Derivata della funzione. Il significato geometrico della derivata. Esaminare una funzione usando una derivata

Mostra la connessione tra il segno della derivata e la natura della monotonia della funzione.

Si prega di essere estremamente attenti in quanto segue. Guarda, ti è stato dato il palinsesto di CHE COSA! Funzione o sua derivata

Se viene dato un grafico della derivata, allora saremo interessati solo ai segni della funzione e agli zeri. In linea di principio non ci interessano "colline" e "cavi"!

Obiettivo 1.

La figura mostra un grafico di una funzione definita su un intervallo. Determinare il numero di punti interi in cui la derivata della funzione è negativa.

Soluzione:

Nella figura sono evidenziate a colori le aree di funzione decrescente:

4 valori interi rientrano in queste regioni di funzione decrescente.

Obiettivo 2.

La figura mostra un grafico di una funzione definita su un intervallo. Trova il numero di punti in cui la tangente al grafico della funzione è parallela o coincide con esso.

Soluzione:

Poiché la tangente al grafico della funzione è parallela (o coincide) con una retta (o, che è la stessa), avente pendenza uguale a zero, allora anche la tangente ha pendenza.

Ciò, a sua volta, significa che la tangente è parallela all'asse, poiché la pendenza è la tangente dell'angolo di inclinazione della tangente all'asse.

Pertanto, troviamo i punti estremi (punti massimo e minimo) sul grafico: è in essi che le tangenti al grafico della funzione saranno parallele all'asse.

Ci sono 4 di questi punti.

Obiettivo 3.

La figura mostra un grafico della derivata di una funzione definita su un intervallo. Trova il numero di punti in cui la tangente al grafico della funzione è parallela o coincide con esso.

Soluzione:

Poiché la tangente al grafico della funzione è parallela (o coincide) con una retta che ha una pendenza, allora la tangente ha una pendenza.

Questo a sua volta significa che i punti di contatto.

Pertanto, osserviamo quanti punti sul grafico hanno un'ordinata uguale a.

Come puoi vedere, ci sono quattro di questi punti.

Compito 4.

La figura mostra un grafico di una funzione definita su un intervallo. Trova il numero di punti in cui la derivata della funzione è 0.

Soluzione:

La derivata è zero nei punti estremi. Ne abbiamo 4:

Compito 5.

La figura mostra un grafico della funzione e undici punti sull'asse delle ascisse :. In quanti di questi punti la derivata della funzione è negativa?

Soluzione:

Ad intervalli di funzione decrescente, la sua derivata assume valori negativi. E la funzione diminuisce nei punti. Ci sono 4 di questi punti.

Compito 6.

La figura mostra un grafico di una funzione definita su un intervallo. Trova la somma dei punti estremi della funzione.

Soluzione:

punti estremi Sono i punti di massimo (-3, -1, 1) e i punti di minimo (-2, 0, 3).

La somma dei punti estremi: -3-1 + 1-2 + 0 + 3 = -2.

Compito 7.

La figura mostra un grafico della derivata di una funzione definita su un intervallo. Trova gli intervalli di funzione crescente. Nella risposta, indicare la somma dei punti interi inclusi in questi intervalli.

Soluzione:

La figura mostra gli intervalli su cui la derivata della funzione è non negativa.

Non ci sono punti interi su un piccolo intervallo di punti interi crescenti, su un intervallo crescente ci sono quattro valori interi:,, e.

La loro somma:

Compito 8.

La figura mostra un grafico della derivata di una funzione definita su un intervallo. Trova gli intervalli di funzione crescente. Nella risposta, indica la lunghezza del più lungo.

Soluzione:

Nella figura sono evidenziati in colore tutti gli intervalli in cui la derivata è positiva, il che significa che la funzione stessa aumenta a questi intervalli.

Il più lungo è 6.

Problema 9.

La figura mostra un grafico della derivata di una funzione definita su un intervallo. In quale punto del segmento assume il valore maggiore.

Soluzione:

Osserviamo come si comporta il grafico su un segmento, vale a dire, ci interessa solo segno derivato .

Il segno della derivata è meno, poiché il grafico su questo segmento è sotto l'asse.

Il problema B9 fornisce un grafico di una funzione o derivata, che si desidera determinare una delle seguenti quantità:

1. Il valore della derivata ad un certo punto x 0,
2. Punti alti o bassi (punti estremi),
3. Gli intervalli di incremento e decremento della funzione (intervalli di monotonicità).

Le funzioni e le derivate presentate in questo problema sono sempre continue, il che semplifica notevolmente la soluzione. Nonostante il fatto che il compito appartenga alla sezione dell'analisi matematica, è abbastanza alla portata anche degli studenti più deboli, poiché qui non sono richieste conoscenze teoriche approfondite.

Esistono algoritmi semplici e universali per trovare il valore della derivata, dei punti estremi e degli intervalli di monotonicità: tutti saranno discussi di seguito.

Leggere attentamente l'enunciato del problema B9 per evitare errori stupidi: a volte ci si imbatte in testi piuttosto lunghi, ma condizioni importanti che influenzano il corso della decisione, ce ne sono pochi.

Calcolo del valore della derivata. Metodo a due punti

Se nel problema è dato il grafico della funzione f (x), tangente a questo grafico in un punto x 0, e si richiede di trovare il valore della derivata in questo punto, si applica il seguente algoritmo:

1. Trova due punti "adeguati" sul grafico tangente: le loro coordinate devono essere intere. Indichiamo questi punti con A (x 1; y 1) e B (x 2; y 2). Scrivi correttamente le coordinate: questo è il punto chiave della soluzione e qualsiasi errore qui porta alla risposta sbagliata.
2. Conoscendo le coordinate, è facile calcolare l'incremento dell'argomento Δx = x 2 - x 1 e l'incremento della funzione Δy = y 2 - y 1.
3. Infine, troviamo il valore della derivata D = Δy / Δx. In altre parole, devi dividere l'incremento della funzione per l'incremento dell'argomento - e questa sarà la risposta.

Nota ancora una volta: i punti A e B vanno cercati esattamente sulla tangente, e non sul grafico della funzione f (x), come spesso accade. La linea tangente conterrà necessariamente almeno due di questi punti, altrimenti il ​​problema non sarà scritto correttamente.

Considera i punti A (−3; 2) e B (−1; 6) e trova gli incrementi:
x = x 2 - x 1 = −1 - (−3) = 2; y = y 2 - y 1 = 6 - 2 = 4.

Trova il valore della derivata: D = Δy / Δx = 4/2 = 2.

Compito. La figura mostra il grafico della funzione y = f (x) e la tangente ad essa nel punto con l'ascissa x 0. Trova il valore della derivata della funzione f (x) nel punto x 0.

Considera i punti A (0; 3) e B (3; 0), trova gli incrementi:
x = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3; y = y 2 - y 1 = 0 - 3 = -3.

Ora troviamo il valore della derivata: D = Δy / Δx = −3/3 = −1.

Compito. La figura mostra il grafico della funzione y = f (x) e la tangente ad essa nel punto con l'ascissa x 0. Trova il valore della derivata della funzione f (x) nel punto x 0.

Considera i punti A (0; 2) e B (5; 2) e trova gli incrementi:
x = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5; y = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Resta da trovare il valore della derivata: D = Δy / Δx = 0/5 = 0.

Dall'ultimo esempio possiamo formulare una regola: se la tangente è parallela all'asse OX, la derivata della funzione nel punto di tangenza è zero. In questo caso, non hai nemmeno bisogno di contare nulla, basta guardare il grafico.

Calcolo dei punti massimo e minimo

A volte, invece di un grafico di una funzione nel problema B9, viene fornito un grafico della derivata e viene richiesto di trovare il punto massimo o minimo della funzione. In questa situazione, il metodo a due punti è inutile, ma esiste un altro algoritmo ancora più semplice. Innanzitutto, definiamo la terminologia:

1. Un punto x 0 si dice punto di massimo della funzione f (x) se in qualche intorno di questo punto vale la seguente disuguaglianza: f (x 0) ≥ f (x).
2. Un punto x 0 si dice punto di minimo della funzione f (x) se in qualche intorno di questo punto vale la seguente disuguaglianza: f (x 0) ≤ f (x).

Per trovare i punti di massimo e minimo sul grafico della derivata è sufficiente eseguire i seguenti passaggi:

1. Ridisegna il grafico della derivata, rimuovendo tutte le informazioni non necessarie. Come dimostra la pratica, i dati non necessari interferiscono solo con la soluzione. Pertanto, segniamo gli zeri della derivata sull'asse delle coordinate - tutto qui.
2. Trova i segni della derivata negli intervalli tra gli zeri. Se per qualche punto x 0 è noto che f '(x 0) ≠ 0, allora sono possibili solo due opzioni: f' (x 0) ≥ 0 oppure f '(x 0) ≤ 0. Il segno della derivata può essere facilmente determinato dal disegno iniziale: se il grafico della derivata si trova al di sopra dell'asse OX, allora f '(x) ≥ 0. E viceversa, se il grafico della derivata si trova al di sotto dell'asse OX, allora f' (x ) 0.
3. Ricontrolla gli zeri e i segni della derivata. Dove il segno cambia da meno a più, c'è un punto di minimo. Viceversa, se il segno della derivata cambia da più a meno, questo è il punto di massimo. Il conteggio viene sempre eseguito da sinistra a destra.

Questo schema funziona solo per le funzioni continue - non ce ne sono altri nel problema B9.

Compito. La figura mostra il grafico della derivata della funzione f (x) definita sull'intervallo [−5; 5]. Trova il punto di minimo della funzione f (x) su questo segmento.

Eliminiamo le informazioni non necessarie: lasceremo solo i bordi [-5; 5] e zeri della derivata x = −3 e x = 2.5. Notare anche i segni:

Ovviamente nel punto x = -3 il segno della derivata cambia da meno a più. Questo è il punto minimo.

Compito. La figura mostra il grafico della derivata della funzione f (x) definita sul segmento [−3; 7]. Trova il punto massimo della funzione f (x) su questo segmento.

Ridisegniamo il grafico, lasciando solo i confini [-3; 7] e gli zeri della derivata x = −1,7 e x = 5. Notare i segni della derivata sul grafico risultante. Abbiamo:

Ovviamente, nel punto x = 5 il segno della derivata cambia da più a meno - questo è il punto massimo.

Compito. La figura mostra il grafico della derivata della funzione f (x) definita sul segmento [−6; 4]. Trova il numero di punti massimi della funzione f (x) che appartengono al segmento [−4; 3].

Dall'enunciato del problema segue che è sufficiente considerare solo la parte del grafo delimitata dal segmento [−4; 3]. Pertanto, costruiamo nuovo programma, su cui segniamo solo i confini [−4; 3] e zeri della derivata al suo interno. Vale a dire, i punti x = -3,5 e x = 2. Otteniamo:

Questo grafico ha un solo punto di massimo x = 2. È a questo punto che il segno della derivata cambia da più a meno.

Una breve nota sui punti con coordinate non intere. Ad esempio, nell'ultimo problema il punto è stato considerato x = -3.5, ma puoi anche prendere x = -3.4. Se il problema è formulato correttamente, tali modifiche non dovrebbero influire sulla risposta, poiché i punti di "senza fissa dimora" non sono direttamente coinvolti nella risoluzione del problema. Ovviamente, questo trucco non funzionerà con i punti interi.

Trovare gli intervalli di funzioni crescenti e decrescenti

In un tale problema, come i punti di massimo e minimo, si propone di trovare le regioni in cui la funzione stessa aumenta o diminuisce dal grafico derivato. Innanzitutto, definiamo cosa è crescente e decrescente:

1. Una funzione f (x) si dice crescente su un segmento se per ogni due punti x 1 e x 2 di questo segmento è vera la seguente affermazione: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≤ f (x 2). In altre parole, maggiore è il valore dell'argomento, maggiore è il valore della funzione.
2. Una funzione f (x) si dice decrescente su un segmento se per ogni due punti x 1 e x 2 di questo segmento è vera la seguente affermazione: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≥ f (x 2). Quelli. maggiore è il valore dell'argomento, minore è il valore della funzione.

Formuliamo condizioni sufficienti per aumentare e diminuire:

1. Perché una funzione continua f (x) cresca su un segmento, è sufficiente che la sua derivata all'interno del segmento sia positiva, cioè f '(x) ≥ 0.
2. Perché una funzione continua f (x) decresca su un segmento, è sufficiente che la sua derivata all'interno del segmento sia negativa, cioè f '(x) 0.

Accettiamo queste affermazioni senza prove. Pertanto, otteniamo uno schema per trovare gli intervalli di aumento e diminuzione, che è per molti versi simile all'algoritmo per il calcolo dei punti estremi:

1. Rimuovere tutte le informazioni non necessarie. Sul grafico originale della derivata, siamo principalmente interessati agli zeri della funzione, quindi li lasceremo solo.
2. Notare i segni della derivata negli intervalli tra gli zeri. Dove f '(x) ≥ 0, la funzione aumenta e dove f' (x) ≤ 0, diminuisce. Se il problema ha restrizioni sulla variabile x, le contrassegniamo anche sul nuovo grafico.
3. Ora che conosciamo il comportamento della funzione e del vincolo, resta da calcolare il valore richiesto nel problema.

Compito. La figura mostra il grafico della derivata della funzione f (x) definita sul segmento [−3; 7.5]. Trova gli intervalli di decremento della funzione f (x). Nella tua risposta, indica la somma degli interi inclusi in questi intervalli.

Come al solito, ridisegna il grafico e segna i confini [-3; 7.5], nonché gli zeri della derivata x = −1.5 e x = 5.3. Quindi segniamo i segni della derivata. Abbiamo:

Poiché la derivata è negativa sull'intervallo (-1.5), questo è l'intervallo della funzione decrescente. Resta da sommare tutti gli interi che si trovano all'interno di questo intervallo:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Compito. La figura mostra il grafico della derivata della funzione f (x), definita sull'intervallo [−10; 4]. Trova gli intervalli di incremento della funzione f (x). Nella risposta, indica la lunghezza del più lungo.

Eliminiamo le informazioni inutili. Lascia solo i bordi [−10; 4] e gli zeri della derivata, che questa volta risultano essere quattro: x = -8, x = -6, x = -3 e x = 2. Osserva i segni della derivata e ottieni la seguente figura:

A noi interessano gli intervalli di incremento della funzione, ad es. tale, dove f '(x) ≥ 0. Ci sono due di questi intervalli sul grafico: (−8; −6) e (−3; 2). Calcoliamo le loro lunghezze:
l 1 = - 6 - (−8) = 2;
l2 = 2 - (−3) = 5.

Poiché è necessario trovare la lunghezza del più grande degli intervalli, nella risposta scriviamo il valore l 2 = 5.

Cari amici! Il gruppo di attività relative alla derivata include attività: la condizione fornisce un grafico della funzione, diversi punti su questo grafico e la domanda è:

A che punto è il valore della derivata più grande (più piccolo)?

Ripetiamo brevemente:

La derivata nel punto è pendenza tangente passantequesto punto del grafico.

Hoil coefficiente globale della tangente, a sua volta, è uguale alla tangente dell'angolo di inclinazione di questa tangente.

* Questo si riferisce all'angolo tra la tangente e l'ascissa.

1. Sugli intervalli di aumento della funzione, la derivata ha un valore positivo.

2. Negli intervalli della sua diminuzione, la derivata ha un valore negativo.

Considera il seguente schizzo:

Nei punti 1,2,4, la derivata della funzione ha valore negativo, poiché questi punti appartengono agli intervalli di decremento.

Nei punti 3,5,6 la derivata della funzione ha valore positivo, poiché questi punti appartengono agli intervalli crescenti.

Come puoi vedere, tutto è chiaro con il valore della derivata, cioè non è difficile determinare che segno ha (positivo o negativo) in un certo punto del grafico.

Inoltre, se costruiamo mentalmente le tangenti in questi punti, vedremo che le rette passanti per i punti 3, 5 e 6 formano angoli con l'asse oX compreso tra 0 e 90 o, e le rette passanti per i punti 1 , 2 e 4 si formano con gli angoli dell'asse nell'intervallo da 90 о a 180 о.

* La relazione è chiara: le tangenti passanti per i punti appartenenti agli intervalli di funzioni crescenti formano angoli acuti con l'asse ox, le tangenti passanti per i punti appartenenti agli intervalli di funzioni decrescenti formano angoli ottusi con l'asse ox.

Ora una domanda importante!

Come cambia il valore della derivata? Dopotutto, la tangente in diversi punti del grafico di una funzione continua forma angoli diversi, a seconda del punto del grafico che attraversa.

* O, per dire linguaggio semplice, la tangente si trova come se fosse "orizzontale" o "verticale". Guarda:

Le linee rette formano angoli con l'asse nell'intervallo da 0 a 90 о

Le linee rette formano angoli con l'asse nell'intervallo da 90 о a 180 о

Pertanto, se ci sono domande:

- in quale di questi punti del grafico la derivata ha il minor valore?

- in quale di questi punti del grafico è più importante il valore della derivata?

quindi per la risposta è necessario capire come cambia il valore della tangente dell'angolo tangente nell'intervallo da 0 a 180 о.

* Come già accennato, il valore della derivata della funzione in un punto è uguale alla tangente dell'angolo di inclinazione della tangente all'asse oX.

Il valore della tangente cambia come segue:

Quando l'angolo di inclinazione della retta cambia da 0 o a 90 o, il valore della tangente, e quindi della derivata, cambia, rispettivamente, da 0 a + ;

Quando l'angolo di inclinazione della retta cambia da 90 o a 180 o, il valore della tangente, e quindi della derivata, cambia di conseguenza –∞ a 0.

Questo si vede chiaramente dal grafico della funzione tangente:

In parole povere:

Ad un angolo di inclinazione della tangente da 0 o a 90 o

Più è vicino a 0 о, più il valore della derivata sarà vicino a zero (sul lato positivo).

Più l'angolo è vicino a 90 °, più il valore della derivata aumenterà verso + ∞.

Ad un angolo di inclinazione della tangente da 90 o a 180 o

Più si avvicina a 90°, più il valore della derivata diminuirà fino a –∞.

Più l'angolo è vicino a 180 °, più il valore della derivata sarà vicino allo zero (sul lato negativo).

317543. La figura mostra il grafico della funzione y = F(X) e punti segnati–2, –1, 1, 2. In quale di questi punti è maggiore il valore della derivata? Indica questo punto nella tua risposta.

Abbiamo quattro punti: due appartengono agli intervalli su cui la funzione diminuisce (sono i punti –1 e 1) e due intervalli su cui la funzione aumenta (sono i punti –2 e 2).

Possiamo subito concludere che nei punti –1 e 1 la derivata ha valore negativo, nei punti –2 e 2 ha valore positivo. Pertanto, in questo caso, è necessario analizzare i punti -2 e 2 e determinare in quale di essi il valore sarà maggiore. Costruiamo le tangenti passanti per i punti indicati:

La tangente dell'angolo tra la retta a e l'asse delle ascisse sarà maggiore della tangente dell'angolo tra la retta b e questo asse. Ciò significa che il valore della derivata al punto -2 sarà il più grande.

Rispondiamo alla seguente domanda: in quale dei punti –2, –1, 1 o 2 è il valore della derivata il più grande negativo? Indica questo punto nella tua risposta.

La derivata avrà valore negativo nei punti appartenenti agli intervalli di decremento, quindi si considerino i punti –2 e 1. Costruire le tangenti che li attraversano:

Vediamo che l'angolo ottuso tra la retta b e l'asse oX è "più vicino" a 180 oh , quindi, la sua tangente sarà maggiore della tangente dell'angolo formato dalla retta a e dall'asse oX.

Quindi, nel punto x = 1, il valore della derivata sarà il più grande negativo.

317544. La figura mostra il grafico della funzione y = F(X) e punti segnati–2, –1, 1, 4. In quale di questi punti il ​​valore della derivata è il più piccolo? Indica questo punto nella tua risposta.

Abbiamo quattro punti: due appartengono agli intervalli su cui la funzione diminuisce (sono i punti –1 e 4) e due intervalli su cui la funzione aumenta (sono i punti –2 e 1).

Possiamo subito concludere che nei punti –1 e 4 la derivata ha valore negativo, nei punti –2 e 1 ha valore positivo. Pertanto, in questo caso, è necessario analizzare i punti –1 e 4 e determinare - in quale di essi il valore sarà il più piccolo. Costruiamo le tangenti passanti per i punti indicati:

La tangente dell'angolo tra la retta a e l'asse delle ascisse sarà maggiore della tangente dell'angolo tra la retta b e questo asse. Ciò significa che il valore della derivata nel punto x = 4 sarà il più piccolo.

Risposta: 4

Spero di non averti "sopraffatto" con la quantità di scritti. In effetti, tutto è molto semplice, devi solo capire le proprietà della derivata, il suo significato geometrico e come cambia il valore della tangente dell'angolo da 0 a 180 о.

1. Innanzitutto, determina i segni della derivata nei punti indicati (+ o -) e seleziona i punti necessari (a seconda della domanda posta).

2. Disegna le tangenti in questi punti.

3. Usando il grafico tangeoide, disegna gli angoli e visualizzaAlessandro.

P.S: ti sarei grato se potessi parlarci del sito sui social network.

(Fig. 1)

Figura 1. Grafico della derivata

Proprietà del grafico derivato

1. La derivata è positiva su intervalli crescenti. Se la derivata in un certo punto da un certo intervallo ha un valore positivo, allora il grafico della funzione aumenta su questo intervallo.
2. Su intervalli decrescenti, la derivata è negativa (con segno meno). Se la derivata a un certo punto da un certo intervallo ha un valore negativo, allora il grafico della funzione diminuisce su questo intervallo.
3. La derivata nel punto x è uguale alla pendenza della tangente disegnata al grafico della funzione nello stesso punto.
4. Nei punti di massimo-minimo della funzione, la derivata è uguale a zero. La tangente al grafico della funzione in questo punto è parallela all'asse OX.

Esempio 1

Utilizzando il grafico (Fig. 2) della derivata, determinare in quale punto del segmento [-3; 5] la funzione è massimale.

Figura 2. Grafico della derivata

Soluzione: su questo segmento, la derivata è negativa, il che significa che la funzione decresce da sinistra a destra e il valore più grande si trova a sinistra nel punto -3.

Esempio 2

Determinare il numero di punti massimi sul segmento [-11; 3].

Figura 3. Grafico della derivata

Soluzione: I punti di massimo corrispondono ai punti di cambio del segno della derivata da positivo a negativo. In questo intervallo, la funzione cambia il suo segno da più a meno due volte - al punto -10 e al punto -1. Ciò significa che il numero massimo di punti è due.

Esempio 3

Utilizzando il grafico (Fig. 3) della derivata, determinare il numero di punti di minimo nel segmento [-11; -1].

Soluzione: I punti di minimo corrispondono ai punti di cambio del segno della derivata da negativo a positivo. Su questo segmento, un tale punto è solo -7. Ciò significa che il numero di punti minimi su un dato segmento è uno.

Esempio 4

Utilizzando il grafico (Fig. 3) della derivata, determinare il numero di punti estremi.

Soluzione: i punti estremi sono sia il punto minimo che quello massimo. Trova il numero di punti in cui la derivata cambia segno.

Esame di una funzione usando una derivata. In questo articolo analizzeremo alcuni dei compiti associati allo studio del grafico di una funzione. In tali problemi, viene fornito il grafico della funzione y = f (x) e vengono poste domande relative alla determinazione del numero di punti in cui la derivata della funzione è positiva (o negativa), così come altri. Si riferiscono a compiti per l'applicazione della derivata allo studio delle funzioni.

La soluzione di tali problemi, e in generale dei problemi associati allo studio, è possibile solo con una piena comprensione delle proprietà della derivata per lo studio dei grafici di funzioni e della derivata. Pertanto, ti consiglio vivamente di studiare la teoria pertinente. Puoi studiare e anche vedere (ma c'è un riassunto in esso).

Considereremo anche problemi in cui il grafico della derivata viene fornito in articoli futuri, da non perdere! Quindi, i compiti:

La figura mostra il grafico della funzione y = f (x), definita sull'intervallo (−6; 8). Definire:

1. Il numero di punti interi in cui la derivata della funzione è negativa;

2. Il numero di punti in cui la tangente al grafico della funzione è parallela alla retta y = 2;

1. La derivata della funzione è negativa sugli intervalli sui quali la funzione decresce, cioè sugli intervalli (−6; –3), (0; 4.2), (6.9; 8). Contengono punti interi -5, -4, 1, 2, 3, 4 e 7. Ha ricevuto 7 punti.

2. Diretto sì= 2 assi paralleliOhsì= 2 solo nei punti estremi (nei punti in cui il grafico cambia il suo comportamento da crescente a decrescente o viceversa). Ci sono quattro di questi punti: –3; 0; 4.2; 6.9

Decidi tu stesso:

Determinare il numero di punti interi in cui la derivata della funzione è positiva.

La figura mostra il grafico della funzione y = f (x), definita sull'intervallo (−5; 5). Definire:

2. Il numero di punti interi in cui la tangente al grafico della funzione è parallela alla retta y = 3;

3. Il numero di punti in cui la derivata è zero;

1. Dalle proprietà della derivata di una funzione si sa che è positiva sugli intervalli su cui la funzione cresce, cioè sugli intervalli (1.4; 2.5) e (4.4; 5). Contengono un solo punto intero x = 2.

2. Diretto sì= 3 assi paralleliOh... La tangente sarà parallela alla rettasì= 3 solo nei punti estremi (nei punti in cui il grafico cambia il suo comportamento da crescente a decrescente o viceversa).

Ci sono quattro di questi punti: –4.3; 1.4; 2.5; 4.4

3. La derivata è uguale a zero in quattro punti (negli estremi), li abbiamo già indicati.

Decidi tu stesso:

Determinare il numero di punti interi in cui la derivata della funzione f (x) è negativa.

La figura mostra il grafico della funzione y = f (x), definita sull'intervallo (−2; 12). Trova:

1. Il numero di punti interi in cui la derivata della funzione è positiva;

2. Il numero di punti interi in cui la derivata della funzione è negativa;

3. Il numero di punti interi in cui la tangente al grafico della funzione è parallela alla retta y = 2;

4. Il numero di punti in cui la derivata è zero.

1. Dalle proprietà della derivata di una funzione si sa che è positiva sugli intervalli su cui la funzione cresce, cioè sugli intervalli (–2; 1, (2; 4), (7; 9) e (10; 11). Contengono punti interi: -1, 0, 3, 8. Ce ne sono quattro.

2. La derivata della funzione è negativa sugli intervalli su cui la funzione decresce, cioè sugli intervalli (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12). Contengono i punti interi 5 e 6. Ha ricevuto 2 punti.

3. Diretto sì= 2 assi paralleliOh... La tangente sarà parallela alla rettasì= 2 solo nei punti estremi (nei punti in cui il grafico cambia il suo comportamento da crescente a decrescente o viceversa). Ci sono sette punti di questo tipo: 1; 2; 4; 7; nove; dieci; undici.

4. La derivata è uguale a zero in sette punti (negli estremi), li abbiamo già indicati.