Գրի՛ր ուղիղ գծի կանոնական և պարամետրային հավասարումներ: Տիեզերքում ուղիղ գծի կանոնական հավասարումներ՝ տեսություն, օրինակներ, խնդրի լուծում։ Ուղիղ գծի հավասարումն ըստ կետի և թեքության

3.1. Ուղիղ գծի կանոնական հավասարումներ.

Թող տրվի ուղիղ գիծ Oxyz կոորդինատային համակարգում, որն անցնում է կետով

(տե՛ս նկ. 18) Նշում ենք
տրված ուղիղին զուգահեռ վեկտոր։ Վեկտոր կանչեց ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտոր.Անցեք ուղիղ կետի
և հաշվի առեք վեկտորները
համագիծ, հետևաբար դրանց համապատասխան կոորդինատները համաչափ են.

(3.3.1 )

Այս հավասարումները կոչվում են կանոնական հավասարումներուղիղ.

Օրինակ:Գրե՛ք վեկտորին զուգահեռ M (1, 2, –1) կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումները.

Լուծում:Վեկտոր պահանջվող ուղիղ գծի ուղղության վեկտորն է։ Կիրառելով բանաձևերը (3.1.1) մենք ստանում ենք.

Սրանք ուղիղ գծի կանոնական հավասարումներ են։

Մեկնաբանություն:Հայտարարներից մեկի անհետացումը նշանակում է համապատասխան համարիչի անհետացում, այսինքն՝ y - 2 = 0; y = 2. Այս ուղիղը գտնվում է Oxz հարթությանը զուգահեռ y = 2 հարթությունում:

3.2. Ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներ.

Թող գիծը տրվի կանոնական հավասարումներով

Նշում ենք
ապա
t արժեքը կոչվում է պարամետր և կարող է ընդունել ցանկացած արժեք.
.

Եկեք արտահայտենք x, y և z-ը t-ով.

(3.2.1 )

Ստացված հավասարումները կոչվում են Ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներ.

Օրինակ 1:Գրե՛ք վեկտորին զուգահեռ M (1, 2, –1) կետով անցնող ուղիղ գծի պարամետրական հավասարումներ.

Լուծում:Այս տողի կանոնական հավասարումները ստացված են 3.1 բաժնի օրինակով.

Ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները գտնելու համար մենք կիրառում ենք բանաձևերի ածանցումը (3.2.1).

Այսպիսով,
- տրված ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներ.

Պատասխանել:

Օրինակ 2.Գրե՛ք վեկտորին զուգահեռ M (–1, 0, 1) կետով անցնող ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներ.
որտեղ A (2, 1, –1), B (–1, 3, 2):

Լուծում:Վեկտոր
պահանջվող ուղիղ գծի ուղղության վեկտորն է։

Գտեք վեկտորը
.

= (–3; 2; 3): Օգտագործելով բանաձևերը (3.2.1) մենք գրում ենք ուղիղ գծի հավասարումները.

ուղիղ գծի պահանջվող պարամետրային հավասարումներ են։

3.3. Երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումներ.

Մի ուղիղ գիծ անցնում է տարածության երկու տրված կետերով (տե՛ս նկ. 20): Տրված միավորներ Վեկտոր
կարող է ընդունվել որպես այս գծի ուղղության վեկտոր: Այնուհետև գտնում են ուղիղ գծի հավասարումները ըստ բանաձևերի (3.1.1):
).

(3.3.1)

Օրինակ 1.Գրի՛ր կետերով անցնող ուղիղ գծի կանոնական և պարամետրային հավասարումներ

Լուծում: Մենք կիրառում ենք բանաձևը (3.3.1)

Ստացել է ուղիղ գծի կանոնական հավասարումները: Պարամետրային հավասարումներ ստանալու համար կիրառում ենք բանաձևերի ածանցումը (3.2.1): Մենք ստանում ենք

ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներ են։

Օրինակ 2.Գրի՛ր կետերով անցնող ուղիղ գծի կանոնական և պարամետրային հավասարումներ

Լուծում: Բանաձևերով (3.3.1) ստանում ենք.

Սրանք կանոնական հավասարումներ են:

Անցնենք պարամետրային հավասարումներին.

- պարամետրային հավասարումներ.

Ստացված ուղիղ գիծը զուգահեռ է oz առանցքի (տես նկ. 21):

Թող երկու հարթություն տրվի տիեզերքում

Եթե ​​այս հարթությունները չեն համընկնում և զուգահեռ չեն, ապա դրանք հատվում են ուղիղ գծով.

Երկու գծային հավասարումների այս համակարգը ուղիղ գիծը սահմանում է որպես երկու հարթությունների հատման գիծ: (3.4.1) հավասարումներից կարելի է անցնել կանոնական (3.1.1) կամ պարամետրական (3.2.1) հավասարումների։ Դա անելու համար հարկավոր է գտնել կետը
ուղիղ գծի վրա պառկած, իսկ ուղղության վեկտորը Կետերի կոորդինատները
մենք ստանում ենք համակարգից (3.4.1) կոորդինատներից մեկին կամայական արժեք վերագրելով (օրինակ՝ z = 0): Ուղղության վեկտորի հետևում մենք կարող ենք վերցնել վեկտորների վեկտորային արտադրյալը, այսինքն

Օրինակ 1.Գրի՛ր ուղիղ գծի կանոնական հավասարումները

Լուծում:Թող z = 0. Լուծե՛ք համակարգը

Այս հավասարումները գումարելով՝ ստանում ենք՝ 3x + 6 = 0
x = –2. Գտնված x = –2 արժեքը փոխարինեք համակարգի առաջին հավասարման մեջ և ստացեք՝ –2 + y + 1 = 0
y = 1.

Այսպիսով, նշեք
ընկած է ցանկալի ուղիղ գծի վրա:

Ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորը գտնելու համար մենք գրում ենք հարթությունների նորմալ վեկտորները և գտնում դրանց վեկտորի արտադրյալը.

Ուղիղ գծի հավասարումները գտնում ենք (3.1.1) բանաձևերով.

Պատասխան.
.

Մեկ այլ միջոց.Ուղիղ գծի կանոնական և պարամետրային հավասարումները (3.4.1) կարելի է հեշտությամբ ստանալ՝ գտնելով ուղիղ գծի երկու տարբեր կետեր համակարգից (3.4.1), այնուհետև կիրառելով (3.3.1) բանաձևերը և ստանալով բանաձևեր (3.2.1): ):

Օրինակ 2.Գրի՛ր ուղիղ գծի կանոնական և պարամետրային հավասարումներ

Լուծում:Թող y = 0: Այնուհետև համակարգը ստանում է ձևը.

Հավասարումները գումարելով՝ ստանում ենք՝ 2x + 4 = 0; x = –2. Փոխարինեք x = –2 համակարգի երկրորդ հավասարման մեջ և ստացեք՝ –2 –z +1 = 0
z = –1. Այսպիսով, գտա կետը

Երկրորդ կետը գտնելու համար դնում ենք x = 0: Մենք կունենանք.

Այն է

Ստացել է ուղիղ գծի կանոնական հավասարումները:

Կազմենք ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները.

Պատասխանել:
;
.

3.5. Երկու ուղիղ գծերի հարաբերական դիրքը տարածության մեջ:

Թող ուղիղ գծերը
տրված են հավասարումներով.

:
;
:

.

Այս ուղիղ գծերի միջև ընկած անկյունը հասկացվում է որպես դրանց ուղղության վեկտորների միջև ընկած անկյուն (տես նկ. 22): Այս անկյունը վեկտորային հանրահաշիվից մենք գտնում ենք բանաձևով.
կամ

(3.5.1)

Եթե ​​ուղիղ
ուղղահայաց (
), ապա
Հետևաբար,

Սա տարածության մեջ երկու ուղիղ գծերի ուղղահայացության պայմանն է։

Եթե ​​ուղիղ
զուգահեռ (
), ապա դրանց ուղղության վեկտորները համագիծ են (
), այն է

(3.5.3 )

Սա տարածության մեջ երկու ուղիղ գծերի զուգահեռության պայմանն է։

Օրինակ 1.Գտեք անկյունը ուղիղ գծերի միջև.

ա).
և

բ).
և

Լուծում:ա). Գրում ենք ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորը
Գտեք ուղղության վեկտորը
Համակարգում ներառված ինքնաթիռները Այնուհետև մենք գտնում ենք դրանց խաչաձև արտադրությունը.

(տե՛ս 3.4 կետի 1-ին օրինակ):

Բանաձևով (3.5.1) ստանում ենք.

Հետևաբար,

բ). Գրենք ուղիղ գծերի տվյալների ուղղության վեկտորները՝ Վեկտորներ
համագիծ, քանի որ դրանց համապատասխան կոորդինատները համաչափ են.

Նշանակում է ուղիղ
զուգահեռ (
), այն է

Պատասխան.ա).
բ).

Օրինակ 2.Ապացուցե՛ք ուղիղների ուղղահայացությունը.

և

Լուծում:Գրում ենք առաջին ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը

Գտեք ուղղության վեկտորը երկրորդ ուղիղ գիծ. Դա անելու համար մենք գտնում ենք նորմալ վեկտորները
Համակարգում ընդգրկված ինքնաթիռները. Հաշվենք դրանց խաչաձև արտադրյալը.

(Տես օրինակ 1, կետ 3.4):

Կիրառում ենք ուղիղ գծերի ուղղահայացության պայմանը (3.5.2).

Պայմանը կատարված է. հետևաբար, ուղիղները ուղղահայաց են (
).

ԱՆԿՅՈՒՆԻ ՄԻՋԵՎ ԻՆՔՆԱԹԻՐՆԵՐԻ

Դիտարկենք α 1 և α 2 երկու հարթություններ, որոնք տրված են համապատասխանաբար հավասարումներով.

Տակ անկյուներկու հարթությունների միջև նկատի ունենք այս հարթությունների կողմից ձևավորված երկփեղկ անկյուններից մեկը։ Ակնհայտ է, որ նորմալ վեկտորների և α 1 և α 2 հարթությունների միջև անկյունը հավասար է նշված հարակից երկփեղկ անկյուններից մեկին կամ ... Ահա թե ինչու ... Որովհետեւ և , ապա

.

Օրինակ.Որոշեք հարթությունների միջև եղած անկյունը x+2y-3զ+ 4 = 0 և 2 x+3y+զ+8=0.

Երկու հարթությունների զուգահեռության պայման.

Երկու հարթություններ α 1 և α 2 զուգահեռ են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրանց նորմալ վեկտորները և զուգահեռ են, ինչը նշանակում է. .

Այսպիսով, երկու հարթություններ միմյանց զուգահեռ են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե համապատասխան կոորդինատների գործակիցները համաչափ են.

կամ

Հարթությունների ուղղահայացության պայմանը.

Հասկանալի է, որ երկու հարթություններ ուղղահայաց են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրանց նորմալ վեկտորները ուղղահայաց են, և, հետևաբար, կամ:

Այսպիսով, .

Օրինակներ.

ՈՒՂԻՂ Տիեզերքում.

ՎԵԿՏՈՐԱՅԻՆ ԳԾԻ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄ.

ԳԾԻ ՊԱՐԱՄԵՏՐԱԿԱՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԸ

Ուղիղ գծի դիրքը տարածության մեջ ամբողջությամբ որոշվում է՝ նշելով դրա ֆիքսված կետերից որևէ մեկը Մ 1 և այս ուղղին զուգահեռ վեկտոր:

Ուղիղ գծին զուգահեռ վեկտորը կոչվում է ուղղորդողայս գծի վեկտորը:

Ուրեմն թող ուղիղ լինի լանցնում է կետով Մ 1 (x 1 , y 1 , զ 1) վեկտորին զուգահեռ ուղիղ գծի վրա պառկած.

Դիտարկենք կամայական կետ M (x, y, z)ուղիղ գծի վրա. Նկարը ցույց է տալիս, որ .

Վեկտորները և համագիծ են, ուստի կա այդպիսի թիվ տ, ինչ, որտեղ է գործոնը տկարող է վերցնել ցանկացած թվային արժեքկախված կետի դիրքից Մուղիղ գծի վրա. Գործոն տկոչվում է պարամետր: Նշանակում ենք կետերի շառավղային վեկտորները Մ 1 և Մհամապատասխանաբար միջոցով եւ, մենք ստանում ենք. Այս հավասարումը կոչվում է վեկտորուղիղ գծի հավասարում. Այն ցույց է տալիս, որ պարամետրի յուրաքանչյուր արժեքի համար տհամապատասխանում է ինչ-որ կետի շառավիղի վեկտորին Մուղիղ գծի վրա պառկած.

Այս հավասարումը գրենք կոորդինատային տեսքով։ Ուշադրություն դարձրեք, որ, և այստեղից

Ստացված հավասարումները կոչվում են պարամետրայինուղիղ գծի հավասարումներ.

Պարամետրը փոխելիս տկոորդինատների փոփոխություն x, yև զև կետ Մշարժվում է ուղիղ գծով.

Կանոնական ուղիղ հավասարումներ

Թող լինի Մ 1 (x 1 , y 1 , զ 1) ուղիղ գծի վրա ընկած կետ է լ, և Նրա ուղղության վեկտորն է: Կրկին վերցրեք կամայական կետ ուղիղ գծի վրա M (x, y, z)և հաշվի առեք վեկտորը:

Հասկանալի է, որ վեկտորները և միաձույլ են, ուստի դրանց համապատասխան կոորդինատները պետք է լինեն համաչափ, հետևաբար.

– կանոնականուղիղ գծի հավասարումներ.

Դիտողություն 1.Նկատի ունեցեք, որ ուղիղ գծի կանոնական հավասարումները կարելի է ստանալ պարամետրայինից՝ բացառելով պարամետրը. տ... Իրոք, պարամետրային հավասարումներից մենք ստանում ենք կամ .

Օրինակ.Գրի՛ր ուղիղ գծի հավասարումը պարամետրային ձևով.

Նշում ենք , այստեղից x = 2 + 3տ, y = –1 + 2տ, զ = 1 –տ.

Դիտողություն 2.Թող ուղիղ գիծը ուղղահայաց լինի կոորդինատային առանցքներից մեկին, օրինակ՝ առանցքին Եզ... Այնուհետեւ ուղղորդող վեկտորը ուղղահայաց է Եզ, հետևաբար, մ= 0. Հետևաբար, ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները ձև են ստանում

Պարամետրը հավասարումներից հեռացնելը տ, ձևով ստանում ենք ուղիղ գծի հավասարումները

Այնուամենայնիվ, այս դեպքում ևս համաձայն ենք ձևով գրել ուղիղ գծի կանոնական հավասարումները ... Այսպիսով, եթե կոտորակներից մեկի հայտարարը զրո է, ապա դա նշանակում է, որ ուղիղը ուղղահայաց է համապատասխան կոորդինատային առանցքին։

Նմանապես, կանոնական հավասարումները համապատասխանում է առանցքներին ուղղահայաց ուղիղ գծի Եզև Օյկամ առանցքին զուգահեռ Օզ.

Օրինակներ.

ՈՒՂԻ ԸՆԴՀԱՆՈՒՐ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԸ ՈՐՊԵՍ ԵՐԿՈՒ ՀԱՍՏԱՏՈՒԹՅԱՆ ՀԱՏՄՄԱՆ ԳԻԾ.

Տիեզերքի յուրաքանչյուր ուղիղ գծով անցնում են անթիվ թվով ինքնաթիռներ։ Նրանցից ցանկացած երկուսը, հատվելով, սահմանում են այն տարածության մեջ: Հետևաբար, ցանկացած երկու նման հարթությունների հավասարումները, միասին դիտարկված, ներկայացնում են այս ուղիղ գծի հավասարումները:

Ընդհանուր առմամբ, ընդհանուր հավասարումներով տրված ցանկացած երկու ոչ զուգահեռ հարթություններ

սահմանել դրանց հատման գիծը. Այս հավասարումները կոչվում են ընդհանուր հավասարումներուղիղ.

Օրինակներ.

Կառուցեք ուղիղ գիծ, ​​որը տրված է հավասարումներով

Ուղիղ գիծ կառուցելու համար բավական է գտնել դրա ցանկացած երկու կետ: Ամենահեշտ ճանապարհը կոորդինատային հարթությունների հետ գծի հատման կետերն ընտրելն է։ Օրինակ՝ հարթության հետ հատման կետը xOyմենք ստանում ենք ուղիղ գծի հավասարումներից, սահմանելով զ= 0:

Այս համակարգը լուծելով, մենք գտնում ենք կետը Մ 1 (1;2;0).

Նմանապես, կարգավորում y= 0, մենք ստանում ենք հարթության հետ ուղիղ գծի հատման կետը xOz:

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումներից կարող եք անցնել նրա կանոնական կամ պարամետրային հավասարումներին: Դա անելու համար հարկավոր է ինչ-որ կետ գտնել Մ 1 ուղիղ գծի վրա և ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորը:

Կետերի կոորդինատները Մ 1-ը կստացվի հավասարումների այս համակարգից՝ կոորդինատներից մեկին կամայական արժեք վերագրելով։ Ուղղության վեկտորը գտնելու համար նշենք, որ այս վեկտորը պետք է ուղղահայաց լինի երկու նորմալ վեկտորներին և ... Հետևաբար, ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորի հետևում լմենք կարող ենք վերցնել նորմալ վեկտորների խաչաձև արտադրյալը.

.

Օրինակ.Տրե՛ք ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումները կանոնական ձևին.

Գտեք ուղիղ գծի վրա ընկած կետ: Դա անելու համար մենք կամայականորեն ընտրում ենք կոորդինատներից մեկը, օրինակ. y= 0 և լուծել հավասարումների համակարգը.

Ուղիղ գիծը սահմանող հարթությունների նորմալ վեկտորներն ունեն կոորդինատներ Հետեւաբար, ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորը կլինի

... Հետևաբար, լ: .

ՈՒՂԻՂ ՄԻՋԵՎ ԱՆԿՅՈՒՆ

ԱնկյունՏարածության ուղիղ գծերի միջև մենք կկոչենք հարակից անկյուններից որևէ մեկը, որը կազմված է տվյալներին զուգահեռ կամայական կետով գծված երկու ուղիղ գծերով:

Թող տարածության մեջ տրվեն երկու ուղիղ.

Ակնհայտ է, որ ուղիղ գծերի միջև եղած անկյունը կարելի է ընդունել որպես նրանց ուղղության վեկտորների և. Քանի որ, ուրեմն, ըստ վեկտորների միջև անկյան կոսինուսի բանաձևի, մենք ստանում ենք

Տիեզերքում ուղիղ գծի հավասարումների տեսակներից է կանոնական հավասարումը։ Մենք կդիտարկենք այս հայեցակարգն իր բոլոր մանրամասներով, քանի որ անհրաժեշտ է իմանալ այն շատ գործնական խնդիրներ լուծելու համար:

Առաջին բաժնում մենք կձևակերպենք եռաչափ տարածության մեջ գտնվող ուղիղ գծի հիմնական հավասարումները և կտանք մի քանի օրինակներ։ Հաջորդիվ ցույց ենք տալիս, թե ինչպես կարելի է հաշվել ուղղության վեկտորի կոորդինատները տրված կանոնական հավասարումների և հակադարձ խնդրի լուծումը։ Երրորդ մասում կնկարագրենք, թե ինչպես է կազմվում եռաչափ տարածության 2 տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը, իսկ վերջին պարբերությունում կմատնանշենք կանոնական հավասարումների կապերը մյուսների հետ։ Բոլոր հիմնավորումները կներկայացվեն խնդրի լուծման օրինակներով:

Թե որոնք են ընդհանուր ուղիղ գծի կանոնական հավասարումները, մենք արդեն խոսել ենք հարթության վրա ուղիղ գծի հավասարումներին նվիրված հոդվածում։ Մենք անալոգիայով կվերլուծենք եռաչափ տարածության դեպքը։

Ենթադրենք, ունենք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ O x y z, որում նշված է ուղիղ գիծ։ Ինչպես հիշում ենք, դուք կարող եք ուղիղ գիծ սահմանել տարբեր ճանապարհներ... Մենք կօգտագործենք դրանցից ամենապարզը` կսահմանենք այն կետը, որով կանցնի ուղիղ գիծը, և կնշենք ուղղության վեկտորը: Եթե ​​ուղիղ գիծը նշանակում ենք a տառով և M կետով, ապա կարող ենք գրել, որ M 1 (x 1, y 1, z 1) գտնվում է a ուղիղ գծի վրա, և այս ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը կլինի a. → = (կացին, այ, ազ): Որպեսզի M (x, y, z) կետերի բազմությունը a ուղիղը սահմանի, M 1 M → և a → վեկտորները պետք է լինեն համագիծ,

Եթե ​​գիտենք M 1 M → և a → վեկտորների կոորդինատները, ապա կարող ենք կոորդինատային ձևով գրել դրանց համակողմանիության անհրաժեշտ և բավարար պայմանը։ Սկզբնական պայմաններից մենք արդեն գիտենք a → կոորդինատները։ M 1 M → կոորդինատները ստանալու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել M (x, y, z) և M 1 (x 1, y 1, z 1) տարբերությունը։ Եկեք գրենք.

M 1 M → = x - x 1, y - y 1, z - z 1

Դրանից հետո մեզ անհրաժեշտ պայմանը կարող ենք ձևակերպել հետևյալ կերպ. M 1 M → = x - x 1, y - y 1, z - z 1 և a → = (ax, ay, az): M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ axy - y 1 = λ ayz - z 1 = λ az

Այստեղ λ փոփոխականի արժեքը կարող է լինել ցանկացած իրական թիվ կամ զրո։ Եթե ​​λ = 0, ապա M (x, y, z) և M 1 (x 1, y 1, z 1) համընկնում են, ինչը չի հակասում մեր պատճառաբանությանը:

a x ≠ 0, a y ≠ 0, a z ≠ 0 արժեքների համար մենք կարող ենք լուծել λ պարամետրի նկատմամբ համակարգի բոլոր հավասարումները x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y z - z 1 = λ a z.

Դրանից հետո ճիշտ մասերի միջև հնարավոր կլինի հավասարության նշան դնել.

x - x 1 = λ axy - y 1 = λ ayz - z 1 = λ az ⇔ λ = x - x 1 ax λ = y - y 1 ay λ = z - z 1 az ⇔ x - x 1 ax = y - յ 1 այ = զ - զ 1 ազ

Արդյունքում ստացանք x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z հավասարումները, որոնք կարող են օգտագործվել եռաչափ տարածության մեջ ցանկալի ուղիղ գիծը որոշելու համար: Սրանք մեզ անհրաժեշտ կանոնական հավասարումներ են:

Նման նշումը օգտագործվում է նույնիսկ մեկ կամ երկու պարամետրի զրոյական արժեքներով a x, a y, a z, քանի որ այս դեպքերում դա նույնպես ճիշտ կլինի: Բոլոր երեք պարամետրերը չեն կարող հավասար լինել 0-ի, քանի որ a → = (a x, a y, a z) ուղղության վեկտորը չի կարող զրո լինել:

Եթե ​​մեկ կամ երկու պարամետր a հավասար են 0-ի, ապա x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z հավասարումը պայմանական է: Այն պետք է համարվի հավասար հետևյալ գրառումին.

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ, λ ∈ R.

Կանոնական հավասարումների հատուկ դեպքերը կվերլուծենք հոդվածի երրորդ պարբերությունում։

Տիեզերքում ուղիղ գծի կանոնական հավասարման սահմանումից կարելի է մի քանի կարևոր հետևություններ անել։ Դիտարկենք դրանք։

1) եթե սկզբնական ուղիղ գիծն անցնում է երկու կետերով M 1 (x 1, y 1, z 1) և M 2 (x 2, y 2, z 2), ապա կանոնական հավասարումները կստանան հետևյալ ձևը.

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z կամ x - x 2 a x = y - y 2 a y = z - z 2 a z.

2) քանի որ a → = (կացին, այ, ազ) սկզբնական ուղիղ գծի ուղղության վեկտորն է, ապա բոլոր վեկտորները μ a → = μ ax, μ ay, μ az, μ ∈ R, μ ≠ 0 ... Այնուհետև գիծը կարելի է որոշել՝ օգտագործելով x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z կամ x - x 1 μ a x = y - y 1 μ a y = z - z 1 μ a z:

Ահա տրված արժեքներով նման հավասարումների օրինակներ.

Օրինակ 1 Օրինակ 2

Ինչպես գրել ուղիղ գծի կանոնական հավասարումը տարածության մեջ

Մենք պարզեցինք, որ x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az ձևի կանոնական հավասարումները կհամապատասխանեն M 1 կետով անցնող ուղիղ գծի (x 1, y 1, z 1), և a → = ( ​​ax, ay, az) վեկտորը կառաջնորդի այն: Սա նշանակում է, որ եթե մենք գիտենք ուղիղ գծի հավասարումը, ապա կարող ենք հաշվել նրա ուղղության վեկտորի կոորդինատները, և հաշվի առնելով վեկտորի տրված կոորդինատները և ուղիղ գծի վրա գտնվող ինչ-որ կետ, կարող ենք գրել դրա կանոնական հավասարումները:

Եկեք նայենք մի քանի կոնկրետ առաջադրանքների:

Օրինակ 3

Մենք ունենք ուղիղ գիծ, ​​որը սահմանվում է եռաչափ տարածության մեջ՝ օգտագործելով x + 1 4 = y 2 = z - 3 - 5 հավասարումը: Գրի՛ր դրա բոլոր ուղղությունների վեկտորների կոորդինատները։

Լուծում

Ուղղության վեկտորի կոորդինատները ստանալու համար մենք պարզապես պետք է վերցնենք հայտարարի արժեքները հավասարումից: Մենք ստանում ենք, որ ուղղության վեկտորներից մեկը կլինի a → = (4, 2, - 5), և բոլոր նմանատիպ վեկտորների բազմությունը կարող է ձևակերպվել μ a → = 4 μ, 2 μ, - 5 μ: Այստեղ μ պարամետրը ցանկացած իրական թիվ է (բացի զրոյից):

Պատասխան. 4 μ, 2 μ, - 5 μ, μ ∈ R, μ ≠ 0

Օրինակ 4

Գրե՛ք կանոնական հավասարումները, եթե տարածության մեջ ուղիղ գիծն անցնում է M 1 միջով (0, - 3, 2) և ունի ուղղության վեկտոր՝ 1, 0, 5 կոորդինատներով։

Լուծում

Մենք ունենք տվյալներ, որ x 1 = 0, y 1 = - 3, z 1 = 2, a x = - 1, a y = 0, a z = 5: Սա բավական է ուղղակիորեն կանոնական հավասարումները գրելու համար:

Եկեք անենք դա:

x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az ⇔ x - 0 - 1 = y - (- 3) 0 = z - 2 5 ⇔ ⇔ x - 1 = y + 3 0 = z - 2 5

Պատասխան. x - 1 = y + 3 0 = z - 2 5

Այս առաջադրանքները ամենահեշտն են, քանի որ դրանք պարունակում են բոլոր կամ գրեթե բոլոր մուտքային տվյալները՝ հավասարումը կամ վեկտորային կոորդինատները գրելու համար: Գործնականում հաճախ կարող եք գտնել դրանք, որոնցում նախ պետք է գտնել ցանկալի կոորդինատները, այնուհետև գրել կանոնական հավասարումները: Մենք վերլուծել ենք նման խնդիրների օրինակներ հոդվածներում, որոնք նվիրված են տվյալ կետին զուգահեռ տարածության կետով անցնող ուղիղ, ինչպես նաև հարթությանը ուղղահայաց տարածության որոշակի կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումները:

Մենք արդեն ասել ենք, որ a x, a y, a z պարամետրերի մեկ կամ երկու արժեք հավասարումների մեջ կարող են ունենալ զրո արժեք: Այս դեպքում x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z = λ նշումը դառնում է ֆորմալ, քանի որ ստանում ենք զրոյական հայտարար ունեցող մեկ կամ երկու կոտորակ։ Այն կարելի է վերաշարադրել հետևյալ կերպ (λ ∈ R-ի համար).

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

Դիտարկենք այս դեպքերը ավելի մանրամասն։ Ենթադրենք, որ a x = 0, a y ≠ 0, a z ≠ 0, a x ≠ 0, a y = 0, a z ≠ 0, կամ a x ≠ 0, a y ≠ 0, a z = 0: Այս դեպքում մենք կարող ենք պահանջվող հավասարումները գրել հետևյալ կերպ.

1. Առաջին դեպքում.
   x - x 1 0 = y - y 1 ay = z - z 1 az = λ ⇔ x - x 1 = 0 y = y 1 + այ λ z = z 1 + ազ λ ⇔ x - x 1 = 0 y - y 1 այ = զ - զ 1 ազ = λ

Երկրորդ դեպքում.
x - x 1 ax = y - y 1 0 = z - z 1 az = λ ⇔ x = x 1 + ax λ y - y 1 = 0 z = z 1 + az λ ⇔ y - y 1 = 0 x - x 1 կացին = z - z 1 az = λ

Երրորդ դեպքում.
x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 0 = λ ⇔ x = x 1 + կացին λ y = y 1 + այ λ z - z 1 = 0 ⇔ z - z 1 = 0 x - x 1 կացին = y - y 1 այ = λ

Ստացվում է, որ պարամետրերի նման արժեքով պահանջվող ուղիղ գծերը գտնվում են x - x 1 = 0, y - y 1 = 0 կամ z - z 1 = 0 հարթություններում, որոնք գտնվում են կոորդինատային հարթություններին զուգահեռ ( եթե x 1 = 0, y 1 = 0 կամ z 1 = 0): Նման ուղիղ գծերի օրինակները ներկայացված են նկարում:

Հետևաբար, մենք կարող ենք մի փոքր այլ կերպ գրել կանոնական հավասարումները:

1. Առաջին դեպքում՝ x - x 1 0 = y - y 1 0 = z - z 1 a z = λ ⇔ x - x 1 = 0 y - y 1 = 0 z = z 1 + a z λ, λ ∈ R.
2. Երկրորդում՝ x - x 1 0 = y - y 1 a y = z - z 1 0 = λ ⇔ x - x 1 = 0 y = y 1 + a y λ, λ ∈ R z - z 1 = 0
3. Երրորդում՝ x - x 1 a x = y - y 1 0 = z - z 1 0 = λ ⇔ x = x 1 + a x λ, λ ∈ R y = y 1 = 0 z - z 1 = 0

Բոլոր երեք դեպքերում սկզբնական ուղիղ գծերը կհամընկնեն կոորդինատային առանցքների հետ կամ կպարզվեն դրանց զուգահեռ՝ x 1 = 0 y 1 = 0, x 1 = 0 z 1 = 0, y 1 = 0 z 1 = 0 . Նրանց ուղղության վեկտորներն ունեն 0, 0, a z, 0, a y, 0, a x, 0, 0 կոորդինատները: Եթե ​​կոորդինատային ուղիղների ուղղության վեկտորները նշանակենք i →, j →, k →, ապա տրված ուղիղների ուղղության վեկտորները դրանց նկատմամբ կլինեն համագիծ։ Նկարը ցույց է տալիս այս դեպքերը.

Օրինակներով ցույց տանք, թե ինչպես են կիրառվում այս կանոնները։

Օրինակ 5

Գտե՛ք կանոնական հավասարումները, որոնց միջոցով կարելի է որոշել O z, O x, O y կոորդինատային ուղիղները տարածության մեջ:

Լուծում

Կոորդինատների վեկտորները i → = (1, 0, 0), j → = 0, 1, 0, k → = (0, 0, 1) ուղեցույցներ կլինեն սկզբնական ուղիղ գծերի համար: Մենք նաև գիտենք, որ մեր տողերը անպայման անցնելու են O կետով (0, 0, 0), քանի որ դա սկզբնաղբյուրն է։ Այժմ մենք ունենք բոլոր տվյալները՝ գրելու համար անհրաժեշտ կանոնական հավասարումները:

O x ուղիղ գծի համար՝ x 1 = y 0 = z 0

O y ուղիղ գծի համար՝ x 0 = y 1 = z 0

Ուղղակի O z-ի համար՝ x 0 = y 0 = z 1

Պատասխան. x 1 = y 0 = z 0, x 0 = y 1 = z 0, x 0 = y 0 = z 1:

Օրինակ 6

Մ 1 (3, - 1, 12) կետով անցնող տարածության մեջ տրված է ուղիղ գիծ։ Հայտնի է նաև օրդինային զուգահեռ լինելը։ Գրի՛ր այս ուղիղ գծի կանոնական հավասարումները:

Լուծում

Հաշվի առնելով զուգահեռության պայմանը, կարող ենք ասել, որ j → = 0, 1, 0 վեկտորը լինելու է պահանջվող ուղիղ գծի ուղեցույցը։ Հետևաբար, փնտրվող հավասարումները կունենան ձև.

x - 3 0 = y - (- 1) 1 = z - 12 0 ⇔ x - 3 0 = y + 1 1 = z - 12 0

Պատասխան. x - 3 0 = y + 1 1 = z - 12 0

Ենթադրենք, որ մենք ունենք երկու չհամընկնող կետեր M 1 (x 1, y 1, z 1) և M 2 (x 2, y 2, z 2), որոնց միջով անցնում է ուղիղը։ Այդ դեպքում ինչպե՞ս կարող ենք դրա համար կանոնական հավասարում ձևակերպել։

Սկսելու համար, որպես այս ուղիղի ուղղության վեկտոր, վերցնենք M 1 M 2 → (կամ M 2 M 1 →) վեկտորը: Քանի որ մենք ունենք պահանջվող կետերի կոորդինատները, մենք անմիջապես հաշվարկում ենք վեկտորի կոորդինատները.

M 1 M 2 → = x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1

x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1

Ստացված հավասարությունները երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի կանոնական հավասարումներ են։ Նայեք նկարազարդմանը.

Բերենք խնդրի լուծման օրինակ.

Օրինակ 7

Տիեզերքում կա M 1 (- 2, 4, 1) և M 2 (- 3, 2, - 5) կոորդինատներով երկու կետ, որոնց միջով անցնում է ուղիղ գիծը։ Գրեք նրա համար կանոնական հավասարումները:

Լուծում

Ըստ պայմանների՝ x 1 = - 2, y 1 = - 4, z 1 = 1, x 2 = - 3, y 2 = 2, z 2 = - 5: Մենք պետք է փոխարինենք այս արժեքները կանոնական հավասարման մեջ.

x - (- 2) - 3 - (- 2) = y - (- 4) 2 - (- 4) = z - 1 - 5 - 1 ⇔ x + 2 - 1 = y + 4 6 = z - 1 - 6

Եթե ​​վերցնենք x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1 ձևի հավասարումներ, ապա կստանանք՝ x - (- 3) - 3 - ( - 2) = y - 2 2 - (- 4) = z - (- 5) - 5 - 1 ⇔ x + 3 - 1 = y - 2 6 = z + 5 - 6

Պատասխան. x + 3 - 1 = y - 2 6 = z + 5 - 6 կամ x + 3 - 1 = y - 2 6 = z + 5 - 6:

Տիեզերքում ուղիղ գծի կանոնական հավասարումների փոխակերպումը այլ տեսակի հավասարումների

Երբեմն այնքան էլ հարմար չէ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ձևի կանոնական հավասարումներ օգտագործելը: Որոշ խնդիրներ լուծելու համար ավելի լավ է օգտագործել x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ նշումը: Որոշ դեպքերում ավելի նախընտրելի է ցանկալի գիծը որոշել՝ օգտագործելով երկու հատվող հարթությունների հավասարումները A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2: = 0. Հետևաբար, այս բաժնում մենք կվերլուծենք, թե ինչպես կարող եք կանոնական հավասարումներից անցնել այլ ձևերի, եթե դա մեզ անհրաժեշտ է՝ ըստ խնդրի պայմանների։

Դժվար չէ հասկանալ պարամետրային հավասարումների անցնելու կանոնները։ Նախ, մենք հավասարում ենք հավասարման յուրաքանչյուր մասը λ պարամետրին և լուծում ենք այս հավասարումները այլ փոփոխականների նկատմամբ: Արդյունքում մենք ստանում ենք.

x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az ⇔ x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az ⇔ ⇔ x - x 1 ax = λ y - y 1 այ = λ z - z 1 az = λ ⇔ x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ z = z 1 + az λ

λ պարամետրի արժեքը կարող է լինել ցանկացած իրական թիվ, քանի որ x, y, z-ն կարող է ընդունել ցանկացած իրական արժեք։

Օրինակ 8

Եռաչափ տարածության մեջ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում տրված է ուղիղ գիծ, ​​որը որոշվում է x - 2 3 = y - 2 = z + 7 0 հավասարմամբ։ Գրի՛ր կանոնական հավասարումը պարամետրային տեսքով:

Լուծում

Նախ կոտորակի յուրաքանչյուր մասը հավասարեցնում ենք λ-ի:

x - 2 3 = y - 2 = z + 7 0 ⇔ x - 2 3 = λ y - 2 = λ z + ​​7 0 = λ

Այժմ լուծում ենք առաջին մասը x-ի, երկրորդը` y-ի, երրորդը` z-ի նկատմամբ: Մենք կստանանք.

x - 2 3 = λ y - 2 = λ z + ​​7 0 = λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = - 2 λ z = - 7 + 0 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = - 2 λ z = - 7

Պատասխան. x = 2 + 3 λ y = - 2 λ z = - 7

Մեր հաջորդ քայլը կլինի կանոնական հավասարումների փոխակերպումը երկու հատվող հարթությունների հավասարման (նույն ուղիղ գծի համար):

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z հավասարությունը նախ պետք է ներկայացված լինի հավասարումների համակարգի տեսքով.

x - x 1 a x = y - y 1 a y x - x 1 a x = z - z 1 a x y - y 1 a y = z - z 1 a z

Քանի որ մենք հասկանում ենք p q = r s որպես p s = q r, մենք կարող ենք գրել.

x - x 1 ax = y - y 1 ayx - x 1 ax = z - z 1 azy - y 1 ay = z - z 1 az ⇔ այ (x - x 1) = կացին (y - y 1) ազ (X - x 1) = ax (z - z 1) az (y - y 1) = այ (z - z 1) ⇔ ⇔ այ x - ax y + ax y 1 - այ x 1 = 0 az x - ax z + ax z 1 - az x 1 = 0 az y - ay z + ay z 1 - az y 1 = 0

Արդյունքում ստացանք, որ.

x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az ⇔ ay x - ax y + ax y 1 - ay x 1 = 0 az x - ax z + ax z 1 - az x 1 = 0 az y. - այ զ + այ զ 1 - ազ յ 1 = 0

Վերևում մենք նշեցինք, որ a-ի բոլոր երեք պարամետրերը միաժամանակ չեն կարող զրո լինել: Այսպիսով, համակարգի հիմնական մատրիցայի աստիճանը հավասար կլինի 2-ի, քանի որ a y - a x 0 a z 0 - a x 0 a z - a y = 0, իսկ երկրորդ կարգի որոշիչներից մեկը հավասար չէ 0-ի.

այ - աքազ 0 = կաց ազ, այ 0 ազ - կաց = կաց այ, - կացին 0 0 - կացին = կացին 2 այ - կաց 0 ազ = այ ազ, այ 0 0 - այ = - այ 2, - կացին 0 ազ -. այ = ախ այազ 0 0 ազ = ազ 2, ազ - ախ 0 - այ = - այ ազ, 0 - աքազ - այ = ախ ազ.

Սա մեզ հնարավորություն է տալիս վերացնել մեկ հավասարում մեր հաշվարկներից: Այսպիսով, ուղիղ գծի կանոնական հավասարումները կարող են վերածվել երկու գծային հավասարումների համակարգի, որը կպարունակի 3 անհայտ։ Դրանք կլինեն մեզ անհրաժեշտ երկու հատվող հարթությունների հավասարումները:

Պատճառաբանությունը բավականին բարդ է թվում, բայց գործնականում ամեն ինչ արվում է բավականին արագ։ Սա ցույց տանք օրինակով։

Օրինակ 9

Ուղիղ գիծը տրվում է x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 կանոնական հավասարմամբ: Գրի՛ր դրա համար հատվող հարթությունների հավասարումը:

Լուծում

Սկսենք կոտորակների զույգ-հավասարեցումից:

x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 ⇔ x - 1 2 = y 0 x - 1 2 = z + 2 0 y 0 = z + 2 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 1) = 2 y 0 (x - 1) = 2 (z + 2) 0 y = 0 (z + 2) ⇔ y = 0 z + 2 = 0 0 = 0

Այժմ մենք բացառում ենք վերջին հավասարումը հաշվարկներից, քանի որ այն ճիշտ կլինի ցանկացած x, y և z համար: Այս դեպքում x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 ⇔ y = 0 z + 2 = 0:

Սրանք երկու հատվող հարթությունների հավասարումներ են, որոնք հատվելիս կազմում են ուղիղ գիծ, ​​որը տրված է x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 հավասարմամբ:

Պատասխան. y = 0 z + 2 = 0

Օրինակ 10

Ուղիղ գիծը տրվում է x + 1 2 = y - 2 1 = z - 5 - 3 հավասարումներով, գտե՛ք այս ուղիղ գծով հատվող երկու հարթությունների հավասարումը։

Լուծում

Կոտորակները հավասարեցնում ենք զույգերով։

x + 1 2 = y - 2 1 = z - 5 - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 2 1 x + 1 2 = z - 5 - 3 y - 2 1 = z - 5 - 3 ⇔ ⇔ 1 x + 1) = 2 (y - 2) - 3 (x + 1) = 2 (z - 5) - 3 (y - 2) = 1 (z - 5) ⇔ x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0 3 y + 7 - 11 = 0

Մենք ստանում ենք, որ ստացված համակարգի հիմնական մատրիցայի որոշիչը հավասար կլինի 0-ի.

1 - 2 0 3 0 2 0 3 1 = 1 0 1 + (- 2) 2 0 + 0 3 3 - 0 0 0 - 1 2 3 - (- 2) 3 1 = 0

Այս դեպքում երկրորդ կարգի մինորը չի լինի զրո՝ 1 - 2 3 0 = 1 · 0 - (- 2) · 3 = 6: Այնուհետև մենք կարող ենք այն ընդունել որպես հիմնական անչափահաս:

Արդյունքում մենք կարող ենք հաշվարկել համակարգի հիմնական մատրիցայի աստիճանը x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0 3 y + z - 11 = 0: Սա կլինի 2: Երրորդ հավասարումը բացառվում է հաշվարկից և ստանում ենք.

x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0 3 y + z - 11 = 0 ⇔ x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0

Պատասխան. x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատում, խնդրում ենք ընտրել այն և սեղմել Ctrl + Enter

Հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ուղիղ գիծը կարող է սահմանվել ուղիղ գծի կանոնական հավասարմամբ: Այս հոդվածում մենք նախ եզրակացնում ենք, գրում հարթության ուղիղ գծերի կանոնական հավասարումները, որոնք զուգահեռ են կոորդինատային առանցքներին կամ համընկնում դրանց հետ, ինչպես նաև բերում ենք օրինակներ։ Հաջորդը, մենք ցույց կտանք կապը հարթության վրա ուղիղ գծի կանոնական հավասարման և այս ուղիղ գծի հավասարումների այլ տեսակների միջև: Եզրափակելով՝ մանրամասն կդիտարկենք հարթության վրա ուղիղ գծի կանոնական հավասարումը կազմելու բնորոշ օրինակների և խնդիրների լուծումները։

Էջի նավարկություն.

Ուղիղ գծի կանոնական հավասարումը հարթության վրա - նկարագրություն և օրինակներ:

Թող Օքսին ամրացվի ինքնաթիռում։ Եկեք մեզ խնդիր դնենք՝ ստանալ a ուղիղ գծի հավասարումը, եթե a ուղիղ գծի ինչ-որ կետ է և a ուղիղ գծի ուղղության վեկտորն է:

Թող լինի ուղիղ գծի լողացող կետ: Ապա վեկտորը a ուղիղ գծի ուղղության վեկտորն է և ունի կոորդինատներ (անհրաժեշտության դեպքում տես հոդվածը): Ակնհայտ է, որ հարթության բոլոր կետերի բազմությունը սահմանում է ուղիղ գիծ, ​​որն անցնում է կետով և ունի ուղղության վեկտոր, եթե և միայն այն դեպքում, եթե վեկտորները և վեկտորները համագիծ են:

Օրինակ.

Գրե՛ք այն ուղիղ գծի կանոնական հավասարումը, որն ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում Օքսին հարթության վրա անցնում է երկու կետով և.

Լուծում.

Մեկնարկի և վերջի կետերի հայտնի կոորդինատներից մենք կարող ենք գտնել վեկտորի կոորդինատները. ... Այս վեկտորը ուղիղ գծի ուղղության վեկտորն է, որի հավասարումը մենք փնտրում ենք։ Կետով անցնող և ուղղության վեկտոր ունեցող ուղիղ գծի կանոնական հավասարում։

Լուծում.

Ուղիղ գծի նորմալ վեկտոր ունի կոորդինատներ, և այս վեկտորը ուղիղ գծի ուղղության վեկտորն է, որի հավասարումը փնտրում ենք ուղիղ գծերի ուղղահայացության շնորհիվ։ Այսպիսով, հարթության վրա ուղիղ գծի որոնված կանոնական հավասարումը կարելի է գրել այսպես .

Պատասխան.

Մատենագիտություն.

• Բուգրով Յա.Ս., Նիկոլսկի Ս.Մ. Բարձրագույն մաթեմատիկա. Հատոր առաջին՝ Գծային հանրահաշվի և անալիտիկ երկրաչափության տարրեր։
• Իլյին Վ.Ա., Պոզնյակ Է.Գ. Անալիտիկ երկրաչափություն.

Ուղիղ գծի հատկությունները էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ.

Դուք կարող եք անսահման շատ ուղիղ գծեր գծել ցանկացած կետի միջով:

Մեկ ուղիղ գիծ կարելի է գծել ցանկացած երկու ոչ համընկնող կետերով:

Հարթության վրա երկու անհամապատասխան ուղիղ գծեր կամ հատվում են մեկ կետում, կամ էլ են

զուգահեռ (հետևում է նախորդից):

Եռաչափ տարածության մեջ երկու ուղիղ գծերի հարաբերական դիրքի երեք տարբերակ կա.

• ուղիղ գծերը հատվում են;

• ուղիղ գծերը զուգահեռ են;

• ուղիղ գծերը հատվում են.

Ուղիղ տող- առաջին կարգի հանրահաշվական կոր՝ դեկարտյան կոորդինատային համակարգում՝ ուղիղ գիծ

հարթության վրա տրվում է առաջին աստիճանի հավասարումով (գծային հավասարում):

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը.

Սահմանում... Հարթության ցանկացած ուղիղ գիծ կարող է տրվել առաջին կարգի հավասարմամբ

Կացին + Վու + Գ = 0,

հաստատունով Ա, Բմիաժամանակ հավասար չեն զրոյի. Այս առաջին կարգի հավասարումը կոչվում է ընդհանուր

ուղիղ գծի հավասարում.Կախված հաստատունների արժեքներից Ա, Բև ՀԵՏհնարավոր են հետևյալ հատուկ դեպքերը.

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- ուղիղ գիծն անցնում է ծագման միջով

. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C = 0)- ուղիղ գիծ՝ առանցքին զուգահեռ Օ՜

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- ուղիղ գիծ՝ առանցքին զուգահեռ OU

. B = C = 0, A ≠ 0- ուղիղ գիծը համընկնում է առանցքի հետ OU

. A = C = 0, B ≠ 0- ուղիղ գիծը համընկնում է առանցքի հետ Օ՜

Ուղիղ գծի հավասարումը կարող է ներկայացվել տարբեր ձևերկախված ցանկացած տրվածից

նախնական պայմանները.

Կետի և նորմալ վեկտորի երկայնքով ուղիղ գծի հավասարումը:

Սահմանում... Դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում (A, B) բաղադրիչներով վեկտոր

հավասարմամբ տրված ուղիղ գծին ուղղահայաց

Ax + Wu + C = 0:

Օրինակ... Գտե՛ք կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը A (1, 2)ուղղահայաց վեկտորին (3, -1).

Լուծում... A = 3 և B = -1 դեպքում կազմում ենք ուղիղ գծի հավասարումը. 3x - y + C = 0: Գտնել C գործակիցը:

Տրված Ա կետի կոորդինատները փոխարինի՛ր ստացված արտահայտությամբ Ստացվում է՝ 3 - 2 + C = 0, հետևաբար.

C = -1. Ընդհանուր՝ պահանջվող հավասարումը՝ 3x - y - 1 = 0:

Երկու կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.

Թող երկու միավոր տրվի տարածության մեջ M 1 (x 1, y 1, z 1)և M2 (x 2, y 2, z 2),ապա ուղիղ գծի հավասարում,

անցնելով այս կետերով.

Եթե ​​հայտարարներից որևէ մեկը զրո է, ապա համապատասխան համարիչը պետք է հավասարվի զրոյի: Վրա

հարթություն, վերևում գրված ուղիղ գծի հավասարումը պարզեցված է.

եթե x 1 ≠ x 2և x = x 1, եթե x 1 = x 2 .

Մաս = kկանչեց լանջին ուղիղ.

Օրինակ... Գտե՛ք A (1, 2) և B (3, 4) կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը։

Լուծում... Կիրառելով վերը նշված բանաձևը, մենք ստանում ենք.

Կետի երկայնքով ուղիղ գծի հավասարումը և լանջին.

Եթե ընդհանուր հավասարումըուղիղ Ax + Wu + C = 0բերել ձևի.

և նշանակել , ապա ստացված հավասարումը կոչվում է

ուղիղ գծի հավասարումը թեքությամբ k.

Կետի և ուղղության վեկտորի երկայնքով ուղիղ գծի հավասարումը:

Համեմատելով պարբերության հետ, որը հաշվի է առնում նորմալ վեկտորի միջով ուղիղ գծի հավասարումը, կարող եք մուտքագրել առաջադրանքը.

ուղիղ գիծ կետի միջով և ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտոր:

Սահմանում... Յուրաքանչյուր ոչ զրոյական վեկտոր (α 1, α 2)որի բաղադրիչները բավարարում են պայմանը

Aa 1 + Va 2 = 0կանչեց ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտոր.

Ax + Wu + C = 0:

Օրինակ... Գտե՛ք ուղղության (1, -1) վեկտորով և A կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը (1, 2):

Լուծում... Պահանջվող ուղիղ գծի հավասարումը կփնտրվի հետևյալ ձևով. Ax + By + C = 0:Ըստ սահմանման՝

գործակիցները պետք է համապատասխանեն հետևյալ պայմաններին.

1 * A + (-1) * B = 0, այսինքն. A = B.

Այնուհետև ուղիղ գծի հավասարումն ունի ձև. Կացին + Այ + Գ = 0,կամ x + y + C / A = 0:

ժամը x = 1, y = 2մենք ստանում ենք C / A = -3, այսինքն. պահանջվող հավասարում.

x + y - 3 = 0

Ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում.

Եթե ​​Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0 ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման մեջ, ապա բաժանելով -C-ի, ստանում ենք.

կամ որտեղ

Երկրաչափական իմաստգործակիցները նրանով, որ a գործակիցը հատման կետի կոորդինատն է

ուղիղ առանցքով Օ,ա բ- ուղիղ գծի առանցքի հետ հատման կետի կոորդինատը OU.

Օրինակ... Տրված է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը x - y + 1 = 0:Գտեք այս ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներով:

C = 1, a = -1, b = 1:

Ուղիղ գծի նորմալ հավասարում.

Եթե ​​հավասարման երկու կողմերը Ax + Wu + C = 0բաժանել թվով որը կոչվում է

նորմալացնող գործոն, ապա մենք ստանում ենք

xcosφ + ysinφ - p = 0 -գծի նորմալ հավասարում.

Նորմալացնող գործոնի ± նշանը պետք է ընտրվի այնպես, որ մ * Գ< 0.

Ռ- սկզբից մինչև ուղիղ գիծ ընկած ուղղահայաց երկարությունը,

ա φ - առանցքի դրական ուղղության հետ այս ուղղահայաց ձևավորված անկյունը Օ՜

Օրինակ... Տրված է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը 12x - 5y - 65 = 0... Պահանջվում է գրել Տարբեր տեսակներհավասարումներ

այս ուղիղ գիծը.

Այս ուղղի հավասարումը հատվածներով:

Այս գծի հավասարումը թեքության հետ(բաժանել 5-ի)

Ուղիղ գծի հավասարում:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5:

Հարկ է նշել, որ ոչ ամեն ուղիղ գիծ կարող է ներկայացվել հավասարմամբ հատվածներում, օրինակ՝ ուղիղ գծերով,

առանցքներին զուգահեռ կամ սկզբնաղբյուրով անցնելիս։

Ինքնաթիռի ուղիղ գծերի միջև ընկած անկյունը:

Սահմանում... Եթե ​​տրված է երկու տող y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, ապա այս տողերի միջև սուր անկյուն

կսահմանվի որպես

Երկու ուղիղները զուգահեռ են, եթե k 1 = k 2... Երկու ուղիղ գծեր ուղղահայաց են,

եթե k 1 = -1 / k 2 .

Թեորեմ.

Ուղղակի Ax + Wu + C = 0և A 1 x + B 1 y + C 1 = 0զուգահեռ են, երբ գործակիցները համաչափ են

А 1 = лА, В 1 = λВ... Եթե ​​նաև С 1 = λС, ապա ուղիղ գծերը համընկնում են։ Երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատները

գտնված են որպես այս ուղիղների հավասարումների համակարգի լուծում։

Տրված ուղիղ գծին ուղղահայաց տրված կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.

Սահմանում... Գիծ՝ կետով M 1 (x 1, y 1)և ուղղահայաց y = kx + b

ներկայացված է հավասարմամբ.

Հեռավորությունը կետից տող:

Թեորեմ... Եթե ​​տրվում է միավոր M (x 0, y 0),հեռավորությունը դեպի ուղիղ գիծ Ax + Wu + C = 0սահմանվում է որպես:

Ապացույց... Թող կետը M 1 (x 1, y 1)- կետից ընկած ուղղահայաց հիմքը Մտրվածի համար

ուղիղ գիծ. Այնուհետեւ կետերի միջեւ հեռավորությունը Մև Մ 1:

(1)

Կոորդինատներ x 1և 1-ինկարելի է գտնել որպես հավասարումների համակարգի լուծում.

Համակարգի երկրորդ հավասարումը տրված M 0 կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումն է՝ ուղղահայաց.

տրված ուղիղ գիծ. Եթե ​​համակարգի առաջին հավասարումը վերածենք ձևի.

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

ապա լուծելով՝ ստանում ենք.

Այս արտահայտությունները փոխարինելով (1) հավասարմամբ՝ մենք գտնում ենք.

Թեորեմն ապացուցված է.

Նախորդ հոդվածը. Հնարավո՞ր է դա անել առանց դիետաների: Հաջորդ հոդվածը. Պեստո սոուս. տնական բաղադրատոմսեր