Prodotto di logaritmi con diversi esempi di basi. Logaritmo di una regola d'azione con logaritmi

Istruzioni

Annotare l'espressione logaritmica specificata. Se l'espressione utilizza il logaritmo di 10, la sua notazione viene troncata e ha il seguente aspetto: lg b è il logaritmo decimale. Se il logaritmo ha come base il numero e, scrivi l'espressione: ln b - logaritmo naturale. Resta inteso che il risultato di any è la potenza a cui si deve elevare il numero della base per ottenere il numero b.

Quando trovi la somma di due funzioni, devi solo differenziarle a turno e aggiungere i risultati: (u + v) "= u" + v ";

Quando si trova la derivata del prodotto di due funzioni, è necessario moltiplicare la derivata della prima funzione per la seconda e aggiungere la derivata della seconda funzione, moltiplicata per la prima funzione: (u * v) "= u" * v + v "* u;

Per trovare la derivata del quoziente di due funzioni è necessario, dal prodotto della derivata del dividendo, moltiplicato per la funzione divisore, sottrarre il prodotto della derivata del divisore moltiplicato per la funzione del dividendo , e dividi tutto questo per la funzione divisore al quadrato. (u / v) "= (u" * v-v "* u) / v ^ 2;

Se è data una funzione complessa, allora è necessario moltiplicare la derivata della funzione interna e la derivata di quella esterna. Sia y = u (v (x)), quindi y "(x) = y" (u) * v "(x).

Usando quelli ottenuti sopra, puoi differenziare quasi tutte le funzioni. Quindi, diamo un'occhiata ad alcuni esempi:

y = x ^ 4, y "= 4 * x ^ (4-1) = 4 * x ^ 3;

y = 2 * x ^ 3 * (e ^ xx ^ 2 + 6), y "= 2 * (3 * x ^ 2 * (e ^ xx ^ 2 + 6) + x ^ 3 * (e ^ x-2 * X));
Ci sono anche problemi per il calcolo della derivata in un punto. Sia data la funzione y = e ^ (x ^ 2 + 6x + 5), devi trovare il valore della funzione nel punto x = 1.
1) Trova la derivata della funzione: y "= e ^ (x ^ 2-6x + 5) * (2 * x +6).

2) Calcolare il valore della funzione nel punto dato y "(1) = 8 * e ^ 0 = 8

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Consigli utili

Impara la tavola delle derivate elementari. Ciò farà risparmiare notevolmente tempo.

Fonti:

• derivata di una costante

Quindi, qual è la differenza tra un'equazione irrazionale e una razionale? Se la variabile sconosciuta è sotto il segno della radice quadrata, l'equazione è considerata irrazionale.

Istruzioni

Il metodo principale per risolvere tali equazioni è il metodo di costruzione di entrambe le parti equazioni in una piazza. Però. questo è naturale, il primo passo è sbarazzarsi del segno. Questo metodo non è tecnicamente difficile, ma a volte può creare problemi. Ad esempio, l'equazione v (2x-5) = v (4x-7). Elevando al quadrato entrambi i lati, ottieni 2x-5 = 4x-7. Questa equazione non è difficile da risolvere; x = 1. Ma il numero 1 non sarà scontato equazioni... Come mai? Sostituisci 1 nell'equazione per x, e entrambi i lati destro e sinistro conterranno espressioni che non hanno senso, cioè. Questo valore non è valido per una radice quadrata. Pertanto, 1 è una radice estranea, e quindi l'equazione data non ha radici.

Quindi, l'equazione irrazionale viene risolta usando il metodo della quadratura di entrambi i lati. E dopo aver risolto l'equazione, è imperativo tagliare le radici estranee. Per fare ciò, sostituisci le radici trovate nell'equazione originale.

Considerane un altro.
2x + vx-3 = 0
Naturalmente, questa equazione può essere risolta allo stesso modo della precedente. Sposta composito equazioni che non hanno radice quadrata, a destra e quindi utilizzare il metodo della quadratura. risolvere l'equazione razionale risultante e le radici. Ma anche un altro, più grazioso. Inserisci una nuova variabile; vx = y. Di conseguenza, ottieni un'equazione della forma 2y2 + y-3 = 0. Cioè, il solito equazione quadrata... Trova le sue radici; y1 = 1 e y2 = -3 / 2. Quindi, decidi due equazioni vx = 1; vx = -3 / 2. La seconda equazione non ha radici, dalla prima troviamo che x = 1. Non dimenticare di controllare le radici.

Risolvere le identità è abbastanza facile. Ciò richiede trasformazioni identiche fino al raggiungimento dell'obiettivo. Pertanto, con l'aiuto delle più semplici operazioni aritmetiche, il compito sarà risolto.

Avrai bisogno

• - carta;
• - una penna.

Istruzioni

La più semplice di tali trasformazioni è la moltiplicazione algebrica abbreviata (come il quadrato della somma (differenza), la differenza dei quadrati, la somma (differenza), il cubo della somma (differenza)). Inoltre, ci sono molti e formule trigonometriche che sono essenzialmente le stesse identità.

Infatti il ​​quadrato della somma di due termini è uguale al quadrato del primo più il doppio del prodotto del primo per il secondo e più il quadrato del secondo, cioè (a + b) ^ 2 = (a + b) (a + b) = a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2.

Semplificare entrambi

Principi generali di soluzione

Ripassa attraverso un libro di testo sul calcolo o sulla matematica superiore, che è un integrale definito. Come sai, la soluzione di un integrale definito è una funzione, la cui derivata darà l'integrando. Questa funzione è detta antiderivata. Gli integrali di base sono costruiti secondo questo principio.
Determinare in base al tipo dell'integrando quale degli integrali tabulari è adatto in questo caso. Non è sempre possibile determinarlo immediatamente. Spesso, la vista tabellare diventa evidente solo dopo diverse trasformazioni per semplificare l'integrando.

Metodo di sostituzione variabile

Se l'integrando è una funzione trigonometrica, nel cui argomento c'è qualche polinomio, allora prova a usare il metodo del cambio variabile. Per fare ciò, sostituire il polinomio nell'argomento dell'integrando con una nuova variabile. Determinare i nuovi limiti di integrazione dal rapporto tra la nuova e la vecchia variabile. Differenziando questa espressione, trova il nuovo differenziale in. Quindi ottieni il nuovo tipo l'integrale precedente, prossimo o addirittura corrispondente ad un integrale tabulare.

Soluzione di integrali di seconda specie

Se l'integrale è un integrale del secondo tipo, la forma vettoriale dell'integrando, allora sarà necessario utilizzare le regole per passare da questi integrali a quelli scalari. Una di queste regole è il rapporto Ostrogradsky-Gauss. Questa legge permette di passare dal flusso rotorico di una certa funzione vettoriale ad un integrale triplo sulla divergenza di un dato campo vettoriale.

Sostituzione dei limiti di integrazione

Dopo aver trovato l'antiderivata, è necessario sostituire i limiti di integrazione. Innanzitutto, inserire il valore del limite superiore nell'espressione dell'antiderivata. Otterrai un numero. Quindi, sottrarre dal numero risultante un altro numero ottenuto dal limite inferiore all'antiderivata. Se uno dei limiti dell'integrazione è l'infinito, allora quando lo si sostituisce nella funzione antiderivata, è necessario andare al limite e trovare a cosa tende l'espressione.
Se l'integrale è bidimensionale o tridimensionale, allora dovrai rappresentare geometricamente i limiti dell'integrazione per capire come calcolare l'integrale. Infatti, nel caso, diciamo, di un integrale tridimensionale, i limiti dell'integrazione possono essere piani interi che delimitano il volume da integrare.

(dal greco λόγος - "parola", "relazione" e ἀριθμός - "numero") numeri B per ragione un(log α B) si chiama tale numero C, e B= AC, cioè log α B=C e b = aC sono equivalenti. Il logaritmo ha senso se a> 0 e 1, b> 0.

In altre parole logaritmo i numeri B per ragione unè formulato come un indicatore del grado a cui il numero deve essere elevato un per ottenere il numero B(Solo i numeri positivi hanno un logaritmo).

Questa formulazione implica che il calcolo x = log α B, equivale a risolvere l'equazione a x = b.

Per esempio:

log 2 8 = 3 perché 8 = 2 3.

Sottolineiamo che la formulazione indicata del logaritmo permette di determinare immediatamente valore logaritmo, quando il numero sotto il segno del logaritmo è un grado della base. E in verità, la formulazione del logaritmo permette di dimostrare che se b = a c, quindi il logaritmo del numero B per ragione unè uguale a insieme a... È anche chiaro che l'argomento del logaritmo è strettamente correlato all'argomento grado di numero.

Il calcolo del logaritmo è detto prendendo il logaritmo... Prendere il logaritmo è l'operazione matematica di prendere il logaritmo. Quando si prende il logaritmo, i prodotti dei fattori si trasformano nelle somme dei termini.

potenziamentoè un'operazione matematica inversa al logaritmo. Nel potenziamento, la base data viene elevata alla potenza dell'espressione su cui viene eseguita la potenziazione. In questo caso, le somme dei membri si trasformano nel prodotto dei fattori.

I logaritmi reali con basi 2 (binario), e il numero di Eulero e ≈ 2.718 (logaritmo naturale) e 10 (decimale) sono usati abbastanza spesso.

In questa fase, è consigliabile considerare campioni di logaritmi registro 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

E le voci lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4,3 non hanno senso, poiché nel primo di essi viene posto un numero negativo sotto il segno del logaritmo, nel secondo - un numero negativo alla base e nel terzo - sia un numero negativo sotto il segno del logaritmo che uno alla base.

Condizioni per la determinazione del logaritmo.

Vale la pena considerare separatamente le condizioni a> 0, a 1, b> 0 sotto le quali definizione del logaritmo. Consideriamo perché vengono prese queste restrizioni. Un'uguaglianza della forma x = log α B, chiamata identità logaritmica di base, che segue direttamente dalla definizione di logaritmo data sopra.

Prendiamo la condizione un 1... Poiché uno è uguale a uno in qualsiasi grado, l'uguaglianza x = log α B può esistere solo quando b = 1 ma log 1 1 sarà un qualsiasi numero reale. Per eliminare questa ambiguità, prendiamo un 1.

Dimostriamo la necessità della condizione a> 0... In a = 0 secondo la formulazione del logaritmo, può esistere solo per b = 0... E di conseguenza allora registro 0 0 può essere qualsiasi numero reale diverso da zero, poiché zero in qualsiasi grado diverso da zero è zero. L'esclusione di questa ambiguità è data dalla condizione a 0... E quando un<0 dovremmo rifiutare l'analisi dei valori razionali e irrazionali del logaritmo, poiché un grado con un esponente razionale e irrazionale è definito solo per motivi non negativi. È per questo motivo che la condizione è stipulata a> 0.

E l'ultima condizione b> 0 segue dalla disuguaglianza a> 0 poiché x = log α B, e il valore del grado con base positiva un sempre positivo.

Caratteristiche dei logaritmi.

logaritmi caratterizzato da distintivo caratteristiche, che ha portato al loro uso diffuso per facilitare in modo significativo calcoli minuziosi. Nella transizione "al mondo dei logaritmi", la moltiplicazione si trasforma in un'addizione molto più semplice, la divisione in sottrazione e l'elevamento a potenza e l'estrazione della radice si trasformano, rispettivamente, in moltiplicazione e divisione per l'esponente.

La formulazione dei logaritmi e una tabella dei loro valori (per le funzioni trigonometriche) furono pubblicate per la prima volta nel 1614 dal matematico scozzese John Napier. Le tavole logaritmiche, ingrandite e dettagliate da altri scienziati, furono ampiamente utilizzate nei calcoli scientifici e ingegneristici e rimasero rilevanti fino all'avvento dei calcolatori elettronici e dei computer.

Continuiamo a studiare i logaritmi. In questo articolo parleremo di calcolo dei logaritmi, questo processo è chiamato prendendo il logaritmo... In primo luogo, ci occuperemo del calcolo dei logaritmi per definizione. Successivamente, considereremo come si trovano i valori dei logaritmi usando le loro proprietà. Successivamente, ci concentreremo sul calcolo dei logaritmi in termini di valori inizialmente specificati di altri logaritmi. Infine, impariamo a usare le tabelle dei logaritmi. L'intera teoria è fornita di esempi con soluzioni dettagliate.

Navigazione della pagina.

Calcolo dei logaritmi per definizione

Nei casi più semplici, è possibile eseguire rapidamente e facilmente trovare il logaritmo per definizione... Diamo un'occhiata più da vicino a come avviene questo processo.

La sua essenza è rappresentare il numero b nella forma a c, da cui, per definizione del logaritmo, il numero c è il valore del logaritmo. Cioè, trovare il logaritmo per definizione corrisponde alla seguente catena di uguaglianze: log a b = log a a c = c.

Quindi, calcolare il logaritmo, per definizione, si riduce a trovare un numero c tale che a c = b, e il numero c stesso è il valore desiderato del logaritmo.

Tenendo conto delle informazioni dei paragrafi precedenti, quando il numero sotto il segno del logaritmo è dato da un certo grado della base del logaritmo, puoi immediatamente indicare a cosa è uguale il logaritmo - è uguale all'esponente. Mostriamo soluzioni di esempi.

Esempio.

Trova log 2 2 −3 e calcola anche il logaritmo naturale di e 5.3.

Soluzione.

La definizione del logaritmo ci permette di dire subito che log 2 2 −3 = -3. Infatti, il numero sotto il segno del logaritmo è uguale a base 2 alla potenza -3.

Allo stesso modo, troviamo il secondo logaritmo: lne 5.3 = 5.3.

Risposta:

log 2 2 −3 = -3 e lne 5.3 = 5.3.

Se il numero b sotto il segno del logaritmo non è specificato come grado della base del logaritmo, allora devi vedere attentamente se puoi arrivare alla rappresentazione del numero b nella forma a c. Spesso questa rappresentazione è abbastanza ovvia, soprattutto quando il numero sotto il segno del logaritmo è uguale alla base alla potenza di 1, o 2, o 3, ...

Esempio.

Calcola log 5 25, e.

Soluzione.

È facile vedere che 25 = 5 2, questo permette di calcolare il primo logaritmo: log 5 25 = log 5 5 2 = 2.

Passiamo al calcolo del secondo logaritmo. Il numero può essere rappresentato come una potenza di 7: (vedi se necessario). Quindi, .

Riscriviamo il terzo logaritmo come segue. Ora puoi vederlo , da cui concludiamo che ... Pertanto, per la definizione del logaritmo .

In breve, la soluzione potrebbe essere scritta come segue:.

Risposta:

registro 5 25 = 2, e .

Quando c'è un numero naturale sufficientemente grande sotto il segno del logaritmo, non fa male scomporre in fattori primi. Questo spesso aiuta a rappresentare un tale numero sotto forma di una potenza della base del logaritmo e, quindi, a calcolare questo logaritmo per definizione.

Esempio.

Trova il valore del logaritmo.

Soluzione.

Alcune proprietà dei logaritmi consentono di specificare immediatamente il valore dei logaritmi. Queste proprietà includono la proprietà del logaritmo di uno e la proprietà del logaritmo di un numero uguale alla base: log 1 1 = log a a 0 = 0 e log a a = log a a 1 = 1. Cioè, quando sotto il segno del logaritmo è il numero 1 o il numero a uguale alla base del logaritmo, allora in questi casi i logaritmi sono uguali a 0 e 1, rispettivamente.

Esempio.

A cosa sono uguali i logaritmi e lg10?

Soluzione.

Poiché, quindi dalla definizione del logaritmo segue .

Nel secondo esempio, il numero 10 sotto il segno del logaritmo coincide con la sua base, quindi il logaritmo decimale di dieci è uguale a uno, cioè lg10 = lg10 1 = 1.

Risposta:

E lg10 = 1.

Si noti che il calcolo dei logaritmi per definizione (di cui abbiamo discusso nel paragrafo precedente) implica l'uso dell'uguaglianza log a a p = p, che è una delle proprietà dei logaritmi.

In pratica, quando il numero sotto il segno del logaritmo e la base del logaritmo sono facilmente rappresentabili come una potenza di qualche numero, è molto conveniente usare la formula , che corrisponde a una delle proprietà dei logaritmi. Diamo un'occhiata a un esempio di ricerca del logaritmo per illustrare l'uso di questa formula.

Esempio.

Calcola il logaritmo.

Soluzione.

Risposta:

.

Nel calcolo vengono utilizzate anche le proprietà dei logaritmi non menzionate sopra, ma ne parleremo nei prossimi paragrafi.

Trovare logaritmi in termini di altri logaritmi noti

Le informazioni in questa sezione continuano l'argomento dell'utilizzo delle proprietà dei logaritmi durante il calcolo. Ma qui la differenza principale è che le proprietà dei logaritmi sono usate per esprimere il logaritmo originale in termini di un altro logaritmo, il cui valore è noto. Facciamo un esempio per chiarire. Supponiamo di sapere che log 2 3≈1.584963, quindi possiamo trovare, ad esempio, log 2 6 eseguendo una piccola trasformazione utilizzando le proprietà del logaritmo: log 2 6 = log 2 (2 3) = log 2 2 + log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Nell'esempio dato, ci è bastato usare la proprietà del logaritmo del prodotto. Tuttavia, molto più spesso è necessario utilizzare un arsenale più ampio di proprietà del logaritmo per calcolare il logaritmo iniziale in termini di quelli dati.

Esempio.

Calcola log base 60 di 27 se sai che log 60 2 = a e log 60 5 = b.

Soluzione.

Quindi, dobbiamo trovare il registro 60 27. È facile vedere che 27 = 3 3, e il logaritmo originario, per la proprietà del logaritmo della potenza, può essere riscritto come 3 · log 60 3.

Vediamo ora come esprimere log 60 3 in termini di logaritmi noti. La proprietà del logaritmo di un numero uguale alla base ci permette di scrivere l'uguaglianza log 60 60 = 1. Invece log 60 60 = log60 (2 2 3 5) = log 60 2 2 + log 60 3 + log 60 5 = 2 · log 60 2 + log 60 3 + log 60 5. Così, 2 log 60 2 + log 60 3 + log 60 5 = 1... Quindi, log 60 3 = 1−2 log 60 2 − log 60 5 = 1−2 a − b.

Infine, calcola il logaritmo originale: log 60 27 = 3 log 60 3 = 3 (1−2 a − b) = 3−6 a − 3 b.

Risposta:

log 60 27 = 3 (1−2 a − b) = 3−6 a − 3 b.

Separatamente, dovrebbe essere detto sul significato della formula per il passaggio a una nuova base del logaritmo della forma ... Consente di passare da logaritmi con basi qualsiasi a logaritmi con base specifica, i cui valori sono noti o è possibile trovarli. Di solito, dal logaritmo iniziale, utilizzando la formula di transizione, si passa ai logaritmi in una delle basi 2, e o 10, poiché per queste basi esistono tabelle di logaritmi che consentono di calcolare i loro valori con un certo grado di precisione. Nella prossima sezione, mostreremo come farlo.

Tabelle dei logaritmi, loro uso

Per un calcolo approssimativo dei valori dei logaritmi, si può usare tabelle logaritmiche... La tabella logaritmica in base 2 più comunemente utilizzata, la tabella logaritmica naturale e la tabella logaritmica decimale. Quando si lavora nel sistema decimale, è conveniente utilizzare la tabella dei logaritmi in base dieci. Con il suo aiuto, impareremo a trovare i valori dei logaritmi.

La tabella presentata consente, con una precisione di un decimillesimo, di trovare i valori dei logaritmi decimali dei numeri da 1.000 a 9.999 (con tre cifre decimali). Analizzeremo il principio di trovare il valore del logaritmo usando una tabella di logaritmi decimali usando un esempio specifico - questo è più chiaro. Troviamo lg1,256.

Nella colonna di sinistra della tabella dei logaritmi decimali, troviamo le prime due cifre del numero 1.256, ovvero troviamo 1.2 (questo numero è cerchiato in blu per chiarezza). Troviamo la terza cifra del numero 1.256 (cifra 5) nella prima o nell'ultima riga a sinistra della doppia riga (questo numero è cerchiato in una riga rossa). La quarta cifra del numero originale 1.256 (cifra 6) si trova nella prima o nell'ultima riga a destra della doppia riga (questo numero è cerchiato in verde). Ora troviamo i numeri nelle celle della tabella dei logaritmi all'intersezione della riga contrassegnata e delle colonne contrassegnate (questi numeri sono evidenziati arancia). La somma dei numeri marcati dà il valore desiderato del logaritmo decimale con precisione alla quarta cifra decimale, cioè lg1.236≈0.0969 + 0.0021 = 0.0990.

È possibile, utilizzando la tabella sopra, trovare i valori dei logaritmi decimali dei numeri che hanno più di tre cifre dopo la virgola e anche andare oltre l'intervallo da 1 a 9,999? Si, puoi. Mostriamo come si fa con un esempio.

Calcoliamo lg102.76332. Per prima cosa devi scrivere numero standard: 102.76332 = 1.0276332 10 2. Dopodiché, la mantissa dovrebbe essere arrotondata alla terza cifra decimale, abbiamo 1.0276332 10 2 1.028 10 2, mentre il logaritmo decimale originale è approssimativamente uguale al logaritmo del numero risultante, cioè prendiamo lg102.76332≈lg1.028 · 10 2. Ora applichiamo le proprietà del logaritmo: lg1.028 10 2 = lg1.028 + lg10 2 = lg1.028 + 2... Infine, troviamo il valore del logaritmo lg1.028 dalla tabella dei logaritmi decimali lg1.028≈0.0086 + 0.0034 = 0.012. Di conseguenza, l'intero processo di calcolo del logaritmo si presenta così: log102.76332 = log1.0276332 · 10 2 ≈ log1.028 · 10 2 = log1.028 + log10 2 = log1.028 + 2≈0.012 + 2 = 2.012.

In conclusione, vale la pena notare che utilizzando la tabella dei logaritmi decimali, è possibile calcolare il valore approssimativo di qualsiasi logaritmo. Per fare ciò, è sufficiente utilizzare la formula di transizione per passare ai logaritmi decimali, trovare i loro valori in base alla tabella ed eseguire i calcoli rimanenti.

Ad esempio, calcoliamo log 2 3. Dalla formula per il passaggio a una nuova base del logaritmo, abbiamo. Dalla tabella dei logaritmi decimali troviamo lg3≈0.4771 e lg2≈0.3010. Così, .

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. e altri Algebra e l'inizio dell'analisi: libro di testo per 10 - 11 gradi delle istituzioni educative.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematica (una guida per i candidati alle scuole tecniche).

Uno degli elementi dell'algebra primitiva è il logaritmo. Il nome deriva dalla lingua greca dalla parola "numero" o "grado" e indica il grado a cui è necessario elevare il numero in base per trovare il numero finale.

Tipi di logaritmi

• log a b - logaritmo del numero b in base a (a> 0, a 1, b> 0);
• lg b - logaritmo decimale (logaritmo in base 10, a = 10);
• ln b - logaritmo naturale (logaritmo in base e, a = e).

Come si risolvono i logaritmi?

Il logaritmo in base a di b è un esponente, che richiede che la base a sia elevata a b. Il risultato si pronuncia così: “logaritmo di b in base a”. La soluzione ai problemi logaritmici è che è necessario determinare il grado dato dai numeri dai numeri indicati. Ci sono alcune regole di base per determinare o risolvere il logaritmo, oltre a trasformare la voce stessa. Usandoli, viene eseguita la soluzione delle equazioni logaritmiche, vengono trovate le derivate, vengono risolti gli integrali e vengono eseguite molte altre operazioni. Fondamentalmente, la soluzione al logaritmo stesso è la sua notazione semplificata. Di seguito sono riportate le formule e le proprietà di base:

Per qualsiasi a; a> 0; a 1 e per ogni x; y> 0.

• a log a b = b - identità logaritmica di base
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x / y = log a x - log a y
• log a 1 / x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1 / k log a x, per k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x / log b a - la formula per il passaggio a una nuova base
• log a x = 1 / log x a

Come risolvere i logaritmi: istruzioni passo passo per la risoluzione

• Per prima cosa, scrivi l'equazione richiesta.

Nota: se il logaritmo in base è 10, la voce viene troncata, si ottiene il logaritmo decimale. Se esiste un numero naturale e, allora scriviamo, riducendo al logaritmo naturale. Significa che il risultato di tutti i logaritmi è la potenza a cui viene elevato il numero di base fino a ottenere il numero b.

Direttamente, la soluzione sta nel calcolare questo grado. Prima di risolvere un'espressione con un logaritmo, deve essere semplificata secondo la regola, ovvero usando le formule. Puoi trovare le identità principali tornando un po' indietro nell'articolo.

Quando si aggiungono e si sottrae logaritmi con due numeri diversi, ma con le stesse basi, sostituire con un logaritmo con prodotto o divisione di b e c, rispettivamente. In questo caso, puoi applicare la formula di transizione a un'altra base (vedi sopra).

Se usi le espressioni per semplificare il logaritmo, ci sono alcune limitazioni da considerare. E cioè: la base del logaritmo a è solo un numero positivo, ma non uguale a uno. Il numero b, come a, deve essere maggiore di zero.

Ci sono casi in cui semplificando l'espressione non è possibile calcolare il logaritmo numericamente. Succede che un'espressione del genere non abbia senso, perché molti gradi sono numeri irrazionali. Con questa condizione, lasciare la potenza del numero sotto forma di notazione logaritmica.

Vengono fornite le proprietà di base del logaritmo naturale, grafico, dominio di definizione, insieme di valori, formule di base, derivata, integrale, espansione in serie di potenze e rappresentazione della funzione ln x mediante numeri complessi.

Definizione

Logaritmo naturaleè la funzione y = ln x inversa all'esponenziale, x = e y, ed essendo il logaritmo in base di e: ln x = log e x.

Il logaritmo naturale è ampiamente utilizzato in matematica, poiché la sua derivata ha la forma più semplice: (ln x) ′ = 1 / x.

Basato definizioni, la base del logaritmo naturale è il numero e:
e≅ 2.718281828459045 ...;
.

Grafico della funzione y = ln x.

Grafico del logaritmo naturale (funzioni y = ln x) si ottiene dal grafico dell'esponente specchiandolo rispetto alla retta y = x.

Il logaritmo naturale è definito per valori positivi della variabile x. Aumenta monotonamente nel suo dominio di definizione.

Come x → 0 il limite del logaritmo naturale è meno infinito (- ).

Poiché x → + ∞, il limite del logaritmo naturale è più infinito (+ ∞). Per x grande, il logaritmo aumenta piuttosto lentamente. Qualsiasi funzione di potenza x a con un esponente positivo a cresce più velocemente di un logaritmo.

Proprietà del logaritmo naturale

Intervallo di definizione, insieme di valori, extrema, crescente, decrescente

Il logaritmo naturale è una funzione monotona crescente, quindi non ha estremi. Le principali proprietà del logaritmo naturale sono presentate nella tabella.

Ln x

ln 1 = 0

Formule di base per logaritmi naturali

Formule derivanti dalla definizione della funzione inversa:

La proprietà principale dei logaritmi e le sue conseguenze

Formula di sostituzione della base

Qualsiasi logaritmo può essere espresso in termini di logaritmi naturali utilizzando la formula di cambio base:

Le dimostrazioni di queste formule sono presentate nella sezione "Logaritmo".

Funzione inversa

L'inverso del logaritmo naturale è l'esponente.

Se poi

Se poi.

Derivato ln x

Derivata del logaritmo naturale:
.
Derivata del logaritmo naturale del modulo x:
.
Derivata dell'ennesimo ordine:
.
Derivazione delle formule>>>

Integrante

L'integrale si calcola integrando per parti:
.
Così,

Espressioni in termini di numeri complessi

Consideriamo una funzione di una variabile complessa z:
.
Esprimiamo la variabile complessa z tramite modulo R e l'argomento φ :
.
Usando le proprietà del logaritmo, abbiamo:
.
o
.
L'argomento non è definito in modo univoco. Se mettiamo
, dove n è un numero intero,
sarà lo stesso numero per diversi n.

Pertanto, il logaritmo naturale, in funzione di una variabile complessa, non è una funzione univoca.

Espansione in serie di potenze

Alla decomposizione avviene:

Riferimenti:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti di istituti tecnici, "Lan", 2009.

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