Միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ՝ ընդհանուր լուծման սխեմա. Եռանկյունաչափական հավասարումներ. Համապարփակ ուղեցույց (2019)

Բեռնել:

Նախադիտում:

Ալգորիթմ լուծելու համար

Մենք լուծում ենք իրական խնդիրներ

Հիմնական կետերը

Լուծման ընդհանուր սխեմա

Առանձնացնենք տերմինները

Օգտագործում ենք հիմնական եռանկյունաչափական ինքնության բանաձևը և գրում վերջնական լուծումը

Խնդիր թիվ 1

Խնդիր թիվ 2

Խնդիր թիվ 3

Դասի տեսակը. Նոր նյութի բացատրություն: Աշխատանքը տեղի է ունենում խմբերով։ Յուրաքանչյուր խումբ ունի փորձագետ, ով վերահսկում և ուղղորդում է ուսանողների աշխատանքը: Օգնում է թույլ սովորողներին հավատալ իրենց՝ այս հավասարումները լուծելիս:

Դաս առ թեմա

" Միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ»

(10-րդ դասարան)

Թիրախ:

ներկայացնել I և II աստիճանների միատարր եռանկյունաչափական հավասարումների հայեցակարգը.
ձևակերպել և մշակել I և II աստիճանների միատարր եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ալգորիթմ.
սովորեցնել ուսանողներին լուծել I և II աստիճանների միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ.
զարգացնել օրինաչափությունները նույնականացնելու, ընդհանրացնելու ունակությունը.
խթանել հետաքրքրությունը առարկայի նկատմամբ, զարգացնել համերաշխության և առողջ մրցակցության զգացում:

Դասի տեսակը նոր գիտելիքների ձևավորման դաս.

Անցկացման ձևը:աշխատել խմբերով:

Սարքավորումներ՝ համակարգիչ, մուլտիմեդիա տեղադրում

Դասերի ժամանակ

I. Կազմակերպչական պահ

Դասին գիտելիքների գնահատման վարկանիշային համակարգը (ուսուցիչը բացատրում է գիտելիքների գնահատման համակարգը՝ լրացնելով գնահատման թերթիկը ուսուցչի կողմից ուսանողներից ընտրված անկախ փորձագետի կողմից): Դասը ուղեկցվում է շնորհանդեսով։ Հավելված 1.

Գնահատման թերթիկ No.

II. Հիմնական գիտելիքների թարմացում:

Շարունակում ենք ուսումնասիրել «Եռանկյունաչափական հավասարումներ» թեման։ Այսօր դասի ընթացքում մենք ձեզ կծանոթանանք եռանկյունաչափական հավասարումների մեկ այլ տեսակի և դրանց լուծման մեթոդների հետ, հետևաբար մենք կկրկնենք մեր սովորածը։ Բոլոր տեսակի եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելիս դրանք կրճատվում են ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծմանը։ Հիշենք ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների հիմնական տեսակները։ Օգտագործեք սլաքները՝ արտահայտություններին համապատասխանելու համար:

III. Ուսուցման մոտիվացիա.

Մենք պետք է աշխատենք խաչբառի լուծման վրա։ Լուծելով այն՝ մենք կսովորենք նոր տեսակի հավասարումների անվանումը, որը կսովորենք լուծել այսօր դասի ժամանակ։

Հարցերը նախագծված են գրատախտակին: Ուսանողները կռահում են, անկախ քննիչը պատասխանող ուսանողների համար միավորներ է նշում գնահատման թերթիկում:

Խաչբառը լուծելով՝ տղաները կկարդան «միատարր» բառը։

Խաչբառ.

Եթե մուտքագրեք ճիշտ բառերը, կստանաք եռանկյունաչափական հավասարումների տեսակներից մեկի անունը:

1.Փոփոխականի արժեքը, որը ճիշտ է դարձնում հավասարումը: (արմատ)

2. Անկյունների միավոր. (Ռադիան)

3.Թվային գործոն արտադրանքի մեջ? (գործակից)

4. Մաթեմատիկայի բաժին, որը վերաբերում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաներին: (Եռանկյունաչափություն)

5. Ի՞նչ մաթեմատիկական մոդել է անհրաժեշտ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ներմուծելու համար: (Շրջանակ)

6. Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից ո՞րն է զույգ։ (Կոսինուս)

7. Ի՞նչ է կոչվում ճիշտ հավասարություն: (Ինքնությունը)

8. Հավասարություն փոփոխականի հետ? (Հավասարում)

9. Նույն արմատներով հավասարումներ. (համարժեք)

10 հավասարման շատ արմատներ. (Լուծում)

IV. Նոր նյութի բացատրություն.

Դասի թեման է «Համասեռ եռանկյունաչափական հավասարումներ»։ (ներկայացում)

Օրինակներ.

sin x + cos x = 0
√3cos x + sin x = 0
մեղք 4x = cos 4x
2 sin 2 x + 3 sin x cos x + cos 2 x = 0
4 մեղք 2 x - 5 sin x cos x - 6 cos 2 x = 0
մեղք 2 x + 2 sin x cos x - 3cos 2 x + 2 = 0
4sin 2 x - 8 sin x cos x + 10 cos 2 x = 3
1 + 7cos 2 x = 3 մեղք 2x
մեղք 2x + 2cos 2x = 1

V. Անկախ աշխատանք

Առաջադրանքներ՝ համակողմանիորեն ստուգել ուսանողների գիտելիքները բոլոր տեսակի եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելիս, խթանել ուսանողներին ինքնավերլուծության, ինքնատիրապետման:
Ուսանողներին խրախուսվում է գրավոր աշխատանքը կատարել 10 րոպե:
Ուսանողները կատարում են դատարկ պատճենահանման թղթի վրա: Ժամանակի վերջում գագաթները հավաքվում են անկախ աշխատանք, մինչդեռ պատճենահանման լուծումները մնում են ուսանողների մոտ։
Անկախ աշխատանքի ստուգումը (3 րոպե) իրականացվում է փոխադարձ ստուգմամբ։
... Աշակերտները գունավոր գրիչով ստուգում են իրենց հարևանի գրավոր աշխատանքը և գրում գրախոսի անունը: Հետո տերեւները հանձնում են։

Հետո այն փոխանցում են անկախ փորձագետի։

Տարբերակ 1. 1) sin x = √3cos x

2) 3sin 2 x - 7sin x cos x + 2 cos 2 x = 0

3) 3sin x - 2sin x cos x = 1

4) մեղք 2x⁄sin x = 0

Տարբերակ 2. 1) cosx + √3sin x = 0

2) 2sin 2 x + 3sin x cos x - 2 cos 2 x = 0

3) 1 + մեղք 2 x = 2 մեղք x cos x

4) cos 2x ⁄ cos x = 0

Vi. Դասի ամփոփում

vii. Տնային առաջադրանք.

Տնային առաջադրանք - 12 միավոր (տնին հանձնարարվել է 3 հավասարում 4 x 3 = 12)

Ուսանողների գործունեություն - 1 պատասխան - 1 միավոր (առավելագույնը 4 միավոր)

Հավասարումների լուծում 1 միավոր

Անկախ աշխատանք - 4 միավոր

Այս վիդեո ձեռնարկի միջոցով ուսանողները կկարողանան ուսումնասիրել միատարր եռանկյունաչափական հավասարումների թեման:

Տանք սահմանումներ.

1) առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարումը նման է մեղք x + b cos x = 0;

2) երկրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարումը նման է մեղքի 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0:

Դիտարկենք a sin x + b cos x = 0 հավասարումը: Եթե a-ն հավասար է զրոյի, ապա հավասարումը կունենա b cos x = 0; եթե b-ն զրոյական է, ապա հավասարումը նման կլինի մեղքի x = 0: Սրանք այն հավասարումները, որոնք մենք անվանել ենք ամենապարզը և լուծվել ավելի վաղ նախորդ թեմաներում:

Այժմ դիտարկենք այն տարբերակը, երբ a-ն և b-ն հավասար չեն զրոյի։ Հավասարման մասերը բաժանելով x կոսինուսի վրա և կատարիր փոխակերպումը. Մենք ստանում ենք tg x + b = 0, ապա tg x-ը հավասար կլինի - b / a:

Վերոնշյալից հետևում է, որ a sin mx + b cos mx = 0 հավասարումը I աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարում է։ Հավասարումը լուծելու համար դրա մասերը բաժանվում են cos mx-ով:

Դիտարկենք օրինակ 1. Լուծեք 7 sin (x / 2) - 5 cos (x / 2) = 0: Նախ հավասարման մասերը բաժանեք կոսինուսով (x / 2): Իմանալով, որ կոսինուսի վրա բաժանված սինուսը տանգենսն է, ստանում ենք 7 տգ (x/2) - 5 = 0։ Արտահայտությունը փոխակերպելով՝ գտնում ենք, որ շոշափողի (x/2) արժեքը 5/7 է։ Այս հավասարման լուծումն ունի х = արկտան a + πn ձևը, մեր դեպքում х = 2 արկտան (5/7) + 2πn:

Դիտարկենք a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 հավասարումը:

1) ա հավասար է զրոյիհավասարումը նման կլինի b sin x cos x + c cos 2 x = 0: Փոխակերպելով՝ մենք ստանում ենք cos x արտահայտությունը (b sin x + c cos x) = 0 և անցնում ենք երկու հավասարումների լուծմանը: Հավասարման մասերը x կոսինուսով բաժանելուց հետո ստանում ենք b tg x + c = 0, ինչը նշանակում է tg x = - c / b: Իմանալով, որ x = arctan a + πn, ապա լուծումը այս դեպքում կլինի x = actan (- c / b) + πn:

2) եթե a-ն հավասար չէ զրոյի, ապա հավասարման մասերը կոսինուսի քառակուսու վրա բաժանելով՝ ստանում ենք շոշափող պարունակող հավասարում, որը կլինի քառակուսի։ Այս հավասարումը կարելի է լուծել՝ մուտքագրելով նոր փոփոխական։

3) զրոյի համար հավասարումը կստանա a sin 2 x + b sin x cos x = 0 ձև: Այս հավասարումը կարելի է լուծել՝ x սինուսը փակագծից հանելով:

1. տեսեք, արդյոք հավասարման մեջ կա մեղք 2 x;

2. Եթե a sin 2 x տերմինը պարունակվում է հավասարման մեջ, ապա հավասարումը կարելի է լուծել՝ երկու մասերը բաժանելով կոսինուսի քառակուսու վրա և այնուհետև ներմուծելով նոր փոփոխական։

3. Եթե հավասարման մեջ չկա մեղք 2 x, ապա հավասարումը կարելի է լուծել՝ փակագծերից հանելով cosx-ը:

Դիտարկենք օրինակ 2. Փակագծերից հանենք կոսինուսը և ստացենք երկու հավասարում: Առաջին հավասարման արմատը x = π / 2 + πn է: Երկրորդ հավասարումը լուծելու համար այս հավասարման մասերը բաժանում ենք x կոսինուսի վրա, փոխակերպելով ստանում ենք x = π / 3 + πn: Պատասխան՝ x = π / 2 + πn և x = π / 3 + πn:

Լուծենք օրինակ 3, 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 ձևի հավասարումը և գտնենք դրա արմատները, որոնք պատկանում են - π-ից π հատվածին։ Որովհետեւ այս հավասարումը անհամասեռ է, անհրաժեշտ է այն հասցնել միատարր ձևի։ Օգտագործելով sin 2 x + cos 2 x = 1 բանաձևը, մենք ստանում ենք sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0: Հավասարման բոլոր մասերը բաժանելով cos 2 x-ի, ստանում ենք tg 2 2x +: 2tg 2x + 1 = 0 Օգտագործելով z = tg 2x նոր փոփոխականի մուտքագրումը, լուծում ենք այն հավասարումը, որի արմատը կլինի z = 1: Այնուհետև tg 2x = 1, որտեղից հետևում է, որ x = π / 8 + ( πn) / 2. Որովհետեւ Ըստ խնդրի պայմանի, դուք պետք է գտնեք արմատները, որոնք պատկանում են - π-ից π հատվածին, լուծումը կունենա - π ձևը.< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.

ՏԵՔՍՏԻ ԿՈԴ:

Միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ

Այսօր մենք կվերլուծենք, թե ինչպես են լուծվում «Համասեռ եռանկյունաչափական հավասարումները»։ Սրանք հատուկ տեսակի հավասարումներ են։

Եկեք ծանոթանանք սահմանմանը.

Ձևի հավասարումը եւ sin x +բcosx = 0 (իսկ x-ին գումարած կոսինուս x-ը հավասար է զրոյի) կոչվում է առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարում.

ձևի հավասարումը իսկ մեղքը 2 x +բմեղք xcosx+ հետcos 2 x= 0 (իսկ x գումարած սինուսի քառակուսին սինուս x կոսինուս x գումարած se կոսինուս քառակուսի x հավասար է զրոյի) կոչվում է երկրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարում։

Եթե a = 0, ապա հավասարումը ստանում է ձևը բcosx = 0.

Եթե բ = 0 , ապա մենք ստանում ենք և sin x = 0:

Այս հավասարումները տարրական եռանկյունաչափական են, և դրանց լուծումը մենք դիտարկել ենք մեր նախորդ թեմաներում

Հաշվի առեքայն դեպքը, երբ երկու գործակիցներն էլ հավասար չեն զրոյի։ Առանձնացրեք հավասարման երկու կողմերը ամեղքx+ բcosx = 0 ժամկետը ըստ cosx.

Մենք կարող ենք դա անել, քանի որ x կոսինուսը զրոյական չէ: Ի վերջո, եթե cosx = 0 , ապա հավասարումը ամեղքx+ բcosx = 0 կընդունի ձևը ամեղքx = 0 , ա≠ 0, հետևաբար մեղքx = 0 ... Ինչն անհնար է, քանի որ ըստ հիմնական եռանկյունաչափական ինքնության մեղք 2 x +cos 2 x=1 .

Հավասարման երկու կողմերը բաժանելով ամեղքx+ բcosx = 0 ժամկետը ըստ cosx, ստանում ենք՝ + = 0

Կատարենք վերափոխումները.

1. Քանի որ = tg x, ապա =ա tg x

2 կտրել cosx, ապա

Այսպիսով, մենք ստանում ենք հետևյալ արտահայտությունը a tg x + b = 0.

Կատարենք վերափոխումը.

1. բ-ն հակառակ նշանով տեղափոխիր արտահայտության աջ կողմ

a tg x = - b

2. Ազատվել բազմապատկիչից և հավասարման երկու կողմերը բաժանելով ա

tg x = -.

Եզրակացություն. Ձևի հավասարում և մեղքմx +բcosmx = 0 (իսկ սինուս em x գումարած կոսինուս em x-ը հավասար է զրոյի) կոչվում է նաև առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարում։ Այն լուծելու համար երկու մասերը բաժանեք cosmx.

ՕՐԻՆԱԿ 1. Լուծե՛ք 7 sin - 5 cos = 0 հավասարումը (յոթ սինուս x երկուսով հանած հինգ կոսինուս x երկուսը հավասար է զրոյի)

Լուծում. Հավասարման անդամի երկու կողմերը բաժանեք cos-ով, ստանում ենք

1. = 7 tg (քանի որ սինուսի և կոսինուսի հարաբերակցությունը շոշափելի է, ապա յոթ սինուս x-ը երկուսի վրա բաժանված է կոսինուս x-ով երկուսի վրա, հավասար է 7 շոշափող x-ի երկուսի)

2. -5 = -5 (cos-ը նվազեցնելիս)

Ահա թե ինչպես մենք ստացանք հավասարումը

7tg - 5 = 0, Մենք փոխակերպում ենք արտահայտությունը, մինուս հինգը տեղափոխում ենք աջ կողմ՝ փոխելով նշանը։

Մենք հավասարումը բերել ենք tg t = a ձևի, որտեղ t =, a =: Եվ քանի որ այս հավասարումն ունի ցանկացած արժեքի լուծում ա և այս լուծումներն ունեն ձև

x = arctan a + πn, ապա մեր հավասարման լուծումը կունենա ձև.

Arctg + πn, գտեք x

x = 2 արկտան + 2πn.

Պատասխան՝ x = 2 արկտան + 2πn:

Անցնում ենք երկրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարմանը

ամեղք 2 x + b sin x cos x +հետcos 2 x = 0:

Դիտարկենք մի քանի դեպք.

I. Եթե a = 0, ապա հավասարումը ստանում է ձևը բմեղքxcosx+ հետcos 2 x= 0.

Լուծելիս էլապա հավասարումներն օգտագործում են ֆակտորացման մեթոդը։ Հանել cosxփակագծերում և ստացեք. cosx(բմեղքx+ հետcosx)= 0 ... Որտեղ cosx= 0 կամ

b sin x +հետcos x = 0.Եվ մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես լուծել այս հավասարումները:

Հավասարման անդամի երկու կողմերը բաժանում ենք cosx-ով, ստանում ենք

1 (քանի որ սինուսի և կոսինուսի հարաբերակցությունը շոշափելի է):

Այսպիսով, մենք ստանում ենք հավասարումը. բ tg x + c = 0

Մենք հավասարումը բերել ենք tg t = a ձևի, որտեղ t = x, a =: Եվ քանի որ այս հավասարումն ունի ցանկացած արժեքի լուծում աև այս լուծումներն ունեն ձև

x = արկտան a + πn, ապա մեր հավասարման լուծումը կլինի.

x = արկտան + πn,.

II. Եթե a ≠ 0, այնուհետև հավասարման երկու կողմերն էլ անդամ առ անդամ բաժանում ենք cos 2 x.

(Վիճելով այնպես, ինչպես առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարման դեպքում, կոսինուսը չի կարող անհետանալ):

III. Եթե c = 0, ապա հավասարումը ստանում է ձևը ամեղք 2 x+ բմեղքxcosx= 0. Այս հավասարումը լուծվում է ֆակտորացման մեթոդով (մենք հանում ենք մեղքxփակագծերից դուրս):

Այսպիսով, հավասարումը լուծելիս ամեղք 2 x+ բմեղքxcosx+ հետcos 2 x= 0 Դուք կարող եք գործել ըստ ալգորիթմի.

ՕՐԻՆԱԿ 2. Լուծե՛ք sinxcosx - cos 2 x = 0 հավասարումը (սինուսը x անգամ կոսինուս x հանած եռապատիկ կոսինուսի քառակուսի x-ի արմատը զրո է):

Լուծում. Գործոն (cosx-ը դրեք փակագծից դուրս): Մենք ստանում ենք

cos x (sin x - cos x) = 0, այսինքն. cos x = 0 կամ sin x - cos x = 0:

Պատասխան՝ x = + πn, x = + πn:

ՕՐԻՆԱԿ 3. Լուծե՛ք 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x + 3cos 2 2x = 2 հավասարումը (երեք սինուս քառակուսի երկու x-ից հանած երկու x-ի սինուսի կրկնակի արտադրյալը և երկու x-ի կոսինուսը գումարած երեք կոսինուսի քառակուսի երկու x-ի): և գտնել նրա արմատները, որոնք պատկանում են միջակայքին (- π; π):

Լուծում. Այս հավասարումը միատարր չէ, ուստի եկեք որոշ փոխակերպումներ կատարենք։ Հավասարման աջ կողմում գտնվող 2 թիվը փոխարինի՛ր 2 1 արտադրյալով

Քանի որ հիմնական եռանկյունաչափական նույնությամբ sin 2 x + cos 2 x = 1, ապա

2 ∙ 1 = 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = բացելով փակագծերը ստանում ենք՝ 2 sin 2 x + 2 cos 2 x:

2 ∙ 1 = 2 ∙ (մեղք 2 x + cos 2 x) = 2 մեղք 2 x + 2 cos 2 x

Այսպիսով, 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x + 3cos 2 2x = 2 հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x + 3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x + 3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x = 0,

մեղք 2 2x - 2 մեղք 2x cos2 x + cos 2 2x = 0:

Ստացել է երկրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարում։ Եկեք կիրառենք cos 2-ով տերմինով բաժանելու մեթոդը 2x.

tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0:

Ներկայացնենք նոր փոփոխական z = tg2x:

Մենք ունենք z 2 - 2 z + 1 = 0: Սա քառակուսի հավասարում է: Նկատելով կրճատված բազմապատկման բանաձևի ձախ կողմում՝ տարբերության քառակուսին (), մենք ստանում ենք (z - 1) 2 = 0, այսինքն. z = 1. Եկեք վերադառնանք հակառակ փոփոխությանը.

Մենք հավասարումը բերեցինք tg t = a ձևի, որտեղ t = 2x, a = 1: Եվ քանի որ այս հավասարումն ունի ցանկացած արժեքի լուծում աև այս լուծումներն ունեն ձև

x = արկտան x a + πn, ապա մեր հավասարման լուծումը կլինի.

2x = arctg1 + πn,

x = +, (x-ը հավասար է pi-ի գումարին ութով և pi en-ի երկուսով):

Մեզ մնում է գտնել x-ի այնպիսի արժեքներ, որոնք պարունակվում են միջակայքում

(- π; π), այսինքն. բավարարել կրկնակի անհավասարությունը՝ π х π. Որովհետեւ

x = +, ապա - π + π. Այս անհավասարության բոլոր մասերը բաժանեք π-ի և բազմապատկեք 8-ով, ստանում ենք

տեղափոխեք 1-ով աջ և ձախ՝ փոխելով նշանը մինուս մեկ

բաժանելով չորսի, ստանում ենք.

հարմարության համար ընտրեք ամբողջական մասերը կոտորակներով

Այս անհավասարությունը բավարարում է հետևյալ n ամբողջ թիվը՝ -2, -1, 0, 1:

Դասի թեման՝ «Համասեռ եռանկյունաչափական հավասարումներ».

(10-րդ դասարան)

Թիրախ: ներկայացնել I և II աստիճանների միատարր եռանկյունաչափական հավասարումների հայեցակարգը. ձևակերպել և մշակել I և II աստիճանների միատարր եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ալգորիթմ. սովորեցնել ուսանողներին լուծել I և II աստիճանների միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ. զարգացնել օրինաչափությունները նույնականացնելու, ընդհանրացնելու ունակությունը. խթանել հետաքրքրությունը առարկայի նկատմամբ, զարգացնել համերաշխության և առողջ մրցակցության զգացում:

Դասի տեսակը: նոր գիտելիքների ձևավորման դաս.

Կատարման ձևը. աշխատել խմբերով.

Սարքավորումներ: համակարգիչ, մուլտիմեդիա տեղադրում

Դասերի ժամանակ

Կազմակերպման ժամանակ

Ողջունեք ուսանողներին, մոբիլիզացրեք ուշադրությունը.

Հիմնական գիտելիքների թարմացում:

Տնային աշխատանքը վերանայվում և գնահատվում է անկախ փորձագետի և խորհրդատուների կողմից դասից առաջ, և միավորների թերթիկը լրացվում է:

Ուսուցիչը ամփոփում է տնային աշխատանքը.

Ուսուցիչ: Շարունակում ենք ուսումնասիրել «Եռանկյունաչափական հավասարումներ» թեման։ Այսօր դասի ընթացքում մենք ձեզ կծանոթանանք եռանկյունաչափական հավասարումների մեկ այլ տեսակի և դրանց լուծման մեթոդների հետ, հետևաբար մենք կկրկնենք մեր սովորածը։ Բոլոր տեսակի եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելիս դրանք կրճատվում են ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծմանը։

Ստուգվում են խմբերով կատարված անհատական տնային աշխատանքները: «Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումներ» շնորհանդեսի պաշտպանությունը.

(Խմբի աշխատանքը գնահատվում է անկախ փորձագետի կողմից)

Ուսուցման մոտիվացիա.

Ուսուցիչ: մենք պետք է աշխատենք խաչբառի լուծման վրա: Լուծելով այն՝ մենք կսովորենք նոր տեսակի հավասարումների անվանումը, որը կսովորենք լուծել այսօր դասի ժամանակ։

Խաչբառը լուծելով՝ տղաները կկարդան «միատարր» բառը։

Նոր գիտելիքների յուրացում.

Ուսուցիչ: Դասի թեման է «Համասեռ եռանկյունաչափական հավասարումներ»։

Եկեք դասի թեման գրենք տետրում։ Միատարր եռանկյունաչափական հավասարումները առաջին և երկրորդ աստիճանի են։

Եկեք գրենք առաջին աստիճանի միատարր հավասարման սահմանումը: Ես օրինակ եմ օգտագործում այս կարգի հավասարման լուծումը ցույց տալու համար, դուք ալգորիթմ եք կազմում առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարման լուծման համար:

Ձևի հավասարումը ա sinx + բ cosx = 0 կոչվում է առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարում:

Դիտարկենք հավասարման լուծումը, երբ գործակիցները աև vտարբերվում է 0-ից:

Օրինակ: sinx + cosx = 0

Ռ Հավասարման երկու կողմերը տերմին առ անդամ բաժանելով cosx-ի վրա՝ ստանում ենք

Ուշադրություն. 0-ի բաժանել հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե այս արտահայտությունը ոչ մի տեղ չվերածվի 0-ի, վերլուծենք։ Եթե կոսինուսը 0 է, ապա սինուսը հավասար կլինի 0-ի, հաշվի առնելով, որ գործակիցները տարբերվում են 0-ից, բայց մենք գիտենք, որ սինուսը և կոսինուսը անհետանում են տարբեր կետերում: Հետևաբար, այս գործողությունը կարող է իրականացվել այս տեսակի հավասարումը լուծելիս:

Առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարման լուծման ալգորիթմ. հավասարման երկու կողմերը բաժանել cosx, cosx 0-ով

Ձևի հավասարումը ա sin mx +բ cos mx = 0կոչվում է նաև առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարում և լուծվում է նաև հավասարման երկու կողմերի բաժանումը կոսինուսի mх-ով։

Ձևի հավասարումը ա մեղք 2 x +բ sinx cosx +գ cos2x = 0կոչվում է երկրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարում։

Օրինակ : մեղք 2 x + 2sinx cosx - 3cos 2 x = 0

a գործակիցը տարբերվում է 0-ից և հետևաբար, ինչպես նախորդ հավասարումը, cosx-ը հավասար չէ 0-ի և հետևաբար կարող եք օգտագործել հավասարման երկու կողմերը cos 2 x-ով բաժանելու մեթոդը:

Մենք ստանում ենք tg 2 x + 2tgx - 3 = 0

Մենք լուծում ենք՝ ներմուծելով նոր փոփոխական, թող tgx = a, այնուհետև ստանում ենք հավասարումը

a 2 + 2a - 3 = 0

D = 4 - 4 (–3) = 16

a 1 = 1 a 2 = –3

Վերադարձ դեպի փոխարինում

Պատասխան.

Եթե գործակիցը a = 0, ապա հավասարումը կստանա 2sinx cosx - 3cos2x = 0 ձևը, որը մենք լուծում ենք՝ փակագծերից դուրս դնելով cosx ընդհանուր գործակիցը: Եթե c = 0 գործակիցը, ապա հավասարումը կստանա sin2x + 2sinx cosx = 0 ձևը` փակագծերից դուրս հանելով sinx ընդհանուր գործակիցը: Առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարման լուծման ալգորիթմ.

Տեսեք, արդյոք հավասարումը պարունակում է asin2 x տերմինը:

Եթե asin2 x տերմինը պարունակվում է հավասարման մեջ (այսինքն՝ a 0), ապա հավասարումը լուծվում է՝ հավասարման երկու կողմերը բաժանելով cos2x-ի և այնուհետև ներմուծելով նոր փոփոխական։

Եթե asin2 x տերմինը չի պարունակվում հավասարման մեջ (այսինքն a = 0), ապա հավասարումը լուծվում է ֆակտորիզացիայի մեթոդով՝ cosx-ը հանվում է փակագծերից։ Նույն կերպ են լուծվում a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 ձևի միատարր հավասարումները.

Միատարր եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ալգորիթմը գրված է 102-րդ էջի դասագրքում։

Ֆիզիկական կրթություն

Միատարր եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հմտությունների ձևավորում

Խնդրի գրքերի բացում էջ 53

1-ին եւ 2-րդ խմբերը որոշում են թիվ 361-վ

3-րդ եւ 4-րդ խմբերը որոշում են թիվ 363-վ

Լուծումը ցույց են տալիս գրատախտակին, բացատրում, լրացնում։ Անկախ փորձագետը գնահատում է.

Թիվ 361-վ խնդրագիրքից օրինակների լուծում
sinx - 3cosx = 0
հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք cosx 0-ով, ստանում ենք

թիվ 363-վ
sin2x + sinxcosx - 2cos2x = 0
հավասարման երկու կողմերը բաժանեք cos2x-ի, ստանում ենք tg2x + tgx - 2 = 0

լուծում ենք՝ ներմուծելով նոր փոփոխական
թող tgx = a, ապա մենք ստանում ենք հավասարումը
a2 + a - 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = –2
վերադառնալ փոխարինմանը

Անկախ աշխատանք.

Լուծե՛ք հավասարումները։

2 cosx - 2 = 0

2cos2x - 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx - 2 cos2x = 0

Անկախ աշխատանքի ավարտին փոխվում է աշխատանքը և փոխադարձ ստուգումը։ Ճիշտ պատասխանները ցուցադրվում են գրատախտակի վրա:

Հետո այն փոխանցում են անկախ փորձագետի։

Ինքնաշխատանքի լուծում

Ամփոփելով դասը.

Ի՞նչ եռանկյունաչափական հավասարումների հանդիպեցինք դասին։

Առաջին և երկրորդ աստիճանի եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ալգորիթմ.

Տնային առաջադրանք. § Կարդացեք 20.3. Թիվ 361 (դ), 363 (բ), լրացուցիչ դժվարություն թիվ 380 (ա):

Խաչբառ.

Եթե մուտքագրեք ճիշտ բառերը, կստանաք եռանկյունաչափական հավասարումների տեսակներից մեկի անունը:

Փոփոխականի արժեքը, որը ճիշտ է դարձնում հավասարումը: (արմատ)

Անկյունային միավոր? (Ռադիան)

Թվային գործոն արտադրանքի մեջ: (գործակից)

Մաթեմատիկայի ճյուղ, որն ուսումնասիրում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաները։ (Եռանկյունաչափություն)

Ի՞նչ մաթեմատիկական մոդել է անհրաժեշտ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ներմուծելու համար: (Շրջանակ)

Ո՞ր եռանկյունաչափական ֆունկցիան է զույգ։ (Կոսինուս)

Ինչ է կոչվում ճիշտ հավասարություն: (Ինքնությունը)

Հավասարություն փոփոխականի հետ? (Հավասարում)

Նույն արմատներով հավասարումներ. (համարժեք)

Հավասարման արմատների բազմություն ? (Լուծում)

Գնահատման թուղթ

№
n \ n

Ուսուցչի ազգանունը, անունը

Տնային աշխատանք

Ներկայացում

Ճանաչողական գործունեություն
ուսումնասիրություն

Հավասարումների լուծում

Ինքն
Աշխատանք

Տնային առաջադրանք - 12 միավոր (տնին հանձնարարվել է 3 հավասարում 4 x 3 = 12)

Ներկայացում - 1 միավոր

Ուսանողների գործունեություն - 1 պատասխան - 1 միավոր (առավելագույնը 4 միավոր)

Հավասարումների լուծում 1 միավոր

Անկախ աշխատանք - 4 միավոր

Գնահատում խմբին.

«5» - 22 միավոր կամ ավելի
«4» - 18 - 21 միավոր
«3» - 12 - 17 միավոր

Այսօր մենք կքննարկենք միատարր եռանկյունաչափական հավասարումները: Նախ, եկեք պարզենք տերմինաբանությունը. ինչ է միատարր եռանկյունաչափական հավասարումը: Այն ունի հետևյալ բնութագրերը.

այն պետք է պարունակի մի քանի տերմին.
բոլոր տերմինները պետք է ունենան նույն աստիճանը.
Միատարր եռանկյունաչափական ինքնության մեջ ներառված բոլոր ֆունկցիաները պետք է անպայման ունենան նույն արգումենտը:

Իսկ եթե առաջին կետով ամեն ինչ պարզ է, ապա երկրորդի մասին արժե ավելի մանրամասն խոսել։ Ի՞նչ է նշանակում տերմինների նույն աստիճանը: Դիտարկենք առաջին առաջադրանքը.

3cosx + 5sinx = 0

3 \ cos x + 5 \ sin x = 0

Այս հավասարման մեջ առաջին անդամն է 3 cosx 3 \ cos x. Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ այստեղ կա միայն մեկ եռանկյունաչափական ֆունկցիա. cosx\ cos x - և այլ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ չկան այստեղ, ուստի այս տերմինի աստիճանը 1 է: Նույնը երկրորդի դեպքում - 5 սինքս 5 \ sin x - այստեղ առկա է միայն սինուս, այսինքն՝ այս տերմինի աստիճանը նույնպես հավասար է մեկին։ Այսպիսով, մեր առջև կանգնած է երկու տարրից բաղկացած ինքնություն, որոնցից յուրաքանչյուրը պարունակում է եռանկյունաչափական ֆունկցիա և միևնույն ժամանակ միայն մեկը։ Սա առաջին աստիճանի հավասարումն է։

Անցնելով երկրորդ արտահայտությանը.

4մեղք2 x + sin2x − 3 = 0

4 ((\ sin) ^ (2)) x + \ sin 2x-3 = 0

Այս կառուցվածքի առաջին անդամն է 4մեղք2 x 4 ((\ մեղք) ^ (2)) x.

Այժմ մենք կարող ենք գրել հետևյալ լուծումը.

մեղք2 x = sinx⋅sinx

((\ sin) ^ (2)) x = \ sin x \ cdot \ sin x

Այսինքն՝ առաջին անդամը պարունակում է երկու եռանկյունաչափական ֆունկցիա, այսինքն՝ նրա աստիճանը երկու է։ Եկեք զբաղվենք երկրորդ տարրով. sin2x\ մեղք 2x. Հիշենք այս բանաձևը՝ կրկնակի անկյան բանաձևը.

sin2x = 2sinx⋅cosx

\ sin 2x = 2 \ sin x \ cdot \ cos x

Եվ կրկին ստացված բանաձևում մենք ունենք երկու եռանկյունաչափական ֆունկցիա՝ սինուս և կոսինուս: Այսպիսով, այս տերմինի էքսպոնենցիալ արժեքը նույնպես երկու է.

Անցնում ենք երրորդ տարրին՝ 3. Ավագ դպրոցի մաթեմատիկայի դասընթացից հիշում ենք, որ ցանկացած թիվ կարելի է բազմապատկել 1-ով, և գրում ենք.

˜ 3=3⋅1

Իսկ հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը օգտագործող միավորը կարող է գրվել հետևյալ ձևով.

1=մեղք2 x⋅ cos2 x

1 = ((\ մեղք) ^ (2)) x \ cdot ((\ cos) ^ (2)) x

Հետևաբար, մենք կարող ենք 3-ը վերաշարադրել հետևյալ կերպ.

3=3(մեղք2 x⋅ cos2 x)=3մեղք2 x + 3 cos2 x

3 = 3 \ ձախ (((\ մեղք) ^ (2)) x \ cdot ((\ cos) ^ (2)) x \ աջ) = 3 ((\ մեղք) ^ (2)) x + 3 (( \ cos) ^ (2)) x

Այսպիսով, մեր 3-րդ տերմինը բաժանվեց երկու տարրի, որոնցից յուրաքանչյուրը միատարր է և ունի երկրորդ աստիճան։ Առաջին անդամի սինուսը տեղի է ունենում երկու անգամ, երկրորդում կոսինուսը նույնպես երկու անգամ: Այսպիսով, 3-ը կարող է ներկայացվել նաև որպես տերմին երկուսի հզորության աստիճանով:

Երրորդ արտահայտությունը նույնն է.

մեղք3 x + մեղք2 xcosx = 2 cos3 x

Եկեք տեսնենք. Առաջին տերմինն է մեղք3 x((\ sin) ^ (3)) x-ը երրորդ աստիճանի եռանկյունաչափական ֆունկցիա է։ Երկրորդ տարրն է մեղք2 xcosx((\ մեղք) ^ (2)) x \ cos x.

մեղք2 ((\ sin) ^ (2)) երկու հզորության արժեք ունեցող կապ է, որը բազմապատկվում է cosx\ cos x-ն առաջին անդամն է: Ընդհանուր առմամբ, երրորդ տերմինը նույնպես ունի երեք հզորության արժեք: Ի վերջո, կա ևս մեկ հղում աջ կողմում. 2cos3 x 2 ((\ cos) ^ (3)) x-ը երրորդ աստիճանի տարր է։ Այսպիսով, մենք ունենք երրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարում։

Մենք գրել ենք տարբեր աստիճանի երեք ինքնություն։ Կրկին նշեք երկրորդ արտահայտությունը. Բնօրինակ նշումով անդամներից մեկը վիճաբանություն ունի 2x 2x. Մենք ստիպված ենք ձերբազատվել այս փաստարկից՝ այն փոխակերպելով կրկնակի անկյան բանաձևի սինուսի համաձայն, քանի որ մեր ինքնության մեջ ներառված բոլոր գործառույթները պետք է անպայման ունենան նույն արգումենտը։ Եվ սա միատարր եռանկյունաչափական հավասարումների պահանջն է։

Մենք հասկացանք պայմանները, եկեք անցնենք լուծմանը: Անկախ էքսպոնենցիալ ցուցիչից, այս տիպի հավասարումների լուծումը միշտ կատարվում է երկու քայլով.

1) ապացուցել դա

cosx ≠ 0

\ cos x \ ne 0: Դրա համար բավական է հիշել հիմնական եռանկյունաչափական ինքնության բանաձևը. (մեղք2 x⋅ cos2 x = 1)\ ձախ (((\ sin) ^ (2)) x \ cdot ((\ cos) ^ (2)) x = 1 \ աջ) և փոխարինիր այս բանաձևով cosx = 0\ cos x = 0. Ստանում ենք հետևյալ արտահայտությունը.

մեղք2 x = 1sinx = ± 1

\ սկիզբ (հավասարեցնել) & ((\ sin) ^ (2)) x = 1 \\ & \ sin x = \ pm 1 \\\ վերջ (հավասարեցնել)

Ստացված արժեքները փոխարինելով, այսինքն՝ փոխարենը cosx\ cos x-ը զրո է, և փոխարենը sinx\ sin x - 1 կամ -1, սկզբնական արտահայտության մեջ մենք ստանում ենք անվավեր թվային հավասարություն։ Սա է այն հիմնավորումը, որ

cosx ≠ 0

2) երկրորդ քայլը տրամաբանորեն բխում է առաջինից: Այնքանով, որքանով

cosx ≠ 0

\ cos x \ ne 0, մենք կառուցման մեր երկու կողմերն էլ բաժանում ենք cosn x((\ cos) ^ (n)) x, որտեղ n n-ը միատարր եռանկյունաչափական հավասարման բուն հզորության ցուցիչն է: Ի՞նչ է տալիս մեզ.

\ [\ սկիզբ (զանգված) ((35) (l))

sinxcosx= tgxcosxcosx=1

\ սկիզբ (հավասարեցնել) & \ ֆրակ (\ sin x) (\ cos x) = tgx \\ & \ frac (\ cos x) (\ cos x) = 1 \\\ վերջ (հավասարեցնել) \\ () \\ \ վերջ (զանգված) \]

Դրա շնորհիվ մեր ծանր նախնական շինարարությունը կրճատվում է մինչև հավասարման n n-հզորությունը շոշափողի նկատմամբ, որի լուծումը հեշտ է գրել փոփոխական փոփոխության միջոցով: Դա ամբողջ ալգորիթմն է: Տեսնենք, թե ինչպես է այն աշխատում գործնականում:

3cosx + 5sinx = 0

3 \ cos x + 5 \ sin x = 0

Մենք արդեն պարզել ենք, որ սա միատարր եռանկյունաչափական հավասարում է մեկին հավասար հզորության ցուցիչով։ Ուստի, նախ և առաջ պարզենք, որ cosx ≠ 0\ cos x \ ne 0. Ընդհակառակը ենթադրենք, որ

cosx = 0 → sinx = ± 1

\ cos x = 0 \ to \ sin x = \ pm 1.

Ստացված արժեքը մեր արտահայտության մեջ փոխարինելով՝ ստանում ենք.

3⋅0+5⋅(± 1) = 0± 5 = 0

\ սկիզբ (հավասարեցնել) & 3 \ cdot 0 + 5 \ cdot \ ձախ (\ pm 1 \ աջ) = 0 \\ & \ pm 5 = 0 \\\ վերջ (հավասարեցնել)

Ելնելով դրանից՝ կարելի է ասել, որ cosx ≠ 0\ cos x \ ne 0. Մեր հավասարումը բաժանեք cosx\ cos x, քանի որ մեր ամբողջ արտահայտությունն ունի մեկ հզորության արժեք: Մենք ստանում ենք.

3(cosxcosx) +5(sinxcosx) =0 3 + 5 tgx = 0tgx = - 3 5

\ սկիզբ (հավասարեցնել) & 3 \ ձախ (\ ֆրակ (\ cos x) (\ cos x) \ աջ) +5 \ ձախ (\ ֆրակ (\ sin x) (\ cos x) \ աջ) = 0 \\ & 3 + 5tgx = 0 \\ & tgx = - \ frac (3) (5) \\\ վերջ (հավասարեցնել)

Սա աղյուսակի արժեք չէ, ուստի պատասխանը կներառի arctgx arctgx:

x = arctg (−3 5 ) + π n, n∈Z

x = arctg \ ձախ (- \ ֆրակ (3) (5) \ աջ) + \ տեքստ () \! \! \ pi \! \! \ text () n, n \ Z-ում

Այնքանով, որքանով arctg arctg arctg-ը կենտ ֆունկցիա է, կարող ենք արգումենտից հանել «մինուսը» և դնել arctg-ից առաջ։ Մենք ստանում ենք վերջնական պատասխանը.

x = −arctg 3 5 + π n, n∈Z

x = -arctg \ frac (3) (5) + \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () n, n \ Z-ում

4մեղք2 x + sin2x − 3 = 0

4 ((\ sin) ^ (2)) x + \ sin 2x-3 = 0

Ինչպես հիշում եք, նախքան այն լուծելը, դուք պետք է որոշ փոխակերպումներ կատարեք: Մենք կատարում ենք փոխակերպումներ.

4մեղք2 x + 2sinxcosx − 3 (մեղք2 x + cos2 x)=0 4մեղք2 x + 2sinxcosx − 3 մեղք2 x − 3 cos2 x = 0մեղք2 x + 2sinxcosx − 3 cos2 x = 0

\ սկիզբ (հավասարեցնել) & 4 ((\ sin) ^ (2)) x + 2 \ sin x \ cos x-3 \ ձախ ((\ sin) ^ (2)) x + ((\ cos) ^ ( 2 )) x \ աջ) = 0 \\ & 4 ((\ sin) ^ (2)) x + 2 \ sin x \ cos x-3 ((\ sin) ^ (2)) x-3 ((\ cos ) ^ (2)) x = 0 \\ & ((\ sin) ^ (2)) x + 2 \ sin x \ cos x-3 ((\ cos) ^ (2)) x = 0 \\\ վերջ (հավասարեցնել)

Մենք ստացանք երեք տարրերից բաղկացած կառուցվածք. Առաջին կիսամյակում մենք տեսնում ենք մեղք2 ((\ sin) ^ (2)), այսինքն՝ դրա էքսպոնենցիալ արժեքը երկու է։ Երկրորդ ժամկետում մենք տեսնում ենք sinx\ մեղք x եւ cosx\ cos x - կրկին երկու ֆունկցիա կա, դրանք բազմապատկվում են, ուստի ընդհանուր հզորությունը կրկին երկու է: Երրորդ հղումում մենք տեսնում ենք cos2 x((\ cos) ^ (2)) x - նման է առաջին արժեքին:

Եկեք ապացուցենք դա cosx = 0\ cos x = 0 այս կառուցման լուծումը չէ: Դա անելու համար ենթադրեք հակառակը.

\ [\ սկիզբ (զանգված) ((35) (l))

\ cos x = 0 \\\ sin x = \\ pm 1 \\ 1 + 2 \ cdot \ ձախ (\ pm 1 \ աջ) \ cdot 0-3 \ cdot 0 = 0 \\ 1 + 0-0 = 0 \ \ 1 = 0 \\\ վերջ (զանգված) \]

Մենք դա ապացուցել ենք cosx = 0\ cos x = 0 չի կարող լուծում լինել: Անցնում ենք երկրորդ քայլին՝ մեր ամբողջ արտահայտությունը բաժանում ենք cos2 x((\ cos) ^ (2)) x. Ինչու՞ քառակուսի: Քանի որ այս միատարր հավասարման ցուցիչը երկու է.

մեղք2 xcos2 x+2sinxcosxcos2 x−3=0 տ է2 x + 2tgx − 3 = 0

\ սկիզբ (հավասարեցնել) & \ ֆրակ (((\ sin) ^ (2)) x) ((\ cos) ^ (2)) x) +2 \ frac (\ sin x \ cos x) (((\ cos) ^ (2)) x) -3 = 0 \\ & t ((g) ^ (2)) x + 2tgx-3 = 0 \\\ վերջ (հավասարեցնել)

Հնարավո՞ր է այս արտահայտությունը լուծել դիսկրիմինանտի միջոցով: Իհարկե: Բայց ես առաջարկում եմ հիշել Վիետայի թեորեմի հակադարձ թեորեմը, և մենք ստանում ենք, որ այս բազմանդամը կարող է ներկայացվել երկու պարզ բազմանդամների տեսքով, մասնավորապես.

(tgx + 3) (tgx − 1) = 0tgx = −3 → x = −arctg3 + π n, n∈Ztgx = 1 → x = π 4 + π k, k∈Z

\ սկիզբ (հավասարեցնել) & \ ձախ (tgx + 3 \ աջ) \ ձախ (tgx-1 \ աջ) = 0 \\ & tgx = -3 \ դեպի x = -arctg3 + \ տեքստ () \! \! \ pi \ ! \! \ text () n, n \ Z \\ & tgx = 1 \ մինչև x = \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ տեքստ ()) (4) + \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () k, k \ Z \\\ վերջում (հավասարեցնել)

Շատ ուսանողներ հարցնում են՝ արժե՞ ինքնության լուծումների յուրաքանչյուր խմբի համար առանձին գործակիցներ գրել, թե՞ չանհանգստանալ ու ամենուր նույնը գրել։ Անձամբ ես կարծում եմ, որ ավելի լավ ու վստահելի է օգտագործել տարբեր տառեր, որպեսզի այն դեպքում, երբ մաթեմատիկայի լրացուցիչ թեստերով ընդունվում ես լուրջ տեխնիկական բուհ, գնահատողները պատասխանի մեջ մեղք չգտնեն։

մեղք3 x + մեղք2 xcosx = 2 cos3 x

((\ sin) ^ (3)) x + ((\ sin) ^ (2)) x \ cos x = 2 ((\ cos) ^ (3)) x

Մենք արդեն գիտենք, որ սա երրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարում է, հատուկ բանաձևեր պետք չեն, և մեզանից պահանջվում է ընդամենը տերմինը փոխանցել. 2cos3 x 2 ((\ cos) ^ (3)) x մնացել. Մենք վերաշարադրում ենք.

մեղք3 x + մեղք2 xcosx - 2 cos3 x = 0

((\ sin) ^ (3)) x + ((\ sin) ^ (2)) x \ cos x-2 ((\ cos) ^ (3)) x = 0

Մենք տեսնում ենք, որ յուրաքանչյուր տարր պարունակում է երեք եռանկյունաչափական ֆունկցիա, ուստի այս հավասարումն ունի երեքի հավասար հզորության արժեք: Մենք լուծում ենք այն։ Առաջին հերթին պետք է դա ապացուցել cosx = 0\ cos x = 0 արմատ չէ.

\ [\ սկիզբ (զանգված) ((35) (l))

\ cos x = 0 \\\ sin x = \ pm 1 \\\ վերջ (զանգված) \]

Եկեք այս թվերը միացնենք մեր սկզբնական կառուցվածքին.

(± 1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ± 1 + 0−0 = 0± 1 = 0

\ սկիզբ (հավասարեցնել) & ((\ ձախ (\ pm 1 \ աջ)) ^ (3)) + 1 \ cdot 0-2 \ cdot 0 = 0 \\ & \ pm 1 + 0-0 = 0 \\ & \ pm 1 = 0 \\\ վերջ (հավասարեցնել)

Հետևաբար, cosx = 0\ cos x = 0 լուծում չէ: Մենք դա ապացուցել ենք cosx ≠ 0\ cos x \ ne 0. Այժմ, երբ մենք դա ապացուցեցինք, մենք մեր սկզբնական հավասարումը բաժանում ենք cos3 x((\ cos) ^ (3)) x. Ինչու խորանարդիկ: Քանի որ մենք պարզապես ապացուցեցինք, որ մեր սկզբնական հավասարումը երրորդ աստիճանի է.

մեղք3 xcos3 x+մեղք2 xcosxcos3 x−2=0 տ է3 x + t է2 x − 2 = 0

\ սկիզբ (հավասարեցնել) & \ ֆրակ (((\ sin) ^ (3)) x) (((\ cos) ^ (3)) x) + \ frac (((\ sin) ^ (2)) x \ cos x) (((\ cos) ^ (3)) x) -2 = 0 \\ & t ((g) ^ (3)) x + t ((g) ^ (2)) x-2 = 0 \\\ վերջ (հավասարեցնել)

Ներկայացնենք նոր փոփոխական.

tgx = t

Մենք վերաշարադրում ենք շինարարությունը.

տ3 +տ2 −2=0

((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2 = 0

Մեր առջև խորանարդ հավասարում է: Ինչպե՞ս լուծել այն: Սկզբում, երբ ես նոր էի կազմում այս վիդեո ձեռնարկը, նախատեսում էի նախապես խոսել բազմանդամների ֆակտորինգի և այլ տեխնիկայի մասին: Բայց այս դեպքում ամեն ինչ շատ ավելի պարզ է։ Տեսեք, մեր կրճատված ինքնությունը, ամենաբարձր աստիճան ունեցող տերմինով, 1 է: Բացի այդ, բոլոր գործակիցները ամբողջ թվեր են: Սա նշանակում է, որ մենք կարող ենք օգտագործել Բեզութի թեորեմի հետևանքը, որն ասում է, որ բոլոր արմատները -2 թվի բաժանարարներն են, այսինքն՝ ազատ անդամը։

Հարց է առաջանում՝ ո՞րն է -2-ի բաժանումը։ Քանի որ 2-ը պարզ թիվ է, տարբերակներն այնքան էլ շատ չեն: Սրանք կարող են լինել հետևյալ թվերը. 1; 2; -1; -2. Բացասական արմատները անմիջապես հեռանում են: Ինչո՞ւ։ Քանի որ երկուսն էլ մոդուլում 0-ից մեծ են, հետևաբար, տ3 ((t) ^ (3)) մոդուլով ավելի մեծ կլինի, քան տ2 ((t) ^ (2)). Եվ քանի որ խորանարդը կենտ ֆունկցիա է, հետևաբար խորանարդի թիվը կլինի բացասական, և տ2 ((t) ^ (2)) - դրական, և այս ամբողջ շինարարությունը, համար t = −1 t = -1 և t = −2 t = -2, կլինի 0-ից ոչ ավելի: Դրանից հանեք -2 և ստացեք 0-ից փոքր թիվ: Մնում են միայն 1-ը և 2-ը: Փոխարինենք այս թվերից յուրաքանչյուրը.

˜ t = 1 → 1 + 1−2 = 0 → 0 = 0

˜t = 1 \ դեպի \ տեքստ () 1 + 1-2 = 0 \ մինչև 0 = 0

Ստացանք ճիշտ թվային հավասարություն։ Հետևաբար, t = 1 t = 1-ը արմատ է:

t = 2 → 8 + 4−2 = 0 → 10 ≠ 0

t = 2 \ մինչև 8 + 4-2 = 0 \ մինչև 10 \ ne 0

t = 2 t = 2-ը արմատ չէ:

Ըստ հետևության և նույն Բեզութի թեորեմի՝ ցանկացած բազմանդամ, որի արմատն է x0 ((x) _ (0)), ներկայացնում ենք ձևով.

Q (x) = (x = x0 ) P (x)

Q (x) = (x = ((x) _ (0))) P (x)

Մեր դեպքում՝ դերում x x-ը փոփոխականն է տտ, և դերում x0 ((x) _ (0)) - 1-ի հավասար արմատ: Ստանում ենք.

տ3 +տ2 −2 = (t − 1) ⋅P (t)

((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2 = (t-1) \ cdot P (t)

Ինչպես գտնել բազմանդամը Պ (t) P \ ձախ (t \ աջ)? Ակնհայտ է, որ դուք պետք է անեք հետևյալը.

P (t) = տ3 +տ2 −2 t - 1

P (t) = \ frac (((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2) (t-1)

Մենք փոխարինում ենք.

տ3 +տ2 + 0⋅t − 2t - 1=տ2 + 2տ + 2

\ frac (((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) + 0 \ cdot t-2) (t-1) = ((t) ^ (2)) + 2t + 2

Այսպիսով, մեր սկզբնական բազմանդամը բաժանվում է առանց մնացորդի: Այսպիսով, մենք կարող ենք վերաշարադրել մեր սկզբնական հավասարությունը հետևյալ կերպ.

(t − 1) ( տ2 + 2տ + 2) = 0

(t-1) (((t) ^ (2)) + 2t + 2) = 0

Արտադրյալը հավասար է զրոյի, երբ գործոններից առնվազն մեկը հավասար է զրոյի: Մենք արդեն դիտարկել ենք առաջին գործոնը. Եկեք նայենք երկրորդին.

տ2 + 2տ + 2 = 0

((t) ^ (2)) + 2t + 2 = 0

Փորձառու ուսանողները, հավանաբար, արդեն հասկացել են, որ այս շինարարությունը արմատներ չունի, բայց եկեք դեռ հաշվարկենք խտրականությունը։

D = 4−4⋅2 = 4−8 = −4

D = 4-4 \ cdot 2 = 4-8 = -4

Տարբերիչը 0-ից փոքր է, հետևաբար արտահայտությունն արմատներ չունի։ Ընդհանուր առմամբ, հսկայական շինարարությունը հասցվել է սովորական հավասարության.

\ [\ սկիզբ (զանգված) ((35) (l))

t = \ text () 1 \\ tgx = \ text () 1 \\ x = \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ տեքստ ()) (4) + \ տեքստ () \! \! \ pi \! \! \ տեքստ () k, k \ Z \\\ վերջում (զանգված) \]

Եզրափակելով, ես կցանկանայի ավելացնել մի քանի մեկնաբանություն վերջին առաջադրանքի վերաբերյալ.

արդյոք պայմանը միշտ կբավարարվի cosx ≠ 0\ cos x \ ne 0, և արժե՞ ընդհանրապես ստուգել: Իհարկե, ոչ միշտ։ Այն դեպքերում, երբ cosx = 0\ cos x = 0-ը մեր հավասարության լուծումն է, այն պետք է հանեք փակագծերից, այնուհետև փակագծերում կմնա լրիվ միատարր հավասարումը։
ինչ է բազմանդամի բաժանումը բազմանդամի. Իսկապես, դպրոցներից շատերը դա չեն ուսումնասիրում, և երբ աշակերտներն առաջին անգամ են տեսնում նման կառույց, փոքր ցնցում են ապրում: Բայց իրականում սա պարզ և գեղեցիկ տեխնիկա է, որը մեծապես հեշտացնում է ավելի բարձր աստիճանի հավասարումների լուծումը։ Իհարկե, նրան կնվիրվի առանձին տեսադասընթաց, որը կհրապարակեմ մոտ ապագայում։

Միատարր եռանկյունաչափական հավասարումները սիրելի թեմա են բոլոր տեսակի թեստերում: Դրանք լուծվում են շատ պարզ՝ բավական է մեկ անգամ պարապել։ Որպեսզի հասկանալի լինի, թե ինչի մասին է խոսքը, կներկայացնենք նոր սահմանում։

Միատարր եռանկյունաչափական հավասարումը այն հավասարումն է, որի յուրաքանչյուր ոչ զրոյական անդամ բաղկացած է նույն թվով եռանկյունաչափական գործակիցներից: Դա կարող է լինել սինուսներ, կոսինուսներ կամ դրանց համակցություններ. լուծման մեթոդը միշտ նույնն է:

Միատարր եռանկյունաչափական հավասարման աստիճանը եռանկյունաչափական գործոնների թիվն է, որոնք ներառված են ոչ զրոյական թվերով: Օրինակներ.

sinx + 15 cos x = 0

\ sin x + 15 \ text (cos) x = 0 - 1-ին աստիճանի ինքնություն;

2 sin2x + 5sinxcosx − 8cos2x = 0

2 \ տեքստ (մեղք) 2x + 5 \ sin xcosx-8 \ cos 2x = 0 - 2-րդ աստիճան;

sin3x + 2sinxcos2x = 0

\ sin 3x + 2 \ sin x \ cos 2x = 0 - 3-րդ աստիճան;

sinx + cosx = 1

\ sin x + \ cos x = 1 - և այս հավասարումը միատարր չէ, քանի որ աջ կողմում կա մեկը՝ ոչ զրոյական անդամ, որում եռանկյունաչափական գործակիցներ չկան.

sin2x + 2sinx − 3 = 0

\ sin 2x + 2 \ sin x-3 = 0 նույնպես անհամասեռ հավասարում է։ Տարր sin2x\ sin 2x - երկրորդ աստիճան (քանի որ կարող եք ներկայացնել

sin2x = 2sinxcosx

\ sin 2x = 2 \ sin x \ cos x), 2սինքս 2 \ sin x-ն առաջինն է, իսկ 3 տերմինը հիմնականում զրո է, քանի որ դրանում սինուսներ կամ կոսինուսներ չկան:

Տնային աշխատանք

Ճանաչողական գործունեություն

Հավասարումների լուծում

Ինքն
Աշխատանք

Լուծման սխեման միշտ նույնն է.

Եկեք այդպես ձևացնենք cosx = 0\ cos x = 0. Հետո sinx = ± 1\ sin x = \ pm 1 - սա բխում է հիմնական ինքնությունից: Փոխարինող sinx\ մեղք x եւ cosx\ cos x սկզբնական արտահայտությանը, և եթե արդյունքը անհեթեթ է (օրինակ, արտահայտությունը 5=0 5 = 0), անցեք երկրորդ կետին;

Մենք ամեն ինչ բաժանում ենք կոսինուսի հզորությամբ՝ cosx, cos2x, cos3x ... - կախված է հավասարման հզորության արժեքից։ Ստանում ենք շոշափողներով սովորական հավասարություն, որը հաջողությամբ լուծվում է tgx = t փոխարինելուց հետո։

tgx = tԳտնված արմատները կլինեն սկզբնական արտահայտության պատասխանը:

Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք միատարր եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման եղանակին:

Միատարր եռանկյունաչափական հավասարումները ունեն նույն կառուցվածքը, ինչ ցանկացած այլ տեսակի միատարր հավասարումները: Հիշեցնեմ երկրորդ աստիճանի միատարր հավասարումների լուծման մեթոդ.

Դիտարկենք ձևի միատարր հավասարումները

Միատարր հավասարումների տարբերակիչ հատկանիշները.

ա) բոլոր միանուններն ունեն նույն աստիճանը,

բ) ազատ տերմինը զրո է,

գ) հավասարումը պարունակում է երկու տարբեր հիմքերով աստիճաններ:

Միատարր հավասարումները լուծվում են նմանատիպ ալգորիթմի միջոցով:

Այս տիպի հավասարումը լուծելու համար հավասարման երկու կողմերը բաժանեք (կարելի է բաժանել կամ բաժանել)

Ուշադրություն. Հավասարման աջ և ձախ կողմերը անհայտ պարունակող արտահայտությամբ բաժանելիս կարող եք արմատներ կորցնել: Հետևաբար, անհրաժեշտ է ստուգել, թե արդյոք արտահայտության արմատները, որոնցով մենք բաժանում ենք հավասարման երկու կողմերը, սկզբնական հավասարման արմատները չեն։

Եթե այդպես է, ապա մենք գրում ենք այս արմատը, որպեսզի հետո չմոռանանք դրա մասին, ապա բաժանում ենք այս արտահայտությամբ։

Ընդհանրապես, առաջին բանը, երբ լուծելով ցանկացած հավասարում, որի աջ կողմում կա զրո, պետք է փորձել հավասարման ձախ կողմը ամեն կերպ վերածել գործոնների: Եվ հետո յուրաքանչյուր գործոն հավասարեցրեք զրոյի: Այս դեպքում մենք հաստատ չենք կորցնի մեր արմատները։

Այսպիսով, զգուշորեն հավասարման ձախ կողմը բաժանեք անդամի: Մենք ստանում ենք.

Կրճատի՛ր երկրորդ և երրորդ կոտորակների համարիչն ու հայտարարը.

Ներկայացնենք փոխարինում.

Մենք ստանում ենք քառակուսի հավասարում.

Եկեք լուծենք քառակուսի հավասարումը, գտնենք արժեքները և վերադառնանք սկզբնական անհայտին:

Միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելիս պետք է հիշել մի քանի կարևոր բան.

1. Ընդհատումը կարող է փոխակերպվել սինուսի և կոսինուսի քառակուսու՝ օգտագործելով հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը.

2. Կրկնակի արգումենտի սինուսը և կոսինուսը երկրորդ աստիճանի միանդամներ են. կրկնակի արգումենտի սինուսը հեշտությամբ կարելի է վերածել սինուսի և կոսինուսի արտադրյալի, իսկ կրկնակի արգումենտի կոսինուսը՝ սինուսի քառակուսու կամ կոսինուս:

Դիտարկենք միատարր եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մի քանի օրինակ։

1 . Եկեք լուծենք հավասարումը.

Սա առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարման դասական օրինակ է՝ յուրաքանչյուր միանդամի աստիճանը մեկ է, ազատ անդամը՝ զրո։

Նախքան հավասարման երկու կողմերը բաժանելը, դուք պետք է ստուգեք, որ հավասարման արմատները սկզբնական հավասարման արմատները չեն: Ստուգեք՝ եթե, ապա վերնագիր = "(! LANG: sin (x) 0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք.

Մենք ստանում ենք.

, որտեղ

Պատասխան. , որտեղ

2. Եկեք լուծենք հավասարումը.

Սա երկրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարման օրինակ է։ Մենք հիշում ենք, որ եթե մենք կարող ենք հաշվի առնել հավասարման ձախ կողմը, ապա նպատակահարմար է դա անել: Այս հավասարման մեջ մենք կարող ենք հանել փակագծերը։ Եկեք անենք դա:

Առաջին հավասարման լուծում՝ որտեղ

Երկրորդ հավասարումը առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարումն է։ Այն լուծելու համար մենք հավասարման երկու կողմերն էլ բաժանում ենք. Մենք ստանում ենք.

Պատասխան՝ որտեղ,

3. Եկեք լուծենք հավասարումը.

Այս հավասարումը «միատարր» դարձնելու համար այն վերածեք արտադրյալի և 3 թիվը ներկայացրեք որպես սինուսի և կոսինուսի քառակուսիների գումար.

Բոլոր տերմինները տեղափոխեք ձախ, ընդլայնեք փակագծերը և ներկայացրեք նմանատիպ տերմիններ։ Մենք ստանում ենք.

Գործոնավորեք ձախ կողմը և յուրաքանչյուր գործակից հավասարեցրեք զրոյի.

Պատասխան՝ որտեղ,

4 . Եկեք լուծենք հավասարումը.

Մենք տեսնում ենք, թե ինչ կարող ենք դուրս թողնել փակագծերից։ Եկեք անենք դա:

Յուրաքանչյուր գործոն հավասարեցնենք զրոյի.

Առաջին հավասարման լուծում.

Բնակչության երկրորդ հավասարումը երկրորդ աստիճանի դասական միատարր հավասարումն է։ Հավասարման արմատները սկզբնական հավասարման արմատները չեն, ուստի մենք հավասարման երկու կողմերն էլ բաժանում ենք.

Առաջին հավասարման լուծում.

Երկրորդ հավասարման լուծում.

Նախորդ հոդվածը. կոկորդի բորբոքային հիվանդություններ Հաջորդ հոդվածը. Ինչպե՞ս բուժել նշագեղձերը տանը: