Derivazione di formule trigonometriche. Seno, coseno, tangente: che cos'è? Come trovare seno, coseno e tangente

Dati di riferimento per tangente (tg x) e cotangente (ctg x). Definizione geometrica, proprietà, grafici, formule. Tabella di tangenti e cotangenti, derivate, integrali, espansioni in serie. Espressioni attraverso variabili complesse. Collegamento con funzioni iperboliche.

Definizione geometrica

|BD| - la lunghezza dell'arco di cerchio centrato nel punto A.
α è l'angolo espresso in radianti.

tangente ( tga) è una funzione trigonometrica dipendente dall'angolo α tra l'ipotenusa e il cateto di un triangolo rettangolo, pari al rapporto tra la lunghezza del cateto opposto |BC| alla lunghezza del ramo adiacente |AB| .

cotangente ( ctga) è una funzione trigonometrica dipendente dall'angolo α tra l'ipotenusa e il cateto di un triangolo rettangolo, uguale al rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente |AB| alla lunghezza della gamba opposta |BC| .

Tangente

In cui si n- totale.

Nella letteratura occidentale, la tangente è indicata come segue:
.
;
;
.

Grafico della funzione tangente, y = tg x

Cotangente

In cui si n- totale.

Nella letteratura occidentale, la cotangente è indicata come segue:
.
È stata inoltre adottata la seguente notazione:
;
;
.

Grafico della funzione cotangente, y = ctg x

Proprietà di tangente e cotangente

Periodicità

Funzioni y= tg x e y= ctg x sono periodiche con periodo π.

Parità

Le funzioni tangente e cotangente sono dispari.

Domini di definizione e valori, ascendente, discendente

Le funzioni tangente e cotangente sono continue nel loro dominio di definizione (vedi dimostrazione di continuità). Le principali proprietà della tangente e della cotangente sono presentate nella tabella ( n- numero intero).

	y= tg x	y= ctg x
Ambito e continuità
Intervallo di valori	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Ascendente		-
Discendente	-
Estremi	-	-
Zero, y= 0
Punti di intersezione con l'asse y, x = 0	y= 0	-

Formule

Espressioni in termini di seno e coseno

; ;
; ;
;

Formule per tangente e cotangente di somma e differenza

Il resto delle formule sono facili da ottenere, per esempio

Prodotto di tangenti

La formula per la somma e la differenza delle tangenti

Questa tabella mostra i valori di tangenti e cotangenti per alcuni valori dell'argomento.

Espressioni in termini di numeri complessi

Espressioni in termini di funzioni iperboliche

;
;

Derivati

; .

.
Derivata dell'n-esimo ordine rispetto alla variabile x della funzione:
.
Derivazione di formule per tangenti > > > ; per cotangente > > >

Integrali

Espansioni in serie

Per ottenere l'espansione della tangente in potenze di x, devi prendere diversi termini dell'espansione in una serie di potenze per le funzioni peccato x e cos x e dividere questi polinomi l'uno nell'altro, . Ciò si traduce nelle seguenti formule.

In .

A .
dove B n- Numeri di Bernoulli. Sono determinati o dalla relazione di ricorrenza:
;
;
dove .
O secondo la formula di Laplace:

Funzioni inverse

Le funzioni inverse a tangente e cotangente sono rispettivamente arcotangente e arcocotangente.

Arctangente, arct

, dove n- totale.

Arco tangente, arcctg

, dove n- totale.

Riferimenti:
IN. Bronstein, KA Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti di istituti di istruzione superiore, Lan, 2009.
G. Korn, Manuale di matematica per ricercatori e ingegneri, 2012.

- sicuramente ci saranno compiti in trigonometria. La trigonometria è spesso antipatica per dover stipare un numero enorme di formule difficili piene di seni, coseni, tangenti e cotangenti. Il sito già una volta dava consigli su come ricordare una formula dimenticata, usando l'esempio delle formule di Eulero e Peel.

E in questo articolo cercheremo di dimostrare che è sufficiente conoscere con fermezza solo cinque semplici formule trigonometriche, avere un'idea generale del resto e dedurle lungo il percorso. È come con il DNA: i disegni completi di un essere vivente finito non sono immagazzinati nella molecola. Contiene, piuttosto, le istruzioni per assemblarlo dagli amminoacidi disponibili. Quindi in trigonometria, conoscendo alcuni principi generali, otterremo tutte le formule necessarie da un piccolo insieme di quelle che devono essere tenute a mente.

Faremo affidamento sulle seguenti formule:

Dalle formule per il seno e il coseno delle somme, sapendo che la funzione coseno è pari e che la funzione seno è dispari, sostituendo -b con b, otteniamo le formule per le differenze:

Seno di differenza: peccato(a-b) = peccatouncos(-b)+cosunpeccato(-b) = peccatouncosb-cosunpeccatob
differenza di coseno: cos(a-b) = cosuncos(-b)-peccatounpeccato(-b) = cosuncosb+peccatounpeccatob

Mettendo a \u003d b nelle stesse formule, otteniamo le formule per il seno e il coseno dei doppi angoli:

Seno di un doppio angolo: peccato2a = peccato(a+a) = peccatouncosun+cosunpeccatoun = 2peccatouncosun
Coseno di un doppio angolo: cos2a = cos(a+a) = cosuncosun-peccatounpeccatoun = cos2a-peccato2a

Le formule per altri angoli multipli si ottengono in modo simile:

Seno di un angolo triplo: peccato3a = peccato(2a+a) = peccato2acosun+cos2apeccatoun = (2peccatouncosun)cosun+(cos2a-peccato2a)peccatoun = 2peccatouncos2a+peccatouncos2a-peccato 3a = 3 peccatouncos2a-peccato 3a = 3 peccatoun(1-peccato2a)-peccato 3a = 3 peccatoun-4peccato 3a
Coseno di un angolo triplo: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosun-peccato2apeccatoun = (cos2a-peccato2a)cosun-(2peccatouncosun)peccatoun = cos 3a- peccato2acosun-2peccato2acosun = cos 3a-3 peccato2acosun = cos 3 a-3(1- cos2a)cosun = 4cos 3a-3 cosun

Prima di andare avanti, consideriamo un problema.
Dato: l'angolo è acuto.
Trova il suo coseno se
Soluzione data da uno studente:
Perché , poi peccatoun= 3,a cosun = 4.
(Dall'umorismo matematico)

Quindi, la definizione di tangente collega questa funzione sia con seno che con coseno. Ma puoi ottenere una formula che dia la connessione della tangente solo con il coseno. Per derivarlo, prendiamo l'identità trigonometrica di base: peccato 2 un+cos 2 un= 1 e dividilo per cos 2 un. Noi abbiamo:

Quindi la soluzione a questo problema sarebbe:

(Poiché l'angolo è acuto, il segno + viene preso quando si estrae la radice)

La formula per la tangente della somma è un'altra difficile da ricordare. Produciamolo in questo modo:

uscita immediatamente e

Dalla formula del coseno per un doppio angolo, puoi ottenere le formule del seno e del coseno per un mezzo angolo. Per fare ciò, sul lato sinistro della formula del coseno del doppio angolo:
cos2 un = cos 2 un-peccato 2 un
aggiungiamo un'unità e, a destra, un'unità trigonometrica, ad es. somma dei quadrati di seno e coseno.
cos2a+1 = cos2a-peccato2a+cos2a+peccato2a
2cos 2 un = cos2 un+1
esprimendo cosun attraverso cos2 un ed effettuando un cambio di variabili, otteniamo:

Il segno viene preso a seconda del quadrante.

Allo stesso modo, sottraendo uno dal lato sinistro dell'uguaglianza e la somma dei quadrati del seno e del coseno dal lato destro, otteniamo:
cos2a-1 = cos2a-peccato2a-cos2a-peccato2a
2peccato 2 un = 1-cos2 un

Infine, per convertire la somma delle funzioni trigonometriche in un prodotto, utilizziamo il seguente trucco. Supponiamo di dover rappresentare la somma dei seni come un prodotto peccatoun+peccatob. Introduciamo variabili xey tali che a = x+y, b+x-y. Quindi
peccatoun+peccatob = peccato(x+y)+ peccato(x-y) = peccato X cos y+ cos X peccato y+ peccato X cos si- cos X peccato y=2 peccato X cos y. Esprimiamo ora xey in termini di aeb.

Poiché a = x+y, b = x-y, allora . Così

Puoi ritirarti immediatamente

Formula di partizione prodotti di seno e coseno in importo: peccatouncosb = 0.5(peccato(a+b)+peccato(a-b))

Ti consigliamo di esercitarti e ricavare formule per convertire il prodotto della differenza dei seni e della somma e differenza dei coseni in un prodotto, nonché per dividere i prodotti dei seni e dei coseni in una somma. Dopo aver svolto questi esercizi, padroneggerai a fondo l'abilità di derivare formule trigonometriche e non ti perderai nemmeno nel controllo, nell'olimpiade o nel test più difficili.

Non ti convincerò a non scrivere cheat sheet. Scrivere! Compresi cheat sheet sulla trigonometria. Più avanti ho intenzione di spiegare perché sono necessari i cheat sheet e come sono utili i cheat sheet. E qui - informazioni su come non imparare, ma ricordare alcune formule trigonometriche. Quindi - trigonometria senza un cheat sheet! Usiamo le associazioni per la memorizzazione.

1. Formule di addizione:

i coseni "vanno sempre in coppia": coseno-coseno, seno-seno. E un'altra cosa: i coseni sono "inadeguati". Loro “è tutto sbagliato”, quindi cambiano i segni: da “-” a “+”, e viceversa.

Seni - "mescolare": seno-coseno, coseno-seno.

2. Formule di somma e differenza:

i coseni "vanno sempre in coppia". Dopo aver aggiunto due coseni - "panini", otteniamo un paio di coseni - "koloboks". E sottraendo, sicuramente non otterremo koloboks. Otteniamo un paio di seni. Ancora con un vantaggio negativo.

Seni - "mescolare" :

3. Formule per convertire un prodotto in somma e differenza.

Quando riceviamo una coppia di coseni? Quando si aggiungono i coseni. Così

Quando otteniamo un paio di seni? Quando si sottraggono i coseni. Da qui:

La "miscelazione" si ottiene sia sommando che sottraendo seni. Cosa c'è di più divertente: aggiungere o sottrarre? Esatto, piega. E per la formula aggiungi:

Nella prima e nella terza formula tra parentesi - l'importo. Dal riordinamento dei luoghi dei termini, la somma non cambia. L'ordine è importante solo per la seconda formula. Ma, per non confonderci, per facilità di memoria, in tutte e tre le formule delle prime parentesi prendiamo la differenza

e in secondo luogo, la somma

Le lenzuola per la culla in tasca danno tranquillità: se dimentichi la formula, puoi cancellarla. E danno fiducia: se non usi il cheat sheet, le formule possono essere facilmente ricordate.

I concetti di seno (), coseno (), tangente (), cotangente () sono indissolubilmente legati al concetto di angolo. Per capire bene questi concetti, a prima vista, complessi (che provocano uno stato di orrore in molti scolari), e fare in modo che “il diavolo non sia così spaventoso come è dipinto”, partiamo dall'inizio e comprendiamo il concetto di angolo

Il concetto di angolo: radiante, grado

Diamo un'occhiata alla foto. Il vettore "girava" rispetto al punto di una certa quantità. Quindi sarà la misura di questa rotazione rispetto alla posizione iniziale iniezione.

Cos'altro devi sapere sul concetto di angolo? Bene, unità di angolo, ovviamente!

L'angolo, sia in geometria che in trigonometria, può essere misurato in gradi e radianti.

Viene chiamato un angolo di (un grado). angolo centrale in un cerchio, basato su un arco di cerchio uguale a una parte del cerchio. Pertanto, l'intero cerchio è costituito da "pezzi" di archi circolari, oppure l'angolo descritto dal cerchio è uguale.

Cioè, la figura sopra mostra un angolo uguale, cioè questo angolo si basa su un arco circolare con le dimensioni della circonferenza.

Un angolo in radianti è un angolo centrale in un cerchio, basato su un arco circolare, la cui lunghezza è uguale al raggio del cerchio. Bene, hai capito? In caso contrario, diamo un'occhiata all'immagine.

Quindi, la figura mostra un angolo uguale a un radiante, cioè questo angolo è basato su un arco circolare, la cui lunghezza è uguale al raggio del cerchio (la lunghezza è uguale alla lunghezza o raggio uguale alla lunghezza archi). Pertanto, la lunghezza dell'arco è calcolata dalla formula:

Dov'è l'angolo centrale in radianti.

Bene, sapendo questo, puoi rispondere a quanti radianti contiene un angolo descritto da un cerchio? Sì, per questo è necessario ricordare la formula per la circonferenza di un cerchio. Eccola qui:

Bene, ora correliamo queste due formule e otteniamo che l'angolo descritto dal cerchio sia uguale. Cioè, correlando il valore in gradi e radianti, lo otteniamo. Rispettivamente, . Come puoi vedere, a differenza di "gradi", la parola "radiante" viene omessa, poiché l'unità di misura è solitamente chiara dal contesto.

Quanti radianti sono? Giusto!

Fatto? Quindi allacciare in avanti:

Qualche difficoltà? Allora guarda risposte:

Triangolo rettangolo: seno, coseno, tangente, cotangente di un angolo

Quindi, con il concetto dell'angolo capito. Ma qual è il seno, coseno, tangente, cotangente di un angolo? Scopriamolo. Per questo, un triangolo rettangolo ci aiuterà.

Come si chiamano i lati di un triangolo rettangolo? Esatto, l'ipotenusa e le gambe: l'ipotenusa è il lato opposto all'angolo retto (nel nostro esempio, questo è il lato); le gambe sono i due lati rimanenti e (quelle adiacenti all'angolo retto), inoltre, se consideriamo le gambe rispetto all'angolo, allora la gamba è la gamba adiacente, e la gamba è quella opposta. Quindi, ora rispondiamo alla domanda: quali sono seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo?

Seno di un angoloè il rapporto tra la gamba opposta (lontana) e l'ipotenusa.

nel nostro triangolo.

Coseno di un angolo- questo è il rapporto tra la gamba adiacente (vicina) e l'ipotenusa.

nel nostro triangolo.

Angolo tangente- questo è il rapporto tra la gamba opposta (lontana) e quella adiacente (vicina).

nel nostro triangolo.

Cotangente di un angolo- questo è il rapporto tra la gamba adiacente (vicina) e quella opposta (lontana).

nel nostro triangolo.

Queste definizioni sono necessarie ricordare! Per rendere più facile ricordare quale gamba dividere per cosa, devi capirlo chiaramente in tangente e cotangente solo le gambe siedono e l'ipotenusa appare solo dentro seno e coseno. E poi puoi inventare una catena di associazioni. Ad esempio, questo:

coseno→tocco→tocco→adiacente;

Cotangente→tocco→tocco→adiacente.

Innanzitutto, è necessario ricordare che seno, coseno, tangente e cotangente come rapporti dei lati di un triangolo non dipendono dalle lunghezze di questi lati (ad un angolo). Non credere? Quindi assicurati guardando l'immagine:

Si consideri, ad esempio, il coseno di un angolo. Per definizione, da un triangolo: , ma possiamo calcolare il coseno di un angolo da un triangolo: . Vedi, le lunghezze dei lati sono diverse, ma il valore del coseno di un angolo è lo stesso. Pertanto, i valori di seno, coseno, tangente e cotangente dipendono esclusivamente dall'ampiezza dell'angolo.

Se capisci le definizioni, vai avanti e correggile!

Per il triangolo mostrato nella figura seguente, troviamo.

Bene, hai capito? Quindi prova tu stesso: calcola lo stesso per l'angolo.

Cerchio unitario (trigonometrico).

Comprendendo i concetti di gradi e radianti, abbiamo considerato un cerchio di raggio uguale a. Un tale cerchio è chiamato separare. È molto utile nello studio della trigonometria. Pertanto, ci soffermiamo su di esso un po 'più in dettaglio.

Come puoi vedere, questo cerchio è costruito nel sistema di coordinate cartesiane. Il raggio del cerchio è uguale a uno, mentre il centro del cerchio si trova all'origine, la posizione iniziale del raggio vettore è fissata lungo la direzione positiva dell'asse (nel nostro esempio, questo è il raggio).

Ogni punto del cerchio corrisponde a due numeri: la coordinata lungo l'asse e la coordinata lungo l'asse. Quali sono questi numeri di coordinate? E in generale, cosa hanno a che fare con l'argomento in questione? Per fare ciò, ricorda il triangolo rettangolo considerato. Nella figura sopra, puoi vedere due triangoli rettangoli interi. Considera un triangolo. È rettangolare perché è perpendicolare all'asse.

A cosa è uguale da un triangolo? Giusto. Inoltre, sappiamo che è il raggio della circonferenza unitaria, e quindi, . Sostituisci questo valore nella nostra formula del coseno. Ecco cosa succede:

E a cosa è uguale da un triangolo? Beh, certo, ! Sostituisci il valore del raggio in questa formula e ottieni:

Allora, puoi dirmi quali sono le coordinate di un punto che appartiene al cerchio? Beh, non c'è modo? E se te ne rendi conto e sono solo numeri? A quale coordinata corrisponde? Bene, certo, le coordinate! A quale coordinata corrisponde? Esatto, coordinati! Quindi, il punto.

E cosa sono allora uguali e? Esatto, usiamo le definizioni appropriate di tangente e cotangente e otteniamo che, a.

E se l'angolo fosse maggiore? Qui, ad esempio, come in questa immagine:

Cosa è cambiato in questo esempio? Scopriamolo. Per fare ciò, ci rivolgiamo di nuovo a un triangolo rettangolo. Considera un triangolo rettangolo: un angolo (come adiacente a un angolo). Qual è il valore di seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo? Esatto, aderiamo alle corrispondenti definizioni di funzioni trigonometriche:

Ebbene, come puoi vedere, il valore del seno dell'angolo corrisponde ancora alla coordinata; il valore del coseno dell'angolo - la coordinata; e i valori di tangente e cotangente ai rapporti corrispondenti. Pertanto, queste relazioni sono applicabili a qualsiasi rotazione del vettore raggio.

Si è già detto che la posizione iniziale del vettore raggio è lungo la direzione positiva dell'asse. Finora abbiamo ruotato questo vettore in senso antiorario, ma cosa succede se lo ruotiamo in senso orario? Niente di straordinario, otterrai anche un angolo di una certa dimensione, ma sarà solo negativo. Pertanto, ruotando il vettore del raggio in senso antiorario, otteniamo angoli positivi, e ruotando in senso orario - negativo.

Quindi, sappiamo che un'intera rivoluzione del vettore raggio attorno al cerchio è o. È possibile ruotare il vettore raggio di o di? Beh, certo che puoi! Nel primo caso, quindi, il vettore raggio compirà un giro completo e si fermerà in posizione o.

Nel secondo caso, cioè, il vettore raggio farà tre giri completi e si fermerà alla posizione o.

Pertanto, dagli esempi precedenti, possiamo concludere che angoli che differiscono per o (dove è un numero intero) corrispondono alla stessa posizione del vettore raggio.

La figura seguente mostra un angolo. La stessa immagine corrisponde all'angolo e così via. Questo elenco può essere continuato all'infinito. Tutti questi angoli possono essere scritti con la formula generale o (dove è un numero intero)

Ora, conoscendo le definizioni delle funzioni trigonometriche di base e utilizzando il cerchio unitario, prova a rispondere a cosa sono uguali i valori:

Ecco una cerchia di unità per aiutarti:

Qualche difficoltà? Allora scopriamolo. Quindi sappiamo che:

Da qui determiniamo le coordinate dei punti corrispondenti a determinate misure dell'angolo. Bene, cominciamo con ordine: lo spigolo a corrisponde ad un punto con coordinate, quindi:

Non esiste;

Inoltre, aderendo alla stessa logica, scopriamo che gli angoli corrispondono rispettivamente a punti con coordinate. Sapendo questo, è facile determinare i valori delle funzioni trigonometriche nei punti corrispondenti. Prima prova tu stesso, quindi controlla le risposte.

Risposte:

Non esiste

Possiamo quindi fare la seguente tabella:

Non è necessario ricordare tutti questi valori. Basta ricordare la corrispondenza tra le coordinate dei punti sulla circonferenza unitaria e i valori delle funzioni trigonometriche:

Ma i valori delle funzioni trigonometriche degli angoli in e, riportati nella tabella seguente, deve essere ricordato:

Non aver paura, ora mostreremo uno degli esempi memorizzazione piuttosto semplice dei valori corrispondenti:

Per utilizzare questo metodo, è fondamentale ricordare i valori del seno per tutte e tre le misure dell'angolo (), nonché il valore della tangente dell'angolo in. Conoscendo questi valori, è abbastanza facile ripristinare l'intera tabella: i valori del coseno vengono trasferiti secondo le frecce, ovvero:

Sapendo questo, puoi ripristinare i valori per. Il numeratore " " corrisponderà e il denominatore " " corrisponderà. I valori della cotangente vengono trasferiti secondo le frecce mostrate in figura. Se lo capisci e ricordi il diagramma con le frecce, sarà sufficiente ricordare l'intero valore dalla tabella.

Coordinate di un punto su una circonferenza

È possibile trovare un punto (le sue coordinate) su un cerchio, conoscendo le coordinate del centro del cerchio, il suo raggio e angolo di rotazione?

Beh, certo che puoi! Tiriamo fuori formula generale per trovare le coordinate di un punto.

Qui, ad esempio, abbiamo un tale cerchio:

Abbiamo dato che il punto è il centro della circonferenza. Il raggio del cerchio è uguale. È necessario trovare le coordinate del punto ottenute ruotando il punto di gradi.

Come si può vedere dalla figura, la coordinata del punto corrisponde alla lunghezza del segmento. La lunghezza del segmento corrisponde alla coordinata del centro del cerchio, cioè è uguale a. La lunghezza di un segmento può essere espressa utilizzando la definizione di coseno:

Quindi abbiamo quello per il punto la coordinata.

Con la stessa logica, troviamo il valore della coordinata y per il punto. Così,

Quindi dentro vista generale le coordinate dei punti sono determinate dalle formule:

Coordinate del centro del cerchio,

raggio del cerchio,

Angolo di rotazione del vettore raggio.

Come puoi vedere, per il cerchio unitario che stiamo considerando, queste formule sono notevolmente ridotte, poiché le coordinate del centro sono zero e il raggio è uguale a uno:

Bene, proviamo queste formule per un assaggio, esercitandoti a trovare punti su un cerchio?

1. Trova le coordinate di un punto su una circonferenza unitaria ottenuta ruotando un punto.

2. Trova le coordinate di un punto su un cerchio unitario ottenuto ruotando un punto.

3. Trova le coordinate di un punto su una circonferenza unitaria ottenuta ruotando un punto.

4. Punto: il centro del cerchio. Il raggio del cerchio è uguale. È necessario trovare le coordinate del punto ottenute ruotando il vettore raggio iniziale di.

5. Punto: il centro del cerchio. Il raggio del cerchio è uguale. È necessario trovare le coordinate del punto ottenute ruotando il vettore raggio iniziale di.

Hai difficoltà a trovare le coordinate di un punto su una circonferenza?

Risolvi questi cinque esempi (o capisci bene la soluzione) e imparerai come trovarli!

Si può vedere che. E sappiamo cosa corrisponde a un giro completo del punto di partenza. Pertanto, il punto desiderato sarà nella stessa posizione di quando si gira a. Sapendo questo, troviamo le coordinate desiderate del punto:

2. Il cerchio è unità con un centro in un punto, il che significa che possiamo usare formule semplificate:

Si può vedere che. Sappiamo cosa corrisponde a due rotazioni complete del punto di partenza. Pertanto, il punto desiderato sarà nella stessa posizione di quando si gira a. Sapendo questo, troviamo le coordinate desiderate del punto:

Seno e coseno sono valori tabulari. Ricordiamo i loro valori e otteniamo:

Pertanto, il punto desiderato ha coordinate.

3. Il cerchio è unità con un centro in un punto, il che significa che possiamo usare formule semplificate:

Si può vedere che. Descriviamo l'esempio considerato nella figura:

Il raggio forma angoli con l'asse uguale a e. Sapendo che i valori tabulari del coseno e del seno sono uguali e dopo aver determinato che il coseno qui assume un valore negativo e il seno è positivo, abbiamo:

Esempi simili vengono analizzati più in dettaglio quando si studiano le formule per ridurre le funzioni trigonometriche nell'argomento.

Pertanto, il punto desiderato ha coordinate.

Angolo di rotazione del vettore raggio (per condizione)

Per determinare i corrispondenti segni di seno e coseno, costruiamo una circonferenza unitaria e un angolo:

Come puoi vedere, il valore, cioè, è positivo e il valore, cioè, è negativo. Conoscendo i valori tabulari delle corrispondenti funzioni trigonometriche, otteniamo che:

Sostituiamo i valori ottenuti nella nostra formula e troviamo le coordinate:

Pertanto, il punto desiderato ha coordinate.

5. Per risolvere questo problema, utilizziamo formule in forma generale, dove

Le coordinate del centro del cerchio (nel nostro esempio,

Raggio del cerchio (per condizione)

Angolo di rotazione del vettore raggio (per condizione).

Sostituisci tutti i valori nella formula e ottieni:

e - valori della tabella. Li ricordiamo e li sostituiamo nella formula:

Pertanto, il punto desiderato ha coordinate.

RIASSUNTO E FORMULA BASE

Il seno di un angolo è il rapporto tra la gamba opposta (lontana) e l'ipotenusa.

Il coseno di un angolo è il rapporto tra la gamba adiacente (vicina) e l'ipotenusa.

La tangente di un angolo è il rapporto tra la gamba opposta (lontana) e quella adiacente (vicina).

La cotangente di un angolo è il rapporto tra la gamba adiacente (vicina) e quella opposta (lontana).

In questo articolo, daremo uno sguardo completo a . Le identità trigonometriche di base sono uguaglianze che stabiliscono una relazione tra seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo e consentono di trovare una qualsiasi di queste funzioni trigonometriche attraverso un altro noto.

Elenchiamo subito le principali identità trigonometriche, che analizzeremo in questo articolo. Le scriviamo in una tabella e di seguito diamo la derivazione di queste formule e diamo le spiegazioni necessarie.

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Relazione tra seno e coseno di un angolo

A volte non parlano delle principali identità trigonometriche elencate nella tabella sopra, ma di una singola identità trigonometrica di base tipo . La spiegazione di questo fatto è abbastanza semplice: le uguaglianze si ottengono dall'identità trigonometrica di base dopo aver diviso entrambe le sue parti per e rispettivamente, e le uguaglianze e seguono dalle definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente. Ne discuteremo più dettagliatamente nei paragrafi seguenti.

Cioè, è l'uguaglianza che è di particolare interesse, a cui è stato dato il nome dell'identità trigonometrica principale.

Prima di provare l'identità trigonometrica di base, diamo la sua formulazione: la somma dei quadrati del seno e del coseno di un angolo è identica a uno. Ora dimostriamolo.

L'identità trigonometrica di base è molto spesso utilizzata trasformazione delle espressioni trigonometriche. Consente di sostituire la somma dei quadrati del seno e del coseno di un angolo con uno. Non meno spesso, l'identità trigonometrica di base viene utilizzata in ordine inverso: l'unità è sostituita dalla somma dei quadrati del seno e del coseno di qualsiasi angolo.

Tangente e cotangente attraverso seno e coseno

Identità che collegano la tangente e la cotangente con il seno e il coseno di un angolo della forma e seguono immediatamente dalle definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente. Infatti, per definizione, il seno è l'ordinata di y, il coseno è l'ascissa di x, la tangente è il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa, cioè , e la cotangente è il rapporto tra l'ascissa e l'ordinata, cioè .

A causa di questa ovvietà delle identità e spesso le definizioni di tangente e cotangente sono date non attraverso il rapporto dell'ascissa e dell'ordinata, ma attraverso il rapporto del seno e del coseno. Quindi la tangente di un angolo è il rapporto tra seno e coseno di questo angolo e la cotangente è il rapporto tra coseno e seno.

Per concludere questa sezione, va notato che le identità e vale per tutti quegli angoli per i quali le funzioni trigonometriche in essi hanno senso. Quindi la formula è valida per qualsiasi altro da (altrimenti il denominatore sarà zero e non abbiamo definito la divisione per zero) e la formula - per tutti , diverso da , dove z è qualsiasi .

Relazione tra tangente e cotangente

Un'identità trigonometrica ancora più evidente delle due precedenti è l'identità che connette la tangente e la cotangente di un angolo della forma . È chiaro che avviene per angoli diversi da , altrimenti non è definita né la tangente né la cotangente.

Dimostrazione della formula molto semplice. Per definizione e da dove . La dimostrazione avrebbe potuto essere eseguita in un modo leggermente diverso. Dal momento che e , poi .

Quindi, la tangente e la cotangente di un angolo, a cui hanno senso, lo sono.

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