Trigonometrinių formulių išvedimas. Sinusas, kosinusas, tangentas: kas tai? Kaip rasti sinusą, kosinusą ir tangentą

Pamatiniai liestinės (tg x) ir kotangento (ctg x) duomenys. Geometrinis apibrėžimas, savybės, grafikai, formulės. Tangentų ir kotangentų, išvestinių, integralų, eilučių plėtinių lentelė. Išraiškos sudėtingų kintamųjų atžvilgiu. Ryšys su hiperbolinėmis funkcijomis.

Geometrinis apibrėžimas

| BD | - apskritimo, kurio centras yra taške A, lanko ilgis.
α yra kampas, išreikštas radianais.

Tangentas ( tg α) yra trigonometrinė funkcija, priklausanti nuo kampo α tarp hipotenuzės ir stačiojo trikampio kojos, lygi priešingos kojos ilgio santykiui | iki gretimos kojos ilgio | AB | ...

Kotangentas ( ctg α) yra trigonometrinė funkcija, priklausanti nuo kampo α tarp hipotenuzės ir stačiojo trikampio kojos, lygi gretimos kojos ilgio santykiui | iki priešingos kojos ilgio | BC | ...

Tangentas

Kur n- visas.

Vakarų literatūroje tangentas žymimas taip:
.
;
;
.

Liestinės funkcijos grafikas, y = tg x

Kotangentas

Kur n- visas.

Vakarų literatūroje kotangentas žymimas taip:
.
Taip pat priimami šie pavadinimai:
;
;
.

Kotangentinės funkcijos grafikas, y = ctg x

Tangentinės ir kotangentinės savybės

Periodiškumas

Funkcijos y = tg x ir y = ctg x periodinis su π periodu.

Paritetas

Tangentinės ir kotangentinės funkcijos yra nelyginės.

Domenai ir vertybės, didėja, mažėja

Tangentinės ir kotangentinės funkcijos yra ištisinės savo apibrėžimo srityje (žr. tęstinumo įrodymą). Pagrindinės liestinės ir kotangento savybės pateiktos lentelėje ( n- visas).

	y = tg x	y = ctg x
Apibrėžimo ir tęstinumo sritis
Vertybių diapazonas	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Kylantis		-
Mažėjantis	-
Kraštutinumai	-	-
Nuliai, y = 0
Sankirtos taškai su y ašimi, x = 0	y = 0	-

Formulės

Išraiškos sinuso ir kosinuso terminais

; ;
; ;
;

Sumos ir skirtumo liestinės ir kotangento formulės

Pavyzdžiui, likusias formules lengva gauti

Tangentų sandauga

Tangentų sumos ir skirtumo formulė

Šioje lentelėje parodytos kai kurių argumento verčių liestinių ir kotangentų reikšmės.

Išraiškos kompleksiniais skaičiais

Išraiškos pagal hiperbolines funkcijas

;
;

Dariniai

; .

.
N-osios eilės išvestinė funkcijos kintamojo x atžvilgiu:
.
Tangento formulių išvedimas>>>; kotangentui>>>

Integralai

Serijos išplėtimai

Norėdami gauti x laipsnių liestinės išplėtimą, turite paimti keletą funkcijų laipsnių eilutės plėtimosi terminų. nuodėmė x ir cos x ir padalinti šiuos daugianario vieni iš kitų,. Taip gaunamos tokios formulės.

Prie .

adresu .
kur B n- Bernulio skaičiai. Jie nustatomi iš pasikartojimo santykio:
;
;
kur .
Arba pagal Laplaso formulę:

Atvirkštinės funkcijos

Tangento ir kotangento atvirkštinės funkcijos yra atitinkamai lanko tangentas ir lanko kotangentas.

Arktangentas, arktg

, kur n- visas.

Arkotangentas, arcctg

, kur n- visas.

Nuorodos:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir technikos institucijų studentams, „Lan“, 2009 m.
G. Kornas, „Matematikos vadovas mokslininkams ir inžinieriams“, 2012 m.

- Trigonometrijoje tikrai bus užduočių. Trigonometrija dažnai nemėgstama dėl būtinybės sugrūsti daugybę sudėtingų formulių, kuriose knibžda sinusų, kosinusų, liestinių ir kotangentų. Svetainėje jau kažkada buvo patarta, kaip prisiminti pamirštą formulę, kaip pavyzdžius naudojant Eulerio ir Peel formules.

Ir šiame straipsnyje mes stengsimės parodyti, kad pakanka tvirtai žinoti tik penkias paprasčiausias trigonometrines formules, o apie likusias turėti bendrą idėją ir jas išvesti. Panašiai kaip su DNR: molekulė nesaugo baigtų gyvų būtybių brėžinių. Atvirkščiai, jame yra instrukcijos, kaip jį surinkti iš turimų aminorūgščių. Taigi trigonometrijoje, žinodami kai kuriuos bendruosius principus, visas reikalingas formules gausime iš nedidelio rinkinio tų, kurias būtina turėti omenyje.

Remsimės šiomis formulėmis:

Iš sumų sinuso ir kosinuso formulių, žinodami apie kosinuso funkcijos paritetą ir sinuso funkcijos nelygumą, vietoj b pakeitę -b, gauname skirtumų formules:

Skirtumo sinusas: nuodėmė(a–b) = nuodėmėacos(-b)+cosanuodėmė(-b) = nuodėmėacosb-cosanuodėmėb
Skirtumo kosinusas: cos(a–b) = cosacos(-b)-nuodėmėanuodėmė(-b) = cosacosb+nuodėmėanuodėmėb

Pateikdami a = b į tas pačias formules, gauname dvigubų kampų sinuso ir kosinuso formules:

Dvigubo kampo sinusas: nuodėmė2a = nuodėmė(a + a) = nuodėmėacosa+cosanuodėmėa = 2nuodėmėacosa
Dvigubas kampinis kosinusas: cos2a = cos(a + a) = cosacosa-nuodėmėanuodėmėa = cos2 a-nuodėmė2 a

Kitų kelių kampų formulės gaunamos panašiu būdu:

Trigubo kampo sinusas: nuodėmė3a = nuodėmė(2a + a) = nuodėmė2acosa+cos2anuodėmėa = (2nuodėmėacosa)cosa+(cos2 a-nuodėmė2 a)nuodėmėa = 2nuodėmėacos2 a+nuodėmėacos2 a-nuodėmė 3a = 3 nuodėmėacos2 a-nuodėmė 3a = 3 nuodėmėa(1-nuodėmė2 a)-nuodėmė 3a = 3 nuodėmėa-4nuodėmė 3 a
Trigubo kampo kosinusas: cos3a = cos(2a + a) = cos2acosa-nuodėmė2anuodėmėa = (cos2 a-nuodėmė2 a)cosa-(2nuodėmėacosa)nuodėmėa = cos 3 a- nuodėmė2 acosa-2nuodėmė2 acosa = cos 3 a-3 nuodėmė2 acosa = cos 3 a-3 (1- cos2 a)cosa = 4cos 3 a-3 cosa

Prieš tęsdami, pažvelkime į vieną problemą.
Duota: kampas aštrus.
Raskite jo kosinusą, jei
Vieno studento pateiktas sprendimas:
Nes , tada nuodėmėa= 3 ir cosa = 4.
(Iš matematinio humoro)

Taigi liestinės apibrėžimas susieja šią funkciją su sinusu ir kosinusu. Bet jūs galite gauti formulę, kuri pateikia liestinės ryšį tik su kosinusu. Norėdami jį gauti, imame pagrindinę trigonometrinę tapatybę: nuodėmė 2 a+cos 2 a= 1 ir padalinkite jį iš cos 2 a... Mes gauname:

Taigi šios problemos sprendimas bus toks:

(Kadangi kampas yra aštrus, ištraukiant šaknį imamas + ženklas)

Sumos tangento formulė yra dar viena, kurią sunku prisiminti. Parodykime taip:

Iš karto rodomas ir

Iš dvigubo kampo kosinuso formulės galite gauti sinuso ir kosinuso formules už pusę. Norėdami tai padaryti, kairėje dvigubo kampo kosinuso formulės pusėje:
cos2 a = cos 2 a-nuodėmė 2 a
pridedame vieną, o į dešinę - trigonometrinį vienetą, t.y. sinuso ir kosinuso kvadratų suma.
cos2a+1 = cos2 a-nuodėmė2 a+cos2 a+nuodėmė2 a
2cos 2 a = cos2 a+1
Išreikšdamas cosa skersai cos2 a ir atlikę kintamųjų keitimą, gauname:

Ženklas imamas priklausomai nuo kvadranto.

Panašiai, atėmę vieną iš kairės lygybės pusės, o iš dešinės - sinuso ir kosinuso kvadratų sumą, gauname:
cos2a-1 = cos2 a-nuodėmė2 a-cos2 a-nuodėmė2 a
2nuodėmė 2 a = 1-cos2 a

Ir galiausiai, norėdami transformuoti trigonometrinių funkcijų sumą į sandaugą, naudojame šią techniką. Tarkime, kad sinusų sumą reikia pavaizduoti kaip sandaugą nuodėmėa+nuodėmėb... Įveskime kintamuosius x ir y taip, kad a = x + y, b + x-y. Tada
nuodėmėa+nuodėmėb = nuodėmė(x + y) + nuodėmė(x-y) = nuodėmė x cos y + cos x nuodėmė y + nuodėmė x cos y- cos x nuodėmė y = 2 nuodėmė x cos y. Dabar išreikškime x ir y a ir b atžvilgiu.

Kadangi a = x + y, b = x-y, tada. Taigi

Galite nedelsiant atsiimti

Skirstymo formulė sinuso ir kosinuso sandaugai v suma: nuodėmėacosb = 0.5(nuodėmė(a + b)+nuodėmė(a–b))

Rekomenduojame pasipraktikuoti ir išvesti savo formules, skirtas konvertuoti į sinusų skirtumo sandaugą ir kosinusų sumą bei skirtumą, taip pat skaidyti į sinusų ir kosinusų sandaugų sumą. Atlikę šiuos pratimus, puikiai įvaldysite trigonometrinių formulių išvedimo įgūdžius ir nepasiklysite net sunkiausios kontrolės, olimpiados ar testavimo metu.

Aš neįtikinsiu jūsų nerašyti apgaulės lapų. Rašyk! Įskaitant ir apgaudinėjimo lapus apie trigonometriją. Vėliau planuoju paaiškinti, kam reikalingi cheat sheets ir kodėl cheat sheets yra naudingi. O čia – informacija, kaip ne mokytis, o prisiminti kai kurias trigonometrines formules. Taigi - trigonometrija be cheat sheet!Įsiminimui naudojame asociacijas.

1. Sudėjimo formulės:

kosinusai visada „eina poromis“: kosinusas-kosinusas, sinusas-sinusas. Ir dar vienas dalykas: kosinusai yra „neadekvatūs“. Jie yra „ne tokie“, todėl keičia ženklus: „-“ į „+“ ir atvirkščiai.

Sinusai - "mišinys": sinuso kosinusas, kosinuso sinusas.

2. Sumos ir skirtumo formulės:

kosinusai visada „eina poromis“. Pridėjus du kosinusus – „koloboks“, gauname porą kosinusų – „koloboks“. O atėmus kolobokų tikrai negausime. Gauname sinusų porą. Taip pat su minusu priekyje.

Sinusai - "mišinys" :

3. Formulės sandaugai paversti suma ir skirtumu.

Kada gauname kosinusų porą? Kai sumuojame kosinusus. Taigi

Kada gauname porą sinusų? Atimant kosinusus. Taigi:

„Sumaišymas“ gaunamas tiek sudedant, tiek atimant sinusus. Kas gražiau: pridėti ar atimti? Teisingai, sulenkite. O formulei jie prideda:

Pirmoje ir trečioje formulėse suma yra skliausteliuose. Suma nesikeičia keičiant terminų vietas. Tvarka yra esminė tik antrajai formulei. Tačiau, kad nesusipainiotumėte, kad būtų lengviau įsiminti, visose trijose formulėse pirmuosiuose skliaustuose imame skirtumą

ir antra, suma

Sukčiavimo lapai kišenėje suteikia ramybės: pamiršę formulę galite ją nurašyti. Ir jie suteikia pasitikėjimo: jei nepasiseka pasinaudoti cheat sheet, formulės gali būti lengvai įsimenamos.

Sinuso (), kosinuso (), liestinės (), kotangento () sąvokos yra neatsiejamai susijusios su kampo sąvoka. Norėdami gerai suprasti šias, iš pirmo žvilgsnio, sudėtingas sąvokas (kurios kelia siaubą daugeliui moksleivių) ir įsitikinti, kad „velnias nėra toks baisus, koks jis nupieštas“, pradėkime nuo pradžių ir supraskime, kampo samprata.

Kampo samprata: radianas, laipsnis

Pažiūrėkime į paveikslėlį. Vektorius „pasuko“ taško atžvilgiu tam tikru dydžiu. Taigi, šio sukimosi matas, palyginti su pradine padėtimi, bus injekcija.

Ką dar reikia žinoti apie kampo sąvoką? Na, žinoma, kampo vienetai!

Kampas tiek geometrijoje, tiek trigonometrijoje gali būti matuojamas laipsniais ir radianais.

Vadinamas kampas ties (vienu laipsniu). centrinis kampas apskritime, remiasi į apskritimo lanką, lygų apskritimo daliai. Taigi visas apskritimas susideda iš apskritimo lankų "gabalų" arba apskritimo aprašytas kampas yra lygus.

Tai yra, aukščiau esančiame paveikslėlyje parodytas kampas lygus, tai yra, šis kampas remiasi apskritimo lanku, kurio dydis yra perimetras.

Kampas radianais yra centrinis apskritimo kampas, kuris remiasi apskritimo lanku, kurio ilgis lygus apskritimo spinduliui. Na, sugalvojai? Jei ne, išsiaiškinkime tai piešdami.

Taigi paveiksle parodytas kampas, lygus radianui, tai yra, šis kampas remiasi apskritimo lanku, kurio ilgis lygus apskritimo spinduliui (ilgis lygus ilgiui arba spinduliui lygus ilgiui lankai). Taigi, lanko ilgis apskaičiuojamas pagal formulę:

Kur yra centrinis kampas radianais.

Na, ar galite tai žinodami atsakyti, kiek radianų yra apskritimu aprašytame kampe? Taip, tam reikia atsiminti apskritimo formulę. Štai ir ji:

Na, dabar susiekime šias dvi formules ir gaukime, kad apskritimu aprašytas kampas yra lygus. Tai yra, koreliuodami vertę laipsniais ir radianais, tai gauname. Atitinkamai,. Kaip matote, skirtingai nei "laipsniai", žodis "radianas" yra praleistas, nes vienetas paprastai yra aiškus iš konteksto.

Kiek ten radianų? Teisingai!

Supratau? Tada pataisykite pirmyn:

Turite sunkumų? Tada žiūrėk atsakymai:

Stačiakampis trikampis: sinusas, kosinusas, liestinė, kampo kotangentas

Taigi, mes išsiaiškinome kampo sąvoką. Bet kas vis dėlto yra kampo sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas? Išsiaiškinkime. Tam mums padės stačiakampis trikampis.

Kaip vadinamos stačiojo trikampio kraštinės? Teisingai, hipotenuzė ir kojos: hipotenuzė yra pusė, esanti priešais stačią kampą (mūsų pavyzdyje tai yra pusė); kojos yra dvi likusios pusės ir (tos, kurios yra greta stačiojo kampo), be to, jei svarstysime kojas kampo atžvilgiu, tada koja yra gretima, o koja yra priešinga. Taigi, dabar atsakykime į klausimą: kas yra kampo sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas?

Sinuso kampas yra priešingos (tolimos) kojos ir hipotenuzės santykis.

Mūsų trikampyje.

Kampo kosinusas yra gretimos (artimos) kojos ir hipotenuzės santykis.

Mūsų trikampyje.

Kampo liestinė yra priešingos (tolimos) kojos ir gretimos (artimos) kojos santykis.

Mūsų trikampyje.

Kampo kotangentas yra gretimos (artimos) kojos ir priešingos (tolimos) kojos santykis.

Mūsų trikampyje.

Šie apibrėžimai yra būtini Prisiminti! Kad būtų lengviau atsiminti, kurią koją į ką padalyti, turite tai aiškiai suvokti liestinė ir kotangensas sėdi tik kojos, o hipotenuzė atsiranda tik viduje sinusas ir kosinusas... Ir tada jūs galite sugalvoti asociacijų grandinę. Pavyzdžiui, šis:

Kosinusas → lietimas → lietimas → gretimas;

Kotangentas → lietimas → lietimas → gretimas.

Pirmiausia reikia atsiminti, kad sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas kaip trikampio kraštinių santykiai nepriklauso nuo šių kraštinių ilgių (vienu kampu). Netikiu? Tada pažiūrėję į paveikslėlį įsitikinkite:

Apsvarstykite, pavyzdžiui, kampo kosinusą. Pagal apibrėžimą iš trikampio:, bet kampo kosinusą galime apskaičiuoti iš trikampio:. Matote, kraštinių ilgiai skirtingi, bet vieno kampo kosinuso reikšmė vienoda. Taigi sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmės priklauso tik nuo kampo dydžio.

Jei supratote apibrėžimus, eikite į priekį ir pataisykite juos!

Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytą trikampį raskite.

Na, supratote? Tada pabandykite patys: suskaičiuokite tą patį kampui.

Vienetinis (trigonometrinis) apskritimas

Suprasdami laipsnių ir radianų sąvokas, laikėme apskritimą, kurio spindulys lygus. Toks ratas vadinamas viengungis... Tai labai praverčia mokantis trigonometrijos. Todėl pakalbėkime apie tai šiek tiek išsamiau.

Kaip matote, šis apskritimas yra pastatytas Dekarto koordinačių sistemoje. Apskritimo spindulys lygus vienetui, o apskritimo centras yra pradžioje, spindulio vektoriaus pradinė padėtis fiksuojama išilgai teigiamos ašies krypties (mūsų pavyzdyje tai yra spindulys).

Kiekvienas apskritimo taškas atitinka du skaičius: koordinatę išilgai ašies ir koordinatę išilgai ašies. O kas tie skaičiai-koordinatės? Ir apskritai, ką jie turi bendro su nagrinėjama tema? Norėdami tai padaryti, turite atsiminti apie svarstomą stačiakampį trikampį. Viršuje esančiame paveikslėlyje galite pamatyti du ištisus stačiakampius trikampius. Apsvarstykite trikampį. Jis yra stačiakampis, nes yra statmenas ašiai.

Kam lygus trikampis? Viskas gerai. Be to, mes žinome, kad - yra vieneto apskritimo spindulys, taigi,. Pakeiskite šią reikšmę mūsų kosinuso formule. Štai kas nutinka:

O kas lygu iš trikampio? Na žinoma, ! Pakeiskite spindulio reikšmę į šią formulę ir gaukite:

Taigi, ar galite pasakyti, kokios yra apskritimui priklausančio taško koordinatės? Na, niekaip? O jei tai supranti ir tėra skaičiai? Kokią koordinatę ji atitinka? Na, žinoma, koordinatė! O kokią koordinatę tai atitinka? Teisingai, derinkite! Taigi esmė.

O kas tada yra lygūs ir? Teisingai, naudokime atitinkamus liestinės ir kotangento apibrėžimus ir gaukime, kad a.

O jei kampas didesnis? Pavyzdžiui, kaip šiame paveikslėlyje:

Kas pasikeitė šiame pavyzdyje? Išsiaiškinkime. Norėdami tai padaryti, vėl pasukite į stačiakampį trikampį. Apsvarstykite stačiakampį trikampį: kampą (kaip greta kampo). Kokia yra kampo sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento reikšmė? Taip, mes laikomės atitinkamų trigonometrinių funkcijų apibrėžimų:

Na, kaip matote, kampo sinuso reikšmė vis tiek atitinka koordinatę; kampo kosinuso reikšmė – koordinatė; ir atitinkamų santykių liestinės ir kotangento reikšmės. Taigi šie ryšiai taikomi bet kokiems spindulio vektoriaus sukimams.

Jau buvo minėta, kad pradinė spindulio vektoriaus padėtis yra išilgai teigiamos ašies krypties. Iki šiol mes sukome šį vektorių prieš laikrodžio rodyklę, o jei suktume pagal laikrodžio rodyklę? Nieko nepaprasto, tam tikro dydžio kampas taip pat pasirodys, bet tik jis bus neigiamas. Taigi, kai pasukate spindulio vektorių prieš laikrodžio rodyklę, gausite teigiami kampai, o sukant pagal laikrodžio rodyklę - neigiamas.

Taigi, mes žinome, kad visas spindulio vektoriaus apsisukimas apskritime yra arba. Ar galima pasukti spindulio vektorių ar per? Žinoma, jūs galite! Taigi pirmuoju atveju spindulio vektorius padarys vieną pilną apsisukimą ir sustos padėtyje arba.

Antruoju atveju, tai yra, spindulio vektorius padarys tris pilnus apsisukimus ir sustos padėtyje arba.

Taigi iš aukščiau pateiktų pavyzdžių galime daryti išvadą, kad kampai, besiskiriantys arba (kur yra bet koks sveikas skaičius), atitinka tą pačią spindulio vektoriaus padėtį.

Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytas kampas. Tas pats vaizdas atitinka kampą ir pan. Sąrašas tęsiasi ir tęsiasi. Visi šie kampai gali būti parašyti pagal bendrą formulę arba (kur yra bet koks sveikasis skaičius)

Dabar, žinodami pagrindinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimus ir naudodamiesi vieneto apskritimu, pabandykite atsakyti, kam lygios reikšmės:

Čia yra vieneto ratas, kuris jums padės:

Turite sunkumų? Tada išsiaiškinkime. Taigi, mes žinome, kad:

Iš čia mes nustatome taškų koordinates, atitinkančias tam tikrus kampo matmenis. Na, pradėkime iš eilės: kampas atitinka tašką su koordinatėmis, todėl:

Neegzistuoja;

Be to, laikydamiesi tos pačios logikos, išsiaiškiname, kad kampai atitinka atitinkamai taškus su koordinatėmis. Tai žinant, nesunku nustatyti trigonometrinių funkcijų reikšmes atitinkamuose taškuose. Pirmiausia išbandykite patys, tada patikrinkite atsakymus.

Atsakymai:

Neegzistuoja

Taigi galime sudaryti tokią lentelę:

Nebūtina prisiminti visų šių reikšmių. Pakanka prisiminti vienetinio apskritimo taškų koordinačių ir trigonometrinių funkcijų reikšmių atitikimą:

Bet kampų trigonometrinių funkcijų reikšmės ir, pateiktos toliau esančioje lentelėje, reikia prisiminti:

Nebijokite, dabar parodysime vieną iš pavyzdžių. gana paprastas atitinkamų reikšmių įsiminimas:

Norint naudoti šį metodą, labai svarbu atsiminti visų trijų kampo matmenų sinuso reikšmes (), taip pat kampo liestinės reikšmę. Žinant šias reikšmes, gana lengva atkurti visą lentelę kaip visumą - kosinuso reikšmės perkeliamos pagal rodykles, tai yra:

Žinodami tai, galite atkurti reikšmes. Skaitiklis "" sutaps, o vardiklis "" atitiks. Kotangento reikšmės perkeliamos pagal paveikslėlyje pateiktas rodykles. Jei tai suprasite ir atsiminsite diagramą su rodyklėmis, pakaks prisiminti visas lentelės reikšmes.

Taško koordinatės apskritime

Ar įmanoma apskritime rasti tašką (jo koordinates), žinant apskritimo centro koordinates, jo spindulį ir sukimosi kampą?

Na, žinoma, galite! Atnešam bendroji taško koordinačių radimo formulė.

Pavyzdžiui, turime tokį ratą:

Mums duota, kad taškas yra apskritimo centras. Apskritimo spindulys yra. Reikia rasti taško, gauto sukant tašką laipsniais, koordinates.

Kaip matote iš paveikslo, atkarpos ilgis atitinka taško koordinatę. Atkarpos ilgis atitinka apskritimo centro koordinatę, tai yra, lygus. Atkarpos ilgį galima išreikšti naudojant kosinuso apibrėžimą:

Tada turime taško koordinatę.

Naudodami tą pačią logiką randame taško y koordinatės reikšmę. Šiuo būdu,

Taigi į bendras vaizdas taškų koordinatės nustatomos pagal formules:

Apskritimo centro koordinatės,

Apskritimo spindulys,

Vektoriaus spindulio sukimosi kampas.

Kaip matote, mūsų svarstomo vieneto apskritimo formulės yra žymiai sumažintos, nes centro koordinatės yra lygios nuliui, o spindulys yra lygus vienetui:

Na, ar paragausime šių formulių, praktikuodami ieškodami taškų apskritime?

1. Raskite vienetinio apskritimo taško koordinates, gautas tašką pasukus.

2. Raskite vienetinio apskritimo taško koordinates, gautas tašką pasukus.

3. Raskite vienetinio apskritimo taško koordinates, gautas tašką pasukus.

4. Taškas yra apskritimo centras. Apskritimo spindulys yra. Reikia rasti taško koordinates, gautą pasukus pradinį spindulio vektorių.

5. Taškas yra apskritimo centras. Apskritimo spindulys yra. Reikia rasti taško koordinates, gautą pasukus pradinį spindulio vektorių.

Sunku rasti apskritimo taško koordinates?

Išspręskite šiuos penkis pavyzdžius (arba gerai supraskite sprendimą) ir sužinosite, kaip juos rasti!

Jūs galite tai pamatyti. Bet mes žinome, kas atitinka visišką pradinio taško revoliuciją. Taigi norimas taškas bus toje pačioje padėtyje kaip ir sukant. Tai žinodami, rasime reikiamas taško koordinates:

2. Apskritimas yra vienetas, kurio centras yra taške, o tai reiškia, kad galime naudoti supaprastintas formules:

Jūs galite tai pamatyti. Mes žinome, kas atitinka du pilnus pradinio taško apsisukimus. Taigi norimas taškas bus toje pačioje padėtyje kaip ir sukant. Tai žinodami, rasime reikiamas taško koordinates:

Sinusas ir kosinusas yra lentelės reikšmės. Mes prisimename jų reikšmes ir gauname:

Taigi reikalingas taškas turi koordinates.

3. Apskritimas yra vienetas, kurio centras yra taške, o tai reiškia, kad galime naudoti supaprastintas formules:

Jūs galite tai pamatyti. Pavaizduokime nagrinėjamą pavyzdį paveikslėlyje:

Spindulys sudaro kampus, kurių ašis lygi ir. Žinodami, kad kosinuso ir sinuso lentelės reikšmės yra lygios, ir nustačius, kad kosinusas čia turi neigiamą reikšmę, o sinusas yra teigiamas, turime:

Panašūs pavyzdžiai išsamiau analizuojami tiriant trigonometrinių funkcijų liejimo formules temoje.

Taigi reikalingas taškas turi koordinates.

Vektoriaus spindulio sukimosi kampas (pagal sąlygą)

Norėdami nustatyti atitinkamus sinuso ir kosinuso ženklus, sudarome vienetinį apskritimą ir kampą:

Kaip matote, vertė, tai yra teigiama, ir vertė, tai yra, neigiama. Žinodami atitinkamų trigonometrinių funkcijų lentelių reikšmes, gauname, kad:

Pakeiskite gautas reikšmes į mūsų formulę ir suraskite koordinates:

Taigi reikalingas taškas turi koordinates.

5. Norėdami išspręsti šią problemą, naudosime formules bendra forma, kur

Apskritimo centro koordinatės (mūsų pavyzdyje

Apskritimo spindulys (pagal sąlygą,)

Vektoriaus spindulio sukimosi kampas (pagal sąlygą,).

Pakeiskite visas formulės reikšmes ir gaukite:

ir - lentelės reikšmės. Mes juos prisimename ir pakeičiame formule:

Taigi reikalingas taškas turi koordinates.

SANTRAUKA IR PAGRINDINĖS FORMULĖS

Kampo sinusas yra priešingos (tolimosios) kojos ir hipotenuzės santykis.

Kampo kosinusas yra gretimos (artimos) kojos ir hipotenuzės santykis.

Kampo liestinė yra priešingos (tolimosios) kojos ir gretimos (artimos) kojos santykis.

Kampo kotangentas yra gretimos (artimos) kojos ir priešingos (tolimosios) kojos santykis.

Šiame straipsnyje mes išsamiai apžvelgsime. Pagrindinės trigonometrinės tapatybės yra lygybės, kurios nustato ryšį tarp vieno kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento ir leidžia rasti bet kurią iš šių trigonometrinių funkcijų per žinomą kitą.

Iškart išvardinkime pagrindines trigonometrines tapatybes, kurias išanalizuosime šiame straipsnyje. Surašykime jas į lentelę, o žemiau pateiksime šių formulių išvedimą ir pateiksime reikiamus paaiškinimus.

Puslapio naršymas.

Ryšys tarp vieno kampo sinuso ir kosinuso

Kartais jie kalba ne apie pagrindines trigonometrines tapatybes, išvardytas aukščiau esančioje lentelėje, o apie vieną vienintelį pagrindinė trigonometrinė tapatybė tokio pobūdžio ... Šio fakto paaiškinimas yra gana paprastas: lygybės gaunamos iš pagrindinės trigonometrinės tapatybės, padalijus abi jos dalis atitinkamai iš ir lygybės. ir išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų. Apie tai plačiau pakalbėsime kitose pastraipose.

Tai yra, ypač domina lygybė, kuriai buvo suteiktas pagrindinės trigonometrinės tapatybės pavadinimas.

Prieš įrodydami pagrindinį trigonometrinį tapatumą, pateikime jo formuluotę: vieno kampo sinuso ir kosinuso kvadratų suma yra identiškai lygi vienetui. Dabar įrodykime.

Bazinė trigonometrinė tapatybė labai dažnai naudojama, kai trigonometrinių išraiškų konvertavimas... Tai leidžia vieno kampo sinuso ir kosinuso kvadratų sumą pakeisti vienu. Ne rečiau pagrindinė trigonometrinė tapatybė naudojama ir atvirkštine tvarka: vienetas pakeičiamas kampo sinuso ir kosinuso kvadratų suma.

Tangentas ir kotangentas sinuso ir kosinuso atžvilgiu

Tapatybės, jungiančios liestinę ir kotangentą su vieno formos ir formos kampo sinusu ir kosinusu iš karto išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų. Iš tiesų, pagal apibrėžimą sinusas yra ordinatė y, kosinusas yra x abscisė, liestinė yra ordinatės ir abscisės santykis, tai yra, , o kotangentas yra abscisių ir ordinačių santykis, ty .

Dėl šio tapatybių akivaizdumo ir dažnai liestinės ir kotangento apibrėžimai pateikiami ne per abscisės ir ordinatės santykį, o per sinuso ir kosinuso santykį. Taigi kampo liestinė yra sinuso ir šio kampo kosinuso santykis, o kotangentas yra kosinuso ir sinuso santykis.

Baigiant šią pastraipą, reikia pažymėti, kad tapatybės ir laikytis visų tokių kampų, kuriems į juos įtrauktos trigonometrinės funkcijos yra prasmingos. Taigi formulė galioja bet kuriai kitai nei (kitaip vardiklyje bus nulis, o dalybos iš nulio neapibrėžėme), o formulė – visiems, išskyrus, kur z yra bet koks.

Ryšys tarp liestinės ir kotangento

Dar akivaizdesnė trigonometrinė tapatybė nei dvi ankstesnės yra tapatybė, jungianti vieno formos kampo liestinę ir kotangentą ... Akivaizdu, kad tai vyksta bet kuriems kitiems kampams, išskyrus, kitaip nei liestinė, nei kotangentas nėra apibrėžti.

Formulės įrodymas labai paprasta. Pagal apibrėžimą ir iš kur ... Įrodinėjimas galėjo būti atliktas kiek kitaip. Nuo ir , tada .

Taigi, to paties kampo, kuriuo jie turi prasmę, liestinė ir kotangentas yra.

Ankstesnis straipsnis: Ką virti iš sedula: uogienę, kompotą, želė, uogienę, likerį Kitas straipsnis: Greitas kepalo pyragas: receptai su sūriu ir saldžiu įdaru