Vettore di induzione del campo elettrico. Flusso dei vettori e e d. Flusso del vettore di induzione elettrica Teorema di Gauss per il vettore di induzione del campo elettrico

La legge di interazione delle cariche elettriche - la legge di Coulomb - può essere formulata diversamente, nella forma del cosiddetto teorema di Gauss. Il teorema di Gauss si ottiene come conseguenza della legge di Coulomb e del principio di sovrapposizione. La dimostrazione si basa sulla proporzionalità inversa della forza di interazione di due cariche puntiformi al quadrato della loro distanza. Pertanto, il teorema di Gauss è applicabile a qualsiasi campo fisico in cui operano la legge dell'inverso del quadrato e il principio di sovrapposizione, ad esempio al campo gravitazionale.

Riso. 9. Linee di intensità del campo elettrico di una carica puntiforme che attraversano una superficie chiusa X

Per formulare il teorema di Gauss, torniamo al quadro delle linee di forza del campo elettrico di una carica puntiforme immobile. Le linee di forza di una carica puntiforme solitaria sono rette radiali disposte simmetricamente (Fig. 7). È possibile disegnare un numero qualsiasi di tali linee. Indichiamo il loro numero totale attraverso Quindi la densità delle linee di campo a distanza dalla carica, cioè il numero di linee che attraversano la superficie unitaria di una sfera di raggio è uguale a Confrontando questo rapporto con l'espressione per l'intensità di campo di un carica puntiforme (4), vediamo che la densità delle linee è proporzionale all'intensità del campo. Possiamo rendere queste quantità numericamente uguali scegliendo opportunamente il numero totale N di righe di campo:

Pertanto, la superficie di una sfera di qualsiasi raggio che racchiude una carica puntiforme interseca lo stesso numero di linee di forza. Ciò significa che le linee di forza sono continue: nello spazio tra due sfere concentriche qualsiasi di raggio diverso, nessuna delle linee si interrompe e non ne vengono aggiunte di nuove. Poiché le linee di forza sono continue, altrettante linee di forza intersecano qualsiasi superficie chiusa (Fig. 9) che racchiude la carica

Le linee di forza hanno una direzione. Nel caso di carica positiva, escono dalla superficie chiusa che circonda la carica, come mostrato in Fig. 9. In caso di carica negativa, entrano all'interno della superficie. Se il numero di righe in uscita è considerato positivo e il numero di righe in entrata è negativo, nella formula (8) si può omettere il segno del modulo della carica e scriverlo nella forma

Il flusso di tensione. Introduciamo ora il concetto di flusso del vettore di intensità di campo attraverso la superficie. Un campo arbitrario può essere suddiviso mentalmente in piccole regioni in cui l'intensità varia in grandezza e direzione così poco che all'interno di questa regione il campo può essere considerato uniforme. In ciascuna di queste regioni, le linee di forza sono rette parallele e hanno una densità costante.

Riso. 10. Per determinare il flusso del vettore di intensità di campo attraverso l'area

Si consideri quante linee di forza permeano una piccola area, la direzione della normale alla quale forma un angolo a con la direzione delle linee di tensione (Fig. 10). Sia una proiezione su un piano perpendicolare alle linee di forza. Poiché il numero di linee che si intersecano è lo stesso e la densità delle linee, secondo la condizione accettata, è uguale al modulo dell'intensità di campo E, allora

Il valore a è la proiezione del vettore E sulla direzione della normale al sito

Pertanto, il numero di linee di forza che attraversano l'area è

Il prodotto è chiamato flusso dell'intensità di campo attraverso la superficie La formula (10) mostra che il flusso del vettore E attraverso la superficie è uguale al numero linee di forza che attraversano questa superficie. Si noti che il flusso del vettore di intensità, così come il numero di linee di forza che passano attraverso la superficie, è uno scalare.

Riso. 11. Il flusso del vettore di intensità E attraverso il sito

La dipendenza del flusso dall'orientamento del sito rispetto alle linee di campo è illustrata in Fig.

Il flusso dell'intensità del campo attraverso una superficie arbitraria è la somma dei flussi attraverso le aree elementari in cui questa superficie può essere suddivisa. In virtù delle relazioni (9) e (10), si può sostenere che il flusso dell'intensità di campo di una carica puntiforme attraverso una qualsiasi superficie chiusa 2 che racchiude la carica (vedi Fig. 9), come il numero di linee di forza emergenti da questa superficie, è uguale a In questo caso, il vettore normale alla superficie chiusa delle aree elementari deve essere diretto verso l'esterno. Se la carica all'interno della superficie è negativa, le linee di forza entrano all'interno di questa superficie e anche il flusso del vettore di intensità di campo associato alla carica è negativo.

Se ci sono più cariche all'interno di una superficie chiusa, allora, secondo il principio di sovrapposizione, verranno aggiunti i flussi delle loro intensità di campo. Il flusso totale sarà uguale a dove per dovrebbe essere intesa la somma algebrica di tutte le cariche situate all'interno della superficie.

Se non ci sono cariche elettriche all'interno di una superficie chiusa o la loro somma algebrica è zero, allora il flusso totale dell'intensità del campo attraverso questa superficie è zero: quante linee di forza entrano nel volume delimitato dalla superficie, lo stesso numero esce.

Ora possiamo finalmente formulare il teorema di Gauss: il flusso del vettore di intensità del campo elettrico E nel vuoto attraverso una qualsiasi superficie chiusa è proporzionale alla carica totale all'interno di questa superficie. Matematicamente, il teorema di Gauss è espresso dalla stessa formula (9), dove per si intende la somma algebrica delle cariche. In assoluta elettrostatica

sistema di unità CGSE, il coefficiente e il teorema di Gauss sono scritti nella forma

In SI e il flusso di intensità attraverso una superficie chiusa è espresso dalla formula

Il teorema di Gauss è ampiamente utilizzato in elettrostatica. In alcuni casi, con il suo aiuto, i campi creati da cariche posizionate simmetricamente sono facilmente calcolabili.

Campi di sorgenti simmetriche. Applichiamo il teorema di Gauss per calcolare l'intensità del campo elettrico di una sfera di raggio uniformemente caricata sulla superficie. Per certezza, assumiamo che la sua carica sia positiva. La distribuzione delle cariche che creano il campo ha simmetria sferica. Pertanto, il campo ha la stessa simmetria. Le linee di forza di un tale campo sono dirette lungo i raggi e il modulo di tensione è lo stesso in tutti i punti equidistanti dal centro della palla.

Per trovare l'intensità del campo a una distanza dal centro della palla, disegniamo una superficie sferica di raggio mentalmente concentrica alla palla. Poiché in tutti i punti di questa sfera l'intensità del campo è diretta perpendicolarmente alla sua superficie ed è la stessa in valore assoluto, il flusso di forza è semplicemente uguale al prodotto dell'intensità del campo e della superficie della sfera:

Ma questa quantità può anche essere espressa usando il teorema di Gauss. Se siamo interessati al campo fuori palla, cioè per allora, ad esempio, in SI e, confrontando con (13), troviamo

Nel sistema delle unità CGSE, ovviamente,

Pertanto, al di fuori della palla, l'intensità del campo è la stessa di quella del campo di una carica puntiforme posta al centro della palla. Se, invece, ci interessa il campo dentro la palla, cioè quello, poiché l'intera carica distribuita sulla superficie della palla è fuori dalla sfera che abbiamo disegnato mentalmente. Pertanto, non c'è campo all'interno della palla:

Allo stesso modo, usando il teorema di Gauss, si può calcolare il campo elettrostatico creato da una carica infinita

piano con densità costante in tutti i punti del piano. Per ragioni di simmetria, possiamo supporre che le linee di forza siano perpendicolari al piano, dirette da esso in entrambe le direzioni e abbiano ovunque la stessa densità. In effetti, se la densità delle linee di campo in punti diversi fosse diversa, lo spostamento del piano carico lungo se stesso porterebbe a un cambiamento nel campo in questi punti, che contraddice la simmetria del sistema - tale spostamento non dovrebbe cambiare il campo. In altre parole, il campo di un piano infinito di carica uniforme è uniforme.

Come superficie chiusa per applicare il teorema di Gauss, scegliamo la superficie di un cilindro costruito come segue: la generatrice del cilindro è parallela alle linee di forza e le basi hanno aree parallele al piano carico e giacciono sui lati opposti di esso (fig. 12). Il flusso dell'intensità di campo attraverso la superficie laterale è zero, quindi il flusso totale attraverso la superficie chiusa è uguale alla somma dei flussi attraverso le basi del cilindro:

Riso. 12. Al calcolo dell'intensità di campo di un aereo uniformemente caricato

Secondo il teorema di Gauss, lo stesso flusso è determinato dalla carica di quella parte del piano che giace all'interno del cilindro, e in SI è uguale Confrontando queste espressioni per il flusso, troviamo

Nel sistema CGSE, l'intensità di campo di un piano infinito uniformemente caricato è data dalla formula

Per una lastra di dimensione finita uniformemente carica, le espressioni ottenute sono approssimativamente valide in una regione sufficientemente lontana dai bordi della lastra e non troppo dalla sua superficie. Vicino ai bordi della piastra, il campo non sarà più uniforme e le sue linee di forza saranno piegate. A distanze molto grandi rispetto alle dimensioni della piastra, il campo diminuisce con la distanza allo stesso modo del campo di una carica puntiforme.

Come altri esempi di campi creati da sorgenti distribuite simmetricamente, si possono citare il campo di un filamento rettilineo infinito uniformemente caricato lungo la lunghezza, il campo di un cilindro circolare infinito uniformemente caricato, il campo di una palla,

in volume uniformemente caricato, ecc. Il teorema di Gauss rende facile calcolare l'intensità del campo in tutti questi casi.

Il teorema di Gauss fornisce una connessione tra il campo e le sue sorgenti, in un certo senso l'opposto di quello dato dalla legge di Coulomb, che permette di determinare il campo elettrico da date cariche. Utilizzando il teorema di Gauss, si può determinare la carica totale in qualsiasi regione dello spazio in cui è nota la distribuzione del campo elettrico.

Qual è la differenza tra i concetti di azione a lungo raggio e a corto raggio nel descrivere l'interazione delle cariche elettriche? In che misura questi concetti possono essere applicati all'interazione gravitazionale?

Che cos'è l'intensità del campo elettrico? Cosa significano quando è chiamata la forza caratteristica del campo elettrico?

Come si può giudicare la direzione e il modulo dell'intensità del campo in un determinato punto dal modello delle linee del campo?

Le linee del campo elettrico possono intersecarsi? Giustifica la tua risposta.

Disegna un'immagine qualitativa delle linee di campo elettrostatico di due cariche tale che .

Il flusso dell'intensità del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è espresso da diverse formule (11) e (12) nei sistemi di unità di GSE e in SI. Come collegarlo con senso geometrico flusso determinato dal numero di linee di forza che attraversano la superficie?

Come utilizzare il teorema di Gauss per trovare l'intensità di un campo elettrico con una distribuzione simmetrica delle cariche che lo creano?

Come applicare le formule (14) e (15) per calcolare l'intensità del campo di una palla con carica negativa?

Teorema di Gauss e geometria dello spazio fisico. Diamo un'occhiata alla dimostrazione del teorema di Gauss da un punto di vista leggermente diverso. Torniamo alla formula (7), da cui si è concluso che lo stesso numero di linee di forza passa attraverso qualsiasi superficie sferica che circonda la carica. Questa conclusione è dovuta al fatto che vi è una riduzione dei denominatori di entrambe le parti dell'uguaglianza.

Sul lato destro, è sorto per il fatto che la forza di interazione delle cariche, descritta dalla legge di Coulomb, è inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra le cariche. Sul lato sinistro, l'aspetto è legato alla geometria: l'area della superficie di una sfera è proporzionale al quadrato del suo raggio.

La proporzionalità della superficie al quadrato delle dimensioni lineari è un segno distintivo della geometria euclidea nello spazio tridimensionale. Infatti, la proporzionalità delle aree proprio ai quadrati di dimensioni lineari, e non a nessun altro grado intero, è caratteristica dello spazio

tre dimensioni. Il fatto che questo esponente sia esattamente due, e non differisca da due, anche se è trascurabile piccola quantità, testimonia la non curvatura di questo spazio tridimensionale, cioè che la sua geometria è appunto euclidea.

Pertanto, il teorema di Gauss è una manifestazione delle proprietà dello spazio fisico nella legge fondamentale dell'interazione delle cariche elettriche.

L'idea di una stretta connessione tra le leggi fondamentali della fisica e le proprietà dello spazio è stata espressa da molti menti eccezionali molto prima che queste leggi fossero stabilite. Così, I. Kant, tre decenni prima della scoperta della legge di Coulomb, scriveva sulle proprietà dello spazio: "La tridimensionalità si verifica, a quanto pare, perché le sostanze nel mondo esistente agiscono l'una sull'altra in modo tale che la forza d'azione è inversamente proporzionale al quadrato della distanza."

La legge di Coulomb e il teorema di Gauss rappresentano in realtà la stessa legge di natura, espressa in varie forme. La legge di Coulomb riflette il concetto di azione a lungo raggio, mentre il teorema di Gauss procede dall'idea di un campo di forza che riempie lo spazio, cioè dal concetto di azione a corto raggio. In elettrostatica, la sorgente di un campo di forza è una carica e la caratteristica del campo associato alla sorgente - il flusso di intensità - non può cambiare nello spazio vuoto, dove non ci sono altre cariche. Poiché il flusso può essere visualizzato come un insieme di linee di campo di forza, l'invarianza del flusso si manifesta nella continuità di queste linee.

Il teorema di Gauss, basato sulla proporzionalità inversa dell'interazione al quadrato della distanza e sul principio di sovrapposizione (additività dell'interazione), è applicabile a qualsiasi campo fisico in cui opera la legge dell'inverso del quadrato. In particolare vale anche per il campo gravitazionale. È chiaro che questa non è solo una coincidenza, ma un riflesso del fatto che le interazioni sia elettriche che gravitazionali si svolgono nello spazio fisico euclideo tridimensionale.

Su quale caratteristica della legge di interazione delle cariche elettriche si basa il teorema di Gauss?

Dimostrare, sulla base del teorema di Gauss, che l'intensità del campo elettrico di una carica puntiforme è inversamente proporzionale al quadrato della distanza. Quali proprietà della simmetria spaziale sono usate in questa dimostrazione?

Come si riflette la geometria dello spazio fisico nella legge di Coulomb e nel teorema di Gauss? Quale caratteristica di queste leggi testimonia la natura euclidea della geometria e della tridimensionalità dello spazio fisico?

Introduciamo il concetto di flusso del vettore di induzione elettrica. Considera un'area infinitamente piccola. Nella maggior parte dei casi, è necessario conoscere non solo le dimensioni del sito, ma anche il suo orientamento nello spazio. Introduciamo il concetto di area vettoriale. Accettiamo di intendere il vettore area come un vettore diretto perpendicolare all'area e numericamente uguale alla dimensione dell'area.

Figura 1 - Alla definizione del vettore - il sito

Chiamiamo il flusso vettoriale attraverso il sito
prodotto scalare dei vettori e
. Così,

Flusso vettoriale attraverso una superficie arbitraria si trova integrando tutti i flussi elementari

(4)

Se il campo è uniforme e la superficie è piana posto perpendicolare al campo, quindi:

. (5)

L'espressione sopra determina il numero di linee di campo che penetrano nel sito per unità di tempo.

Teorema di Ostrogradsky-Gauss. Divergenza dell'intensità del campo elettrico

Flusso del vettore di induzione elettrica attraverso una superficie chiusa arbitraria è uguale alla somma algebrica delle cariche elettriche libere ricoperta da questa superficie

(6)

L'espressione (6) è il teorema O-G in forma integrale. Il teorema 0-G opera con un effetto integrale (totale), cioè Se
quindi non è noto se ciò significhi l'assenza di cariche in tutti i punti della parte di spazio studiata, o se la somma delle cariche positive e negative poste in punti diversi di questo spazio sia uguale a zero.

Per trovare le cariche localizzate e la loro grandezza in un dato campo, è necessario avere una relazione che colleghi il vettore di induzione elettrica in un dato punto con una carica nello stesso punto.

Supponiamo di dover determinare la presenza di una carica in un punto un(fig.2)

Figura 2 - Al calcolo della divergenza del vettore

Applichiamo il teorema O-G. Il flusso del vettore di induzione elettrica attraverso una superficie arbitraria che limita il volume in cui si trova il punto un, è uguale a

La somma algebrica delle cariche in un volume può essere scritta come integrale di volume

(7)

dove - addebito per unità di volume ;

- elemento volumetrico.

Per ottenere una connessione tra il campo e la carica in un punto un diminuiremo il volume contraendo la superficie in un punto un. In questo caso, dividiamo entrambe le parti della nostra uguaglianza per il valore . Passando al limite, otteniamo:

.

Il lato destro dell'espressione risultante è, per definizione, la densità di carica volumetrica nel punto considerato nello spazio. Il lato sinistro rappresenta il limite del rapporto tra il flusso del vettore di induzione elettrica attraverso una superficie chiusa e il volume delimitato da questa superficie quando il volume tende a zero. Questa quantità scalare è una caratteristica importante del campo elettrico ed è chiamata divergenza vettoriale .

Così:

,

quindi

, (8)

dove è la densità di carica apparente.

Con l'aiuto di questa relazione, il problema inverso dell'elettrostatica viene semplicemente risolto, cioè trovare cariche distribuite in un campo noto.

Se il vettore è dato, quindi le sue proiezioni sono note
,
,
sugli assi delle coordinate in funzione delle coordinate, e per calcolare la densità distribuita delle cariche che hanno creato un dato campo, risulta sufficiente trovare la somma di tre derivate parziali di queste proiezioni rispetto alle corrispondenti variabili. In quei punti per cui
non ci sono spese. Nei punti in cui
positivo, c'è una carica positiva con una densità apparente uguale a
, e in quei punti in cui
avrà un valore negativo, si trova una carica negativa, la cui densità è determinata anche dal valore di divergenza.

L'espressione (8) rappresenta il Teorema 0-G in forma differenziale. In questa forma, il teorema mostra che le sorgenti del campo elettrico sono cariche elettriche libere; le linee di forza del vettore di induzione elettrica iniziano e finiscono, rispettivamente, su cariche positive e negative.

Il principale compito applicato dell'elettrostatica è il calcolo dei campi elettrici creati in vari dispositivi e dispositivi. In generale, questo problema viene risolto utilizzando la legge di Coulomb e il principio di sovrapposizione. Tuttavia, questo problema diventa molto complicato quando si considera un gran numero di cariche puntiformi o distribuite nello spazio. Difficoltà ancora maggiori sorgono in presenza di dielettrici o conduttori nello spazio, quando sotto l'azione di un campo esterno E 0 si ha una ridistribuzione di cariche microscopiche che creano un proprio campo aggiuntivo E. Pertanto, per la soluzione pratica di questi problemi, ausiliari vengono utilizzati metodi e tecniche che utilizzano un apparato matematico complesso. Considereremo il metodo più semplice basato sull'applicazione del teorema di Ostrogradsky-Gauss. Per formulare questo teorema, introduciamo alcuni nuovi concetti:

A) densità di carica

Se il corpo caricato è grande, è necessario conoscere la distribuzione delle cariche all'interno del corpo.

Densità di carica apparente- è misurato dalla carica per unità di volume:

Densità di carica superficiale- è misurata dalla carica di un'unità di superficie del corpo (quando la carica è distribuita sulla superficie):

Densità di carica lineare(distribuzione della carica lungo il conduttore):

b) vettore di induzione elettrostatica

Induzione elettrostatica vettoriale (vettore di spostamento elettrico) è una grandezza vettoriale che caratterizza il campo elettrico.

Vettore è uguale al prodotto del vettore sulla permittività assoluta del mezzo in un dato punto:

Controlliamo la dimensione D nel sistema di unità SI:

, perché
,

quindi le dimensioni D ed E non coincidono e anche i loro valori numerici sono diversi.

Dalla definizione ne segue quello per il campo vettoriale vale lo stesso principio di sovrapposizione del campo :

Campo è rappresentato graficamente da linee di induzione, proprio come il campo . Le linee di induzione sono disegnate in modo che la tangente in ogni punto coincida con la direzione e il numero di righe è uguale al valore numerico di D nella posizione data.

Per capire il significato dell'introduzione diamo un'occhiata a un esempio.

in) flusso vettoriale di induzione elettrostatica

Considera una superficie S in un campo elettrico e scegli la direzione della normale

1. Se il campo è uniforme, il numero di linee di forza attraverso la superficie S:

2. Se il campo non è uniforme, la superficie viene suddivisa in elementi infinitesimi dS, che sono considerati piatti e il campo vicino ad essi è omogeneo. Pertanto, il flusso attraverso l'elemento di superficie è: dN = D n dS,

mentre il flusso totale attraverso qualsiasi superficie è:

(6)

Il flusso di induzione N è un valore scalare; a seconda di  può essere > 0 o< 0, или = 0.