Trova n numero in progressione aritmetica. Progressione aritmetica. Media aritmetica e trattini uguali

Tipo di lezione: imparare nuovo materiale.

Obiettivi della lezione:

• espansione e approfondimento delle idee degli studenti sui compiti risolti utilizzando la progressione aritmetica; organizzare l'attività di ricerca degli studenti nel ricavare la formula per la somma dei primi n membri di una progressione aritmetica;
• sviluppo di abilità per acquisire autonomamente nuove conoscenze, utilizzare le conoscenze già acquisite per raggiungere il compito;
• sviluppo del desiderio e della necessità di generalizzare i fatti ottenuti, sviluppo dell'indipendenza.

Compiti:

• generalizzare e sistematizzare le conoscenze esistenti sull'argomento “Progressione aritmetica”;
• ricavare formule per calcolare la somma dei primi n membri di una progressione aritmetica;
• insegnare come applicare le formule ottenute nella risoluzione di vari problemi;
• attirare l'attenzione degli studenti sulla procedura per trovare il valore di un'espressione numerica.

Attrezzatura:

• schede con compiti per lavoro in gruppo e in coppia;
• carta di valutazione;
• presentazione"Progressione aritmetica".

I. Attualizzazione delle conoscenze di base.

1. Lavoro indipendente in coppia.

1a opzione:

Definire una progressione aritmetica. Scrivi una formula ricorsiva che definisce una progressione aritmetica. Fai un esempio di progressione aritmetica e indica la sua differenza.

2a opzione:

Scrivi la formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica. Trova il centesimo termine di una progressione aritmetica ( un}: 2, 5, 8 …
In questo momento, due studenti sul retro della lavagna stanno preparando le risposte alle stesse domande.
Gli studenti valutano il lavoro del partner confrontandolo con la lavagna. (I volantini con le risposte vengono consegnati).

2. Momento di gioco.

Esercizio 1.

Insegnante. Ho concepito una progressione aritmetica. Fammi solo due domande in modo che dopo le risposte tu possa nominare rapidamente il 7° membro di questa progressione. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Domande degli studenti.

1. Qual è il sesto termine della progressione e qual è la differenza?
2. Qual è l'ottavo termine della progressione e qual è la differenza?

Se non ci sono più domande, l'insegnante può stimolarle: un "divieto" su d (differenza), ovvero non è consentito chiedere qual è la differenza. Puoi porre domande: qual è il 6° termine della progressione e qual è l'8° termine della progressione?

Compito 2.

Ci sono 20 numeri scritti sulla lavagna: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

L'insegnante sta con le spalle alla lavagna. Gli studenti dicono il numero del numero e l'insegnante chiama immediatamente il numero stesso. Spiega come posso farlo?

L'insegnante ricorda la formula dell'ennesimo termine a n \u003d 3n - 2 e, sostituendo i valori dati di n, trova i valori corrispondenti un .

II. Dichiarazione del compito educativo.

Propongo di risolvere un vecchio problema risalente al II millennio aC, rinvenuto nei papiri egizi.

Compito:“Vi sia detto: dividete 10 misure di orzo in 10 persone, la differenza tra ogni persona e il suo prossimo è 1/8 della misura”.

• Come si collega questo problema al tema della progressione aritmetica? (Ogni persona successiva ottiene 1/8 della misura in più, quindi la differenza è d=1/8, 10 persone, quindi n=10.)
• Cosa pensi significhi il numero 10? (La somma di tutti i membri della progressione.)
• Cos'altro devi sapere per rendere facile e semplice dividere l'orzo in base alla condizione del problema? (Il primo termine della progressione.)

Obiettivo della lezione- ottenere la dipendenza della somma dei termini della progressione dal loro numero, dal primo termine e dalla differenza, e verificare se il problema era risolto correttamente nell'antichità.

Prima di derivare la formula, vediamo come gli antichi egizi risolsero il problema.

E hanno risolto così:

1) 10 misure: 10 = 1 misura - quota media;
2) 1 misura ∙ = 2 misure - raddoppiata media Condividere.
raddoppiato media la quota è la somma delle quote della 5a e 6a persona.
3) 2 battute - 1/8 battute = 1 7/8 battute - il doppio della quota della quinta persona.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - la quota del quinto; e così via, puoi trovare la quota di ogni persona precedente e successiva.

Otteniamo la sequenza:

III. La soluzione del compito.

1. Lavorare in gruppo

1° gruppo: Trova la somma di 20 numeri naturali consecutivi: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

In generale

II gruppo: Trova la somma dei numeri naturali da 1 a 100 (Leggenda di Little Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Conclusione:

III gruppo: Trova la somma dei numeri naturali da 1 a 21.

Soluzione: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Conclusione:

IV gruppo: Trova la somma dei numeri naturali da 1 a 101.

Conclusione:

Questo metodo per risolvere i problemi considerati è chiamato "metodo di Gauss".

2. Ogni gruppo presenta alla lavagna la soluzione del problema.

3. Generalizzazione delle soluzioni proposte per una progressione aritmetica arbitraria:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Troviamo questa somma argomentando in modo simile:

4. Abbiamo risolto il compito?(Sì.)

IV. Comprensione primaria e applicazione delle formule ottenute nella risoluzione dei problemi.

1. Verifica della soluzione di un vecchio problema mediante la formula.

2. Applicazione della formula nella risoluzione di vari problemi.

3. Esercizi per la formazione della capacità di applicare la formula nella risoluzione dei problemi.

A) n. 613

Dato :( e n) - progressione aritmetica;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Trovare: S 1500

Decisione: , e 1 = 1 e 1500 = 1500,

B) Dato: ( e n) - progressione aritmetica;
(e n): 1, 2, 3, ...
Sn = 210

Trovare: n
Decisione:

V. Lavoro autonomo con verifica reciproca.

Denis è andato a lavorare come corriere. Nel primo mese, il suo stipendio era di 200 rubli, in ogni mese successivo aumentava di 30 rubli. Quanto ha guadagnato in un anno?

Dato :( e n) - progressione aritmetica;
a 1 = 200, d=30, n=12
Trovare: S 12
Decisione:

Risposta: Denis ha ricevuto 4380 rubli per l'anno.

VI. Istruzioni per i compiti.

1. p.4.3 - impara la derivazione della formula.
2. №№ 585, 623 .
3. Componi un problema che verrebbe risolto usando la formula per la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica.

VII. Riassumendo la lezione.

1. Scheda dei punteggi

2. Continua le frasi

• Oggi in classe ho imparato...
• Formule apprese...
• Penso che …

3. Riesci a trovare la somma dei numeri da 1 a 500? Quale metodo utilizzerai per risolvere questo problema?

Bibliografia.

1. Algebra, 9a elementare. Libro di testo per le istituzioni educative. ed. GV Dorofeeva. Mosca: Illuminismo, 2009.

Ad esempio, la sequenza \(2\); \(5\); \(otto\); \(undici\); \(14\)… è una progressione aritmetica, perché ogni elemento successivo differisce di tre dal precedente (si ottiene dal precedente sommando tre):

In questa progressione, la differenza \(d\) è positiva (uguale a \(3\)), e quindi ogni termine successivo è maggiore del precedente. Tali progressioni sono chiamate crescente.

Tuttavia, \(d\) può anche essere un numero negativo. Per esempio, in progressione aritmetica \(16\); \(dieci\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… la differenza di progressione \(d\) è uguale a meno sei.

E in questo caso, ogni elemento successivo sarà minore del precedente. Queste progressioni sono chiamate decrescente.

Notazione di progressione aritmetica

La progressione è indicata da una minuscola lettera latina.

Si chiamano i numeri che formano una progressione membri(o elementi).

Sono indicati con la stessa lettera della progressione aritmetica, ma con un indice numerico uguale al numero dell'elemento in ordine.

Ad esempio, la progressione aritmetica \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) è costituita dagli elementi \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) e così via.

In altre parole, per la progressione \(a_n = \sinistra\(2; 5; 8; 11; 14…\destra\)\)

Risolvere problemi su una progressione aritmetica

In linea di principio, le informazioni di cui sopra sono già sufficienti per risolvere quasi tutti i problemi su una progressione aritmetica (compresi quelli offerti all'OGE).

Esempio (OGE). La progressione aritmetica è data dalle condizioni \(b_1=7; d=4\). Trova \(b_5\).
Decisione:

Risposta: \(b_5=23\)

Esempio (OGE). Si danno i primi tre termini di una progressione aritmetica: \(62; 49; 36…\) Trova il valore del primo termine negativo di questa progressione..
Decisione:

	Ci vengono dati i primi elementi della sequenza e sappiamo che si tratta di una progressione aritmetica. Cioè, ogni elemento differisce da quello vicino per lo stesso numero. Scopri quale sottraendo il precedente dall'elemento successivo: \(d=49-62=-13\).
	Ora possiamo ripristinare la nostra progressione all'elemento desiderato (primo negativo).
	Pronto. Puoi scrivere una risposta.

Risposta: \(-3\)

Esempio (OGE). Vengono forniti diversi elementi successivi di una progressione aritmetica: \(...5; x; 10; 12.5...\) Trova il valore dell'elemento indicato dalla lettera \(x\).
Decisione:

	Per trovare \(x\), dobbiamo sapere quanto l'elemento successivo differisce dal precedente, in altre parole, la differenza di progressione. Troviamolo da due elementi vicini noti: \(d=12.5-10=2.5\).
	E ora troviamo quello che stiamo cercando senza problemi: \(x=5+2.5=7.5\).
	Pronto. Puoi scrivere una risposta.

Risposta: \(7,5\).

Esempio (OGE). La progressione aritmetica è data dalle seguenti condizioni: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Trova la somma dei primi sei termini di questa progressione.
Decisione:

Dobbiamo trovare la somma dei primi sei termini della progressione. Ma non ne conosciamo il significato, ci viene dato solo il primo elemento. Pertanto, calcoliamo prima i valori a turno, usando il dato che ci è stato dato: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) E dopo aver calcolato i sei elementi di cui abbiamo bisogno, troviamo la loro somma.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

L'importo richiesto è stato trovato.

Risposta: \(S_6=9\).

Esempio (OGE). In progressione aritmetica \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Trova la differenza di questa progressione.
Decisione:

Risposta: \(d=7\).

Importanti formule di progressione aritmetica

Come puoi vedere, molti problemi di progressione aritmetica possono essere risolti semplicemente comprendendo la cosa principale: che una progressione aritmetica è una catena di numeri e ogni elemento successivo in questa catena si ottiene sommando lo stesso numero al precedente (la differenza della progressione).

Tuttavia, a volte ci sono situazioni in cui è molto scomodo risolvere "sulla fronte". Ad esempio, immagina che nel primo esempio non dobbiamo trovare il quinto elemento \(b_5\), ma il trecentottantaseiesimo \(b_(386)\). Che cos'è, noi \ (385 \) volte ne aggiungiamo quattro? Oppure immagina che nel penultimo esempio devi trovare la somma dei primi settantatré elementi. Contare è confuso...

Pertanto, in questi casi, non risolvono “sulla fronte”, ma utilizzano formule speciali derivate per la progressione aritmetica. E le principali sono la formula per l'ennesimo termine della progressione e la formula per la somma \(n\) dei primi termini.

Formula per il \(n\)esimo membro: \(a_n=a_1+(n-1)d\), dove \(a_1\) è il primo membro della progressione;
\(n\) – numero dell'elemento richiesto;
\(a_n\) è un membro della progressione con il numero \(n\).

Questa formula ci permette di trovare velocemente almeno il trecentesimo, anche il milionesimo elemento, conoscendo solo il primo e la differenza di progressione.

Esempio. La progressione aritmetica è data dalle condizioni: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Trova \(b_(246)\).
Decisione:

Risposta: \(b_(246)=1850\).

La formula per la somma dei primi n termini è: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), dove

\(a_n\) è l'ultimo termine sommato;

Esempio (OGE). La progressione aritmetica è data dalle condizioni \(a_n=3.4n-0.6\). Trova la somma dei primi \(25\) termini di questa progressione.
Decisione:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Per calcolare la somma dei primi venticinque elementi, dobbiamo conoscere il valore del primo e del venticinquesimo termine. La nostra progressione è data dalla formula dell'ennesimo termine a seconda del suo numero (vedi dettagli). Calcoliamo il primo elemento sostituendo \(n\) con uno.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Ora troviamo il venticinquesimo termine sostituendo venticinque invece di \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Bene, ora calcoliamo l'importo richiesto senza problemi.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		La risposta è pronta.

Risposta: \(S_(25)=1090\).

Per la somma \(n\) dei primi termini, puoi ottenere un'altra formula: devi solo \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) invece di \(a_n\) sostituisci la formula \(a_n=a_1+(n-1)d\). Noi abbiamo:

La formula per la somma dei primi n termini è: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), dove

\(S_n\) – la somma richiesta \(n\) dei primi elementi;
\(a_1\) è il primo termine da sommare;
\(d\) – differenza di progressione;
\(n\) - il numero di elementi nella somma.

Esempio. Trova la somma dei primi \(33\)-ex termini della progressione aritmetica: \(17\); \(15,5\); \(quattordici\)…
Decisione:

Risposta: \(S_(33)=-231\).

Problemi di progressione aritmetica più complessi

Ora hai tutte le informazioni necessarie per risolvere quasi tutti i problemi di progressione aritmetica. Concludiamo l'argomento considerando problemi in cui non solo è necessario applicare formule, ma anche pensare un po' (in matematica può essere utile ☺)

Esempio (OGE). Trova la somma di tutti i termini negativi della progressione: \(-19.3\); \(-diciannove\); \(-18.7\)…
Decisione:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Il compito è molto simile al precedente. Iniziamo a risolvere allo stesso modo: prima troviamo \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Ora sostituiremmo \(d\) nella formula per la somma ... e qui appare una piccola sfumatura - non sappiamo \(n\). In altre parole, non sappiamo quanti termini dovranno essere aggiunti. Come scoprirlo? Pensiamo. Smetteremo di aggiungere elementi quando arriviamo al primo elemento positivo. Cioè, devi scoprire il numero di questo elemento. Come? Scriviamo la formula per calcolare qualsiasi elemento di una progressione aritmetica: \(a_n=a_1+(n-1)d\) per il nostro caso.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Abbiamo bisogno che \(a_n\) sia maggiore di zero. Scopriamo per cosa \(n\) questo accadrà.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\)		Dividiamo entrambi i membri della disuguaglianza per \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Trasferiamo meno uno, senza dimenticare di cambiare segno
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Informatica...
\(n>65.333…\)		…e risulta che il primo elemento positivo avrà il numero \(66\). Di conseguenza, l'ultimo negativo ha \(n=65\). Per ogni evenienza, diamo un'occhiata.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Quindi, dobbiamo aggiungere i primi \(65\) elementi.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cpunto 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		La risposta è pronta.

Risposta: \(S_(65)=-630,5\).

Esempio (OGE). La progressione aritmetica è data dalle condizioni: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Trova la somma da \(26\)esimo a \(42\) elemento compreso.
Decisione:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	In questo problema, devi anche trovare la somma degli elementi, ma partendo non dal primo, ma dal \(26\)esimo. Non abbiamo una formula per questo. Come decidere? Facile: per ottenere la somma da \(26\)esimo a \(42\)esimo, devi prima trovare la somma da \(1\)esimo a \(42\)esimo, quindi sottrarre da esso la somma da il primo a \ (25 \) esimo (vedi foto).
	Per la nostra progressione \(a_1=-33\) e la differenza \(d=4\) (dopotutto, aggiungiamo quattro all'elemento precedente per trovare quello successivo). Sapendo questo, troviamo la somma dei primi elementi \(42\)-uh.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cpunto 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Ora la somma dei primi \(25\)-esimo elemento.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cpunto 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	E infine calcoliamo la risposta.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Risposta: \(S=1683\).

Per una progressione aritmetica, ci sono molte altre formule che non abbiamo considerato in questo articolo a causa della loro scarsa utilità pratica. Tuttavia, puoi trovarli facilmente.

Qualcuno tratta la parola "progresso" con cautela, come un termine molto complesso tratto dalle sezioni della matematica superiore. Nel frattempo, la progressione aritmetica più semplice è il lavoro dello sportello taxi (dove ancora rimangono). E capire l'essenza (e in matematica non c'è niente di più importante che "capire l'essenza") di una sequenza aritmetica non è così difficile, dopo aver analizzato alcuni concetti elementari.

Sequenza numerica matematica

È consuetudine chiamare una sequenza numerica una serie di numeri, ognuno dei quali ha un proprio numero.

e 1 è il primo membro della sequenza;

e 2 è il secondo membro della sequenza;

e 7 è il settimo membro della sequenza;

e n è l'ennesimo membro della sequenza;

Tuttavia, nessun insieme arbitrario di cifre e numeri ci interessa. Concentreremo la nostra attenzione su una sequenza numerica in cui il valore dell'ennesimo membro è correlato al suo numero ordinale da una dipendenza che può essere chiaramente formulata matematicamente. In altre parole: il valore numerico dell'ennesimo numero è una qualche funzione di n.

a - valore di un membro della sequenza numerica;

n è il suo numero di serie;

f(n) è una funzione in cui l'ordinale nella sequenza numerica n è l'argomento.

Definizione

Una progressione aritmetica è solitamente chiamata sequenza numerica in cui ogni termine successivo è maggiore (minore) del precedente dello stesso numero. La formula per l'ennesimo membro di una sequenza aritmetica è la seguente:

a n - il valore del membro corrente della progressione aritmetica;

a n+1 - la formula del numero successivo;

d - differenza (un certo numero).

È facile determinare che se la differenza è positiva (d>0), allora ogni membro successivo della serie in esame sarà maggiore del precedente e tale progressione aritmetica sarà crescente.

Nel grafico sottostante, è facile capire perché la sequenza numerica è chiamata "crescente".

Nei casi in cui la differenza è negativa (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Il valore del membro specificato

A volte è necessario determinare il valore di qualche termine arbitrario a n di una progressione aritmetica. Puoi farlo calcolando successivamente i valori di tutti i membri della progressione aritmetica, dal primo a quello desiderato. Tuttavia, questo modo non è sempre accettabile se, ad esempio, è necessario trovare il valore del cinquemillesimo o dell'ottomilionesimo termine. Il calcolo tradizionale richiederà molto tempo. Tuttavia, una specifica progressione aritmetica può essere studiata utilizzando determinate formule. Esiste anche una formula per l'ennesimo termine: il valore di un qualsiasi membro di una progressione aritmetica può essere determinato come somma del primo membro della progressione con la differenza della progressione, moltiplicato per il numero del membro desiderato, meno uno .

La formula è universale per aumentare e diminuire la progressione.

Un esempio di calcolo del valore di un determinato membro

Risolviamo il seguente problema di trovare il valore dell'n-esimo membro di una progressione aritmetica.

Condizione: è presente una progressione aritmetica con parametri:

Il primo membro della sequenza è 3;

La differenza nella serie numerica è 1,2.

Compito: è necessario trovare il valore di 214 termini

Soluzione: per determinare il valore di un dato membro, utilizziamo la formula:

a(n) = a1 + d(n-1)

Sostituendo i dati dall'istruzione del problema nell'espressione, abbiamo:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Risposta: Il 214° membro della sequenza è pari a 258,6.

I vantaggi di questo metodo di calcolo sono evidenti: l'intera soluzione non richiede più di 2 righe.

Somma di un dato numero di termini

Molto spesso, in una data serie aritmetica, è necessario determinare la somma dei valori di alcuni suoi segmenti. Inoltre non è necessario calcolare i valori di ogni termine e poi sommarli. Questo metodo è applicabile se il numero di termini la cui somma deve essere trovata è piccolo. In altri casi, è più conveniente utilizzare la seguente formula.

La somma dei membri di una progressione aritmetica da 1 a n è uguale alla somma del primo e dell'ennesimo membro, moltiplicata per il numero del membro n e divisa per due. Se nella formula il valore dell'n-esimo membro è sostituito dall'espressione del paragrafo precedente dell'articolo, otteniamo:

Esempio di calcolo

Ad esempio, risolviamo un problema con le seguenti condizioni:

Il primo termine della sequenza è zero;

La differenza è 0,5.

Nel problema è necessario determinare la somma dei termini della serie da 56 a 101.

Decisione. Usiamo la formula per determinare la somma della progressione:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Innanzitutto, determiniamo la somma dei valori di 101 membri della progressione sostituendo le condizioni date del nostro problema nella formula:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Ovviamente, per conoscere la somma dei termini della progressione dal 56° al 101°, è necessario sottrarre S 55 da S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Quindi la somma della progressione aritmetica per questo esempio è:

s 101 - s 55 \u003d 2.525 - 742,5 \u003d 1.782,5

Esempio di applicazione pratica della progressione aritmetica

Alla fine dell'articolo, torniamo all'esempio della sequenza aritmetica data nel primo paragrafo: un tassametro (contatore dei taxi). Consideriamo un esempio del genere.

Prendere un taxi (che include 3 km) costa 50 rubli. Ogni chilometro successivo viene pagato al tasso di 22 rubli / km. Distanza di percorrenza 30 km. Calcola il costo del viaggio.

1. Scartiamo i primi 3 km, il cui prezzo è compreso nel costo di atterraggio.

30 - 3 = 27 km.

2. Ulteriori calcoli non sono altro che l'analisi di una serie di numeri aritmetici.

Il numero socio è il numero di chilometri percorsi (meno i primi tre).

Il valore del membro è la somma.

Il primo termine in questo problema sarà uguale a 1 = 50 rubli.

Differenza di progressione d = 22 p.

il numero che ci interessa è il valore del (27 + 1)esimo membro della progressione aritmetica - la lettura del contatore alla fine del 27esimo chilometro è 27.999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

I calcoli dei dati del calendario per un periodo arbitrariamente lungo si basano su formule che descrivono determinate sequenze numeriche. In astronomia, la lunghezza dell'orbita dipende geometricamente dalla distanza del corpo celeste dal luminare. Inoltre, varie serie numeriche vengono utilizzate con successo nella statistica e in altri rami applicati della matematica.

Un altro tipo di sequenza numerica è geometrica

Una progressione geometrica è caratterizzata da un ampio tasso di variazione rispetto a un aritmetico. Non è un caso che in politica, sociologia, medicina, spesso, per mostrare l'elevata velocità di diffusione di un determinato fenomeno, ad esempio una malattia durante un'epidemia, si dice che il processo si sviluppa in modo esponenziale.

L'N-esimo membro della serie numerica geometrica differisce dalla precedente in quanto viene moltiplicato per un numero costante: il denominatore, ad esempio, il primo membro è 1, il denominatore è 2, rispettivamente, quindi:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - il valore del membro corrente della progressione geometrica;

b n+1 - la formula del prossimo membro della progressione geometrica;

q è il denominatore di una progressione geometrica (numero costante).

Se il grafico di una progressione aritmetica è una linea retta, quella geometrica disegna un'immagine leggermente diversa:

Come nel caso dell'aritmetica, una progressione geometrica ha una formula per il valore di un membro arbitrario. Ogni n-esimo termine di una progressione geometrica è uguale al prodotto del primo termine e al denominatore della progressione alla potenza di n ridotta di uno:

Esempio. Abbiamo una progressione geometrica con il primo termine uguale a 3 e il denominatore della progressione uguale a 1,5. Trova il 5° termine della progressione

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

La somma di un determinato numero di membri viene calcolata anche utilizzando una formula speciale. La somma dei primi n membri di una progressione geometrica è uguale alla differenza tra il prodotto dell'ennesimo membro della progressione e del suo denominatore e il primo membro della progressione, diviso per il denominatore ridotto di uno:

Se b n viene sostituito con la formula sopra discussa, il valore della somma dei primi n membri della serie numerica considerata assumerà la forma:

Esempio. La progressione geometrica inizia con il primo termine uguale a 1. Il denominatore è posto uguale a 3. Troviamo la somma dei primi otto termini.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

La matematica ha la sua bellezza, così come la pittura e la poesia.

Scienziato russo, meccanico N.E. Zhukovsky

Compiti molto comuni nei test di ammissione in matematica sono compiti legati al concetto di progressione aritmetica. Per risolvere con successo tali problemi, è necessario conoscere bene le proprietà di una progressione aritmetica e avere determinate abilità nella loro applicazione.

Ricordiamo innanzitutto le principali proprietà di una progressione aritmetica e presentiamo le formule più importanti, associato a questo concetto.

Definizione. Sequenza numerica, in cui ogni termine successivo differisce dal precedente di pari numero, chiamata progressione aritmetica. Allo stesso tempo, il numeroè chiamata differenza di progressione.

Per una progressione aritmetica valgono le formule

, (1)

dove . La formula (1) è chiamata formula del termine comune di una progressione aritmetica e la formula (2) è la proprietà principale di una progressione aritmetica: ogni membro della progressione coincide con la media aritmetica dei suoi membri vicini e .

Si noti che è proprio per questa proprietà che la progressione in esame è chiamata "aritmetica".

Le formule (1) e (2) di cui sopra sono riassunte come segue:

(3)

Per calcolare la somma primo membri di una progressione aritmeticadi solito si usa la formula

(5) dove e .

Se prendiamo in considerazione la formula (1), allora implica la formula (5).

Se designiamo

dove . Poiché , allora le formule (7) e (8) sono una generalizzazione delle corrispondenti formule (5) e (6).

In particolare , dalla formula (5) segue, che cosa

Tra le meno note alla maggior parte degli studenti c'è la proprietà di una progressione aritmetica, formulata per mezzo del seguente teorema.

Teorema. Se poi

Prova. Se poi

Il teorema è stato dimostrato.

Per esempio , usando il teorema, lo si può dimostrare

Passiamo alla considerazione di esempi tipici di risoluzione di problemi sull'argomento "Progressione aritmetica".

Esempio 1 Lascia e . Trovare .

Decisione. Applicando la formula (6), otteniamo . Dal momento che e , allora o .

Esempio 2 Sia tre volte di più, e quando diviso per 2 nel quoziente, il resto è 8. Definisci e.

Decisione. Il sistema di equazioni deriva dalla condizione dell'esempio

Poiché , , e , quindi dal sistema di equazioni (10) otteniamo

La soluzione di questo sistema di equazioni sono e .

Esempio 3 Trova se e .

Decisione. Secondo la formula (5), abbiamo o . Tuttavia, usando la proprietà (9), otteniamo .

Da e , quindi dall'uguaglianza segue l'equazione o .

Esempio 4 Trova se.

Decisione.Per la formula (5) abbiamo

Tuttavia, usando il teorema, si può scrivere

Da qui e dalla formula (11) otteniamo .

Esempio 5. Dato: . Trovare .

Decisione. Da allora . Tuttavia, quindi.

Esempio 6 Lascia , e . Trovare .

Decisione. Usando la formula (9) otteniamo . Pertanto, se , allora o .

Dal momento che e allora qui abbiamo un sistema di equazioni

Risolvendo quale, otteniamo e .

Radice naturale dell'equazioneè un .

Esempio 7 Trova se e .

Decisione. Poiché secondo la formula (3) abbiamo che , allora il sistema di equazioni segue dalla condizione del problema

Se sostituiamo l'espressionenella seconda equazione del sistema, quindi otteniamo o .

Le radici dell'equazione quadratica sono e .

Consideriamo due casi.

1. Lasciamo, allora. Da e, allora.

In questo caso, secondo la formula (6), abbiamo

2. Se , allora , e

Risposta: e.

Esempio 8È noto che e Trovare .

Decisione. Tenendo conto della formula (5) e della condizione dell'esempio, scriviamo e .

Ciò implica il sistema di equazioni

Se moltiplichiamo la prima equazione del sistema per 2, e poi la aggiungiamo alla seconda, otteniamo

Secondo la formula (9), abbiamo. A questo proposito, dalla (12) segue o .

Da e, allora.

Risposta: .

Esempio 9 Trova se e .

Decisione. Poiché , e per condizione , allora o .

Dalla formula (5) è noto, che cosa . Da allora .

Quindi , qui abbiamo un sistema di equazioni lineari

Da qui otteniamo e . Tenendo conto della formula (8), scriviamo .

Esempio 10 Risolvi l'equazione.

Decisione. Segue dall'equazione data che . Supponiamo che , , e . In questo caso .

Secondo la formula (1), possiamo scrivere o .

Poiché , l'equazione (13) ha un'unica radice adatta.

Esempio 11. Trova il valore massimo a condizione che e .

Decisione. Da , allora la progressione aritmetica considerata è decrescente. A questo proposito, l'espressione assume valore massimo quando è il numero del termine minimo positivo della progressione.

Usiamo la formula (1) e il fatto, quale e . Quindi otteniamo quello o .

Perché , allora o . Tuttavia, in questa disuguaglianzanumero naturale più grande, Ecco perché .

Se i valori e vengono sostituiti nella formula (6), otteniamo .

Risposta: .

Esempio 12. Trova la somma di tutti i numeri naturali a due cifre che, divisi per 6, hanno resto di 5.

Decisione. Indichiamo con l'insieme di tutti i numeri naturali a due valori, cioè . Successivamente, costruiamo un sottoinsieme costituito da quegli elementi (numeri) dell'insieme che, divisi per il numero 6, danno un resto di 5.

Facile da installare, che cosa . Ovviamente , che gli elementi dell'insiemeformare una progressione aritmetica, in cui e .

Per determinare la cardinalità (numero di elementi) dell'insieme, assumiamo che . Poiché e , allora la formula (1) implica o . Tenendo conto della formula (5), otteniamo .

Gli esempi sopra riportati di risoluzione dei problemi non possono in alcun modo pretendere di essere esaustivi. Questo articolo è scritto sulla base di un'analisi dei metodi moderni per risolvere problemi tipici su un determinato argomento. Per uno studio più approfondito dei metodi di risoluzione dei problemi relativi alla progressione aritmetica, si consiglia di fare riferimento all'elenco della letteratura consigliata.

1. Raccolta di compiti in matematica per i candidati alle università tecniche / Ed. MI. Scanavi. - M.: Mondo e Educazione, 2013. - 608 pag.

2. Suprun VP Matematica per gli studenti delle scuole superiori: sezioni aggiuntive del curriculum scolastico. – M.: Lenand/URSS, 2014. - 216 pag.

3. Medynsky MM Un corso completo di matematica elementare in compiti ed esercizi. Libro 2: Sequenze e progressioni numeriche. – M.: Edito, 2015. - 208 pag.

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