal integrando formą nustatykite, kuris iš lentelės integralų tinka šiuo atveju. Ne visada tai įmanoma iš karto nustatyti. Dažnai lentelės forma tampa pastebima tik po kelių transformacijų, siekiant supaprastinti integrandą.

Kintamojo pakeitimo metodas

Jei integrandas yra trigonometrinė funkcija, kurios argumentas yra polinomas, pabandykite naudoti kintamųjų keitimo metodą. Norėdami tai padaryti, pakeiskite daugianarį integrando argumente nauju kintamuoju. Remdamiesi naujojo ir senojo kintamojo santykiu, nustatykite naujas integracijos ribas. Išskirdami šią išraišką, raskite naują skirtumą . Taip jūs gausite naujos rūšies buvęs integralas, artimas ar net atitinkantis bet kurią lentelę.

Antrosios rūšies integralų sprendimas

Jei integralas yra antrojo tipo integralas, vektoriaus integrando forma, tuomet turėsite naudoti taisykles, kaip pereiti nuo šių integralų prie skaliarinių. Viena iš tokių taisyklių yra Ostrogradskio ir Gauso santykis. Šis dėsnis leidžia pereiti nuo tam tikros vektorinės funkcijos rotoriaus srauto į trigubą integralą per tam tikro vektoriaus lauko divergenciją.

Integracijos ribų pakeitimas

Radus antidarinį, būtina pakeisti integracijos ribas. Pirma, viršutinės ribos reikšmę pakeiskite antidarinio išraiška. Jūs gausite tam tikrą numerį. Tada iš gauto skaičiaus atimkite kitą skaičių, gautą apatinę antidarinio ribą. Jei viena iš integravimo ribų yra begalybė, tai pakeičiant ją į antiderivatinę funkciją, reikia pereiti prie ribos ir rasti, į ką linksta išraiška.
Jei integralas yra dvimatis arba trimatis, tuomet turėsite pavaizduoti geometrines integravimo ribas, kad suprastumėte, kaip apskaičiuoti integralą. Iš tiesų, tarkime, trimačio integralo atveju, integravimo ribos gali būti ištisos plokštumos, ribojančios integruojamą tūrį.

(iš graikų kalbos λόγος – „žodis“, „ryšys“ ir ἀριθμός – „skaičius“) b dėl priežasties a(log α b) vadinamas tokiu skaičiumi c, Ir b= a c, tai yra log α b=c Ir b=ac yra lygiaverčiai. Logaritmas prasmingas, jei a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Kitaip tariant logaritmas numeriai b dėl priežasties bet suformuluotas kaip eksponentas, iki kurio turi būti pakeltas skaičius a norėdami gauti numerį b(logaritmas egzistuoja tik teigiamiems skaičiams).

Iš šios formuluotės išplaukia, kad skaičiavimas x= log α b, yra lygiavertis lygties a x =b sprendimui.

Pavyzdžiui:

log 2 8 = 3, nes 8=2 3 .

Atkreipiame dėmesį, kad nurodyta logaritmo formuluotė leidžia iš karto nustatyti logaritmo reikšmė kai skaičius po logaritmo ženklu yra tam tikra pagrindo galia. Iš tiesų logaritmo formulavimas leidžia pagrįsti, kad jeigu b=a c, tada skaičiaus logaritmas b dėl priežasties a lygus iš. Taip pat aišku, kad logaritmo tema yra glaudžiai susijusi su tema skaičiaus laipsnis.

Pateikiamas logaritmo skaičiavimas logaritmas. Logaritmas yra matematinė logaritmo ėmimo operacija. Imant logaritmą faktorių sandaugos paverčiamos narių sumomis.

Potencija yra matematinė operacija, atvirkštinė logaritmui. Potencuojant, duotoji bazė pakeliama iki išraiškos, ant kurios atliekamas stiprinimas, galios. Šiuo atveju terminų sumos paverčiamos veiksnių sandauga.

Gana dažnai naudojami realieji logaritmai, kurių bazės yra 2 (dvejetainė), e Eulerio skaičius e ≈ 2,718 (natūralus logaritmas) ir 10 (dešimtainis).

Šiame etape verta apsvarstyti logaritmų pavyzdžiaižurnalas 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

O įrašai lg (-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 neturi prasmės, nes pirmame iš jų po logaritmo ženklu dedamas neigiamas skaičius, antrajame - neigiamas skaičius bazėje, o trečioje - ir neigiamas skaičius po logaritmo ženklu ir vienetas bazėje.

Logaritmo nustatymo sąlygos.

Atskirai verta apsvarstyti sąlygas a > 0, a ≠ 1, b > 0. logaritmo apibrėžimas. Panagrinėkime, kodėl imamasi šių apribojimų. Tai padės mums nustatyti x = log α formos lygybę b, vadinamas pagrindine logaritmine tapatybe, kuri tiesiogiai išplaukia iš aukščiau pateikto logaritmo apibrėžimo.

Paimkite sąlygą a≠1. Kadangi vienas lygus vienetui bet kuriai laipsnei, tai lygybė x=log α b gali egzistuoti tik tada, kai b = 1, bet log 1 1 bus bet koks tikrasis skaičius. Norėdami pašalinti šį neaiškumą, imamės a≠1.

Įrodykime sąlygos būtinumą a>0. At a=0 pagal logaritmo formuluotę gali egzistuoti tik tada, kai b = 0. Ir tada atitinkamai žurnalas 0 0 gali būti bet koks realusis skaičius, kuris skiriasi nuo nulio, nes laipsnis nuo nulio iki bet kurio nulio dydžio yra lygus nuliui. Norėdami pašalinti šį neaiškumą, sąlyga a≠0. Ir kada a<0 turėtume atmesti logaritmo racionaliųjų ir iracionaliųjų reikšmių analizę, nes rodiklis su racionaliuoju ir neracionaliuoju rodikliu apibrėžiamas tik neneigiamoms bazėms. Būtent dėl ​​šios priežasties sąlyga a>0.

Ir paskutinė sąlyga b>0 išplaukia iš nelygybės a>0, kadangi x=log α b, o laipsnio reikšmė su teigiama baze a visada posityvus.

Logaritmų ypatybės.

Logaritmai būdingas savitas funkcijos, todėl jie buvo plačiai naudojami, kad būtų lengviau atlikti kruopščius skaičiavimus. Pereinant „į logaritmų pasaulį“ daugyba paverčiama daug lengvesniu sudėjimu, padalijimas į atimtį, o kėlimas į laipsnį ir šaknies paėmimas atitinkamai paverčiamas daugyba ir dalyba iš laipsnio.

Logaritmų formuluotę ir jų verčių lentelę (trigonometrinėms funkcijoms) 1614 m. pirmą kartą paskelbė škotų matematikas Johnas Napier. Kitų mokslininkų padidintos ir detalizuotos logaritminės lentelės buvo plačiai naudojamos moksliniams ir inžineriniams skaičiavimams ir išliko aktualios, kol nebuvo pradėti naudoti elektroniniai skaičiuotuvai ir kompiuteriai.

Mes ir toliau studijuojame logaritmus. Šiame straipsnyje mes kalbėsime apie logaritmų skaičiavimas, šis procesas vadinamas logaritmas. Pirmiausia nagrinėsime logaritmų skaičiavimą pagal apibrėžimą. Tada apsvarstykite, kaip logaritmų reikšmės randamos naudojant jų savybes. Po to pasiliksime prie logaritmų skaičiavimo per iš pradžių pateiktas kitų logaritmų reikšmes. Galiausiai, išmokime naudotis logaritmų lentelėmis. Visa teorija pateikiama su pavyzdžiais su išsamiais sprendimais.

Puslapio naršymas.

Logaritmų skaičiavimas pagal apibrėžimą

Paprasčiausiais atvejais galima atlikti greitai ir nesunkiai logaritmo radimas pagal apibrėžimą. Pažvelkime atidžiau, kaip vyksta šis procesas.

Jo esmė yra pavaizduoti skaičių b forma a c , iš kur pagal logaritmo apibrėžimą skaičius c yra logaritmo reikšmė. Tai reiškia, kad pagal apibrėžimą logaritmo radimas atitinka tokią lygybių grandinę: log a b=log a a c =c .

Taigi, apskaičiuojant logaritmą pagal apibrėžimą, reikia rasti tokį skaičių c, kad a c \u003d b, o pats skaičius c yra norima logaritmo reikšmė.

Atsižvelgiant į ankstesnių pastraipų informaciją, kai skaičius po logaritmo ženklu yra pateiktas tam tikru logaritmo pagrindo laipsniu, galite iš karto nurodyti, kam logaritmas yra lygus - jis lygus eksponentui. Parodykime pavyzdžius.

Pavyzdys.

Raskite log 2 2 −3 ir taip pat apskaičiuokite e 5,3 natūralųjį logaritmą.

Sprendimas.

Logaritmo apibrėžimas leidžia iš karto pasakyti, kad log 2 2 −3 = −3 . Iš tiesų, skaičius po logaritmo ženklu yra lygus bazei 2 iki –3 laipsnio.

Panašiai randame ir antrą logaritmą: lne 5.3 =5.3.

Atsakymas:

log 2 2 −3 = −3 ir lne 5,3 =5,3 .

Jei skaičius b, esantis po logaritmo ženklu, nenurodytas kaip logaritmo pagrindo galia, turite atidžiai apsvarstyti, ar įmanoma pateikti skaičių b a c forma. Dažnai šis vaizdavimas yra gana akivaizdus, ​​ypač kai skaičius po logaritmo ženklu yra lygus bazei iki 1, 2, arba 3, ...

Pavyzdys.

Apskaičiuokite logaritmus log 5 25 , ir .

Sprendimas.

Nesunku pastebėti, kad 25=5 2 , tai leidžia apskaičiuoti pirmąjį logaritmą: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Mes pereiname prie antrojo logaritmo skaičiavimo. Skaičius gali būti pavaizduotas kaip 7 laipsnis: (jei reikia, žiūrėkite). Vadinasi, .

Trečiąjį logaritmą perrašykime tokia forma. Dabar jūs galite tai pamatyti , iš kur darome tokią išvadą . Todėl pagal logaritmo apibrėžimą .

Trumpai tariant, sprendimas gali būti parašytas taip:

Atsakymas:

log 5 25 = 2 , Ir .

Kai pakankamai didelis natūralusis skaičius yra po logaritmo ženklu, nepakenks jį išskaidyti į pirminius veiksnius. Dažnai padeda tokį skaičių pavaizduoti kaip tam tikrą logaritmo pagrindo laipsnį, taigi, apskaičiuoti šį logaritmą pagal apibrėžimą.

Pavyzdys.

Raskite logaritmo reikšmę.

Sprendimas.

Kai kurios logaritmų savybės leidžia iš karto nurodyti logaritmų reikšmę. Šios savybės apima vieneto logaritmo savybę ir skaičiaus, lygaus bazei, logaritmo savybę: log 1 1=log a a 0 =0 ir log a a=log a a 1 =1 . Tai yra, kai skaičius 1 arba skaičius a yra po logaritmo ženklu, lygus logaritmo pagrindui, tada šiais atvejais logaritmai yra atitinkamai 0 ir 1.

Pavyzdys.

Kokie yra logaritmai ir lg10?

Sprendimas.

Kadangi , tai išplaukia iš logaritmo apibrėžimo .

Antrajame pavyzdyje skaičius 10 po logaritmo ženklu sutampa su jo pagrindu, todėl dešimtainis dešimtainis logaritmas yra lygus vienetui, tai yra lg10=lg10 1 =1 .

Atsakymas:

IR lg10=1 .

Atkreipkite dėmesį, kad logaritmų skaičiavimas pagal apibrėžimą (kurį aptarėme ankstesnėje pastraipoje) reiškia, kad reikia naudoti lygybę log a a p =p , kuri yra viena iš logaritmų savybių.

Praktikoje, kai skaičius po logaritmo ženklu ir logaritmo pagrindas lengvai vaizduojami kaip kurio nors skaičiaus laipsnis, labai patogu naudoti formulę , kuris atitinka vieną iš logaritmų savybių. Apsvarstykite logaritmo radimo pavyzdį, iliustruojantį šios formulės naudojimą.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite logaritmą .

Sprendimas.

Atsakymas:

.

Skaičiuojant taip pat naudojamos aukščiau nepaminėtos logaritmų savybės, tačiau apie tai kalbėsime tolesnėse pastraipose.

Rasti logaritmus pagal kitus žinomus logaritmus

Šioje pastraipoje pateikta informacija tęsia logaritmų savybių panaudojimo skaičiuojant temą. Tačiau čia pagrindinis skirtumas yra tas, kad logaritmų savybės naudojamos pirminiam logaritmui išreikšti kitu logaritmu, kurio reikšmė yra žinoma. Paimkime aiškumo pavyzdį. Tarkime, žinome, kad log 2 3≈1.584963 , tada galime rasti, pavyzdžiui, log 2 6, atlikę nedidelę transformaciją, naudodami logaritmo savybes: log 2 6 = log 2 (2 3) = log 2 2 + log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Aukščiau pateiktame pavyzdyje mums pakako panaudoti sandaugos logaritmo savybę. Tačiau kur kas dažniau tenka pasitelkti platesnį logaritmų savybių arsenalą, norint apskaičiuoti pradinį logaritmą duotųjų atžvilgiu.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite logaritmą nuo 27 iki bazės 60, jei žinoma, kad log 60 2=a ir log 60 5=b .

Sprendimas.

Taigi turime rasti žurnalą 60 27 . Nesunku pastebėti, kad 27=3 3 , o pradinis logaritmas dėl laipsnio logaritmo savybės gali būti perrašytas kaip 3·log 60 3 .

Dabar pažiūrėkime, kaip log 60 3 gali būti išreikštas žinomais logaritmais. Skaičiaus, lygaus bazei, logaritmo savybė leidžia parašyti lygybės log 60 60=1 . Kita vertus, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Šiuo būdu, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Vadinasi, log 60 3=1–2 log 60 2–log 60 5=1–2 a–b.

Galiausiai apskaičiuojame pradinį logaritmą: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Atsakymas:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Atskirai verta paminėti perėjimo prie naujos formos logaritmo bazės formulės reikšmę . Tai leidžia pereiti nuo logaritmų su bet kuria baze prie logaritmų su konkrečia baze, kurių reikšmės yra žinomos arba jas galima rasti. Paprastai iš pradinio logaritmo, pagal perėjimo formulę, jie pereina prie logaritmų vienoje iš bazių 2, e arba 10, nes šioms bazėms yra logaritmų lentelės, leidžiančios tam tikru laipsniu apskaičiuoti jų reikšmes. tikslumo. Kitame skyriuje parodysime, kaip tai daroma.

Logaritmų lentelės, jų naudojimas

Norėdami apytiksliai apskaičiuoti logaritmų reikšmes, galite naudoti logaritmų lentelės. Dažniausiai naudojama 2 bazinių logaritmų lentelė, natūraliųjų logaritmų lentelė ir dešimtainė logaritmų lentelė. Dirbant dešimtainių skaičių sistema, patogu naudoti logaritmų lentelę, kad pagrįstų dešimtį. Su jo pagalba išmoksime rasti logaritmų reikšmes.

Pateikta lentelė leidžia dešimtosios tūkstantosios dalies tikslumu rasti skaičių dešimtainių logaritmų reikšmes nuo 1 000 iki 9 999 (su trimis skaitmenimis po kablelio). Išanalizuosime logaritmo vertės nustatymo principą naudodami dešimtainių logaritmų lentelę naudodami konkretų pavyzdį - tai aiškiau. Raskime lg1,256 .

Dešimtainių logaritmų lentelės kairiajame stulpelyje randame pirmuosius du skaičiaus 1,256 skaitmenis, tai yra, randame 1,2 (šis skaičius aiškumo dėlei apvestas mėlynai). Trečiasis skaičiaus 1,256 skaitmuo (skaičius 5) randamas pirmoje arba paskutinėje eilutėje, esančioje kairėje nuo dvigubos eilutės (šis skaičius apibrėžiamas raudonai). Ketvirtasis pradinio skaičiaus 1,256 skaitmuo (skaičius 6) randamas pirmoje arba paskutinėje eilutėje, esančioje dešinėje dvigubos eilutės pusėje (šis skaičius apibrėžiamas žaliai). Dabar skaičius randame logaritmų lentelės langeliuose pažymėtos eilutės ir pažymėtų stulpelių sankirtoje (šie skaičiai yra paryškinti oranžinė). Pažymėtų skaičių suma suteikia pageidaujamą dešimtainio logaritmo reikšmę iki ketvirtos dešimtosios dalies, t. log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Ar galima naudojant aukščiau pateiktą lentelę rasti skaičių, turinčių daugiau nei tris skaitmenis po kablelio, dešimtainių logaritmų reikšmes, taip pat viršijančias ribas nuo 1 iki 9,999? Taip tu gali. Parodykime, kaip tai daroma pavyzdžiu.

Apskaičiuokime lg102.76332 . Pirmiausia reikia parašyti numeris standartine forma: 102.76332=1.0276332 10 2 . Po to mantisa turėtų būti suapvalinta iki trečio skaičiaus po kablelio 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, o pradinis dešimtainis logaritmas yra maždaug lygus gauto skaičiaus logaritmui, tai yra, imame lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Dabar pritaikykite logaritmo savybes: lg1,028 10 2 = lg1,028+lg10 2 = lg1,028 + 2. Galiausiai pagal dešimtainių logaritmų lentelę randame logaritmo reikšmę lg1,028 lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Dėl to visas logaritmo skaičiavimo procesas atrodo taip: lg102,76332=lg1,0276332 10 2 ≈lg1,028 10 2 = lg1,028+lg10 2 = lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

Apibendrinant verta paminėti, kad naudodamiesi dešimtainių logaritmų lentele galite apskaičiuoti apytikslę bet kurio logaritmo vertę. Norėdami tai padaryti, pakanka naudoti perėjimo formulę, kad pereitumėte prie dešimtainių logaritmų, suraskite jų reikšmes lentelėje ir atlikite likusius skaičiavimus.

Pavyzdžiui, apskaičiuokime log 2 3 . Pagal perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulę turime . Iš dešimtainių logaritmų lentelės randame lg3≈0,4771 ir lg2≈0,3010. Šiuo būdu, .

Bibliografija.

• Kolmogorovas A.N., Abramovas A.M., Dudnitsyn Yu.P. ir kt.. Algebra ir analizės užuomazgos: vadovėlis bendrojo lavinimo įstaigų 10-11 klasei.
• Gusevas V.A., Mordkovičius A.G. Matematika (vadovas stojantiesiems į technikos mokyklas).

Vienas iš primityvaus lygio algebros elementų yra logaritmas. Pavadinimas kilęs iš graikų kalbos iš žodžio „skaičius“ arba „laipsnis“ ir reiškia laipsnį, iki kurio reikia pakelti skaičių prie pagrindo, norint rasti galutinį skaičių.

Logaritmų tipai

• log a b yra skaičiaus b logaritmas iki pagrindo a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• lg b - dešimtainis logaritmas (logaritmo bazė 10, a = 10);
• ln b - natūralusis logaritmas (logaritmo bazė e, a = e).

Kaip išspręsti logaritmus?

Skaičiaus b logaritmas iki pagrindo a yra eksponentas, todėl bazę a reikia pakelti iki skaičiaus b. Rezultatas tariamas taip: „b logaritmas iki a pagrindo“. Logaritminių uždavinių sprendimas yra tas, kad jums reikia nustatyti nurodytą laipsnį pagal skaičius pagal nurodytus skaičius. Yra keletas pagrindinių logaritmo nustatymo ar sprendimo taisyklių, taip pat paties žymėjimo transformavimo. Jais naudojant sprendžiamos logaritminės lygtys, randamos išvestinės, sprendžiami integralai, atliekama daug kitų operacijų. Iš esmės paties logaritmo sprendimas yra supaprastintas jo žymėjimas. Žemiau pateikiamos pagrindinės formulės ir savybės:

Bet kokiam a ; a > 0; a ≠ 1 ir bet kuriam x ; y > 0.

• a log a b = b yra pagrindinė logaritminė tapatybė
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , kai k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - perėjimo prie naujos bazės formulė
• log a x = 1/log x a

Kaip išspręsti logaritmus - žingsnis po žingsnio sprendimo instrukcijos

• Pirmiausia užrašykite reikiamą lygtį.

Atkreipkite dėmesį: jei bazinis logaritmas yra 10, tada įrašas sutrumpinamas, gaunamas dešimtainis logaritmas. Jei yra natūralusis skaičius e, tai užrašome, sumažindami iki natūraliojo logaritmo. Tai reiškia, kad visų logaritmų rezultatas yra laipsnis, iki kurio pakeliamas bazinis skaičius, norint gauti skaičių b.

Tiesiogiai sprendimas slypi apskaičiuojant šį laipsnį. Prieš sprendžiant išraišką logaritmu, ją reikia supaprastinti pagal taisyklę, tai yra, naudojant formules. Pagrindines tapatybes galite rasti šiek tiek grįžę į straipsnį.

Sudėdami ir atimdami logaritmus su dviem skirtingais skaičiais, bet su tuo pačiu pagrindu, pakeiskite vienu logaritmu atitinkamai skaičių b ir c sandauga arba padalijimu. Tokiu atveju perėjimo formulę galite pritaikyti kitai bazei (žr. aukščiau).

Jei naudojate išraiškas logaritmui supaprastinti, reikia žinoti kai kuriuos apribojimus. Ir tai yra: logaritmo a bazė yra tik teigiamas skaičius, bet ne lygus vienetui. Skaičius b, kaip ir a, turi būti didesnis už nulį.

Pasitaiko atvejų, kai supaprastinę išraišką negalėsite apskaičiuoti logaritmo skaitine forma. Pasitaiko, kad tokia išraiška neturi prasmės, nes daugelis laipsnių yra neracionalūs skaičiai. Esant šiai sąlygai, palikite skaičiaus laipsnį kaip logaritmą.

Pateikiamos pagrindinės natūraliojo logaritmo, grafiko, apibrėžimo srities, reikšmių aibės, pagrindinių formulių, išvestinės, integralo, išplėtimo laipsnių eilutėje savybės ir funkcijos ln x atvaizdavimas kompleksiniais skaičiais.

Apibrėžimas

natūralusis logaritmas yra funkcija y = ln x, atvirkštinis rodikliui x \u003d e y ir kuris yra logaritmas skaičiaus e pagrindui: ln x = log e x.

Natūralusis logaritmas plačiai naudojamas matematikoje, nes jo išvestinė yra paprasčiausia: (ln x)′ = 1/x.

Pagrįstas apibrėžimai, natūraliojo logaritmo pagrindas yra skaičius e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Funkcijos y = grafikas ln x.

Natūralaus logaritmo grafikas (funkcijos y = ln x) gaunamas iš eksponento grafiko veidrodiniu atspindžiu apie tiesę y = x .

Natūralusis logaritmas yra apibrėžtas teigiamoms x reikšmėms. Jis monotoniškai didėja savo apibrėžimo srityje.

Kaip x → 0 natūraliojo logaritmo riba yra minus begalybė ( - ∞ ).

Kaip x → + ∞, natūraliojo logaritmo riba yra plius begalybė ( + ∞ ). Didelio x logaritmas didėja gana lėtai. Bet kuri laipsnio funkcija x a su teigiamu eksponentu a auga greičiau nei logaritmas.

Natūralaus logaritmo savybės

Apibrėžimo sritis, reikšmių rinkinys, ekstremumai, padidėjimas, sumažėjimas

Natūralusis logaritmas yra monotoniškai didėjanti funkcija, todėl jis neturi ekstremalių. Pagrindinės natūraliojo logaritmo savybės pateiktos lentelėje.

ln x reikšmės

log 1 = 0

Pagrindinės natūraliųjų logaritmų formulės

Formulės, kylančios iš atvirkštinės funkcijos apibrėžimo:

Pagrindinė logaritmų savybė ir jos pasekmės

Bazės pakeitimo formulė

Bet koks logaritmas gali būti išreikštas natūraliais logaritmais naudojant bazės pokyčio formulę:

Šių formulių įrodymai pateikti skiltyje „Logaritmas“.

Atvirkštinė funkcija

Natūralaus logaritmo atvirkštinė vertė yra eksponentas.

Jei tada

Jei tada .

Išvestinė ln x

Natūralaus logaritmo išvestinė:
.
Modulio x natūraliojo logaritmo išvestinė:
.
n-osios eilės vedinys:
.
Formulių išvedimas >>>

Integralinis

Integralas apskaičiuojamas integruojant dalimis:
.
Taigi,

Išraiškos kompleksiniais skaičiais

Apsvarstykite sudėtingo kintamojo z funkciją:
.
Išreikškime kompleksinį kintamąjį z per modulį r ir argumentas φ :
.
Naudodami logaritmo savybes, turime:
.
Arba
.
Argumentas φ nėra vienareikšmiškai apibrėžtas. Jei įdėtume
, kur n yra sveikas skaičius,
tada jis bus tas pats skaičius skirtingiems n.

Todėl natūralusis logaritmas, kaip sudėtingo kintamojo funkcija, nėra vienareikšmė funkcija.

Galios serijos išplėtimas

Išplėtimas vyksta:

Nuorodos:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir aukštųjų mokyklų studentams, Lan, 2009 m.

Ankstesnis straipsnis: Kas yra telegramos žiniatinklis rusų kalba, kam jis skirtas ir jo galimybės Kitas straipsnis: Kaip įrašyti pokalbį telefonu „iPhone“ ir „Android“ išmaniajame telefone „Acr“ programa, skirta „Android“.