Una progressione aritmetica è la somma dei primi dieci. Come trovare una progressione aritmetica? Esempi di progressione aritmetica con soluzione. Applicazione della formula dell'ennesimo membro di una progressione aritmetica

Quindi sediamoci e iniziamo a scrivere dei numeri. Per esempio:
Puoi scrivere qualsiasi numero e ce ne possono essere quanti ne vuoi (nel nostro caso, loro). Non importa quanti numeri scriviamo, possiamo sempre dire quale di essi è il primo, qual è il secondo e così via fino all'ultimo, cioè possiamo numerarli. Questo è un esempio di sequenza numerica:

Sequenza numerica
Ad esempio, per la nostra sequenza:

Il numero assegnato è specifico per un solo numero di sequenza. In altre parole, non ci sono numeri di tre secondi nella sequenza. Il secondo numero (come il -esimo numero) è sempre lo stesso.
Il numero con il numero è chiamato -esimo membro della sequenza.

Di solito chiamiamo l'intera sequenza una lettera (ad esempio) e ogni membro di questa sequenza - la stessa lettera con un indice uguale al numero di questo membro: .

Nel nostro caso:

Diciamo di avere una sequenza numerica in cui la differenza tra numeri adiacenti è la stessa e uguale.
Per esempio:

eccetera.
Tale sequenza numerica è chiamata progressione aritmetica.
Il termine "progresso" fu introdotto dall'autore romano Boezio già nel VI secolo e fu inteso in senso più ampio come una sequenza numerica infinita. Il nome "aritmetica" fu trasferito dalla teoria delle proporzioni continue, in cui erano impegnati gli antichi greci.

Questa è una sequenza numerica, ogni membro della quale è uguale al precedente, sommato con lo stesso numero. Questo numero è chiamato differenza di una progressione aritmetica ed è indicato.

Prova a determinare quali sequenze di numeri sono una progressione aritmetica e quali no:

un)
b)
c)
d)

Fatto? Confronta le nostre risposte:
È progressione aritmetica - b, c.
Non è progressione aritmetica - a, d.

Torniamo alla progressione data () e proviamo a trovare il valore del suo esimo membro. Esiste Due modo per trovarlo.

1. Metodo

Possiamo sommare al valore precedente il numero di progressione fino a raggiungere il esimo termine della progressione. È positivo che non abbiamo molto da riassumere, solo tre valori:

Quindi, il -esimo membro della progressione aritmetica descritta è uguale a.

2. Metodo

E se dovessimo trovare il valore del esimo termine della progressione? La somma ci avrebbe impiegato più di un'ora, e non è un dato di fatto che non avremmo commesso errori nell'addizione dei numeri.
Naturalmente, i matematici hanno escogitato un modo in cui non è necessario aggiungere la differenza di una progressione aritmetica al valore precedente. Guarda da vicino l'immagine disegnata ... Sicuramente hai già notato un certo schema, ovvero:

Ad esempio, vediamo cosa compone il valore del -esimo membro di questa progressione aritmetica:


In altre parole:

Cerca di trovare autonomamente in questo modo il valore di un membro di questa progressione aritmetica.

Calcolato? Confronta le tue voci con la risposta:

Fai attenzione che hai ottenuto esattamente lo stesso numero del metodo precedente, quando abbiamo aggiunto successivamente i membri di una progressione aritmetica al valore precedente.
Proviamo a "spersonalizzare" questa formula: la portiamo in una forma generale e otteniamo:

Equazione della progressione aritmetica.

Le progressioni aritmetiche sono in aumento o in diminuzione.

Crescente- progressioni in cui ogni valore successivo dei termini è maggiore del precedente.
Per esempio:

Discendente- progressioni in cui ogni valore successivo dei termini è minore del precedente.
Per esempio:

La formula derivata viene utilizzata nel calcolo dei termini sia in termini crescenti che decrescenti di una progressione aritmetica.
Diamo un'occhiata in pratica.
Ci viene data una progressione aritmetica composta dai seguenti numeri:

Da allora:

Quindi, eravamo convinti che la formula funziona sia in progressione aritmetica decrescente che crescente.
Prova a trovare da solo il -esimo e -esimo membro di questa progressione aritmetica.

Confrontiamo i risultati:

Proprietà della progressione aritmetica

Complichiamo il compito: deriviamo la proprietà di una progressione aritmetica.
Supponiamo di avere la seguente condizione:
- progressione aritmetica, trova il valore.
È facile, dici, e inizia a contare secondo la formula che già conosci:

Sia, a, allora:

Assolutamente giusto. Si scopre che prima lo troviamo, quindi lo aggiungiamo al primo numero e otteniamo ciò che stiamo cercando. Se la progressione è rappresentata da piccoli valori, allora non c'è nulla di complicato, ma cosa succede se ci vengono dati dei numeri nella condizione? D'accordo, c'è la possibilità di commettere errori nei calcoli.
Ora pensa, è possibile risolvere questo problema in un solo passaggio usando qualsiasi formula? Certo, sì, e cercheremo di tirarlo fuori ora.

Indichiamo il termine desiderato della progressione aritmetica poiché conosciamo la formula per trovarlo - questa è la stessa formula che abbiamo derivato all'inizio:
, poi:

• il membro precedente della progressione è:
• il prossimo termine della progressione è:

Sommiamo i membri precedenti e successivi della progressione:

Si scopre che la somma dei membri precedenti e successivi della progressione è il doppio del valore del membro della progressione che si trova tra di loro. In altre parole, per trovare il valore di un membro di progressione con valori noti precedenti e successivi, è necessario sommarli e dividerli per.

Esatto, abbiamo lo stesso numero. Ripariamo il materiale. Calcola tu stesso il valore della progressione, perché non è affatto difficile.

Ben fatto! Sai quasi tutto sulla progressione! Resta da scoprire solo una formula, che, secondo la leggenda, uno dei più grandi matematici di tutti i tempi, il "re dei matematici" - Karl Gauss, facilmente deducibile per se stesso ...

Quando Carl Gauss aveva 9 anni, l'insegnante, impegnato a controllare il lavoro degli studenti di altre classi, chiese a lezione il seguente compito: "Calcola la somma di tutti i numeri naturali da fino a (secondo altre fonti fino a) inclusi. " Qual è stata la sorpresa dell'insegnante quando uno dei suoi studenti (era Karl Gauss) dopo un minuto ha dato la risposta corretta al compito, mentre la maggior parte dei compagni di classe del temerario dopo lunghi calcoli ha ricevuto il risultato sbagliato ...

Il giovane Carl Gauss ha notato uno schema che puoi facilmente notare.
Diciamo di avere una progressione aritmetica composta da -ti membri: dobbiamo trovare la somma dei membri dati della progressione aritmetica. Naturalmente, possiamo sommare manualmente tutti i valori, ma se dovessimo trovare la somma dei suoi termini nell'attività, come stava cercando Gauss?

Descriviamo la progressione che ci è stata data. Osserva da vicino i numeri evidenziati e prova a eseguire varie operazioni matematiche con essi.


Provato? Cosa hai notato? Correttamente! Le loro somme sono uguali

Ora rispondi, quante di queste coppie ci saranno nella progressione che ci è stata data? Naturalmente, esattamente la metà di tutti i numeri, cioè.
Basandosi sul fatto che la somma di due termini di una progressione aritmetica è uguale, e coppie uguali simili, otteniamo che la somma totale è uguale a:
.
Pertanto, la formula per la somma dei primi termini di qualsiasi progressione aritmetica sarà:

In alcuni problemi non conosciamo il esimo termine, ma conosciamo la differenza di progressione. Prova a sostituire nella formula della somma la formula del esimo membro.
Cosa hai preso?

Ben fatto! Torniamo ora al problema che è stato posto a Carl Gauss: calcola tu stesso qual è la somma dei numeri che iniziano dal -esimo e la somma dei numeri che iniziano dal -esimo.

Quanto hai preso?
Gauss ha scoperto che la somma dei termini è uguale e la somma dei termini. È così che hai deciso?

In effetti, la formula per la somma dei membri di una progressione aritmetica fu dimostrata dall'antico scienziato greco Diofanto nel 3° secolo, e durante tutto questo tempo persone argute usarono le proprietà di una progressione aritmetica con potenza e principale.
Ad esempio, immagina l'antico Egitto e il più grande cantiere dell'epoca: la costruzione di una piramide ... La figura ne mostra un lato.

Dov'è la progressione qui dici? Guarda attentamente e trova uno schema nel numero di blocchi di sabbia in ogni fila del muro della piramide.


Perché non una progressione aritmetica? Conta quanti blocchi sono necessari per costruire un muro se i mattoni del blocco sono posizionati nella base. Spero che non conterai muovendo il dito sul monitor, ricordi l'ultima formula e tutto ciò che abbiamo detto sulla progressione aritmetica?

In questo caso, la progressione si presenta così:
Differenza di progressione aritmetica.
Il numero di membri di una progressione aritmetica.
Sostituiamo i nostri dati nelle ultime formule (contiamo il numero di blocchi in 2 modi).

Metodo 1.

Metodo 2.

E ora puoi anche calcolare sul monitor: confronta i valori ottenuti con il numero di blocchi che sono nella nostra piramide. Era d'accordo? Ben fatto, hai imparato la somma dei th termini di una progressione aritmetica.
Certo, non puoi costruire una piramide dai blocchi alla base, ma da? Prova a calcolare quanti mattoni di sabbia sono necessari per costruire un muro con questa condizione.
Sei riuscito?
La risposta corretta è blocchi:

Allenamento

Compiti:

1. Masha si sta rimettendo in forma per l'estate. Ogni giorno aumenta il numero di squat. Quante volte Masha si accovaccia in settimane se ha fatto gli squat al primo allenamento.
2. Qual è la somma di tutti i numeri dispari contenuti in.
3. Quando immagazzinano i tronchi, i taglialegna li impilano in modo tale che ogni strato superiore contenga un tronco in meno rispetto al precedente. Quanti tronchi ci sono in una muratura, se la base della muratura è in tronchi.

Risposte:

1. Definiamo i parametri della progressione aritmetica. In questo caso
   (settimane = giorni).

   Risposta: In due settimane, Masha dovrebbe accovacciarsi una volta al giorno.

2. Primo numero dispari, ultimo numero.
   Differenza di progressione aritmetica.
   Il numero di numeri dispari nella metà, tuttavia, verifica questo fatto usando la formula per trovare il -esimo membro di una progressione aritmetica:

   I numeri contengono numeri dispari.
   Sostituiamo i dati disponibili nella formula:

   Risposta: La somma di tutti i numeri dispari contenuti in è uguale a.

3. Richiama il problema delle piramidi. Nel nostro caso, a , poiché ogni livello superiore è ridotto di un log, ci sono solo un gruppo di livelli, cioè.
   Sostituisci i dati nella formula:

   Risposta: Ci sono tronchi nella muratura.

Riassumendo

1. - una sequenza numerica in cui la differenza tra numeri adiacenti è uguale e uguale. Sta aumentando e diminuendo.
2. Trovare la formula Il membro di una progressione aritmetica è scritto dalla formula - , dove è il numero di numeri nella progressione.
3. Proprietà dei membri di una progressione aritmetica- - dove - il numero di numeri nella progressione.
4. La somma dei membri di una progressione aritmetica si possono trovare in due modi:
   
   , dove è il numero di valori.

PROGRESSIONE ARITMETICA. LIVELLO MEDIO

Sequenza numerica

Sediamoci e iniziamo a scrivere dei numeri. Per esempio:

Puoi scrivere qualsiasi numero e ce ne possono essere quanti ne vuoi. Ma puoi sempre dire quale di loro è il primo, quale è il secondo, e così via, cioè possiamo numerarli. Questo è un esempio di sequenza numerica.

Sequenza numericaè un insieme di numeri, a ciascuno dei quali può essere assegnato un numero univoco.

In altre parole, ad ogni numero può essere associato un certo numero naturale, e solo uno. E non assegneremo questo numero a nessun altro numero di questo set.

Il numero con il numero è chiamato -esimo membro della sequenza.

Di solito chiamiamo l'intera sequenza una lettera (ad esempio) e ogni membro di questa sequenza - la stessa lettera con un indice uguale al numero di questo membro: .

È molto conveniente se il membro -esimo della sequenza può essere dato da una formula. Ad esempio, la formula

imposta la sequenza:

E la formula è la seguente sequenza:

Ad esempio, una progressione aritmetica è una sequenza (il primo termine qui è uguale e la differenza). Oppure (, differenza).

formula all'ennesimo termine

Chiamiamo ricorrente una formula in cui, per scoprire il -esimo termine, è necessario conoscere il precedente o più precedenti:

Per trovare, ad esempio, il esimo termine della progressione utilizzando tale formula, dobbiamo calcolare i nove precedenti. Ad esempio, lascia. Quindi:

Bene, ora è chiaro qual è la formula?

In ogni riga, aggiungiamo, moltiplicato per un numero. Per quello? Molto semplice: questo è il numero del membro attuale meno:

Molto più comodo ora, giusto? Controlliamo:

Decidi tu stesso:

In una progressione aritmetica, trova la formula per l'ennesimo termine e trova il centesimo termine.

Soluzione:

Il primo termine è uguale. E qual è la differenza? Ed ecco cosa:

(in fondo si chiama differenza perché è uguale alla differenza dei membri successivi della progressione).

Quindi la formula è:

Allora il centesimo termine è:

Qual è la somma di tutti i numeri naturali da a?

Secondo la leggenda, il grande matematico Carl Gauss, essendo un bambino di 9 anni, calcolò questa cifra in pochi minuti. Notò che la somma del primo e dell'ultimo numero è uguale, la somma del secondo e del penultimo è la stessa, la somma del terzo e del 3° dalla fine è la stessa, e così via. Quante sono queste coppie? Esatto, esattamente la metà del numero di tutti i numeri, cioè. Così,

La formula generale per la somma dei primi termini di qualsiasi progressione aritmetica sarà:

Esempio:
Trova la somma di tutti i multipli a due cifre.

Soluzione:

Il primo di questi numeri è questo. Ogni successivo si ottiene sommando un numero al precedente. Pertanto, i numeri che ci interessano formano una progressione aritmetica con il primo termine e la differenza.

La formula per il esimo termine per questa progressione è:

Quanti termini ci sono nella progressione se devono essere tutti a due cifre?

Molto facile: .

L'ultimo termine della progressione sarà uguale. Quindi la somma:

Risposta: .

Ora decidi tu stesso:

1. Ogni giorno l'atleta corre 1 metro in più rispetto al giorno precedente. Quanti chilometri percorrerà in settimane se percorresse km m il primo giorno?
2. Un ciclista percorre più miglia ogni giorno rispetto al precedente. Il primo giorno ha percorso km. Quanti giorni deve guidare per percorrere un chilometro? Quanti chilometri percorrerà l'ultimo giorno di viaggio?
3. Il prezzo di un frigorifero nel negozio viene ridotto dello stesso importo ogni anno. Determina quanto il prezzo di un frigorifero è diminuito ogni anno se, messo in vendita per rubli, sei anni dopo è stato venduto per rubli.

Risposte:

1. La cosa più importante qui è riconoscere la progressione aritmetica e determinarne i parametri. In questo caso, (settimane = giorni). Devi determinare la somma dei primi termini di questa progressione:
   .
   Risposta:
2. Qui è dato:, è necessario trovare.
   Ovviamente, devi usare la stessa formula di somma del problema precedente:
   .
   Sostituisci i valori:

   La radice ovviamente non si adatta, quindi la risposta.
   Calcoliamo la distanza percorsa nell'ultimo giorno utilizzando la formula del -esimo termine:
   (km).
   Risposta:

3. Dato: . Trova: .
   Non è più facile:
   (strofinare).
   Risposta:

PROGRESSIONE ARITMETICA. IN BREVE SUL PRINCIPALE

Questa è una sequenza numerica in cui la differenza tra numeri adiacenti è la stessa e uguale.

La progressione aritmetica è crescente () e decrescente ().

Per esempio:

La formula per trovare l'n-esimo membro di una progressione aritmetica

è scritto come una formula, dove è il numero di numeri nella progressione.

Proprietà dei membri di una progressione aritmetica

Se si conoscono i membri vicini, è facile trovare un membro della progressione, dov'è il numero di numeri nella progressione.

La somma dei membri di una progressione aritmetica

Ci sono due modi per trovare la somma:

Dove è il numero di valori.

Dove è il numero di valori.

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La matematica ha la sua bellezza, così come la pittura e la poesia.

Scienziato russo, meccanico N.E. Zhukovsky

Compiti molto comuni nei test di ammissione in matematica sono compiti legati al concetto di progressione aritmetica. Per risolvere con successo tali problemi, è necessario conoscere bene le proprietà di una progressione aritmetica e avere determinate abilità nella loro applicazione.

Ricordiamo innanzitutto le principali proprietà di una progressione aritmetica e presentiamo le formule più importanti, associato a questo concetto.

Definizione. Sequenza numerica, in cui ogni termine successivo differisce dal precedente di pari numero, chiamata progressione aritmetica. Allo stesso tempo, il numeroè chiamata differenza di progressione.

Per una progressione aritmetica valgono le formule

, (1)

dove . La formula (1) è chiamata formula del termine comune di una progressione aritmetica e la formula (2) è la proprietà principale di una progressione aritmetica: ogni membro della progressione coincide con la media aritmetica dei suoi membri vicini e .

Si noti che è proprio per questa proprietà che la progressione in esame è chiamata "aritmetica".

Le formule (1) e (2) di cui sopra sono riassunte come segue:

(3)

Per calcolare la somma primo membri di una progressione aritmeticadi solito si usa la formula

(5) dove e .

Se prendiamo in considerazione la formula (1), allora implica la formula (5).

Se designiamo

dove . Poiché , allora le formule (7) e (8) sono una generalizzazione delle corrispondenti formule (5) e (6).

In particolare , dalla formula (5) segue, che cosa

Tra le meno note alla maggior parte degli studenti c'è la proprietà di una progressione aritmetica, formulata per mezzo del seguente teorema.

Teorema. Se poi

Prova. Se poi

Il teorema è stato dimostrato.

Per esempio , usando il teorema, lo si può dimostrare

Passiamo alla considerazione di esempi tipici di risoluzione di problemi sull'argomento "Progressione aritmetica".

Esempio 1 Lascia e . Trova .

Soluzione. Applicando la formula (6), otteniamo . Dal momento che e , allora o .

Esempio 2 Lascia tre volte di più e, dividendo per il quoziente, risulta 2 e il resto è 8. Determina e.

Soluzione. Il sistema di equazioni deriva dalla condizione dell'esempio

Poiché , , e , quindi dal sistema di equazioni (10) otteniamo

La soluzione di questo sistema di equazioni sono e .

Esempio 3 Trova se e .

Soluzione. Secondo la formula (5), abbiamo o . Tuttavia, usando la proprietà (9), otteniamo .

Da e , quindi dall'uguaglianza segue l'equazione o .

Esempio 4 Trova se.

Soluzione.Per la formula (5) abbiamo

Tuttavia, usando il teorema, si può scrivere

Da qui e dalla formula (11) otteniamo .

Esempio 5. Dato: . Trova .

Soluzione. Da allora . Tuttavia, quindi.

Esempio 6 Lascia , e . Trova .

Soluzione. Usando la formula (9) otteniamo . Pertanto, se , allora o .

Dal momento che e allora qui abbiamo un sistema di equazioni

Risolvendo quale, otteniamo e .

Radice naturale dell'equazioneè .

Esempio 7 Trova se e .

Soluzione. Poiché secondo la formula (3) abbiamo che , allora il sistema di equazioni segue dalla condizione del problema

Se sostituiamo l'espressionenella seconda equazione del sistema, quindi otteniamo o .

Le radici dell'equazione quadratica sono e .

Consideriamo due casi.

1. Lasciamo, allora. Da e, allora.

In questo caso, secondo la formula (6), abbiamo

2. Se , allora , e

Risposta: e.

Esempio 8È noto che e Trova .

Soluzione. Tenendo conto della formula (5) e della condizione dell'esempio, scriviamo e .

Ciò implica il sistema di equazioni

Se moltiplichiamo la prima equazione del sistema per 2, e poi la aggiungiamo alla seconda, otteniamo

Secondo la formula (9), abbiamo. A questo proposito, dalla (12) segue o .

Da e, allora.

Risposta: .

Esempio 9 Trova se e .

Soluzione. Poiché , e per condizione , allora o .

Dalla formula (5) è noto, che cosa . Da allora .

Di conseguenza, qui abbiamo un sistema di equazioni lineari

Da qui otteniamo e . Tenendo conto della formula (8), scriviamo .

Esempio 10 Risolvi l'equazione.

Soluzione. Segue dall'equazione data che . Supponiamo che , , e . In questo caso .

Secondo la formula (1), possiamo scrivere o .

Poiché , l'equazione (13) ha un'unica radice adatta.

Esempio 11. Trova il valore massimo a condizione che e .

Soluzione. Da , allora la progressione aritmetica considerata è decrescente. A questo proposito, l'espressione assume valore massimo quando è il numero del membro minimo positivo della progressione.

Usiamo la formula (1) e il fatto, quale e . Quindi otteniamo quello o .

Perché , allora o . Tuttavia, in questa disuguaglianzanumero naturale più grande, Ecco perchè .

Se i valori e vengono sostituiti nella formula (6), otteniamo .

Risposta: .

Esempio 12. Trova la somma di tutti i numeri naturali a due cifre che, divisi per 6, hanno resto di 5.

Soluzione. Indichiamo con l'insieme di tutti i numeri naturali a due valori, cioè . Successivamente, costruiamo un sottoinsieme costituito da quegli elementi (numeri) dell'insieme che, divisi per il numero 6, danno un resto di 5.

Facile da installare, che cosa . Ovviamente , che gli elementi dell'insiemeformare una progressione aritmetica, in cui e .

Per determinare la cardinalità (numero di elementi) dell'insieme, assumiamo che . Poiché e , allora la formula (1) implica o . Tenendo conto della formula (5), otteniamo .

Gli esempi sopra riportati di risoluzione dei problemi non possono in alcun modo pretendere di essere esaustivi. Questo articolo è scritto sulla base di un'analisi dei metodi moderni per risolvere problemi tipici su un determinato argomento. Per uno studio più approfondito dei metodi di risoluzione dei problemi relativi alla progressione aritmetica, si consiglia di fare riferimento all'elenco della letteratura consigliata.

1. Raccolta di compiti in matematica per i candidati alle università tecniche / Ed. MI. Scanavi. - M.: Mondo e Educazione, 2013. - 608 pag.

2. Suprun VP Matematica per gli studenti delle scuole superiori: sezioni aggiuntive del curriculum scolastico. – M.: Lenand/URSS, 2014. - 216 pag.

3. Medynsky MM Un corso completo di matematica elementare in compiti ed esercizi. Libro 2: Sequenze e progressioni numeriche. – M.: Edito, 2015. - 208 pag.

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Qual è l'essenza della formula?

Questa formula ti permette di trovare qualunque CON IL SUO NUMERO" n" .

Naturalmente, è necessario conoscere il primo termine un 1 e differenza di progressione d, beh, senza questi parametri, non puoi scrivere una progressione specifica.

Non basta memorizzare (o imbrogliare) questa formula. È necessario assimilare la sua essenza e applicare la formula in vari compiti. Sì, e non dimenticare al momento giusto, sì ...) Come non dimenticare- Non so. Ma come ricordare Se necessario, ti do un suggerimento. Per coloro che padroneggiano la lezione fino alla fine.)

Quindi, affrontiamo la formula dell'n-esimo membro di una progressione aritmetica.

Che cos'è una formula in generale - immaginiamo.) Cos'è una progressione aritmetica, un numero di membro, una differenza di progressione - è chiaramente affermato nella lezione precedente. Dai un'occhiata se non l'hai letto. Tutto è semplice lì. Resta da capire cosa ennesimo membro.

La progressione in generale può essere scritta come una serie di numeri:

un 1 , un 2 , un 3 , un 4 , un 5 , .....

un 1- denota il primo termine di una progressione aritmetica, un 3- terzo membro un 4- quarto, e così via. Se siamo interessati al quinto mandato, diciamo con cui stiamo lavorando un 5, se centoventesimo - da un 120.

Come definire in generale qualunque membro di una progressione aritmetica, s qualunque numero? Molto semplice! Come questo:

un

Ecco cos'è n-esimo membro di una progressione aritmetica. Sotto la lettera n sono nascosti tutti i numeri dei membri contemporaneamente: 1, 2, 3, 4 e così via.

E cosa ci dà un record del genere? Pensa, invece di un numero, hanno scritto una lettera ...

Questa notazione ci offre un potente strumento per lavorare con le progressioni aritmetiche. Usando la notazione un, possiamo trovare rapidamente qualunque membro qualunque progressione aritmetica. E un sacco di compiti da risolvere in progressione. Vedrai più avanti.

Nella formula dell'ennesimo membro di una progressione aritmetica:

a n = a 1 + (n-1)d

un 1- il primo membro della progressione aritmetica;

n- Numero membro.

La formula collega i parametri chiave di qualsiasi progressione: un ; un 1 ; d e n. Intorno a questi parametri, tutti i puzzle ruotano in progressione.

La formula dell'ennesimo termine può essere utilizzata anche per scrivere una progressione specifica. Ad esempio, nel problema si può dire che la progressione è data dalla condizione:

un n = 5 + (n-1) 2.

Un problema del genere può persino confondere ... Non ci sono serie, nessuna differenza ... Ma, confrontando la condizione con la formula, è facile capire che in questa progressione a 1 \u003d 5 e d \u003d 2.

E può essere ancora più arrabbiato!) Se prendiamo la stessa condizione: un n = 5 + (n-1) 2, si, apri le parentesi e dai simili? Otteniamo una nuova formula:

an = 3 + 2n.

esso Solo non generale, ma per una progressione specifica. È qui che sta la trappola. Alcune persone pensano che il primo termine sia un tre. Anche se in realtà il primo membro è un cinque... Un po' più in basso lavoreremo con una formula così modificata.

Nelle attività per la progressione, c'è un'altra notazione - n+1. Questo è, hai indovinato, il termine "n più il primo" della progressione. Il suo significato è semplice e innocuo.) Questo è un membro della progressione, il cui numero è maggiore del numero n di uno. Ad esempio, se in qualche problema prendiamo per un quinto mandato, quindi n+1 sarà il sesto membro. Eccetera.

Molto spesso la designazione n+1 si verifica nelle formule ricorsive. Non abbiate paura di questa parola terribile!) Questo è solo un modo per esprimere un termine di una progressione aritmetica attraverso il precedente. Supponiamo di avere una progressione aritmetica in questa forma, usando la formula ricorrente:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Dal quarto - al terzo, dal quinto - al quarto e così via. E come contare subito, diciamo il ventesimo termine, un 20? Ma niente da fare!) Mentre il 19° termine non è noto, il 20° non può essere contato. Questa è la differenza fondamentale tra la formula ricorsiva e la formula dell'ennesimo termine. Ricorsivo funziona solo attraverso precedente termine e la formula dell'ennesimo termine - attraverso il primo e permette immediamente trova qualsiasi membro in base al suo numero. Senza contare l'intera serie di numeri in ordine.

In una progressione aritmetica, una formula ricorsiva può essere facilmente trasformata in una normale. Conta una coppia di termini consecutivi, calcola la differenza d, trovare, se necessario, il primo termine un 1, scrivi la formula nella forma usuale e lavora con essa. Nel GIA si trovano spesso tali compiti.

Applicazione della formula dell'n-esimo membro di una progressione aritmetica.

Per prima cosa, diamo un'occhiata all'applicazione diretta della formula. Alla fine della lezione precedente si è verificato un problema:

Data una progressione aritmetica (a n). Trova un 121 se a 1 =3 e d=1/6.

Questo problema può essere risolto senza alcuna formula, semplicemente basandosi sul significato della progressione aritmetica. Aggiungi, sì aggiungi ... Un'ora o due.)

E secondo la formula, la soluzione richiederà meno di un minuto. Puoi cronometrarlo.) Decidiamo.

Le condizioni forniscono tutti i dati per l'utilizzo della formula: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Resta da vedere cosa n. Nessun problema! Abbiamo bisogno di trovare un 121. Qui scriviamo:

Per favore presta attenzione! Invece di un indice nè apparso un numero specifico: 121. Il che è abbastanza logico.) Siamo interessati al membro della progressione aritmetica numero centoventuno. Questo sarà il nostro n.È questo significato n= 121 sostituiremo ulteriormente nella formula, tra parentesi. Sostituisci tutti i numeri nella formula e calcola:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Questo è tutto ciò che c'è da fare. Altrettanto rapidamente si potrebbe trovare il cinquecentodecimo membro, e il milleterzo qualsiasi. Noi invece mettiamo n il numero desiderato nell'indice della lettera " un" e tra parentesi, e consideriamo.

Lascia che ti ricordi l'essenza: questa formula ti permette di trovare qualunque termine di una progressione aritmetica CON IL SUO NUMERO" n" .

Risolviamo il problema in modo più intelligente. Diciamo che abbiamo il seguente problema:

Trova il primo termine della progressione aritmetica (a n) se a 17 =-2; d=-0,5.

In caso di difficoltà, suggerirò il primo passo. Scrivi la formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica! Si si. Scrivi a mano, direttamente sul tuo taccuino:

a n = a 1 + (n-1)d

E ora, guardando le lettere della formula, capiamo quali dati abbiamo e cosa manca? A disposizione d=-0,5, c'è un diciassettesimo membro... Tutto? Se pensi che sia tutto, allora non puoi risolvere il problema, sì ...

Abbiamo anche un numero n! Nella condizione un 17 =-2 nascosto due opzioni. Questo è sia il valore del diciassettesimo membro (-2) che il suo numero (17). Quelli. n=17. Questa "piccola cosa" spesso scivola oltre la testa, e senza di essa (senza la "piccola cosa", non la testa!) il problema non può essere risolto. Anche se ... e anche senza testa.)

Ora possiamo semplicemente sostituire stupidamente i nostri dati nella formula:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Oh si, un 17 sappiamo che è -2. Ok, inseriamolo:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Questo, in sostanza, è tutto. Resta da esprimere il primo termine della progressione aritmetica dalla formula e calcolare. Ottieni la risposta: un 1 = 6.

Tale tecnica - scrivere una formula e sostituire semplicemente i dati noti - aiuta molto in compiti semplici. Bene, devi, ovviamente, essere in grado di esprimere una variabile da una formula, ma cosa fare!? Senza questa abilità, la matematica non può essere affatto studiata ...

Un altro problema popolare:

Trova la differenza della progressione aritmetica (a n) se a 1 =2; un 15 =12.

Cosa stiamo facendo? Sarai sorpreso, scriviamo la formula!)

a n = a 1 + (n-1)d

Considera ciò che sappiamo: a 1 =2; a 15 =12; e (evidenziazione speciale!) n=15. Sentiti libero di sostituire nella formula:

12=2 + (15-1)d

Facciamo l'aritmetica.)

12=2 + 14 gg

d=10/14 = 5/7

Questa è la risposta corretta.

Quindi, compiti un n , un 1 e d deciso. Resta da imparare come trovare il numero:

Il numero 99 è un membro di una progressione aritmetica (a n), dove a 1 =12; d=3. Trova il numero di questo membro.

Sostituiamo le quantità note nella formula dell'ennesimo termine:

un n = 12 + (n-1) 3

A prima vista, ci sono due incognite qui: una n e n. Ma unè un membro della progressione con il numero n... E questo membro della progressione lo conosciamo! È il 99. Non sappiamo il suo numero. n, quindi è necessario trovare anche questo numero. Sostituisci il termine di progressione 99 nella formula:

99 = 12 + (n-1) 3

Esprimiamo dalla formula n, pensiamo. Otteniamo la risposta: n=30.

E ora un problema sullo stesso argomento, ma più creativo):

Determina se il numero 117 sarà un membro di una progressione aritmetica (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Riscriviamo la formula. Cosa, non ci sono opzioni? Hm... Perché abbiamo bisogno degli occhi?) Vediamo il primo membro della progressione? Vediamo. Questo è -3,6. Puoi tranquillamente scrivere: a 1 \u003d -3.6. Differenza d può essere determinato dalla serie? È facile se sai qual è la differenza di una progressione aritmetica:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Sì, abbiamo fatto la cosa più semplice. Resta da affrontare un numero sconosciuto n e un incomprensibile numero 117. Nel problema precedente, almeno si sapeva che era il termine della progressione che si dava. Ma qui non lo sappiamo nemmeno... Come essere!? Bene, come essere, come essere... Accendi le tue capacità creative!)

Noi supponiamo quel 117 è, dopo tutto, un membro della nostra progressione. Con un numero sconosciuto n. E, proprio come nel problema precedente, proviamo a trovare questo numero. Quelli. scriviamo la formula (sì-sì!)) e sostituiamo i nostri numeri:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Ancora una volta esprimiamo dalla formulan, contiamo e otteniamo:

Ops! Il numero è risultato frazionario! Centouno e mezzo. E numeri frazionari nelle progressioni non può essere. Quale conclusione traiamo? Sì! Numero 117 non è membro della nostra progressione. È da qualche parte tra il 101° e il 102° membro. Se il numero risultasse naturale, ad es. intero positivo, allora il numero sarebbe un membro della progressione con il numero trovato. E nel nostro caso, la risposta al problema sarà: no.

Compito basato su una versione reale del GIA:

La progressione aritmetica è data dalla condizione:

a n \u003d -4 + 6,8 n

Trova il primo e il decimo termine della progressione.

Qui la progressione è impostata in modo insolito. Una specie di formula ... Succede.) Tuttavia, questa formula (come ho scritto sopra) - anche la formula dell'n-esimo membro di una progressione aritmetica! Lei permette anche trova qualsiasi membro della progressione in base al suo numero.

Stiamo cercando il primo membro. Quello che pensa. che il primo termine sia meno quattro, è fatalmente sbagliato!) Perché la formula nel problema è modificata. Il primo termine di una progressione aritmetica in esso nascosto. Niente, lo troveremo ora.)

Proprio come nelle attività precedenti, sostituiamo n=1 in questa formula:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Qui! Il primo termine è 2,8, non -4!

Allo stesso modo, stiamo cercando il decimo termine:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

Questo è tutto ciò che c'è da fare.

E ora, per chi ha letto fino a queste righe, il bonus promesso.)

Supponiamo, in una difficile situazione di combattimento del GIA o dell'esame di stato unificato, di aver dimenticato l'utile formula dell'n-esimo membro di una progressione aritmetica. Qualcosa mi viene in mente, ma in qualche modo incerto... Se n lì, o n+1, o n-1... Come essere!?

Calma! Questa formula è facile da ricavare. Non molto rigoroso, ma sicuramente sufficiente per la fiducia e la decisione giusta!) Per la conclusione, basta ricordare il significato elementare della progressione aritmetica e avere un paio di minuti di tempo. Hai solo bisogno di disegnare un'immagine. Per chiarezza.

Disegniamo un asse numerico e segniamo il primo su di esso. secondo, terzo, ecc. membri. E nota la differenza d tra i membri. Come questo:

Osserviamo l'immagine e pensiamo: a cosa corrisponde il secondo termine? Secondo uno d:

un 2 =a 1 + 1 d

Qual è il terzo termine? Terzo termine è uguale al primo termine più Due d.

un 3 =a 1 + 2 d

Lo capisci? Non metto alcune parole in grassetto per niente. Ok, un altro passo.)

Qual è il quarto termine? Il quarto termine è uguale al primo termine più tre d.

un 4 =a 1 + 3 d

È tempo di rendersi conto che il numero di lacune, ad es. d, sempre uno in meno rispetto al numero del membro che stai cercando n. Cioè, fino al numero n, numero di lacune sarà n-1. Quindi, la formula sarà (nessuna opzione!):

a n = a 1 + (n-1)d

In generale, le immagini visive sono molto utili per risolvere molti problemi in matematica. Non trascurare le immagini. Ma se è difficile disegnare un'immagine, allora ... solo una formula!) Inoltre, la formula dell'ennesimo termine ti consente di collegare l'intero potente arsenale della matematica alla soluzione: equazioni, disuguaglianze, sistemi, ecc. Non puoi mettere un'immagine in un'equazione...

Compiti per decisione indipendente.

Per il riscaldamento:

1. In progressione aritmetica (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Trova un 3 .

Suggerimento: secondo l'immagine, il problema viene risolto in 20 secondi ... Secondo la formula, risulta più difficile. Ma per padroneggiare la formula, è più utile.) Nella Sezione 555, questo problema è risolto sia dall'immagine che dalla formula. Senti la differenza!)

E questo non è più un riscaldamento.)

2. In progressione aritmetica (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. Trova un 3 .

Cosa, riluttanza a disegnare un'immagine?) Ancora! È meglio nella formula, sì ...

3. La progressione aritmetica è data dalla condizione:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Trova il centoventicinquesimo termine di questa progressione.

In questo compito, la progressione è data in modo ricorrente. Ma contando fino al centoventicinquesimo termine... Non tutti possono fare un'impresa del genere.) Ma la formula dell'ennesimo termine è alla portata di tutti!

4. Data una progressione aritmetica (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Trova il numero del termine positivo più piccolo della progressione.

5. Secondo la condizione del compito 4, trova la somma dei membri più piccoli positivi e più grandi negativi della progressione.

6. Il prodotto del quinto e del dodicesimo termine di una progressione aritmetica crescente è -2,5 e la somma del terzo e dell'undicesimo termine è zero. Trova un 14 .

Non è il compito più semplice, sì ...) Qui il metodo "sulle dita" non funzionerà. Devi scrivere formule e risolvere equazioni.

Risposte (in disordine):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Accaduto? È carino!)

Non tutto funziona? Succede. A proposito, nell'ultimo compito c'è un punto sottile. Sarà richiesta attenzione durante la lettura del problema. E logica.

La soluzione a tutti questi problemi è discussa in dettaglio nella Sezione 555. E l'elemento fantasy per il quarto, e il momento sottile per il sesto e gli approcci generali per risolvere qualsiasi problema per la formula dell'ennesimo termine: tutto è dipinto. Raccomando.

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Qualcuno tratta la parola "progresso" con cautela, come un termine molto complesso tratto dalle sezioni della matematica superiore. Nel frattempo, la progressione aritmetica più semplice è il lavoro dello sportello taxi (dove ancora rimangono). E capire l'essenza (e in matematica non c'è niente di più importante che "capire l'essenza") di una sequenza aritmetica non è così difficile, dopo aver analizzato alcuni concetti elementari.

Sequenza numerica matematica

È consuetudine chiamare una sequenza numerica una serie di numeri, ognuno dei quali ha un proprio numero.

e 1 è il primo membro della sequenza;

e 2 è il secondo membro della sequenza;

e 7 è il settimo membro della sequenza;

e n è l'ennesimo membro della sequenza;

Tuttavia, nessun insieme arbitrario di cifre e numeri ci interessa. Concentreremo la nostra attenzione su una sequenza numerica in cui il valore dell'n-esimo membro è correlato al suo numero ordinale da una dipendenza che può essere chiaramente formulata matematicamente. In altre parole: il valore numerico dell'ennesimo numero è una qualche funzione di n.

a - valore di un membro della sequenza numerica;

n è il suo numero di serie;

f(n) è una funzione in cui l'ordinale nella sequenza numerica n è l'argomento.

Definizione

Una progressione aritmetica è solitamente chiamata sequenza numerica in cui ogni termine successivo è maggiore (minore) del precedente dello stesso numero. La formula per l'ennesimo membro di una sequenza aritmetica è la seguente:

a n - il valore del membro corrente della progressione aritmetica;

a n+1 - la formula del numero successivo;

d - differenza (un certo numero).

È facile determinare che se la differenza è positiva (d>0), allora ogni membro successivo della serie in esame sarà maggiore del precedente e tale progressione aritmetica sarà crescente.

Nel grafico sottostante, è facile capire perché la sequenza numerica è chiamata "crescente".

Nei casi in cui la differenza è negativa (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Il valore del membro specificato

A volte è necessario determinare il valore di qualche termine arbitrario a n di una progressione aritmetica. Puoi farlo calcolando successivamente i valori di tutti i membri della progressione aritmetica, dal primo a quello desiderato. Tuttavia, questo modo non è sempre accettabile se, ad esempio, è necessario trovare il valore del cinquemillesimo o dell'ottomilionesimo termine. Il calcolo tradizionale richiederà molto tempo. Tuttavia, una specifica progressione aritmetica può essere studiata utilizzando determinate formule. Esiste anche una formula per l'ennesimo termine: il valore di un qualsiasi membro di una progressione aritmetica può essere determinato come somma del primo membro della progressione con la differenza della progressione, moltiplicato per il numero del membro desiderato, meno uno .

La formula è universale per aumentare e diminuire la progressione.

Un esempio di calcolo del valore di un determinato membro

Risolviamo il seguente problema di trovare il valore dell'n-esimo membro di una progressione aritmetica.

Condizione: è presente una progressione aritmetica con parametri:

Il primo membro della sequenza è 3;

La differenza nella serie numerica è 1,2.

Compito: è necessario trovare il valore di 214 termini

Soluzione: per determinare il valore di un dato membro, utilizziamo la formula:

a(n) = a1 + d(n-1)

Sostituendo i dati dall'istruzione del problema nell'espressione, abbiamo:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Risposta: Il 214° membro della sequenza è pari a 258,6.

I vantaggi di questo metodo di calcolo sono evidenti: l'intera soluzione non richiede più di 2 righe.

Somma di un determinato numero di membri

Molto spesso, in una data serie aritmetica, è necessario determinare la somma dei valori di alcuni suoi segmenti. Inoltre non è necessario calcolare i valori di ogni termine e poi sommarli. Questo metodo è applicabile se il numero di termini la cui somma deve essere trovata è piccolo. In altri casi, è più conveniente utilizzare la seguente formula.

La somma dei membri di una progressione aritmetica da 1 a n è uguale alla somma del primo e dell'ennesimo membro, moltiplicata per il numero del membro n e divisa per due. Se nella formula il valore dell'n-esimo membro è sostituito dall'espressione del paragrafo precedente dell'articolo, otteniamo:

Esempio di calcolo

Ad esempio, risolviamo un problema con le seguenti condizioni:

Il primo termine della sequenza è zero;

La differenza è 0,5.

Nel problema è necessario determinare la somma dei termini della serie da 56 a 101.

Soluzione. Usiamo la formula per determinare la somma della progressione:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Innanzitutto, determiniamo la somma dei valori di 101 membri della progressione sostituendo le condizioni date del nostro problema nella formula:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Ovviamente, per conoscere la somma dei termini della progressione dal 56° al 101°, è necessario sottrarre S 55 da S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Quindi la somma della progressione aritmetica per questo esempio è:

s 101 - s 55 \u003d 2.525 - 742,5 \u003d 1.782,5

Esempio di applicazione pratica della progressione aritmetica

Alla fine dell'articolo, torniamo all'esempio della sequenza aritmetica data nel primo paragrafo: un tassametro (contatore dei taxi). Consideriamo un esempio del genere.

Prendere un taxi (che include 3 km) costa 50 rubli. Ogni chilometro successivo viene pagato al tasso di 22 rubli / km. Distanza di percorrenza 30 km. Calcola il costo del viaggio.

1. Scartiamo i primi 3 km, il cui prezzo è compreso nel costo di atterraggio.

30 - 3 = 27 km.

2. Ulteriori calcoli non sono altro che l'analisi di una serie di numeri aritmetici.

Il numero socio è il numero di chilometri percorsi (meno i primi tre).

Il valore del membro è la somma.

Il primo termine in questo problema sarà uguale a 1 = 50 rubli.

Differenza di progressione d = 22 p.

il numero che ci interessa - il valore del (27 + 1)° membro della progressione aritmetica - la lettura del contatore alla fine del 27° chilometro - 27.999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

I calcoli dei dati del calendario per un periodo arbitrariamente lungo si basano su formule che descrivono determinate sequenze numeriche. In astronomia, la lunghezza dell'orbita dipende geometricamente dalla distanza del corpo celeste dal luminare. Inoltre, varie serie numeriche vengono utilizzate con successo nella statistica e in altri rami applicati della matematica.

Un altro tipo di sequenza numerica è geometrica

Una progressione geometrica è caratterizzata da un ampio tasso di variazione rispetto a un aritmetico. Non è un caso che in politica, sociologia, medicina, spesso, per mostrare l'elevata velocità di diffusione di un determinato fenomeno, ad esempio una malattia durante un'epidemia, si dice che il processo si sviluppa in modo esponenziale.

L'N-esimo membro della serie numerica geometrica differisce dalla precedente in quanto viene moltiplicato per un numero costante: il denominatore, ad esempio, il primo membro è 1, il denominatore è 2, rispettivamente, quindi:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - il valore del membro corrente della progressione geometrica;

b n+1 - la formula del prossimo membro della progressione geometrica;

q è il denominatore di una progressione geometrica (numero costante).

Se il grafico di una progressione aritmetica è una linea retta, quella geometrica disegna un'immagine leggermente diversa:

Come nel caso dell'aritmetica, una progressione geometrica ha una formula per il valore di un membro arbitrario. Ogni n-esimo termine di una progressione geometrica è uguale al prodotto del primo termine e al denominatore della progressione alla potenza di n ridotta di uno:

Esempio. Abbiamo una progressione geometrica con il primo termine uguale a 3 e il denominatore della progressione uguale a 1,5. Trova il 5° termine della progressione

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

La somma di un determinato numero di membri viene calcolata anche utilizzando una formula speciale. La somma dei primi n membri di una progressione geometrica è uguale alla differenza tra il prodotto dell'ennesimo membro della progressione e del suo denominatore e il primo membro della progressione, diviso per il denominatore ridotto di uno:

Se b n viene sostituito con la formula sopra discussa, il valore della somma dei primi n membri della serie numerica considerata assumerà la forma:

Esempio. La progressione geometrica inizia con il primo termine uguale a 1. Il denominatore è posto uguale a 3. Troviamo la somma dei primi otto termini.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Sì, sì: la progressione aritmetica non è un giocattolo per te :)

Bene, amici, se state leggendo questo testo, l'evidenza interna del cap mi dice che ancora non sapete cosa sia una progressione aritmetica, ma voi davvero (no, così: SOOOOO!) volete saperlo. Pertanto, non ti tormenterò con lunghe presentazioni e mi metterò immediatamente al lavoro.

Per iniziare, un paio di esempi. Considera diversi insiemi di numeri:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Cosa hanno in comune tutti questi set? A prima vista, niente. Ma in realtà c'è qualcosa. Vale a dire: ogni elemento successivo differisce dal precedente dello stesso numero.

Giudica tu stesso. Il primo set è composto solo da numeri consecutivi, ognuno più del precedente. Nel secondo caso, la differenza tra numeri adiacenti è già pari a cinque, ma questa differenza è sempre costante. Nel terzo caso, ci sono le radici in generale. Tuttavia, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, mentre $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, cioè nel qual caso ogni elemento successivo aumenta semplicemente di $\sqrt(2)$ (e non temere che questo numero sia irrazionale).

Quindi: tutte queste sequenze sono semplicemente chiamate progressioni aritmetiche. Diamo una definizione rigida:

Definizione. Una sequenza di numeri in cui ogni successivo differisce dal precedente esattamente della stessa quantità è chiamata progressione aritmetica. La stessa quantità di differenza dei numeri è chiamata differenza di progressione ed è più spesso indicata dalla lettera $d$.

Notazione: $\left(((a)_(n)) \right)$ è la progressione stessa, $d$ è la sua differenza.

E solo un paio di osservazioni importanti. In primo luogo, la progressione è considerata solo ordinato sequenza di numeri: possono essere letti rigorosamente nell'ordine in cui sono scritti e nient'altro. Non puoi riorganizzare o scambiare i numeri.

In secondo luogo, la sequenza stessa può essere finita o infinita. Ad esempio, l'insieme (1; 2; 3) è ovviamente una progressione aritmetica finita. Ma se scrivi qualcosa come (1; 2; 3; 4; ...) - questa è già una progressione infinita. I puntini di sospensione dopo i quattro, per così dire, suggeriscono che molti numeri vanno oltre. Infinitamente tanti, per esempio. :)

Vorrei anche notare che le progressioni sono in aumento e in diminuzione. Abbiamo già visto quelli in aumento - lo stesso insieme (1; 2; 3; 4; ...). Ecco alcuni esempi di progressioni decrescenti:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Va bene, va bene: l'ultimo esempio può sembrare eccessivamente complicato. Ma il resto, credo, lo capisci. Pertanto, introduciamo nuove definizioni:

Definizione. Una progressione aritmetica si chiama:

1. crescente se ogni elemento successivo è maggiore del precedente;
2. decrescente, se, al contrario, ogni elemento successivo è minore del precedente.

Inoltre, ci sono le cosiddette sequenze "stazionarie": sono costituite dallo stesso numero ripetuto. Ad esempio, (3; 3; 3; ...).

Rimane solo una domanda: come distinguere una progressione crescente da una decrescente? Fortunatamente, tutto qui dipende solo dal segno del numero $d$, cioè differenze di progressione:

1. Se $d \gt 0$, la progressione è crescente;
2. Se $d \lt 0$, allora la progressione è ovviamente decrescente;
3. Infine, c'è il caso $d=0$ — in questo caso l'intera progressione è ridotta a una sequenza stazionaria di numeri identici: (1; 1; 1; 1; ...), ecc.

Proviamo a calcolare la differenza $d$ per le tre progressioni decrescenti sopra. Per fare ciò, è sufficiente prendere due elementi adiacenti qualsiasi (ad esempio il primo e il secondo) e sottrarre dal numero a destra il numero a sinistra. Sembrerà così:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Come puoi vedere, in tutti e tre i casi la differenza si è rivelata davvero negativa. E ora che abbiamo più o meno capito le definizioni, è tempo di capire come vengono descritte le progressioni e quali proprietà hanno.

I membri della progressione e la formula ricorrente

Poiché gli elementi delle nostre sequenze non possono essere scambiati, possono essere numerati:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Giusto\)\]

I singoli elementi di questo set sono chiamati membri della progressione. Vengono così indicati con l'ausilio di un numero: il primo membro, il secondo membro, e così via.

Inoltre, come già sappiamo, i membri vicini della progressione sono legati dalla formula:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Freccia destra ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

In breve, per trovare il $n$esimo termine della progressione, devi conoscere il $n-1$esimo termine e la differenza $d$. Tale formula è chiamata ricorrente, perché con il suo aiuto puoi trovare qualsiasi numero, conoscendo solo il precedente (e in effetti tutti i precedenti). Questo è molto scomodo, quindi esiste una formula più complicata che riduce qualsiasi calcolo al primo termine e alla differenza:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\sinistra(n-1 \destra)d\]

Probabilmente ti sei imbattuto in questa formula prima. A loro piace darlo in tutti i tipi di libri di consultazione e reshebnik. E in qualsiasi libro di testo sensato sulla matematica, è uno dei primi.

Tuttavia, ti suggerisco di esercitarti un po'.

Compito numero 1. Annota i primi tre termini della progressione aritmetica $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$.

Soluzione. Quindi, conosciamo il primo termine $((a)_(1))=8$ e la differenza di progressione $d=-5$. Usiamo la formula appena data e sostituiamo $n=1$, $n=2$ e $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\sinistra(3-1 \destra)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \fine(allineamento)\]

Risposta: (8; 3; -2)

È tutto! Nota che la nostra progressione sta diminuendo.

Ovviamente, $n=1$ non poteva essere sostituito - conosciamo già il primo termine. Tuttavia, sostituendo l'unità, ci siamo assicurati che anche per il primo termine la nostra formula funzionasse. In altri casi, tutto si riduceva a una banale aritmetica.

Compito numero 2. Scrivi i primi tre termini di una progressione aritmetica se il suo settimo termine è −40 e il suo diciassettesimo termine è −50.

Soluzione. Scriviamo la condizione del problema nei soliti termini:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Giusto.\]

Metto il segno del sistema perché questi requisiti devono essere soddisfatti contemporaneamente. E ora notiamo che se sottraiamo la prima equazione dalla seconda (abbiamo il diritto di farlo, perché abbiamo un sistema), otteniamo questo:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \fine(allineamento)\]

Proprio così, abbiamo trovato la differenza di progressione! Resta da sostituire il numero trovato in una qualsiasi delle equazioni del sistema. Ad esempio, nel primo:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \fine(matrice)\]

Ora, conoscendo il primo termine e la differenza, resta da trovare il secondo e il terzo termine:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \fine(allineamento)\]

Pronto! Problema risolto.

Risposta: (-34; -35; -36)

Si noti una curiosa proprietà della progressione che abbiamo scoperto: se prendiamo i termini $n$esimo e $m$esimo e li sottraiamo l'uno dall'altro, otteniamo la differenza della progressione moltiplicata per il numero $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Una proprietà semplice ma molto utile che dovresti assolutamente conoscere: con il suo aiuto, puoi accelerare notevolmente la soluzione di molti problemi di progressione. Ecco un ottimo esempio di questo:

Compito numero 3. Il quinto termine della progressione aritmetica è 8,4 e il suo decimo termine è 14,4. Trova il quindicesimo termine di questa progressione.

Soluzione. Poiché $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, e dobbiamo trovare $((a)_(15))$, notiamo quanto segue:

\[\begin(allineamento) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \fine(allineamento)\]

Ma per condizione $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, quindi $5d=6$, da cui abbiamo:

\[\begin(allineamento) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \fine(allineamento)\]

Risposta: 20.4

È tutto! Non abbiamo avuto bisogno di comporre alcun sistema di equazioni e calcolare il primo termine e la differenza: tutto è stato deciso in un paio di righe.

Consideriamo ora un altro tipo di problema: la ricerca di membri negativi e positivi della progressione. Non è un segreto che se la progressione aumenta, mentre il suo primo termine è negativo, prima o poi appariranno in essa termini positivi. E viceversa: i termini di una progressione decrescente prima o poi diventeranno negativi.

Allo stesso tempo, è tutt'altro che sempre possibile trovare questo momento "sulla fronte", ordinando in sequenza gli elementi. Spesso i problemi sono progettati in modo tale che senza conoscere le formule, i calcoli richiederebbero diversi fogli: ci addormenteremmo semplicemente finché non trovavamo la risposta. Pertanto, cercheremo di risolvere questi problemi in un modo più rapido.

Compito numero 4. Quanti termini negativi in ​​una progressione aritmetica -38,5; -35,8; …?

Soluzione. Quindi, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, da cui troviamo subito la differenza:

Nota che la differenza è positiva, quindi la progressione è in aumento. Il primo termine è negativo, quindi ad un certo punto ci imbatteremo in numeri positivi. L'unica domanda è quando questo accadrà.

Proviamo a scoprire: per quanto tempo (cioè fino a quale numero naturale $n$) si conserva la negatività dei termini:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Freccia destra ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cpunto 10 \destra. \\ & -385+27\cpunto \sinistra(n-1 \destra) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Freccia destra ((n)_(\max ))=15. \\ \fine(allineamento)\]

L'ultima riga necessita di chiarimenti. Quindi sappiamo che $n \lt 15\frac(7)(27)$. D'altra parte, solo i valori interi del numero ci andranno bene (inoltre: $n\in \mathbb(N)$), quindi il numero più grande consentito è precisamente $n=15$, e in nessun caso 16.

Compito numero 5. In progressione aritmetica $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Trova il numero del primo termine positivo di questa progressione.

Questo sarebbe esattamente lo stesso problema del precedente, ma non sappiamo $((a)_(1))$. Ma i termini vicini sono noti: $((a)_(5))$ e $((a)_(6))$, quindi possiamo facilmente trovare la differenza di progressione:

Inoltre, proviamo ad esprimere il quinto termine in termini di primo e differenza usando la formula standard:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cpunto 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \fine(allineamento)\]

Procediamo ora per analogia con il problema precedente. Scopriamo a che punto della nostra sequenza appariranno i numeri positivi:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Freccia destra ((n)_(\min ))=56. \\ \fine(allineamento)\]

La soluzione intera minima di questa disuguaglianza è il numero 56.

Si noti che nell'ultima attività tutto è stato ridotto a una stretta disuguaglianza, quindi l'opzione $n=55$ non è adatta a noi.

Ora che abbiamo imparato a risolvere problemi semplici, passiamo a quelli più complessi. Ma prima, impariamo un'altra proprietà molto utile delle progressioni aritmetiche, che ci farà risparmiare molto tempo e celle disuguali in futuro. :)

Media aritmetica e trattini uguali

Considera diversi termini consecutivi della progressione aritmetica crescente $\left(((a)_(n)) \right)$. Proviamo a contrassegnarli su una linea numerica:

Membri della progressione aritmetica sulla linea dei numeri

Ho specificamente notato i membri arbitrari $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, e non qualsiasi $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ ecc. Perché la regola, che ora vi dirò, funziona allo stesso modo per tutti i "segmenti".

E la regola è molto semplice. Ricordiamo la formula ricorsiva e annotiamola per tutti i membri contrassegnati:

\[\begin(allineamento) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \fine(allineamento)\]

Tuttavia, queste uguaglianze possono essere riscritte in modo diverso:

\[\begin(allineamento) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \fine(allineamento)\]

Bene, e allora? Ma il fatto che i termini $((a)_(n-1))$ e $((a)_(n+1))$ giacciono alla stessa distanza da $((a)_(n)) $ . E questa distanza è uguale a $d$. Lo stesso si può dire dei termini $((a)_(n-2))$ e $((a)_(n+2))$ - sono anche rimossi da $((a)_(n) )$ della stessa distanza pari a $2d$. Puoi continuare all'infinito, ma l'immagine illustra bene il significato

I membri della progressione si trovano alla stessa distanza dal centro

Cosa significa questo per noi? Ciò significa che puoi trovare $((a)_(n))$ se i numeri vicini sono noti:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Abbiamo dedotto una magnifica affermazione: ogni membro di una progressione aritmetica è uguale alla media aritmetica dei membri vicini! Inoltre, possiamo deviare dal nostro $((a)_(n))$ a sinistra e a destra non di un passo, ma di $k$ passi — e comunque la formula sarà corretta:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Quelli. possiamo facilmente trovare $((a)_(150))$ se conosciamo $((a)_(100))$ e $((a)_(200))$, perché $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. A prima vista, può sembrare che questo fatto non ci dia nulla di utile. Tuttavia, in pratica, molti compiti sono appositamente "affilati" per l'uso della media aritmetica. Guarda:

Compito numero 6. Trova tutti i valori di $x$ tali che i numeri $-6((x)^(2))$, $x+1$ e $14+4((x)^(2))$ siano membri consecutivi di una progressione aritmetica (nell'ordine specificato).

Soluzione. Poiché questi numeri sono membri di una progressione, per essi è soddisfatta la condizione della media aritmetica: l'elemento centrale $x+1$ può essere espresso in termini di elementi vicini:

\[\begin(allineamento) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \fine(allineamento)\]

Il risultato è una classica equazione quadratica. Le sue radici: $x=2$ e $x=-3$ sono le risposte.

Risposta: -3; 2.

Compito numero 7. Trova i valori di $$ tali che i numeri $-1;4-3;(()^(2))+1$ formino una progressione aritmetica (in quest'ordine).

Soluzione. Ancora una volta, esprimiamo il termine medio in termini di media aritmetica dei termini vicini:

\[\begin(allineamento) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cpunto 2\destra.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \fine(allineamento)\]

Un'altra equazione quadratica. E ancora due radici: $x=6$ e $x=1$.

Risposta 1; 6.

Se nel processo di risoluzione di un problema ottieni dei numeri brutali, o non sei completamente sicuro della correttezza delle risposte trovate, allora c'è un meraviglioso trucco che ti permette di verificare: abbiamo risolto il problema correttamente?

Diciamo che nel problema 6 abbiamo le risposte -3 e 2. Come possiamo verificare che queste risposte siano corrette? Basta inserirli nella condizione originale e vedere cosa succede. Lascia che ti ricordi che abbiamo tre numeri ($-6(()^(2))$, $+1$ e $14+4(()^(2))$), che dovrebbero formare una progressione aritmetica. Sostituisci $x=-3$:

\[\begin(allineamento) & x=-3\Freccia destra \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \fine(allineamento)\]

Abbiamo i numeri -54; −2; 50 che differiscono di 52 è senza dubbio una progressione aritmetica. La stessa cosa accade per $x=2$:

\[\begin(allineamento) & x=2\Freccia destra \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \fine(allineamento)\]

Di nuovo una progressione, ma con una differenza di 27. Quindi, il problema è risolto correttamente. Chi lo desidera può controllare da solo il secondo compito, ma lo dico subito: anche lì è tutto corretto.

In generale, mentre risolvevamo gli ultimi problemi, ci siamo imbattuti in un altro fatto interessante che va ricordato:

Se tre numeri sono tali che il secondo è la media del primo e dell'ultimo, allora questi numeri formano una progressione aritmetica.

In futuro, la comprensione di questa affermazione ci permetterà di “costruire” letteralmente le progressioni necessarie in base alla condizione del problema. Ma prima di impegnarci in una tale "costruzione", dovremmo prestare attenzione a un altro fatto, che deriva direttamente da quanto già considerato.

Raggruppamento e somma di elementi

Torniamo di nuovo alla linea dei numeri. Notiamo lì diversi membri della progressione, tra i quali, forse. vale molti altri membri:

6 elementi segnati sulla linea dei numeri

Proviamo ad esprimere la "coda sinistra" in termini di $((a)_(n))$ e $d$, e la "coda destra" in termini di $((a)_(k))$ e $ d$. È molto semplice:

\[\begin(allineamento) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \fine(allineamento)\]

Si noti ora che le seguenti somme sono uguali:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \fine(allineamento)\]

In parole povere, se consideriamo come inizio due elementi della progressione, che in totale sono uguali a un certo numero $S$, e poi iniziamo a fare un passo da questi elementi in direzioni opposte (l'uno verso l'altro o viceversa per allontanarsi), poi saranno uguali anche le somme degli elementi in cui ci imbatteremo$ S $. Questo può essere rappresentato al meglio graficamente:

Gli stessi trattini danno somme uguali

Comprendere questo fatto ci consentirà di risolvere problemi di un livello di complessità fondamentalmente superiore a quelli che abbiamo considerato sopra. Ad esempio, questi:

Compito numero 8. Determina la differenza di una progressione aritmetica in cui il primo termine è 66 e il prodotto del secondo e del dodicesimo termine è il più piccolo possibile.

Soluzione. Scriviamo tutto ciò che sappiamo:

\[\begin(allineamento) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \fine(allineamento)\]

Quindi, non conosciamo la differenza della progressione $d$. In realtà, l'intera soluzione sarà costruita attorno alla differenza, poiché il prodotto $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ può essere riscritto come segue:

\[\begin(allineamento) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\sinistra(66+d \destra)\cdot \sinistra(66+11d \destra)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \fine(allineamento)\]

Per quelli nel serbatoio: ho tolto il fattore comune 11 dalla seconda parentesi. Pertanto, il prodotto desiderato è una funzione quadratica rispetto alla variabile $d$. Pertanto, considera la funzione $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - il suo grafico sarà una parabola con i rami in alto, perché se apriamo le parentesi otteniamo:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cpunto 72d+11\cpunto 66\cpunto 6 \end(allineamento)\]

Come puoi vedere, il coefficiente con il termine più alto è 11 - questo è un numero positivo, quindi abbiamo davvero a che fare con una parabola con rami verso l'alto:

grafico di una funzione quadratica - parabola

Nota: questa parabola assume il suo valore minimo al suo vertice con l'ascissa $((d)_(0))$. Naturalmente, possiamo calcolare questa ascissa secondo lo schema standard (c'è una formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ma sarebbe molto più ragionevole si noti che il vertice desiderato giace sull'asse di simmetria della parabola, quindi il punto $((d)_(0))$ è equidistante dalle radici dell'equazione $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(allineamento) & f\sinistra(d\destra)=0; \\ & 11\cpunto \sinistra(d+66 \destra)\cpunto \sinistra(d+6 \destra)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \fine(allineamento)\]

Ecco perché non avevo fretta di aprire le parentesi: nella sua forma originale, le radici erano molto, molto facili da trovare. Pertanto, l'ascissa è uguale alla media aritmetica dei numeri −66 e −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Cosa ci dà il numero scoperto? Con esso, il prodotto richiesto assume il valore più piccolo (a proposito, non abbiamo calcolato $((y)_(\min ))$ - questo non è richiesto da noi). Allo stesso tempo, questo numero è la differenza della progressione iniziale, cioè abbiamo trovato la risposta. :)

Risposta: -36

Compito numero 9. Inserisci tre numeri tra i numeri $-\frac(1)(2)$ e $-\frac(1)(6)$ in modo che insieme ai numeri dati formino una progressione aritmetica.

Soluzione. In effetti, dobbiamo fare una sequenza di cinque numeri, con il primo e l'ultimo numero già noti. Indica i numeri mancanti con le variabili $x$, $y$ e $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Nota che il numero $y$ è il "centro" della nostra sequenza: è equidistante dai numeri $x$ e $z$ e dai numeri $-\frac(1)(2)$ e $-\frac (1)( 6)$. E se al momento non riusciamo a ricavare $y$ dai numeri $x$ e $z$, la situazione è diversa con le estremità della progressione. Ricorda la media aritmetica:

Ora, conoscendo $y$, troveremo i numeri rimanenti. Nota che $x$ si trova tra $-\frac(1)(2)$ e $y=-\frac(1)(3)$ appena trovati. Ecco perchè

Discutendo in modo simile, troviamo il numero rimanente:

Pronto! Abbiamo trovato tutti e tre i numeri. Scriviamoli nella risposta nell'ordine in cui devono essere inseriti tra i numeri originali.

Risposta: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Compito numero 10. Tra i numeri 2 e 42 inserire più numeri che, insieme ai numeri dati, formano una progressione aritmetica, se è noto che la somma del primo, del secondo e dell'ultimo dei numeri inseriti è 56.

Soluzione. Un compito ancora più difficile, che però si risolve allo stesso modo dei precedenti - attraverso la media aritmetica. Il problema è che non sappiamo esattamente quanti numeri inserire. Pertanto, per certezza, assumiamo che dopo l'inserimento ci saranno esattamente $n$ numeri, e il primo di essi è 2 e l'ultimo è 42. In questo caso, la progressione aritmetica desiderata può essere rappresentata come:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \destra\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Si noti, tuttavia, che i numeri $((a)_(2))$ e $((a)_(n-1))$ sono ottenuti dai numeri 2 e 42 che stanno ai bordi di un passo l'uno verso l'altro , cioè . al centro della sequenza. E questo significa questo

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ma poi l'espressione sopra può essere riscritta in questo modo:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \fine(allineamento)\]

Conoscendo $((a)_(3))$ e $((a)_(1))$, possiamo facilmente trovare la differenza di progressione:

\[\begin(allineamento) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\sinistra(3-1 \destra)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Freccia destra d=5. \\ \fine(allineamento)\]

Resta solo da trovare i membri rimanenti:

\[\begin(allineamento) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cpunto 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cpunto 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cpunto 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cpunto 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cpunto 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cpunto 5=42; \\ \fine(allineamento)\]

Quindi, già al nono passaggio arriveremo all'estremità sinistra della sequenza: il numero 42. In totale, dovevano essere inseriti solo 7 numeri: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Risposta: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Compiti di testo con progressioni

In conclusione, vorrei considerare un paio di problemi relativamente semplici. Bene, come semplici: per la maggior parte degli studenti che studiano matematica a scuola e non hanno letto quanto scritto sopra, questi compiti possono sembrare un gesto. Tuttavia, sono proprio questi compiti che si incontrano nell'OGE e nell'USE in matematica, quindi ti consiglio di familiarizzare con loro.

Compito numero 11. Il team ha prodotto 62 parti a gennaio e in ogni mese successivo hanno prodotto 14 parti in più rispetto al precedente. Quante parti ha prodotto la brigata a novembre?

Soluzione. Ovviamente, il numero delle parti, dipinte per mese, sarà una progressione aritmetica crescente. E:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Novembre è l'undicesimo mese dell'anno, quindi dobbiamo trovare $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cpunto 14=202\]

Pertanto, a novembre verranno prodotte 202 parti.

Compito numero 12. Il laboratorio di legatoria ha rilegato 216 libri a gennaio e ogni mese ha rilegato 4 libri in più rispetto al mese precedente. Quanti libri ha rilegato il workshop a dicembre?

Soluzione. lo stesso:

$\begin(allineamento) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Dicembre è l'ultimo, 12° mese dell'anno, quindi stiamo cercando $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cpunto 4=260\]

Questa è la risposta: a dicembre saranno rilegati 260 libri.

Bene, se hai letto fino a qui, mi affretto a congratularmi con te: hai completato con successo il "corso per giovani combattenti" in progressioni aritmetiche. Possiamo tranquillamente passare alla lezione successiva, dove studieremo la formula della somma della progressione, nonché le conseguenze importanti e molto utili da essa.

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