$A\_(nn)$ turi turtą įstrižainės dominavimas, jei

$|a\_(ii)|\; \backslash geqslant\; \backslash sum\_(j\; \backslash neq\; i)\; |a\_(ij)|,\backslash qquad\; i\; =\; 1,\; \backslash taškai,\; n,$

ir bent viena nelygybė yra griežta. Jei visos nelygybės yra griežtos, tada sakoma, kad matrica yra $A\_(nn)$ turi griežtasįstrižainės dominavimas.

Įstrižainės dominuojančios matricos programose atsiranda gana dažnai. Pagrindinis jų pranašumas yra tas, kad iteraciniai SLAE sprendimo metodai su tokia matrica (paprastasis iteracijos metodas, Seidelio metodas) susilieja su tikslu, kuris egzistuoja ir yra unikalus bet kuriai dešiniajai.

Savybės

• Matrica, turinti griežtą įstrižainės dominavimą, yra neišsigimusi.

taip pat žr

Parašykite apžvalgą apie straipsnį "Įstrižainės dominavimas"

Įstrižainės dominavimą apibūdinanti ištrauka

Pavlogrado husarų pulkas buvo dislokuotas už dviejų mylių nuo Braunau. Eskadrilė, kurioje Nikolajus Rostovas tarnavo kariūnu, buvo įsikūrusi Vokietijos Salzenek kaime. Eskadrilės vadui kapitonui Denisovui, visai kavalerijos divizijai žinomam Vaskos Denisovo vardu, buvo paskirtas geriausias kaimo butas. Junkeris Rostovas gyveno su eskadrilės vadu nuo tada, kai jis pasivijo pulką Lenkijoje.
Spalio 11 d., tą pačią dieną, kai viską pagrindiniame bute ant kojų pakėlė žinia apie Macko pralaimėjimą, stovyklos gyvenimas eskadrilės štabe vyko ramiai kaip anksčiau. Denisovas, visą naktį pralaimėjęs kortomis, dar nebuvo grįžęs namo, kai Rostovas anksti ryte ant žirgo grįžo iš maisto ieškojimo. Rostovas kariūno uniforma išjojo į prieangį, pastūmė arklį, lanksčiu, jaunatvišku gestu numetė koją, atsistojo ant balnakilpės, tarsi nenorėdamas išsiskirti su žirgu, galiausiai pašoko ir pašaukė: pasiuntinys.

Apibrėžimas.

Sistema vadiname sistemą su eilutės įstrižainės dominavimu, jei matricos elementaipatenkinti nelygybes:

,

Nelygybės reiškia, kad kiekvienoje matricos eilutėje paryškinamas įstrižainės elementas: jo modulis didesnis už visų kitų tos pačios eilutės elementų modulių sumą.

Teorema

Sistema su įstrižainės dominavimu visada yra išsprendžiama ir, be to, unikali.

Apsvarstykite atitinkamą homogeninę sistemą:

,

Tarkime, kad jis turi nebanalų sprendimą , Tegul šio sprendimo komponentas, turintis didžiausią modulį, atitinka indeksą
, t.y.

,
,
.

Užsirašykime sistemos lygtis formoje

ir paimkite abiejų šios lygybės pusių modulį. Dėl to gauname:

.

Nelygybės mažinimas veiksniu
, kuris, anot, nelygus nuliui, gauname prieštaravimą su nelygybe, išreiškiančia įstrižainės dominavimą. Atsiradęs prieštaravimas leidžia mums nuosekliai teigti tris teiginius:

Paskutinis iš jų reiškia, kad teoremos įrodymas baigtas.

1. Sistemos su tridiagonaline matrica. Šlavimo metodas.

Sprendžiant daugelį uždavinių, tenka susidurti su tiesinių lygčių sistemomis, kurių forma:

,
,

,
,

kur koeficientai
, dešinės pusės
žinoma kartu su skaičiais ir . Papildomi ryšiai dažnai vadinami sistemos ribinėmis sąlygomis. Daugeliu atvejų jie gali turėti daugiau sudėtingas vaizdas. Pavyzdžiui:

;
,

kur
suteikiami skaičiai. Tačiau norėdami neapsunkinti pristatymo, apsiribojame paprasčiausia papildomų sąlygų forma.

Pasinaudojus tuo, kad vertybės ir atsižvelgiant į tai, mes perrašome sistemą į formą:

Šios sistemos matrica turi trikampę struktūrą:

Tai labai supaprastina sistemos sprendimą dėl specialaus metodo, vadinamo šlavimo metodu.

Metodas pagrįstas prielaida, kad norimi nežinomieji ir
susijęs pasikartojimo ryšiu

,
.

Čia kiekiai
,
, vadinami braukimo koeficientais, turi būti nustatomi pagal problemos sąlygas, . Tiesą sakant, tokia procedūra reiškia tiesioginio nežinomųjų apibrėžimo pakeitimą užduotis nustatyti braukimo koeficientus ir vėliau apskaičiuojant kiekius .

Norėdami įgyvendinti aprašytą programą, išreiškiame naudodami ryšį
skersai
:

ir pakaitalas
ir , išreikštas per
, į pradines lygtis. Dėl to gauname:

.

Paskutiniai santykiai tikrai bus patenkinti ir, be to, nepriklausomai nuo sprendimo, jei to reikės
įvyko lygybės:

Iš čia sekite rekursinius slinkimo koeficientų ryšius:

,
,
.

Kairioji ribinė sąlyga
ir santykis
yra nuoseklūs, jei įdėsime

.

Kitos šlavimo koeficientų reikšmės
ir
randame iš, su kuriais ir užbaigiame nubraukimo koeficientų skaičiavimo etapą.

.

Iš čia galite rasti likusius nežinomus dalykus
atbulinės eigos procese naudojant rekursinę formulę.

Sistemai išspręsti reikalingų operacijų skaičius bendras vaizdas Gauso metodas, didėja didėjant proporcingai . Šlavimo metodas sumažinamas iki dviejų ciklų: pirmiausia pagal formules apskaičiuojami braukimo koeficientai, tada jas naudojant rekursinėmis formulėmis randamos sistemos sprendimo komponentai. . Tai reiškia, kad didėjant sistemos dydžiui, proporcingai augs ir aritmetinių operacijų skaičius , bet ne . Taigi šlavimo metodas pagal galimą pritaikymą yra žymiai ekonomiškesnis. Prie to reikėtų pridėti ypatingą programinės įrangos diegimo kompiuteryje paprastumą.

Daugelyje taikomų problemų, kurios veda į SLAE su tridiagonaline matrica, jos koeficientai tenkina nelygybes:

,

kurios išreiškia įstrižainės dominavimo savybę. Ypač tokias sistemas sutiksime trečiame ir penktame skyriuose.

Remiantis ankstesnio skyriaus teorema, tokių sistemų sprendimas visada egzistuoja ir yra unikalus. Jiems taip pat teisingas teiginys, kuris yra svarbus faktiniam sprendimo skaičiavimui naudojant šlavimo metodą.

Lemma

Jei sistemai su tridiagonaline matrica tenkinama įstrižainės dominavimo sąlyga, tai nubraukimo koeficientai tenkina nelygybes:

.

Įrodinėjimą atliksime indukciniu būdu. Pagal
, aš valgau
lemos teiginys yra teisingas. Dabar manykime, kad tai tiesa ir apsvarstyti
:

.

Taigi indukcija iš Į
pateisinamas, o tai užbaigia lemos įrodymą.

Sweep koeficientų nelygybė bėgimas tampa stabilus. Iš tiesų, tarkime, kad sprendimo komponentas apvalinimo procedūros rezultatas apskaičiuojamas su tam tikra klaida. Tada skaičiuojant kitą komponentą
pagal rekursinę formulę ši paklaida dėl nelygybės nedidės.

Apibrėžimas.

Sistema vadiname sistemą su eilutės įstrižainės dominavimu, jei matricos elementaipatenkinti nelygybes:

,

Nelygybės reiškia, kad kiekvienoje matricos eilutėje paryškinamas įstrižainės elementas: jo modulis didesnis už visų kitų tos pačios eilutės elementų modulių sumą.

Teorema

Sistema su įstrižainės dominavimu visada yra išsprendžiama ir, be to, unikali.

Apsvarstykite atitinkamą homogeninę sistemą:

,

Tarkime, kad jis turi nebanalų sprendimą , Tegul šio sprendimo komponentas, turintis didžiausią modulį, atitinka indeksą
, t.y.

,
,
.

Užsirašykime sistemos lygtis formoje

ir paimkite abiejų šios lygybės pusių modulį. Dėl to gauname:

.

Nelygybės mažinimas veiksniu
, kuris, anot, nelygus nuliui, gauname prieštaravimą su nelygybe, išreiškiančia įstrižainės dominavimą. Atsiradęs prieštaravimas leidžia mums nuosekliai teigti tris teiginius:

Paskutinis iš jų reiškia, kad teoremos įrodymas baigtas.

1. Sistemos su tridiagonaline matrica. Šlavimo metodas.

Sprendžiant daugelį uždavinių, tenka susidurti su tiesinių lygčių sistemomis, kurių forma:

,
,

,
,

kur koeficientai
, dešinės pusės
žinoma kartu su skaičiais ir . Papildomi ryšiai dažnai vadinami sistemos ribinėmis sąlygomis. Daugeliu atvejų jų išvaizda gali būti sudėtingesnė. Pavyzdžiui:

;
,

kur
suteikiami skaičiai. Tačiau norėdami neapsunkinti pristatymo, apsiribojame paprasčiausia papildomų sąlygų forma.

Pasinaudojus tuo, kad vertybės ir atsižvelgiant į tai, mes perrašome sistemą į formą:

Šios sistemos matrica turi trikampę struktūrą:

Tai labai supaprastina sistemos sprendimą dėl specialaus metodo, vadinamo šlavimo metodu.

Metodas pagrįstas prielaida, kad norimi nežinomieji ir
susijęs pasikartojimo ryšiu

,
.

Čia kiekiai
,
, vadinami braukimo koeficientais, turi būti nustatomi pagal problemos sąlygas, . Tiesą sakant, tokia procedūra reiškia tiesioginio nežinomųjų apibrėžimo pakeitimą užduotis nustatyti braukimo koeficientus ir vėliau apskaičiuojant kiekius .

Norėdami įgyvendinti aprašytą programą, išreiškiame naudodami ryšį
skersai
:

ir pakaitalas
ir , išreikštas per
, į pradines lygtis. Dėl to gauname:

.

Paskutiniai santykiai tikrai bus patenkinti ir, be to, nepriklausomai nuo sprendimo, jei to reikės
įvyko lygybės:

Iš čia sekite rekursinius slinkimo koeficientų ryšius:

,
,
.

Kairioji ribinė sąlyga
ir santykis
yra nuoseklūs, jei įdėsime

.

Kitos šlavimo koeficientų reikšmės
ir
randame iš, su kuriais ir užbaigiame nubraukimo koeficientų skaičiavimo etapą.

.

Iš čia galite rasti likusius nežinomus dalykus
atbulinės eigos procese naudojant rekursinę formulę.

Operacijų, kurių reikia norint išspręsti bendrą sistemą Gauso metodu, skaičius didėja didėjant proporcingai . Šlavimo metodas sumažinamas iki dviejų ciklų: pirmiausia pagal formules apskaičiuojami braukimo koeficientai, tada jas naudojant rekursinėmis formulėmis randamos sistemos sprendimo komponentai. . Tai reiškia, kad didėjant sistemos dydžiui, proporcingai augs ir aritmetinių operacijų skaičius , bet ne . Taigi šlavimo metodas pagal galimą pritaikymą yra žymiai ekonomiškesnis. Prie to reikėtų pridėti ypatingą programinės įrangos diegimo kompiuteryje paprastumą.

Daugelyje taikomų problemų, kurios veda į SLAE su tridiagonaline matrica, jos koeficientai tenkina nelygybes:

,

kurios išreiškia įstrižainės dominavimo savybę. Ypač tokias sistemas sutiksime trečiame ir penktame skyriuose.

Remiantis ankstesnio skyriaus teorema, tokių sistemų sprendimas visada egzistuoja ir yra unikalus. Jiems taip pat teisingas teiginys, kuris yra svarbus faktiniam sprendimo skaičiavimui naudojant šlavimo metodą.

Lemma

Jei sistemai su tridiagonaline matrica tenkinama įstrižainės dominavimo sąlyga, tai nubraukimo koeficientai tenkina nelygybes:

.

Įrodinėjimą atliksime indukciniu būdu. Pagal
, aš valgau
lemos teiginys yra teisingas. Dabar manykime, kad tai tiesa ir apsvarstyti
:

.

Taigi indukcija iš Į
pateisinamas, o tai užbaigia lemos įrodymą.

Sweep koeficientų nelygybė bėgimas tampa stabilus. Iš tiesų, tarkime, kad sprendimo komponentas apvalinimo procedūros rezultatas apskaičiuojamas su tam tikra klaida. Tada skaičiuojant kitą komponentą
pagal rekursinę formulę ši paklaida dėl nelygybės nedidės.

MATRIKŠČIŲ NEGENERALUMAS IR ĮSTRIAŽINIO dominavimo Savybė1

L. Cvetkovich, V. Kostic ir L.A. Kriktesnis

Cvetkovic Liliana – Novi Sad universiteto Mokslų fakulteto Matematikos ir informatikos katedros profesorė, Serbija, Obradovica 4, Novi Sad, Serbija, 21000, el. [apsaugotas el. paštas]

Kostic Vladimir – Novi Sado universiteto Mokslo fakulteto Matematikos ir informatikos katedros docentas, daktaras, Obradovica 4, 21000, Novi Sad, Serbija, el. [apsaugotas el. paštas]

Krukier Levas Abramovičius – fizinių ir matematikos mokslų daktaras, profesorius, didelio našumo skaičiavimo ir informacinių bei ryšių technologijų katedros vedėjas, Pietų federalinio universiteto Pietų Rusijos regioninio informatizacijos centro direktorius, Stachki pr. 200/1, bldg. 2, Rostovas prie Dono, 344090, el. [apsaugotas el. paštas] ru.

Cvetkovic Ljiljana – Novi Sado universiteto Mokslų fakulteto Matematikos ir informatikos katedros profesorius, Serbija, D. Obradovica 4, Novi Sad, Serbija, 21000, el. [apsaugotas el. paštas]

Kostic Vladimir – Novi Sado universiteto Mokslų fakulteto Matematikos ir informatikos katedros docentas, Serbija, D. Obradovica 4, Novi Sad, Serbija, 21000, el. [apsaugotas el. paštas]

Krukier Levas Abramovičius – fizinių ir matematikos mokslų daktaras, profesorius, didelio našumo skaičiavimo ir informacinių bei ryšių technologijų katedros vedėjas, Pietų federalinio universiteto kompiuterių centro direktorius, Stachki pr., 200/1, bild. 2, Rostovas prie Dono, Rusija, 344090, el. [apsaugotas el. paštas] ru.

Įstrižainės dominavimas matricoje yra paprasta sąlyga, užtikrinanti jos neišsigimimą. Matricos savybės, kurios apibendrina įstrižainės dominavimo sąvoką, visada turi didelę paklausą. Jie laikomi įstrižainės dominavimo tipo sąlygomis ir padeda apibrėžti matricų poklasius (pvz., H matricas), kurios tokiomis sąlygomis išlieka neišsigimusios. Šiame darbe mes sudarome naujas nevienaskaitių matricų klases, kurios išlaiko įstrižainės dominavimo pranašumus, bet lieka už H matricų klasės. Šios savybės yra ypač patogios, nes daugelis programų veda į šios klasės matricas, o matricų, kurios nėra H matricos, neišsigimimo teorija dabar gali būti išplėsta.

Raktažodžiai: įstrižainės dominavimas, neišsigimimas, mastelio keitimas.

Nors paprastos sąlygos, užtikrinančios matricų nevienodumą, visada yra labai sveikintinos, daugelis iš kurių gali būti laikomos įstrižainės dominavimo tipu, paprastai sukuria gerai žinomų H matricų poklasius. Šiame darbe mes sudarome naujas nevienaskaitių matricų klases, kurios išlaiko įstrižainės dominavimo naudingumą, tačiau yra bendrame santykyje su H matricų klase. Ši savybė yra ypač palanki, nes dabar galima išplėsti daugelį H matricos teorijos taikomų programų.

Raktažodžiai: įstrižainės dominavimas, neviengumas, mastelio keitimo technika.

Matematinės fizikos ribinių reikšmių uždavinių skaitinis sprendimas, kaip taisyklė, redukuoja pradinį uždavinį iki tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimo. Renkantis sprendimo algoritmą, turime žinoti, ar pradinė matrica nėra vienaskaita? Be to, matricos neišsigimimo klausimas yra svarbus, pavyzdžiui, iteracinių metodų konvergencijos teorijoje, savųjų reikšmių lokalizacijoje, vertinant determinantus, prijuostės šaknis, spektrinį spindulį, vienaskaitos vertes. matrica ir kt.

Atkreipkite dėmesį, kad vienas iš paprasčiausių, bet nepaprastai naudingomis sąlygomis, kurios užtikrina matricos neišsigimimą, yra plačiai paplitusios žinomas turtas griežtas įstrižainės dominavimas (ir nuorodos juose).

Teorema 1. Tegu matrica A = e Cnxn tokia, kad

s > r (a):= S k l, (1)

visiems i e N:= (1,2,...n).

Tada matrica A yra neišsigimusi.

Matricos su savybe (1) vadinamos griežtą įstrižainės dominavimą turinčiomis matricomis

(8BB matricos). Jų natūralus apibendrinimas yra matricų klasė su apibendrintu įstrižainės dominavimu (GBD), apibrėžta taip:

Apibrėžimas 1. Matrica A = [a^] e Cxn vadinama sBB matrica, jei egzistuoja nevienaskaitės įstrižainės matrica W, kad AW būtų 8BB matrica.

Pateikiame keletą matricos apibrėžimų

A \u003d [ay] e Spxp.

2 apibrėžimas

(A) = e Cn

vadinama matricos A palyginimo matrica.

Apibrėžimas 3. Matrica A = e C

\üj > 0, i = j

yra M matrica, jei

aj< 0, i * j,

atvirkštinis kilimėlis -

matrica A">0, t.y. visi jos elementai yra teigiami.

Akivaizdu, kad wBB klasės matricos taip pat nėra vienaskaitos matricos ir gali būti

1Šį darbą iš dalies parėmė Serbijos švietimo ir mokslo ministerija, dotacija 174019, ir Vojvodinos mokslo ir technologijų plėtros ministerija, dotacijos Nr. 2675 ir 01850.

literatūroje randama neišsigimusių H matricų pavadinimu. Juos galima apibrėžti naudojant šią būtiną ir pakankamą sąlygą:

2 teorema. Matrica A \u003d [ay ]e xi

matrica tada ir tik tada, kai jos palyginimo matrica yra neišsigimusi M matrica.

Iki šiol daugelis neišsigimusių H matricų poklasių jau buvo ištirti, tačiau visi jie yra nagrinėjami griežtai įstrižinės dominavimo savybės apibendrinimų požiūriu (taip pat žr. nuorodas).

Šiame darbe svarstome galimybę peržengti H matricų klasę apibendrinant SBB klasę kitaip. Pagrindinė idėja yra ir toliau naudoti mastelio keitimo metodą, bet naudojant ne įstrižas matricas.

Apsvarstykite matricą A \u003d [ay ] e spxn ir indeksą

Pristatome matricą

r (A):= £ a R (A):= £

ßk (A) := £ ir yk (A) := aü - ^

Nesunku patikrinti, ar matricos bk Abk elementai turi tokią formą:

ßk (A), Y k (A), akj,

i=j=k, i=j*k,

i = k, j * k, i * k, j = k,

A inöaeüiüö neo^äyö.

Jei aukščiau aprašytai matricai bk Abk1 pritaikysime 1 teoremą ir jos transponuotąją, gausime dvi pagrindines teoremas.

3 teorema. Tegu duota bet kuri matrica

A \u003d [ay ] e spxn su nulinio įstrižainės elementais. Jei yra k e N, kuris > Rk (A), ir kiekvienam i e N \ (k),

tada matrica A yra neišsigimusi.

4 teorema. Tegu duota bet kuri matrica

A \u003d [ay ] e spxn su nulinio įstrižainės elementais. Jei yra k e N, kad > ​​Jk (A), ir kiekvienam i e N \ (k),

Tada matrica A yra neišsigimusi. Kyla natūralus klausimas dėl santykių tarp

matricos iš ankstesnių dviejų teoremų: L^ - BOO -matricos (apibrėžtos pagal (5) formulę) ir

bk – BOO matricos (apibrėžta (6) formule) ir H matricų klasė. Šis paprastas pavyzdys tai paaiškina.

Pavyzdys. Apsvarstykite šias 4 matricas:

ir apsvarstykite matricą bk Abk, k e N, panašią į pradinę A. Raskime sąlygas, kada ši matrica turės SDD matricos savybę (eilelėmis arba stulpeliais).

Visame straipsnyje r,k eN:= (1,2,.../?) vartosime žymėjimą:

2 2 1 1 3 -1 1 1 1

" 2 11 -1 2 1 1 2 3

2 1 1 1 2 -1 1 1 5

Neišsigimimo teoremos

Visi jie yra neišsigimę:

A1 yra b - BOO, nepaisant to, kad jis nėra bk - BOO bet kuriam k = (1,2,3). Tai taip pat nėra H matrica, nes (A^1 nėra neneigiamas;

A2 dėl simetrijos vienu metu yra LH – BOO ir L<2 - БОО, так же как ЬЯ - БОО и

b<3 - БОО, но не является Н-матрицей, так как (А2) вырожденная;

A3 yra b9 – BOO, bet nėra nė vieno

Lr yra SDD (kai k = (1,2,3)), nei H matrica, nes (A3 ^ taip pat yra išsigimęs;

A4 yra H matrica, nes (A^ yra ne vienaskaita, o ^A4) 1 > 0, nors ji nėra nei LR - SDD, nei Lk - SDD, jei k = (1,2,3).

Paveikslėlyje parodytas bendras ryšys tarp

Lr - SDD , Lk - SDD ir H matricos kartu su matricomis iš ankstesnio pavyzdžio.

Ryšys tarp lR - SDD, lC - SDD ir

pragaras min(|au - r (A)|) "

Pradedant nuo nelygybės

ir pritaikę šį rezultatą matricai bk ab ^, gauname

5 teorema. Tegu duota savavališka matrica A = [a--] e Cxn su nuliniais įstrižainiais elementais.

policininkai. Jei A priklauso klasei - BOO, tada

1 + maks.^ i*k \acc\

H matricos

Įdomu pastebėti, kad nors turime

LC BOO matricų klasė pritaikant 1 teoremą matricai, gautai transponuojant matricą LC AL^1, ši klasė nesutampa su klase, gauta pritaikant 2 teoremą matricai Am.

Pristatome apibrėžimus.

Apibrėžimas 4. Matrica A vadinama ( bk -boo eilėmis), jei AT ( bk -boo ).

Apibrėžimas 5. Matrica A vadinama ( bsk -boo eilėmis), jei AT ( bsk -boo ).

Pavyzdžiai rodo, kad klasės W - BOO,

bc-boo, (bk-boo pagal eilutę) ir (b^-boo pagal eilutę) yra susiję vienas su kitu. Taigi, mes išplėtėme H matricų klasę keturiais skirtingais būdais.

Naujų teoremų taikymas

Iliustruojame naujų rezultatų naudingumą vertinant atvirkštinės matricos C normą.

Savavališkai matricai A, turinčiai griežtą įstrižainės dominavimą, gerai žinoma Varah teorema (Varah) pateikia įvertinimą

min[|pf(A)| - mk (A), min(|yk (A)| - qk(A) - |af (A)|)]" i i (Фf ​​​​ii ii

Panašiai gauname tokį rezultatą matricoms Lk - SDD stulpeliais.

6 teorema. Tegu yra savavališka matrica A = e xi, kurios įstrižainės nėra nulinės. Jei A priklauso klasei bk -SDD stulpeliais, tai

Ik-lll<_ie#|akk|_

" "mln[|pf(A)| - Rf (AT), mln(|уk (A)|- qk (AT)- |pagal |)]"

Šio rezultato svarba yra ta, kad daugeliui neišsigimusių H matricų poklasių yra šio tipo apribojimai, tačiau toms neišsigimusioms matricoms, kurios nėra H matricos, tai yra nereikšminga problema. Todėl tokio pobūdžio apribojimai, kaip ir ankstesnėje teoremoje, yra labai paklausūs.

Literatūra

Levy L. Sur le possibilité du l "equlibre electrique C. R. Acad. Paris, 1881. T. 93. P. 706-708.

Hornas R.A., Johnsonas C.R. matricos analizė. Kembridžas, 1994. Varga R.S. Gersgorinas ir jo apskritimai // Springerio serija skaičiavimo matematikoje. 2004 t. 36.226 p. Bermanas A., Plemonsas R.J. Neneigiamos matricos matematiniuose moksluose. SIAM serijos taikomosios matematikos klasika. 1994 t. 9. 340 rublių

Cvetkovičius Lj. H matricos teorija vs. savosios reikšmės lokalizavimas // Skaičius. Algoras. 2006 t. 42. P. 229-245. Cvetkovic Lj., Kostic V., Kovacevic M., Szulc T. Kiti rezultatai dėl H matricų ir jų Schur papildų // Appl. Matematika. Comput. 1982. P. 506-510.

Varah J.M. Mažiausios matricos reikšmės apatinė riba // Tiesinė algebra taik. 1975 t. 11. P. 3-5.

Gavo redaktorius

SANKT PETERBURGO VALSTYBINIS UNIVERSITETAS

Taikomosios matematikos fakultetas – valdymo procesai

A. P. IVANOVAS

SKAIČIŲ METODŲ SEMINARAS

TIŠINIŲ ALGEBRINIŲ LYGČIŲ SISTEMŲ SPRENDIMAS

Gairės

Sankt Peterburgas

1 SKYRIUS. PAGRINDINĖ INFORMACIJA

Metodiniame vadove pateikiama SLAE sprendimo metodų klasifikacija ir jų taikymo algoritmai. Metodai pateikiami tokia forma, kuri leidžia juos naudoti neatsižvelgiant į kitus šaltinius. Daroma prielaida, kad sistemos matrica yra nevienskaita, t.y. det A 6 = 0.

§ vienas. Vektorių ir matricų normos

Prisiminkite, kad elementų x tiesinė erdvė Ω vadinama normalizuota, jei joje yra funkcija k · kΩ , kuri yra apibrėžta visiems erdvės Ω elementams ir tenkina šias sąlygas:

1. kxk Ω ≥ 0 ir kxkΩ = 0 x = 0Ω ;

2. kλxk Ω = |λ| kxkΩ ;

3. kx + ykΩ ≤ kxkΩ + kykΩ .

Ateityje sutiksime vektorius žymėti mažomis lotyniškomis raidėmis, o juos laikysime stulpelių vektoriais, matricas žymėsime didžiosiomis lotyniškomis raidėmis, o skaliarinius dydžius – graikiškomis raidėmis (už raidžių palikdami sveikųjų skaičių žymėjimus i, j, k, l, m, n) .

Dažniausiai naudojamos vektorinės normos yra šios:

	|xi|;
1. kxk1 =

2. kxk2 = u x2 ; t

3. kxk∞ = maxi |xi |.

Atkreipkite dėmesį, kad visos normos erdvėje Rn yra lygiavertės, t.y. bet kurios dvi normos kxki ir kxkj yra susijusios:

αij kxkj ≤ kxki ≤ βij kxkj ,

k k ≤ k k ≤ ˜ k k

α˜ ij x i x j β ij x i,

be to, αij , βij , α˜ij , βij nepriklauso nuo x. Be to, baigtinių matmenų erdvėje bet kurios dvi normos yra lygiavertės.

Matricų erdvė su natūraliai įvestomis sudėties ir daugybos iš skaičiaus operacijomis sudaro tiesinę erdvę, kurioje normos sąvoką galima įvesti įvairiais būdais. Tačiau dažniausiai laikomos vadinamosios pavaldžios normos, t.y. normos, susijusios su vektorių normomis ryšiais:

Matricų antraeiles normas pažymėję tais pačiais indeksais kaip ir atitinkamas vektorių normas, galime nustatyti, kad

k k1

|aij|; kAk2

k∞

(AT A);

Čia λi (AT A) žymi matricos AT A savąją reikšmę, kur AT yra matrica, perkelta į A. Be pirmiau nurodytų trijų pagrindinių normos savybių, čia atkreipiame dėmesį į dar dvi:

kABk ≤ kAk kBk,

kAxk ≤ kAk kxk,

be to, paskutinėje nelygybėje matricos norma yra pavaldus atitinkamai vektoriaus normai. Sutikime, kad toliau naudosime tik vektorių normoms pavaldžias matricų normas. Atkreipkite dėmesį, kad tokioms normoms galioja lygybė: jei E yra tapatybės matrica, tai kEk = 1, .

§2. Matricos su įstrižainės dominavimu

Apibrėžimas 2.1. Matrica A su elementais (aij )n i,j=1 vadinama matrica su įstrižainės dominavimu (reikšmės δ), jei nelygybės

|ai | − |aij| ≥ δ > 0, i = 1, n .

§3. Teigiamos apibrėžtosios matricos

Apibrėžimas 3.1. Simetrinė matrica A bus vadinama

teigiamas apibrėžtas, jei kvadratinė forma xT Ax su šia matrica įgauna tik teigiamas reikšmes bet kuriam vektoriui x 6 = 0.

Teigiamo matricos apibrėžtumo kriterijus gali būti jos savųjų reikšmių arba pagrindinių nepilnamečių pozityvumas.

§4. SLAE sąlygos numeris

Sprendžiant bet kokią problemą, kaip žinoma, yra trys klaidų rūšys: lemtinga klaida, metodinė klaida ir apvalinimo klaida. Panagrinėkime lemtingos pradinių duomenų paklaidos įtaką SLAE sprendimui, nepaisydami apvalinimo paklaidos ir atsižvelgdami į metodinės klaidos nebuvimą.

matrica A yra tiksliai žinoma, o dešinėje b pusėje yra nepašalinama klaida δb.

Tada santykinei sprendinio paklaidai kδxk/kxk

	nesunku gauti sąmatą:

kur ν(A) = kAkkA−1k.

Skaičius ν(A) vadinamas sistemos (4.1) sąlyginiu skaičiumi (arba matrica A). Pasirodo, kad bet kuriai matricai A visada ν(A) ≥ 1. Kadangi sąlygos skaičiaus reikšmė priklauso nuo matricos normos pasirinkimo, renkantis konkrečią normą atitinkamai indeksuosime ν(A) : ν1 ( A), ν2 (A) arba ν ∞ (A).

Esant ν(A) 1, sistema (4.1) arba matrica A yra blogai sąlygota. Šiuo atveju, kaip matyti iš sąmatos

(4.2) , sistemos (4.1) sprendime paklaida gali pasirodyti nepriimtinai didelė. Klaidos priimtinumo ar nepriimtinumo sampratą lemia problemos formuluotė.

Įstrižainės dominuojančios matricos atveju nesunku gauti viršutinį jos sąlygos skaičiaus įvertinimą. Vyksta

4.1 teorema. Tegu A matrica, kurios įstrižainės dominavimas yra δ > 0. Tada ji nėra vienaskaita ir ν∞ (A) ≤ kAk∞ /δ.

§5. Netinkamos sistemos pavyzdys.

Apsvarstykite SLAE (4.1) , kuriame

−1

− 1 . . .

−1

−1

−1

.. .

−1

Ši sistema turi unikalų sprendimą x = (0, 0, . . . , 0, 1)T . Tegul dešinėje sistemos pusėje yra klaida δb = (0, 0, . . . , 0, ε), ε > 0. Tada

δxn = ε, δxn−1 = ε, δxn−2 = 2 ε, δxn−k = 2 k−1 ε, . . . , δx1 = 2n−2ε.

k∞ =

2n-2ε,

k∞

k∞

k k∞

Vadinasi,

ν∞ (A) ≥ kδxk ∞ : kδbk ∞ = 2n−2 . kxk ∞ kbk ∞

Kadangi kAk∞ = n, tai kA−1 k∞ ≥ n−1 2 n−2, nors det(A−1 ) = (det A)−1 = 1. Tegu, pavyzdžiui, n = 102. Tada ν( A) ≥ 2100 > 1030. Be to, net jei ε = 10−15 gauname kδxk∞ > 1015 . Ir taip nėra

Ankstesnis straipsnis: Aliejus atlieka puikų darbą, tačiau jis nėra unikalus. Kitas straipsnis: Mumija ir jos taikymas. Mumiyo kas tai? Kas gydo. Kaip naudoti? Shilajit rūšys ir metodai