Il significato geometrico dell'equazione derivata. Significato geometrico e fisico. tangente parabola

Derivato(funziona in un punto) - concetto di base Calcolo differenziale caratterizzando il tasso di variazione della funzione (in un dato punto). Definito come limite il rapporto tra l'incremento della funzione e il suo incremento discussione quando si tende ad incrementare l'argomento a zero se tale limite esiste. Una funzione che ha una derivata finita (in un certo punto) è detta differenziabile (in un dato punto).

Il processo di calcolo della derivata è chiamato differenziazione... Processo inverso - trovare antiderivato - integrazione.

Se una funzione è data da un grafico, la sua derivata in ogni punto è uguale alla tangente dell'angolo di inclinazione della tangente al grafico della funzione. E se la funzione è data da una formula, la tabella delle derivate e le regole di differenziazione, cioè le regole per trovare la derivata, ti aiuteranno.

4. Derivata di una funzione complessa e inversa.

Ora lascia che sia impostato funzione complessa , cioè. una variabile è una funzione di una variabile e una variabile è, a sua volta, una funzione di una variabile indipendente.

Teorema . Se e  differenziabile funzioni dei suoi argomenti, quindi una funzione complessa è una funzione differenziabile e la sua derivata è uguale al prodotto della derivata della funzione data rispetto all'argomento intermedio e della derivata dell'argomento intermedio rispetto alla variabile indipendente:

.

L'affermazione si ottiene facilmente dall'ovvia uguaglianza (valido per e) passando al limite per (che, per la continuità della funzione differenziabile, implica).

Passiamo alla considerazione della derivata funzione inversa.

Lascia che una funzione differenziabile su un insieme abbia un insieme di valori e su un insieme esista funzione inversa .

Teorema . Se al punto derivato , quindi la derivata della funzione inversa al punto esiste ed è uguale all'inverso della derivata di questa funzione: , o

Questa formula è facilmente ricavabile da considerazioni geometriche.

T Poiché esiste la tangente dell'angolo di inclinazione della linea tangente all'asse, cioè la tangente dell'angolo di inclinazione della stessa tangente (la stessa linea) nello stesso punto all'asse.

Se sono affilati, allora se sono opachi, allora .

In entrambi i casi ... Questa uguaglianza è equivalente all'uguaglianza

5. Significato geometrico e fisico della derivata.

1) Il significato fisico della derivata.

Se la funzione y = f (x) e il suo argomento x sono quantità fisiche, allora la derivata è il tasso di variazione della variabile y rispetto alla variabile x nel punto. Ad esempio, se S = S (t) è la distanza percorsa da un punto nel tempo t, allora la sua derivata è la velocità nell'istante del tempo. Se q = q (t) è la quantità di elettricità che scorre attraverso la sezione trasversale del conduttore al tempo t, allora è la velocità di variazione della quantità di elettricità al tempo, cioè forza attuale in quel momento.

2) Il significato geometrico della derivata.

Lascia che sia una curva, sii un punto sulla curva.

Ogni linea retta che interseca almeno due punti è detta secante.

La tangente alla curva nel punto è la posizione limite della secante se il punto tende a spostarsi lungo la curva.

È ovvio dalla definizione che se esiste la tangente a una curva in un punto, allora è unica

Si consideri la curva y = f (x) (ovvero il grafico della funzione y = f (x)). Facciamo il punto ha una tangente non verticale. La sua equazione: (l'equazione di una retta passante per un punto e avendo pendenza K).

Per definizione di pendenza, dove è l'angolo di inclinazione della retta rispetto all'asse.

Sia l'angolo di inclinazione della secante rispetto all'asse, dove. Poiché è tangente, allora per

Quindi,

Abbiamo così ottenuto che è la pendenza della tangente al grafico della funzione y = f (x) nel punto (il significato geometrico della derivata di una funzione in un punto). Pertanto, l'equazione della tangente alla curva y = f (x) nel punto può essere scritto come

Tema. Derivato. Il significato geometrico e meccanico della derivata

Se questo limite esiste, allora la funzione si dice differenziabile nel punto. Si indica la derivata della funzione (formula 2).

1. Significato geometrico derivato. Considera il grafico di una funzione. La Figura 1 mostra che per due punti qualsiasi A e B del grafico della funzione, puoi scrivere la formula 3). In esso - l'angolo di inclinazione della secante AB.

Pertanto, il rapporto di differenza è uguale alla pendenza della secante. Se fissiamo il punto A e spostiamo il punto B verso di esso, allora diminuisce indefinitamente e si avvicina a 0, e la secante AB si avvicina alla tangente AC. Pertanto, il limite del rapporto di differenza è uguale alla pendenza della tangente nel punto A. Quindi segue la conclusione.

La derivata di una funzione in un punto è la pendenza della tangente al grafico di questa funzione in quel punto. Questo è il significato geometrico della derivata.

1. Equazione tangente ... Ricaviamo l'equazione della tangente al grafico della funzione in un punto. Nel caso generale, l'equazione di una retta con pendenza è:. Per trovare b, usiamo il fatto che la tangente passa per il punto A:. Ciò implica: . Sostituendo questa espressione al posto di b, otteniamo l'equazione della tangente (Formula 4).

Conferenza: Il concetto di derivata di una funzione, il significato geometrico della derivata

Si consideri una funzione f (x), che sarà continua per l'intero periodo di considerazione. Sull'intervallo considerato, selezioniamo il punto x 0, così come il valore della funzione in questo punto.

Quindi, diamo un'occhiata a un grafico su cui segniamo il nostro punto x 0, così come il punto (x 0 + ∆x). Ricordiamo che x è la distanza (differenza) tra due punti selezionati.

Vale anche la pena capire che ogni x corrisponde al proprio valore della funzione y.

La differenza tra i valori della funzione nel punto x 0 e (x 0 + ∆x) è chiamata incremento di questa funzione: у = f (x 0 + ∆х) - f (x 0).

Prestiamo attenzione alle informazioni aggiuntive disponibili sul grafico: questa è la secante, che si chiama KL, così come il triangolo che forma a intervalli KN e LN.

L'angolo in cui si trova la secante è chiamato il suo angolo di inclinazione ed è indicato con α. È facile determinare che anche la misura in gradi dell'angolo LKN è uguale ad α.

Ricordiamo ora i rapporti nel triangolo rettangolo tanα = LN / KN = ∆у / ∆х.

Cioè, la tangente della pendenza secante è uguale al rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento.

Un tempo, la derivata è il limite del rapporto tra l'incremento di una funzione e l'incremento dell'argomento a intervalli infinitamente piccoli.

La derivata determina la velocità con cui la funzione cambia in una certa area.

Il significato geometrico della derivata

Se trovi la derivata di qualsiasi funzione ad un certo punto, puoi determinare l'angolo con cui sarà la tangente al grafico in una data corrente, rispetto all'asse OX. Prestare attenzione al grafico: l'angolo di inclinazione è indicato dalla lettera ed è determinato dal coefficiente k nell'equazione della retta: y = kx + b.

Cioè, possiamo concludere che il significato geometrico della derivata è la tangente dell'angolo di inclinazione della tangente in un punto della funzione.

Obiettivi della lezione:

Gli studenti dovrebbero sapere:

• quella che viene chiamata la pendenza di una linea retta;
• l'angolo tra la retta e l'asse del bue;
• qual è il significato geometrico della derivata;
• equazione della tangente al grafico della funzione;
• un modo di costruire una tangente a una parabola;
• saper applicare le conoscenze teoriche nella pratica.

Obiettivi della lezione:

Didattico: creare le condizioni affinché gli studenti padroneggino il sistema di conoscenze, abilità e abilità con i concetti del significato meccanico e geometrico della derivata.

Educativo: formare la prospettiva scientifica degli studenti.

Sviluppo: sviluppa l'interesse cognitivo, la creatività, la volontà, la memoria, la parola, l'attenzione, l'immaginazione, la percezione degli studenti.

Modalità di organizzazione delle attività educative e cognitive:

• visivo;
• pratico;
• sull'attività mentale: induttiva;
• sull'assimilazione della materia: in parte esplorativa, riproduttiva;
• dal grado di indipendenza: lavoro di laboratorio;
• stimolante: incentivi;
• controllo: indagine orale frontale.

Piano della lezione

1. Esercizi orali (trova derivata)
2. Messaggio degli studenti sull'argomento "Le ragioni dell'emergere dell'analisi matematica".
3. Imparare nuovo materiale
4. Fis. Apetta un minuto.
5. Risolvere compiti.
6. Lavoro di laboratorio.
7. Riassumendo la lezione.
8. Commentando i compiti.

Equipaggiamento: proiettore multimediale (presentazione), schede ( lavoro di laboratorio).

"Una persona ottiene qualcosa solo lì, dove crede nelle proprie forze"

L. Feuerbach

Organizzazione della classe durante la lezione, prontezza degli studenti per la lezione, ordine e disciplina.

Stabilire obiettivi di apprendimento per gli studenti, sia per l'intera lezione che per le sue singole fasi.

Determinare il significato del materiale studiato sia in questo argomento che nell'intero corso.

conteggio verbale

1. Trova le derivate:

", ()", (4sin x) ", (cos2x)", (tg x) ","

2. Prova logica.

a) Inserisci l'espressione mancante.

La direzione generale dello sviluppo della scienza, in ultima analisi, è determinata dalle esigenze della pratica dell'attività umana. L'esistenza di antichi stati con un complesso sistema di controllo gerarchico sarebbe stata impossibile senza un sufficiente sviluppo dell'aritmetica e dell'algebra, perché la riscossione delle tasse, l'organizzazione del rifornimento dell'esercito, la costruzione di palazzi e piramidi, la creazione di sistemi di irrigazione richiedevano calcoli complessi. Durante il Rinascimento si ampliarono i legami tra le diverse parti del mondo medievale, si svilupparono il commercio e l'artigianato. Inizia un rapido aumento del livello tecnico di produzione, vengono utilizzate nuove fonti di energia per scopi industriali, che non sono associati agli sforzi muscolari dell'uomo o degli animali. Nei secoli XI-XII apparvero i telai di feltro e tessitura e, a metà del XV, la macchina da stampa. In connessione con la necessità del rapido sviluppo della produzione sociale durante questo periodo, l'essenza delle scienze naturali, che sono state descrittive fin dall'antichità, cambia. Lo scopo delle scienze naturali è lo studio approfondito dei processi naturali e non degli oggetti. Le scienze naturali descrittive dell'antichità corrispondevano alla matematica, che operava su valori costanti. Era necessario creare un apparato matematico che desse una descrizione non del risultato del processo, ma della natura del suo corso e delle sue regolarità intrinseche. Di conseguenza, alla fine del XII secolo, Newton in Inghilterra e Leibniz in Germania completarono la prima fase dell'analisi matematica. Che cos'è l'"analisi matematica"? Come si possono caratterizzare e prevedere le caratteristiche di qualsiasi processo? Utilizzare queste funzionalità? Per penetrare più a fondo nell'essenza di questo o quel fenomeno?

Seguiamo il percorso di Newton e Leibniz e vediamo come possiamo analizzare il processo, considerandolo in funzione del tempo.

Introduciamo alcuni concetti che ci aiuteranno ulteriormente.

Il grafico della funzione lineare y = kx + b è una retta, il numero k si chiama la pendenza della retta. k = tg, dove è l'angolo di una retta, cioè l'angolo tra questa retta e la direzione positiva dell'asse di bue.

Immagine 1

Considera il grafico della funzione y = f (x). Tracciamo una secante attraverso due punti qualsiasi, ad esempio una secante AM. (figura 2)

Pendenza secante k = tg. In un triangolo rettangolo AMC<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

Immagine 2

Figura 3

Il termine "velocità" stesso caratterizza la dipendenza di un cambiamento in una quantità da un cambiamento in un'altra, e quest'ultimo non deve essere il tempo.

Quindi, la tangente dell'angolo di inclinazione della secante tg =.

Ci interessa la dipendenza della variazione delle quantità in un periodo di tempo più breve. Impostiamo l'incremento dell'argomento a zero. Quindi il membro destro della formula è la derivata della funzione nel punto A (spiega perché). Se x -> 0, allora il punto M si sposta lungo il grafico fino al punto A, il che significa che la linea retta AM si avvicina a una linea retta AB, che è tangente al grafico della funzione y = f (x) nel punto A... (fig.3)

L'angolo di inclinazione della secante tende all'angolo di inclinazione della tangente.

Il significato geometrico della derivata è che il valore della derivata in un punto è uguale alla pendenza della tangente al grafico della funzione nel punto.

Il significato meccanico della derivata.

La tangente dell'angolo di inclinazione della tangente è un valore che mostra la velocità istantanea di variazione di una funzione in un dato punto, cioè una nuova caratteristica del processo in esame. Leibniz chiamò questa quantità derivato, e Newton disse che lo stesso istantaneo si chiama derivato velocità.

N. 91 (1) edificio 91 - mostra sulla lavagna.

La pendenza della tangente alla curva f (x) = x 3 nel punto x 0 - 1 è il valore della derivata di questa funzione in x = 1. f '(1) = 3x 2; f '(1) = 3.

N. 91 (3.5) - sotto dettatura.

No. 92 (1) - sulla lavagna a piacimento.

N. 92 (3) - in autonomia con verifica orale.

N. 92 (5) - dietro il tabellone.

Risposte: 45 0, 135 0, 1.5 e 2.

Scopo: elaborare il concetto di "significato meccanico di un derivato".

Applicazioni derivate alla meccanica.

La legge del moto rettilineo del punto x = x (t), t è data.

1. Velocità media di movimento per un determinato periodo di tempo;
2. Velocità e accelerazione al tempo t 04
3. Momenti di arresto; se il punto, dopo il momento dell'arresto, continua a muoversi nella stessa direzione o inizia a muoversi nella direzione opposta;
4. La massima velocità di movimento per il periodo di tempo specificato.

Il lavoro viene eseguito secondo 12 opzioni, i compiti sono differenziati per il livello di difficoltà (la prima opzione è il livello di difficoltà più basso).

Prima di iniziare il lavoro, una conversazione sulle seguenti domande:

1. Qual è il significato fisico della derivata dello spostamento? (Velocità).
2. Riesci a trovare la derivata della velocità? Questa quantità è usata in fisica? Come si chiama? (Accelerazione).
3. La velocità istantanea è zero. Cosa si può dire del movimento del corpo in questo momento? (Questo è il momento della sosta).
4. Qual è il significato fisico delle seguenti affermazioni: la derivata del moto è uguale a zero nel punto t 0; passando per il punto t 0 la derivata cambia segno? (Il corpo si ferma; la direzione del movimento è invertita).

Un esempio di come gli studenti svolgono il lavoro.

x (t) = t 3 -2 t 2 +1, t 0 = 2.

Figura 4

Nella direzione opposta.

Tracciamo un grafico schematico della velocità. La velocità massima viene raggiunta nel punto

t = 10, v (10) = 3 · 10 2 -4 · 10 = 300 - 40 = 260

Figura 5

1) Qual è il significato geometrico della derivata?
2) Qual è il significato meccanico della derivata?
3) Trai una conclusione sul tuo lavoro.

Pagina 90. n. 91 (2,4,6), n. 92 (2,4,6,), pagina 92 ​​n. 112.

Libri usati

• Tutorial Algebra e inizi dell'analisi.
  Autori: Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin.
  A cura di A. B. Zhizhchenko.
• Algebra classe 11. Piani di lezione per il libro di testo di Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, Yu. V. Sidorov. Parte 1.
• Risorse Internet: http://orags.narod.ru/manuals/html/gre/12.jpg

Per conoscere il valore geometrico della derivata si consideri il grafico della funzione y = f (x). Prendi un punto arbitrario M con coordinate (x, y) e un punto N (x + $ \ Delta $ x, y + $ \ Delta $ y) vicino ad esso. Tracciamo le ordinate $ \ overline (M_ (1) M) $ e $ \ overline (N_ (1) N) $ e dal punto M - una linea retta parallela all'asse OX.

Il rapporto $ \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) $ è la tangente dell'angolo $ \ alpha $ 1 formato dalla secante MN con la direzione positiva dell'asse OX. Poiché $ \ Delta $ x tende a zero, il punto N si avvicinerà a M e la posizione limite della secante MN sarà tangente MT alla curva nel punto M. Pertanto, la derivata f` (x) è uguale alla tangente di l'angolo $ \ alfa $ formato dalla tangente alla curva nel punto M (x, y) con una direzione positiva rispetto all'asse OX - la pendenza della tangente (Fig. 1).

Figura 1. Grafico della funzione

Quando si calcolano i valori secondo le formule (1), è importante non confondersi nei segni, perché l'incremento può anche essere negativo.

Un punto N che giace su una curva può avvicinarsi a M da qualsiasi lato. Quindi, se nella Figura 1, alla tangente viene assegnata la direzione opposta, l'angolo $ \ alpha $ cambierà del valore $ \ pi $, che influenzerà in modo significativo la tangente dell'angolo e, di conseguenza, la pendenza.

Produzione

Ne consegue che l'esistenza della derivata è associata all'esistenza di una tangente alla curva y = f (x), e la pendenza - tg $ \ alpha $ = f` (x) è finita. Pertanto, la tangente non dovrebbe essere parallela all'asse OY, altrimenti $ \ alpha $ = $ \ pi $ / 2 e la tangente dell'angolo sarà infinita.

In alcuni punti, una curva continua potrebbe non avere una tangente o avere una tangente parallela all'asse OY (Fig. 2). Quindi, in questi valori, la funzione non può avere una derivata. Ci possono essere tanti di questi punti sulla curva della funzione.

Figura 2. Punti eccezionali della curva

Considera la Figura 2. Lascia che $ \ Delta $ x tenda a zero dal lato dei valori negativi o positivi:

\ [\ Delta x \ a -0 \ inizio (matrice) (cc) () & (\ Delta x \ a +0) \ fine (matrice) \]

Se, in questo caso, le relazioni (1) hanno un limite finale, si indica come:

Nel primo caso la derivata a sinistra, nel secondo la derivata a destra.

L'esistenza del limite indica l'equivalenza e l'uguaglianza delle derivate sinistra e destra:

Se le derivate sinistra e destra non sono uguali, allora a questo punto ci sono tangenti non parallele a OY (punto M1, Fig. 2). Nei punti М2, 3, le relazioni (1) tendono all'infinito.

Per i punti N a sinistra di M2, $ \ Delta $ x $

A destra di $ M_2 $, $ \ Delta $ x $> $ 0, ma l'espressione è anche f (x + $ \ Delta $ x) - f (x) $

Per il punto $ M_3 $ a sinistra $ \ Delta $ x $$ 0 e f (x + $ \ Delta $ x) - f (x) $> $ 0, cioè le espressioni (1) sia a sinistra che a destra sono positive e tendono a + $ \ infty $ sia quando $ \ Delta $ x si avvicina a -0 e +0.

Il caso dell'assenza di una derivata in punti specifici della retta (x = c) è mostrato in Figura 3.

Figura 3. Assenza di derivati

Esempio 1

La Figura 4 mostra il grafico della funzione e la tangente al grafico nel punto con l'ascissa $ x_0 $. Trova il valore della derivata della funzione in ascissa.

Soluzione. La derivata nel punto è uguale al rapporto tra l'incremento ~ della funzione e l'incremento dell'argomento. Scegliamo due punti con coordinate intere sulla tangente. Siano ad esempio i punti F (-3,2) e C (-2.4).