Come calcolare l'area di un segmento di un cerchio. Come calcolare l'area di un segmento e l'area di un segmento di sfera. Data la lunghezza dell'arco L e l'angolo al centro φ

L'area di un segmento circolare è uguale alla differenza tra l'area del corrispondente settore circolare e l'area del triangolo formata dai raggi del settore corrispondente al segmento e dalla corda che delimita il segmento.

Esempio 1

La lunghezza della corda che contrae il cerchio è uguale a a. La misura in gradi dell'arco corrispondente alla corda è di 60°. Trova l'area di un segmento circolare.

Soluzione

Un triangolo formato da due raggi e una corda è isoscele, quindi l'altezza tracciata dal vertice dell'angolo al centro al lato del triangolo formato dalla corda sarà anche la bisettrice dell'angolo al centro, dividendolo a metà e la mediana , dividendo l'accordo a metà. Sapendo che il seno dell'angolo è uguale al rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa, puoi calcolare il valore del raggio:

Peccato 30° = a/2: R = 1/2;

Sc = πR² / 360° * 60° = πa² / 6

S ▲ = 1/2 * ah, dove h è l'altezza tracciata dal vertice dell'angolo centrale alla corda. Per il teorema di Pitagora, h = √ (R²-a² / 4) = √3 * a / 2.

Di conseguenza, S ▲ = √3 / 4 * a².

L'area del segmento, calcolata come Sseg = Sc - S ▲, è pari a:

Sseg = πa² / 6 - √3 / 4 * a²

sostituzione valore numerico invece del valore a, puoi facilmente calcolare il valore numerico per l'area del segmento.

Esempio 2

Il raggio del cerchio è uguale a a. L'arco corrispondente al segmento è di 60°. Trova l'area di un segmento circolare.

Soluzione:

L'area del settore corrispondente a un dato angolo può essere calcolata utilizzando la seguente formula:

Sc = πa² / 360 ° * 60 ° = πa² / 6,

L'area del triangolo corrispondente al settore si calcola come segue:

S ▲ = 1/2 * ah, dove h è l'altezza tracciata dal vertice dell'angolo centrale alla corda. Per il teorema di Pitagora, h = √ (a²-a² / 4) = √3 * a / 2.

Di conseguenza, S ▲ = √3 / 4 * a².

E infine, l'area del segmento, calcolata come Sseg = Sc - S ▲, è uguale a:

Sseg = πa² / 6 - √3 / 4 * a².

Le soluzioni in entrambi i casi sono quasi identiche. Pertanto, possiamo concludere che per calcolare l'area di un segmento nel caso più semplice, è sufficiente conoscere il valore dell'angolo corrispondente all'arco del segmento e uno dei due parametri: il raggio del cerchio o la lunghezza della corda che contrae l'arco di cerchio che forma il segmento.

Il cerchio, le sue parti, le loro dimensioni e proporzioni sono cose che il gioielliere incontra costantemente. Anelli, bracciali, caste, tubi, palline, spirali: molte cose rotonde devono essere fatte. Come puoi calcolare tutto questo, soprattutto se hai avuto la fortuna di perderti le lezioni di geometria a scuola? ..

Diamo prima un'occhiata a cosa hanno le parti di un cerchio e come si chiamano.

• Un cerchio è una linea che racchiude un cerchio.
• Un arco fa parte di un cerchio.
• Il raggio è un segmento di linea che collega il centro del cerchio con qualsiasi punto del cerchio.
• La corda è un segmento di linea che collega due punti di un cerchio.
• Un segmento è la parte di un cerchio delimitata da una corda e da un arco.
• Un settore è la parte di un cerchio delimitata da due raggi e da un arco.

Le quantità di nostro interesse e le loro designazioni:

Ora vediamo quali compiti relativi alle parti di un cerchio devono essere risolti.

• Trova la lunghezza dello sweep di qualsiasi parte dell'anello (bracciale). Dati il ​​diametro e la corda (opzione: diametro e angolo al centro), trovare la lunghezza dell'arco.
• C'è un disegno su un piano, è necessario scoprirne le dimensioni in proiezione dopo essersi piegati in un arco. Dati la lunghezza dell'arco e il diametro, trova la lunghezza della corda.
• Scopri l'altezza della parte ottenuta piegando un pezzo piatto in un arco. Opzioni di input dei dati: lunghezza e diametro dell'arco, lunghezza dell'arco e corda; trova l'altezza del segmento

La vita ti dirà altri esempi, e questi li ho dati solo per mostrare la necessità di impostare due parametri per trovare tutti gli altri. Questo è quello che faremo. Ovvero, prendiamo cinque parametri del segmento: D, L, X, φ e H. Quindi, scegliendone tutte le possibili coppie, le considereremo come dati iniziali e facendo brainstorming troveremo tutti gli altri.

Per non appesantire invano il lettore, non darò soluzioni dettagliate, ma darò solo i risultati sotto forma di formule (quei casi in cui non esiste una soluzione formale, li specificherò strada facendo).

E un'altra nota: sulle unità di misura. Tutte le quantità, ad eccezione dell'angolo centrale, sono misurate nelle stesse unità astratte. Ciò significa che se, ad esempio, si specifica un valore in millimetri, non è necessario specificare l'altro in centimetri e i valori risultanti verranno misurati negli stessi millimetri (e l'area - in millimetri quadrati). Lo stesso si può dire per pollici, piedi e miglia nautiche.

E solo l'angolo centrale in tutti i casi si misura in gradi e in nient'altro. Perché, come dimostra la pratica, le persone che progettano qualcosa di rotondo non sono inclini a misurare gli angoli in radianti. La frase "l'angolo di pi greco per quattro" sconcerta molti, mentre l'"angolo di quarantacinque gradi" è comprensibile a tutti, poiché è solo cinque gradi più alto del normale. Tuttavia, in tutte le formule sarà presente un altro angolo come valore intermedio - α. In termini di significato, questa è la metà dell'angolo centrale, misurata in radianti, ma non puoi tranquillamente approfondire questo significato.

1. Dati il ​​diametro D e la lunghezza dell'arco L

; lunghezza dell'accordo ;
altezza del segmento ; angolo centrale .

2. Dati il ​​diametro D e la lunghezza della corda X

; lunghezza dell'arco;
altezza del segmento ; angolo centrale .

Poiché la corda divide il cerchio in due segmenti, questo problema non ha una, ma due soluzioni. Per ottenere il secondo, è necessario sostituire l'angolo α con l'angolo nelle formule precedenti.

3. Dati il ​​diametro D e l'angolo al centro φ

; lunghezza dell'arco;
lunghezza dell'accordo ; altezza del segmento .

4. Dati il ​​diametro D e l'altezza del segmento H

; lunghezza dell'arco;
lunghezza dell'accordo ; angolo centrale .

6. Data la lunghezza dell'arco L e l'angolo al centro φ

; diametro;
lunghezza dell'accordo ; altezza del segmento .

8. Data la lunghezza della corda X e l'angolo al centro φ

; lunghezza dell'arco ;
diametro; altezza del segmento .

9. Data la lunghezza della corda X e l'altezza del segmento H

; lunghezza dell'arco ;
diametro; angolo centrale .

10. Dati l'angolo al centro e l'altezza del segmento H

; diametro ;
lunghezza dell'arco; lunghezza dell'accordo .

Il lettore attento non ha potuto fare a meno di notare che ho perso due opzioni:

5. Data la lunghezza dell'arco L e la lunghezza della corda X

7. Data la lunghezza dell'arco L e l'altezza del segmento H

Questi sono solo quei due spiacevoli casi in cui il problema non ha una soluzione che potrebbe essere scritta sotto forma di formula. E il compito non è così raro. Ad esempio, supponiamo di avere un pezzo piatto di lunghezza L e di volerlo piegare in modo che la sua lunghezza diventi X (o l'altezza diventi H). Qual è il diametro del mandrino (catenaccio)?

Questo compito si riduce alla risoluzione delle equazioni:
; - nell'opzione 5
; - nell'opzione 7
e sebbene non siano risolti analiticamente, sono facilmente risolti programmaticamente. E so anche dove trovare un programma del genere: proprio su questo sito, sotto il nome. Tutto ciò di cui sono qui a lungo, lo fa in microsecondi.

Per completezza, aggiungiamo la circonferenza e tre valori dell'area: un cerchio, un settore e un segmento ai risultati dei nostri calcoli. (Le aree ci aiuteranno molto nel calcolo della massa di qualsiasi parte rotonda e semicircolare, ma ne parleremo in un articolo separato.) Tutti questi valori sono calcolati utilizzando le stesse formule:

circonferenza ;
area di un cerchio ;
settore settore ;
area del segmento ;

E in conclusione, vi ricorderò ancora una volta l'esistenza di assolutamente Software gratis, che esegue tutti i calcoli di cui sopra, liberandoti dalla necessità di ricordare cos'è l'arcotangente e dove cercarlo.

Inizialmente, sembra così:

Figura 463.1... a) l'arco esistente, b) determinare la lunghezza della corda del segmento e l'altezza.

Quindi, quando c'è un arco, possiamo collegare le sue estremità e ottenere una corda di lunghezza L. Nel mezzo della corda, possiamo tracciare una linea perpendicolare alla corda e quindi ottenere l'altezza del segmento H. Ora, sapendo la lunghezza della corda e l'altezza del segmento, possiamo prima determinare l'angolo al centro α, cioè l'angolo tra i raggi disegnati dall'inizio e dalla fine del segmento (non mostrato nella Figura 463.1), e quindi il raggio del cerchio.

La soluzione a un tale problema è stata considerata in modo sufficientemente dettagliato nell'articolo "Calcolo di un architrave ad arco", quindi qui fornirò solo le formule di base:

tg ( un/4) = 2H / L (278.1.2)

un/ 4 = arcotg ( 2H / L)

R = h/ (1 - cos ( un/2)) (278.1.3)

Come puoi vedere, dal punto di vista della matematica, non ci sono problemi con la determinazione del raggio di un cerchio. Questo metodo consente di determinare il valore del raggio dell'arco con qualsiasi accuratezza possibile. Questo è il principale vantaggio di questo metodo.

Ora parliamo degli svantaggi.

Il problema con questo metodo non è nemmeno che è necessario ricordare le formule del corso di geometria della scuola, che sono state dimenticate con successo molti anni fa - per ricordare le formule - c'è Internet. Ed ecco una calcolatrice con la funzione arctg, arcsin, ecc. non tutti gli utenti ce l'hanno. E sebbene questo problema sia risolto con successo anche da Internet, non dobbiamo dimenticare che stiamo risolvendo un problema abbastanza applicato. Quelli. non è sempre necessario determinare il raggio di un cerchio con una precisione di 0,0001 mm, una precisione di 1 mm può essere abbastanza accettabile.

Inoltre, per trovare il centro del cerchio, è necessario estendere l'altezza del segmento e mettere da parte su questa linea una distanza pari al raggio. Trattandosi in pratica di strumenti di misura non ideali, a questo va aggiunto il possibile errore in fase di marcatura, si scopre che minore è l'altezza del segmento rispetto alla lunghezza della corda, maggiore è l'errore che può verificarsi nella determinazione del centro dell'arco.

Ancora una volta, non dobbiamo dimenticare che non stiamo considerando un caso ideale, ad es. Questo è ciò che abbiamo chiamato la curva un arco a prima vista. In realtà, può essere una curva descritta da una relazione matematica piuttosto complessa. Pertanto, il raggio e il centro del cerchio trovati in questo modo potrebbero non coincidere con il centro effettivo.

A questo proposito, voglio proporre un altro modo per determinare il raggio di un cerchio, che io stesso uso spesso, perché questo metodo è molto più veloce e più facile da determinare il raggio di un cerchio, sebbene la precisione sia molto inferiore.

Secondo metodo per determinare il raggio dell'arco (metodo delle approssimazioni successive)

Quindi continuiamo la nostra considerazione della situazione attuale.

Poiché dobbiamo ancora trovare il centro del cerchio, prima disegneremo almeno due archi di raggio arbitrario dai punti corrispondenti all'inizio e alla fine dell'arco. Una linea retta passerà attraverso l'intersezione di questi archi, su cui si trova il centro del cerchio desiderato.

Ora dobbiamo collegare l'intersezione degli archi al punto medio della corda. Tuttavia, se dai punti indicati disegniamo non un arco, ma due, allora questa linea passerà attraverso l'intersezione di questi archi e quindi non è affatto necessario cercare il centro dell'accordo.

Se la distanza dall'intersezione degli archi all'inizio o alla fine dell'arco in esame è maggiore della distanza dall'intersezione degli archi al punto corrispondente all'altezza del segmento, allora il centro dell'arco in esame si trova più in basso su una retta tracciata attraverso l'intersezione degli archi e il centro della corda. Se minore, allora il centro dell'arco cercato è più alto sulla retta.

Sulla base di ciò, viene preso il punto successivo sulla retta, presumibilmente corrispondente al centro dell'arco, e da esso vengono effettuate le stesse misurazioni. Quindi viene preso il punto successivo e le misurazioni vengono ripetute. Con ogni nuovo punto, la differenza nelle misurazioni sarà sempre minore.

È tutto. Nonostante una descrizione così lunga e complicata, sono sufficienti 1-2 minuti per determinare il raggio dell'arco in questo modo con una precisione di 1 mm.

In teoria, sembra qualcosa del genere:

Figura 463.2... Determinazione del centro dell'arco con il metodo delle approssimazioni successive.

Ma in pratica qualcosa del genere:

Foto 463.1... Marcatura di un pezzo di forma complessa con raggi diversi.

Qui aggiungerò solo che a volte devi trovare e disegnare diversi raggi, perché c'è così tanto mescolato nella fotografia.

Il valore matematico dell'area è noto fin dai tempi Grecia antica... Anche in quei tempi lontani, i greci scoprirono che l'area è una parte continua della superficie, che è delimitata su tutti i lati da un contorno chiuso. È un valore numerico misurato in unità quadrate. L'area è una caratteristica numerica sia delle figure geometriche piane (planimetriche) sia delle superfici dei corpi nello spazio (volumetriche).

Attualmente, si trova non solo all'interno curriculum scolastico nelle lezioni di geometria e matematica, ma anche nell'astronomia, nella vita quotidiana, nell'edilizia, nello sviluppo del design, nella produzione e in molte altre persone. Molto spesso, ricorriamo al calcolo delle aree dei segmenti su una trama personale quando decoriamo un'area paesaggistica o quando rinnoviamo un design della stanza ultramoderno. Pertanto, la conoscenza dei metodi per calcolare l'area di vari sarà utile sempre e ovunque.

Per calcolare l'area di un segmento circolare e un segmento di una sfera, è necessario comprendere i termini geometrici che saranno necessari nel processo di calcolo.

Prima di tutto, un segmento di cerchio è un frammento figura piatta un cerchio che si trova tra l'arco di cerchio e la corda che lo taglia. Questo concetto non va confuso con il dato di settore. Queste sono cose completamente diverse.

Una corda è un segmento che collega due punti che giacciono su un cerchio.

L'angolo centrale è formato tra due segmenti di linea - raggi. Viene misurato in gradi dall'arco su cui poggia.

Un segmento di una sfera si forma quando una parte viene tagliata da un piano qualsiasi.In questo caso, la base del segmento sferico è un cerchio e l'altezza è la perpendicolare che si estende dal centro del cerchio all'intersezione con la superficie della sfera. Questo punto di intersezione è chiamato l'apice del segmento di palla.

Per determinare l'area di un segmento di una sfera, è necessario conoscere il cerchio ritagliato e l'altezza del segmento sferico. Il prodotto di queste due componenti sarà l'area del segmento della sfera: S = 2πRh, dove h è l'altezza del segmento, 2πR è la circonferenza e R è il raggio del cerchio massimo.

Per calcolare l'area di un segmento di un cerchio, puoi ricorrere alle seguenti formule:

1. Per trovare al massimo l'area di un segmento in modo semplice, è necessario calcolare la differenza tra l'area del settore in cui è inscritto il segmento e la cui base è la corda del segmento: S1 = S2-S3, dove S1 è l'area del segmento, S2 è l'area del settore e S3 è l'area del triangolo.

Puoi usare la formula approssimativa per calcolare l'area di un segmento circolare: S = 2/3 * (a * h), dove a è la base del triangolo o h è l'altezza del segmento, che è il risultato della differenza tra il raggio del cerchio e

2. L'area di un segmento diverso da un semicerchio viene calcolata come segue: S = (π R2: 360) * α ± S3, dove π R2 è l'area di un cerchio, α è la misura in gradi dell'angolo al centro che contiene l'arco di un segmento di cerchio, S3 è l'area di un triangolo formato tra due raggi di un cerchio e una corda che possiede un angolo nel punto centrale del cerchio e due vertici dove i raggi si incontrano con il cerchio.

Se l'angolo α< 180 градусов, используется знак минус, если α >180 gradi, si applica il segno più.

3. Puoi calcolare l'area di un segmento usando altri metodi usando la trigonometria. Di norma, viene preso come base un triangolo. Se l'angolo al centro è misurato in gradi, è accettabile la seguente formula: S = R2 * (π * (α / 180) - sin α) / 2, dove R2 è il quadrato del raggio del cerchio, α è il misura in gradi dell'angolo al centro.

4. Per calcolare l'area di un segmento utilizzando le funzioni trigonometriche, è possibile utilizzare un'altra formula, a condizione che l'angolo al centro sia misurato in radianti: S = R2 * (α - sin α) / 2, dove R2 è il quadrato di il raggio del cerchio, α è l'angolo centrale della misura dei gradi.

Definizione di un segmento di cerchio

Segmento- questo è figura geometrica, che si ottiene tagliando parte del cerchio con una corda.

Calcolatrice online

Questa figura si trova tra la corda e l'arco del cerchio.

Questo è un segmento di linea che si trova all'interno di un cerchio e collega due punti selezionati casualmente su di esso.

Quando si taglia una parte di un cerchio con una corda, si possono considerare due figure: questo è il nostro segmento e un triangolo isoscele, i cui lati sono i raggi del cerchio.

L'area di un segmento può essere trovata come la differenza tra le aree di un settore di un cerchio e questo triangolo isoscele.

L'area di un segmento può essere trovata in diversi modi. Soffermiamoci su di loro in modo più dettagliato.

La formula per l'area di un segmento di un cerchio in termini di raggio e lunghezza di un arco di cerchio, altezza e base di un triangolo

S = 1 2 ⋅ R ⋅ s - 1 2 ⋅ h ⋅ a S = \ frac (1) (2) \ cdot R \ cdot s- \ frac (1) (2) \ cdot h \ cdot aS =2 1 ​ ⋅ RS -2 1 ​ ⋅ hun

R R R- raggio del cerchio;
s s S- lunghezza dell'arco;
h h h- l'altezza del triangolo isoscele;
aa unè la lunghezza della base di questo triangolo.

Viene dato un cerchio, il suo raggio è numericamente uguale a 5 (vedi), l'altezza, che è disegnata alla base del triangolo, è uguale a 2 (vedi), la lunghezza dell'arco è 10 (vedi). Trova l'area di un segmento di un cerchio.

Soluzione

R = 5 R = 5 R =5
h = 2 h = 2 h =2
s = 10 s = 10 s =1 0

Per calcolare l'area, ci manca solo la base del triangolo. Troviamolo con la formula:

A = 2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R - h) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 - 2) = 8 a = 2 \ cdot \ sqrt (h \ cdot (2 \ cdot Rh)) = 2 \ cdot \ sqrt (2 \ cdot (2 \ cdot 5-2)) = 8a =2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R - h)​ = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2 ) ​ = 8

Ora possiamo calcolare l'area del segmento:

S = 1 2 ⋅ R ⋅ s - 1 2 ⋅ h ⋅ a = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 10 - 1 2 ⋅ 2 ⋅ 8 = 17 S = \ frac (1) (2) \ cdot R \ cdot s- \ frac (1) (2) \ cdot h \ cdot a = \ frac (1) (2) \ cdot 5 \ cdot 10- \ frac (1) (2) \ cdot 2 \ cdot 8 = 17S =2 1 ​ ⋅ RS -2 1 ​ ⋅ ha =2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 1 0 − 2 1 ​ ⋅ 2 ⋅ 8 = 1 7 (vedi mq.)

Risposta: 17 cmq.

Formula per l'area di un segmento di un cerchio per il raggio del cerchio e l'angolo al centro

S = R 2 2 ⋅ (α - sin ⁡ (α)) S = \ frac (R ^ 2) (2) \ cdot (\ alpha- \ sin (\ alpha))S =2 R 2 ​ ⋅ (α − peccato (α))

R R R- raggio del cerchio;
α \ alfa α - l'angolo al centro tra due raggi, sottende la corda, misurato in radianti.

Trova l'area di un segmento di un cerchio se il raggio del cerchio è 7 (vedi) e l'angolo al centro è di 30 gradi.

Soluzione

R = 7 R = 7 R =7
α = 3 0 ∘ \ alfa = 30 ^ (\ circ)α = 3 0 ∘

Convertiamo prima l'angolo in gradi in radianti. Nella misura in cui \ pi π radianti è uguale a 180 gradi, quindi:
3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ π 18 0 ∘ = π 6 30 ^ (\ circ) = 30 ^ (\ circ) \ cdot \ frac (\ pi) (180 ^ (\ circ)) = \ frac (\ pi ) (6)3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ 1 8 0 ∘ π ​ = 6 π ​ radiante. Quindi l'area del segmento è:

S = R 2 2 ⋅ (α - sin ⁡ (α)) = 49 2 ⋅ (π 6 - sin ⁡ (π 6)) ≈ 0,57 S = \ frac (R ^ 2) (2) \ cdot (\ alpha- \ sin (\ alpha)) = \ frac (49) (2) \ cdot \ Big (\ frac (\ pi) (6) - \ sin \ Big (\ frac (\ pi) (6) \ Big) \ Big ) \ circa 0,57S =2 R 2 ​ ⋅ (α − peccato (α)) =2 4 9 ​ ⋅ ( 6 π ​ − peccato ( 6 π ​ ) ) ≈ 0 . 5 7 (vedi mq.)

Risposta: 0,57 centimetri.