Ֆերմատի թեորեմը, ով ապացուցեց ռուսերենը. Հիմնական հետազոտություն. Գերմանական դափնիները գնացին ճապոնացիներին

Աշխարհում այնքան էլ շատ մարդիկ չկան, որոնց մասին երբեք չեն լսել Ֆերմատի մեծ թեորեմ- Թերևս սա միակ մաթեմատիկական խնդիրն է, որն այդքան լայն ճանաչում է ստացել և իրական լեգենդ է դարձել։ Նա հիշատակվում է բազմաթիվ գրքերում և ֆիլմերում՝ գրեթե բոլոր հղումների հիմնական համատեքստով. թեորեմն ապացուցելու անհնարինությունը.

Այո, այս թեորեմը շատ հայտնի է և ինչ-որ իմաստով դարձել է սիրողական մաթեմատիկոսների և մասնագետների կողմից պաշտվող «կուռք», բայց քչերը գիտեն, որ դրա ապացույցը գտնվել է, և դա տեղի է ունեցել դեռևս 1995 թվականին։ Բայց առաջին հերթին առաջինը:

Այսպիսով, Ֆերմայի վերջին թեորեմը (հաճախ կոչվում է Ֆերմայի վերջին թեորեմ), որը ձևակերպվել է 1637 թվականին ֆրանսիացի փայլուն մաթեմատիկոսի կողմից։ Պիեռ Ֆերմատ, իր բնույթով շատ պարզ է և հասկանալի միջնակարգ կրթություն ունեցող ցանկացած անձի համար։ Այն ասում է, որ an + bn = cn բանաձևը չունի n> 2-ի բնական (այսինքն՝ ոչ կոտորակային) լուծումներ: Ամեն ինչ պարզ և պարզ է թվում, բայց լավագույն մաթեմատիկոսները և սովորական սիրողականները պայքարել են երեքից ավելի լուծում գտնելու համար: ու կես դար։

Ինքը՝ Ֆերմատը, պնդում էր, որ եկել է իր տեսության շատ պարզ և հակիրճ ապացույցով, սակայն այս փաստի ոչ մի փաստագրական ապացույց դեռ չի հայտնաբերվել: Հետեւաբար, այժմ ենթադրվում է, որ նա Ֆերմատը երբեք չի կարողացել գտնել իր թեորեմի ընդհանուր լուծումը։, չնայած նա գրել է մասնավոր ապացույց n = 4-ի համար:

Ֆերմատից հետո այնպիսի մեծ մտքեր, ինչպիսիք են Լեոնարդ Էյլեր(1770-ին նա առաջարկեց լուծում n = 3-ի համար), Ադրիեն Լեժանդր և Յոհան Դիրիխլե(այս գիտնականները 1825թ.-ին համատեղ ապացույց են գտել n=5-ի համար), Գաբրիել Լամ(ով գտել է n = 7-ի ապացույց) և շատ ուրիշներ: Անցյալ դարի 80-ականների կեսերին պարզ դարձավ, որ գիտական ​​աշխարհը վերջնական լուծման ճանապարհին է։

Ֆերմայի վերջին թեորեմը, բայց միայն 1993 թվականին մաթեմատիկոսները տեսան և հավատացին, որ Ֆերմայի վերջին թեորեմի ապացույցը գտնելու երեքդարյա սագան գործնականում ավարտված է:

1993 թվականին անգլիացի մաթեմատիկոս Էնդրյու Ուայլսաշխարհին ներկայացրեց իր Ֆերմայի վերջին թեորեմի ապացույցը, որի վրա աշխատանքը տևել է ավելի քան յոթ տարի։ Բայց պարզվեց, որ այս լուծումը պարունակում է կոպիտ սխալ, թեև ընդհանուր առմամբ այն ճիշտ է։ Ուայլսը չհուսահատվեց, օգնության կանչեց թվերի տեսության հայտնի մասնագետ Ռիչարդ Թեյլորին, և արդեն 1994 թվականին նրանք հրապարակեցին թեորեմի շտկված և լրացված ապացույցը։ Ամենազարմանալին այն է, որ այս աշխատանքը «Mathematics»-ի մաթեմատիկական ամսագրում խլել է 130 (!) էջ: Բայց պատմությունն այսքանով էլ չավարտվեց. վերջին կետը դրվեց միայն հաջորդ՝ 1995 թվականին, երբ հրապարակվեց ապացույցի վերջնական ու «իդեալական», մաթեմատիկական տեսանկյունից տարբերակը։

Այդ պահից շատ ժամանակ է անցել, բայց հասարակության մեջ դեռ կարծիք կա, որ Ֆերմայի վերջին թեորեմն անորոշ է։ Բայց նույնիսկ նրանք, ովքեր գիտեն հայտնաբերված ապացույցի մասին, շարունակում են աշխատել այս ուղղությամբ. շատ քչերն են բավարարված, որ Մեծ թեորեմը պահանջում է 130 էջանոց լուծում: Հետևաբար, այժմ շատ մաթեմատիկոսների (հիմնականում սիրողականների, ոչ պրոֆեսիոնալ գիտնականների) ուժերը նետված են պարզ և լակոնիկ ապացույցի որոնման մեջ, բայց այս ճանապարհը, ամենայն հավանականությամբ, ոչ մի տեղ չի տանի ...

Քիչ հավանական է, որ մեր խմբագրության կյանքի մեկ տարին էլ անցավ առանց Ֆերմայի թեորեմի մեկ տասնյակ ապացույց ստանալու։ Հիմա նրա նկատմամբ «հաղթանակից» հետո հոսքը թուլացել է, բայց չի ցամաքել։

Իհարկե, ամբողջությամբ չչորացնելու համար հրապարակում ենք այս հոդվածը։ Եվ ոչ մեր հիմնավորումներով, որ, ասում են, դրա համար էլ լռեցինք, մենք ինքներս այնքան չէինք հասունացել նման բարդ խնդիրներ քննարկելու համար։

Բայց եթե հոդվածն իսկապես բարդ է թվում, նայեք դրա վերջում: Ստիպված կլինեք զգալ, որ կրքերը ժամանակավորապես հանդարտվել են, գիտությունը չի ավարտվել, և շուտով նոր թեորեմների նոր ապացույցներ կուղարկվեն խմբագրություն։

Կարծես իզուր չէր քսաներորդ դարը։ Նախ, մարդիկ մի պահ ստեղծեցին երկրորդ Արեգակը` պայթեցնելով ջրածնային ռումբը: Հետո նրանք քայլեցին լուսնի վրա և վերջապես ապացուցեցին տխրահռչակ Ֆերմայի թեորեմը։ Այս երեք հրաշքներից առաջին երկուսը բոլորի շուրթերին է, քանի որ դրանք հսկայական սոցիալական հետևանքներ են առաջացրել։ Ընդհակառակը, երրորդ հրաշքը նման է մեկ այլ գիտական ​​խաղալիքի՝ հարաբերականության տեսության, քվանտային մեխանիկայի և թվաբանության անավարտության մասին Գյոդելի թեորեմի հետ հավասար: Այնուամենայնիվ, հարաբերականությունը և քվանտան ֆիզիկոսներին տարան դեպի ջրածնային ռումբ, և մաթեմատիկոսների հետազոտությունները մեր աշխարհը լցրեցին համակարգիչներով: Արդյո՞ք այս հրաշքների շարքը կշարունակվի 21-րդ դարում: Հնարավո՞ր է արդյոք հետևել հաջորդ գիտնականների խաղալիքների և մեր առօրյա կյանքում տեղի ունեցած հեղափոխությունների միջև կապը: Արդյո՞ք այս կապը թույլ է տալիս հաջող կանխատեսումներ անել: Փորձենք դա հասկանալ՝ օգտագործելով Ֆերմայի թեորեմը որպես օրինակ։

Նախ նկատենք, որ նա ծնվել է բնական ժամկետից շատ ավելի ուշ։ Ի վերջո, առաջինը հատուկ դեպքՖերմայի թեորեմը Պյութագորասի X 2 + Y 2 = Z 2 հավասարումն է, որը միացնում է ուղղանկյուն եռանկյունու կողմերի երկարությունները։ Քսանհինգ դար առաջ ապացուցելով այս բանաձևը, Պյութագորասը անմիջապես հարցրեց. կա՞ն արդյոք բնության մեջ շատ այնպիսի եռանկյուններ, որոնցում և՛ ոտքերը, և՛ հիպոթենուսը ունեն ամբողջ թվի երկարություն: Թվում է, թե եգիպտացիները գիտեին միայն մեկ այդպիսի եռանկյունի` կողմերով (3, 4, 5): Բայց այլ տարբերակներ գտնելը դժվար չէ՝ օրինակ (5, 12, 13), (7, 24, 25) կամ (8, 15, 17): Այս բոլոր դեպքերում հիպոթենուսի երկարությունն ունի (A 2 + B 2) ձևը, որտեղ A և B-ն տարբեր հավասարության համապարփակ թվեր են: Այս դեպքում ոտքերի երկարությունները հավասար են (A 2 - B 2) և 2AB:

Նկատելով այս հարաբերությունները՝ Պյութագորասը հեշտությամբ ապացուցեց, որ թվերի ցանկացած եռապատիկ (X = A 2 - B 2, Y = 2AB, Z = A 2 + B2) X 2 + Y 2 = Z 2 հավասարման լուծումն է և սահմանում է ուղղանկյուն: փոխադարձաբար պարզ կողային երկարություններով: Նաև երևում է, որ այս տեսակի տարբեր եռյակների թիվն անսահման է։ Բայց Պյութագորասի հավասարման բոլոր լուծումներն ունե՞ն այս ձևը: Պյութագորասը չկարողացավ ոչ ապացուցել, ոչ հերքել նման վարկածը և այս խնդիրը թողեց սերունդներին՝ առանց դրա վրա կենտրոնանալու: Ո՞վ է ցանկանում ընդգծել իրենց անհաջողությունները: Թվում է, որ դրանից հետո ամբողջ թվով ուղղանկյուն եռանկյունների խնդիրը մոռացության մեջ էր յոթ դար, մինչև Ալեքսանդրիայում հայտնվեց նոր մաթեմատիկական հանճար Դիոֆանտոս անունով:

Մենք քիչ բան գիտենք նրա մասին, բայց պարզ է՝ նա բոլորովին նման չէր Պյութագորասին։ Նա իրեն թագավոր էր զգում երկրաչափության մեջ և նույնիսկ դրանից դուրս՝ երաժշտության, աստղագիտության, թե քաղաքականության մեջ: Առաջին թվաբանական կապը ներդաշնակ տավիղի կողմերի երկարությունների միջև, Տիեզերքի առաջին մոդելը համակենտրոն ոլորտներից, որոնք կրում են մոլորակներ և աստղեր, կենտրոնում Երկրի հետ, վերջապես, իտալական Կրոտոնե քաղաքի գիտնականների առաջին հանրապետությունը. սրանք Պյութագորասի անձնական ձեռքբերումներն են: Ի՞նչ կարող էր Դիոֆանտոսը՝ մեծ թանգարանի համեստ հետազոտողը, որը վաղուց դադարել էր քաղաքի ամբոխի հպարտությունը լինելուց, հակադրել նման հաջողություններին:

Միայն մեկ բան՝ ավելի լավ հասկանալ թվերի հնագույն աշխարհը, որի օրենքները հազիվ են զգացել Պյութագորասը, Էվկլիդեսը և Արքիմեդը: Նկատի ունեցեք, որ Դիոֆանտը դեռ չուներ մեծ թվեր գրելու դիրքային համակարգը, բայց գիտեր, թե ինչ բացասական թվերև հավանաբար շատ ժամեր է ծախսել՝ մտածելով, թե ինչու է երկու բացասական թվերի արտադրյալը դրական: Ամբողջ թվերի աշխարհը առաջին անգամ բացահայտվել է Դիոֆանտոսի համար որպես հատուկ տիեզերք, որը տարբերվում է աստղերի, հատվածների կամ պոլիեդրների աշխարհից: Այս աշխարհում գիտնականների հիմնական զբաղմունքը հավասարումներ լուծելն է, իսկական վարպետը գտնում է բոլոր հնարավոր լուծումները և ապացուցում, որ այլ լուծումներ չկան։ Ահա թե ինչ արեց Դիոֆանտոսը Պյութագորասի քառակուսային հավասարման հետ, և հետո նա զարմացավ. գոնե մեկ լուծում ունի՞ նմանատիպ խորանարդ հավասարում X 3 + Y 3 = Z 3:

Դիոֆանտը չկարողացավ գտնել նման լուծում, անհաջող էր նաև նրա փորձը՝ ապացուցելու, որ լուծումներ չկան։ Հետևաբար, պաշտոնականացնելով իր աշխատանքների արդյունքները «Թվաբանություն» գրքում (սա թվերի տեսության աշխարհի առաջին դասագիրքն էր), Դիոֆանտոսը մանրամասն վերլուծեց Պյութագորասի հավասարումը, բայց ոչ մի խոսք չնշեց այս հավասարման հնարավոր ընդհանրացումների մասին: Բայց նա կարող էր. ի վերջո, Դիոֆանտոսն էր, ով առաջինն առաջարկեց ամբողջ թվերի հզորությունների նշումը: Բայց ավաղ. «խնդրագիրք» հասկացությունը խորթ էր հելլենական գիտությանը և մանկավարժությանը, և անպարկեշտ էր համարվում չլուծված խնդիրների ցուցակների հրապարակումը (միայն Սոկրատեսն էր այլ կերպ վարվում): Եթե ​​դուք չեք կարող լուծել խնդիրը, լռեք: Դիոֆանտը լռեց, և այս լռությունը ձգվեց տասնչորս դար՝ մինչև նոր ժամանակների սկիզբը, երբ արթնացավ հետաքրքրությունը մարդկային մտքի գործընթացի նկատմամբ:

Ով ինչի մասին հենց նոր էր ֆանտազացրել XVI-XVII դարերի վերջում: Անխոնջ հաշվիչը Kepler-ը փորձել է կռահել Արեգակից մոլորակներ հեռավորությունների փոխհարաբերությունը։ Պյութագորասին չհաջողվեց։ Kepler-ը հաջողակ դարձավ այն բանից հետո, երբ սովորեց, թե ինչպես ինտեգրել բազմանդամները և այլ պարզ ֆունկցիաներ: Ընդհակառակը, երազող Դեկարտը չէր սիրում երկար հաշվարկներ, բայց նա էր, ով առաջինը ներկայացրեց հարթության կամ տարածության բոլոր կետերը որպես թվերի հավաքածու: Այս համարձակ մոդելը նվազեցնում է երկրաչափական պատկերների ցանկացած խնդիր հանրահաշվական հավասարման խնդրի և հակառակը: Օրինակ՝ Պյութագորասի հավասարման ամբողջ թվային լուծումները համապատասխանում են կոնի մակերեսի ամբողջ թվային կետերին։ X 3 + Y 3 = Z 3 խորանարդ հավասարմանը համապատասխանող մակերևույթն ավելի բարդ է թվում, դրա երկրաչափական հատկությունները ոչինչ չեն հուշել Պիեռ Ֆերմատին, և նա ստիպված է եղել նոր ուղիներ բացել ամբողջ թվերի ջունգլիների միջով:

1636 թվականին Դիոֆանտոսի մի գիրքը, որը նոր էր թարգմանվել հունարեն բնագրից լատիներեն, որը պատահաբար պահպանվել էր բյուզանդական որոշ արխիվում և Իտալիա էր բերվել հռոմեացի փախստականներից մեկի կողմից թուրքական կործանման ժամանակ, ընկավ մի երիտասարդի ձեռքը։ փաստաբան Թուլուզից. Կարդալով Պյութագորասի հավասարման մասին նրբագեղ պատճառաբանություն՝ Ֆերմատը զարմացավ՝ հնարավո՞ր է գտնել դրա նման լուծում, որը բաղկացած է երեք քառակուսի թվերից։ Այս տեսակի թվերը փոքր չեն. դա հեշտ է ստուգել կոպիտ ուժով: Իսկ ի՞նչ կասեք մեծ որոշումների մասին։ Առանց համակարգչի Ֆերմատը չէր կարող թվային փորձարկում իրականացնել։ Բայց նա նկատեց, որ X 4 + Y 4 = Z 4 հավասարման յուրաքանչյուր «մեծ» լուծման համար կարելի է ավելի փոքր լուծում կառուցել։ Սա նշանակում է, որ երկու ամբողջ թվերի չորրորդ ուժերի գումարը երբեք հավասար չէ երրորդի նույն հզորությանը: Իսկ ի՞նչ կասեք երկու խորանարդի գումարի մասին։

Ոգեշնչված 4-րդ աստիճանի հաջողությունից՝ Ֆերմատը փորձեց փոփոխել «նվազման մեթոդը» 3-րդ աստիճանի համար, և նրան հաջողվեց: Պարզվեց, որ այդ միավոր խորանարդներից անհնար է երկու փոքր խորանարդիկ պատրաստել, որոնց մեջ մի մեծ խորանարդ՝ ամբողջ եզրի երկարությամբ, քանդվել է։ Հաղթական Ֆերմատը կարճ գրառում է կատարել Դիոֆանտոսի գրքի լուսանցքում և նամակ է ուղարկել Փարիզ՝ մանրամասնելով իր հայտնագործությունը։ Բայց նա պատասխան չստացավ, թեև սովորաբար մետրոպոլիայի մաթեմատիկոսները արագ արձագանքեցին Թուլուզում իրենց միայնակ մրցակից գործընկերոջ հաջորդ հաջողությանը: Ի՞նչ կա այստեղ։

Շատ պարզ. 17-րդ դարի կեսերին թվաբանությունը դուրս էր եկել նորաձևությունից: 16-րդ դարի իտալացի հանրահաշվագետների մեծ հաջողությունները (երբ լուծվեցին 3-րդ և 4-րդ աստիճանների բազմանդամ հավասարումները) ընդհանուր գիտական ​​հեղափոխության սկիզբ չդարձան, քանի որ թույլ չտվեցին լուծել նոր վառ խնդիրներ գիտության հարակից ոլորտներում։ Հիմա, եթե Կեպլերին հաջողվեր կռահել մոլորակների ուղեծրերը՝ օգտագործելով մաքուր թվաբանություն... Բայց ավաղ, սա մաթեմատիկական վերլուծություն էր պահանջում: Սա նշանակում է, որ այն պետք է մշակվի՝ ընդհուպ մինչև բնական գիտության մաթեմատիկական մեթոդների ամբողջական հաղթանակը: Բայց վերլուծությունը դուրս է գալիս երկրաչափությունից, մինչդեռ թվաբանությունը մնում է զվարճանքի դաշտ պարապ իրավաբանների և թվերի և թվերի հավերժական գիտության այլ սիրահարների համար:

Այսպիսով, Ֆերմայի թվաբանական հաջողությունները ժամանակավրեպ ստացվեցին և մնացին անգնահատելի: Նրան դա չէր վրդովեցնում. ի փառս մաթեմատիկոսի, միանգամայն բավարար էին դիֆերենցիալ հաշվարկի, անալիտիկ երկրաչափության և հավանականությունների տեսության փաստերը, որոնք առաջին անգամ հայտնաբերվեցին նրա համար: Ֆերմատի այս բոլոր հայտնագործությունները անմիջապես մտան եվրոպական նոր գիտության ոսկե ֆոնդը, մինչդեռ թվերի տեսությունը հետին պլան մնաց ևս հարյուր տարի, մինչև այն վերածնվեց Էյլերի կողմից:

18-րդ դարի այս «մաթեմատիկոսների արքան» չեմպիոն էր վերլուծության բոլոր կիրառություններում, բայց նա չանտեսեց նաև թվաբանությունը, քանի որ վերլուծության նոր մեթոդները հանգեցրին թվերի վերաբերյալ անսպասելի փաստերի։ Ո՞վ կմտածեր, որ հակադարձ քառակուսիների անսահման գումարը (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +…) հավասար է π 2/6-ի: Հելլեններից ո՞վ կարող էր կանխատեսել, որ նմանատիպ շարքերը կապացուցեն π թվի իռացիոնալությունը։

Նման հաջողությունները ստիպեցին Էյլերին ուշադիր վերընթերցել Ֆերմայի պահպանված ձեռագրերը (բարեբախտաբար, մեծ ֆրանսիացու որդուն հաջողվեց հրատարակել դրանք): Ճիշտ է, 3-րդ աստիճանի համար «մեծ թեորեմի» ապացույցը չի պահպանվել, բայց Էյլերը հեշտությամբ վերականգնեց այն «նվազման մեթոդի» միայն մեկ ցուցումից և անմիջապես փորձեց այս մեթոդը տեղափոխել հաջորդ պարզ աստիճան՝ 5:

Այդպես չէր։ Էյլերի պատճառաբանության մեջ հայտնվեցին բարդ թվեր, որոնք Ֆերմատը հնարել էր չնկատել (սա բացահայտողների սովորական խմբաքանակն է): Բայց բարդ ամբողջ թվերի ֆակտորավորումը նուրբ խնդիր է: Նույնիսկ Էյլերը դա ամբողջությամբ չհասկացավ և մի կողմ դրեց «Ֆերմատի խնդիրը»՝ շտապելով ավարտին հասցնել իր հիմնական աշխատանքը՝ «Վերլուծության հիմունքները» դասագիրքը, որը պետք է օգներ յուրաքանչյուր տաղանդավոր երիտասարդի հավասարվել Լայբնիցին և Էյլերին։ Դասագրքի հրատարակումն ավարտվել է Սանկտ Պետերբուրգում 1770 թվականին։ Բայց Էյլերը չվերադարձավ Ֆերմայի թեորեմին՝ վստահ լինելով, որ այն ամենը, ինչին դիպչում էին իր ձեռքերն ու միտքը, չի մոռացվի նոր գիտական ​​երիտասարդության կողմից։

Եվ այդպես էլ եղավ՝ ֆրանսիացի Ադրիեն Լեժանդրը դարձավ Էյլերի իրավահաջորդը թվերի տեսության մեջ։ 18-րդ դարի վերջում նա ավարտեց Ֆերմայի թեորեմի ապացուցումը 5-րդ աստիճանի համար, և չնայած այն ձախողվեց մեծ պարզ աստիճանների համար, նա գրեց ևս մեկ դասագիրք թվերի տեսության վերաբերյալ: Թող նրա երիտասարդ ընթերցողները գերազանցեն հեղինակին այնպես, ինչպես «Բնական փիլիսոփայության մաթեմատիկական սկզբունքների» ընթերցողները գերազանցեցին մեծ Նյուտոնին: Լեժանդրը նման չէր Նյուտոնին կամ Էյլերին, սակայն նրա ընթերցողների թվում էին երկու հանճարներ՝ Կառլ Գաուսը և Էվարիստ Գալուան:

Հանճարների նման բարձր ճշգրտությանը նպաստեց Ֆրանսիական հեղափոխությունը, որը հռչակեց Բանականության պետական ​​պաշտամունքը։ Դրանից հետո յուրաքանչյուր տաղանդավոր գիտնական իրեն զգում էր Կոլումբոսի կամ Ալեքսանդր Մակեդոնացու պես՝ ունակ հայտնաբերելու կամ նվաճելու նոր աշխարհ... Շատերին հաջողվեց, քանի որ 19-րդ դարում գիտական ​​և տեխնոլոգիական առաջընթացը դարձավ մարդկության էվոլյուցիայի հիմնական շարժիչ ուժը, և դա գիտակցում էին բոլոր ողջամիտ կառավարիչները (սկսած Նապոլեոնից):

Գաուսը բնավորությամբ մոտ էր Կոլումբոսի հետ։ Բայց նա (ինչպես Նյուտոնը) չգիտեր, թե ինչպես գերել տիրակալների կամ ուսանողների երևակայությունը գեղեցիկ ելույթներով, և այդ պատճառով իր հավակնությունները սահմանափակեց գիտական ​​հասկացությունների ոլորտով։ Այստեղ նա կարող էր անել այն ամենը, ինչ ուզում էր։ Օրինակ, անկյունի եռահատման հնագույն խնդիրը ինչ-ինչ պատճառներով չի կարող լուծվել կողմնացույցի և քանոնի միջոցով: Հարթության կետերը ներկայացնող բարդ թվերի օգնությամբ Գաուսը թարգմանում է այս խնդիրը հանրահաշվի լեզվով և ստանում է որոշակի երկրաչափական կառուցվածքների իրագործելիության ընդհանուր տեսություն: Այսպիսով, միևնույն ժամանակ, հայտնվեց կողմնացույցով և քանոնով կանոնավոր 7 կամ 9-գոնանի կառուցման անհնարինության խիստ ապացույցը և կանոնավոր 17-գոնի կառուցման մեթոդ, որի մասին Հելլադայի ամենաիմաստուն երկրաչափերը չէին երազում: .

Իհարկե, նման հաջողությունն իզուր չէ. պետք է նոր հայեցակարգեր հորինել, որոնք արտացոլում են հարցի էությունը։ Նյուտոնը ներկայացրեց երեք այդպիսի հասկացություններ՝ ֆլյուքսիա (ածանցյալ), սահուն (ինտեգրալ) և հզորության շարք։ Դրանք բավական էին մաթեմատիկական վերլուծության և ֆիզիկական աշխարհի առաջին գիտական ​​մոդելը ստեղծելու համար, ներառյալ մեխանիկա և աստղագիտություն: Գաուսը նաև ներկայացրեց երեք նոր հասկացություններ՝ վեկտորային տարածություն, դաշտ և օղակ: Դրանցից առաջացավ նոր հանրահաշիվ՝ ենթարկելով հունական թվաբանությանը և Նյուտոնի ստեղծած թվային ֆունկցիաների տեսությանը։ Դեռևս մնաց հանրահաշիվը ստորադասել Արիստոտելի ստեղծած տրամաբանությանը. այնուհետև հնարավոր կլինի, օգտագործելով հաշվարկներ, ապացուցել որևէ գիտական ​​պնդումների ածանցելիությունը կամ ոչ ածանցելիությունը տվյալ աքսիոմների հավաքածուից: Օրինակ՝ Ֆերմայի թեորեմը բխում է թվաբանության աքսիոմներից, թե՞ Էվկլիդեսի զուգահեռ ուղիղների պոստուլատը՝ պլանաչափության այլ աքսիոմներից։

Գաուսին չհաջողվեց իրականացնել այս հանդուգն երազանքը, թեև նա մեծ առաջընթաց գրանցեց և կռահեց էկզոտիկ (ոչ կոմուտատիվ) հանրահաշիվների գոյության հնարավորությունը։ Միայն լկտի ռուս Նիկոլայ Լոբաչևսկին է կարողացել կառուցել առաջին ոչ էվկլիդեսյան երկրաչափությունը, իսկ առաջին ոչ կոմուտատիվ հանրահաշիվը (Խմբերի տեսություն) ղեկավարել է ֆրանսիացի Էվարիստ Գալուան։ Եվ միայն Գաուսի մահից շատ ավելի ուշ՝ 1872 թվականին, երիտասարդ գերմանացի Ֆելիքս Քլայնը հասկացավ, որ հնարավոր երկրաչափությունների բազմազանությունը կարելի է մեկ առ մեկ համապատասխանեցնել հնարավոր հանրահաշվների բազմազանությանը: Պարզ ասած, յուրաքանչյուր երկրաչափություն սահմանվում է իր սիմետրիկ խմբով, մինչդեռ ընդհանուր հանրահաշիվն ուսումնասիրում է բոլոր հնարավոր խմբերը և դրանց հատկությունները:

Բայց երկրաչափության և հանրահաշվի նման ըմբռնումը շատ ավելի ուշ եկավ, և Ֆերմատի թեորեմի փոթորիկը վերսկսվեց Գաուսի կյանքի ընթացքում: Նա ինքն է անտեսել Ֆերմայի թեորեմը սկզբունքից ելնելով. ցարական գործ չէ լուծել առանձին խնդիրներ, որոնք չեն տեղավորվում վառ գիտական ​​տեսության մեջ: Բայց Գաուսի աշակերտները, զինված նրա նոր հանրահաշիվով և Նյուտոնի և Էյլերի դասական վերլուծությամբ, այլ կերպ էին վիճում: Նախ, Պիտեր Դիրիխլեն ապացուցեց Ֆերմայի թեորեմը 7-րդ աստիճանի համար՝ օգտագործելով բարդ ամբողջ թվերի օղակը, որն առաջացել է այս աստիճանի արմատներից միասնությունից: Այնուհետև Էռնստ Կումմերը տարածեց Դիրիխլեի մեթոդը ԲՈԼՈՐ պարզ աստիճանների վրա (!) - այսպես թվաց նրան թեժ պահին, և նա հաղթեց: Բայց շուտով սթափվեց. ապացույցն անթերի է միայն այն դեպքում, եթե օղակի յուրաքանչյուր տարր կարող է եզակիորեն տարրալուծվել հիմնական գործոնների: Սովորական ամբողջ թվերի համար այս փաստն արդեն հայտնի էր Էվկլիդեսին, բայց միայն Գաուսն է դրա խիստ ապացույցը տվել։ Ինչ վերաբերում է բարդ ամբողջ թվերին:

«Ամենամեծ չարաճճիության սկզբունքի» համաձայն՝ երկիմաստ ֆակտորիզացիա կարող է և ՊԱՐՏԱԴԻՐ լինել։ Հենց որ Կումմերը սովորեց հաշվարկել երկիմաստության աստիճանը մաթեմատիկական վերլուծության մեթոդներով, նա հայտնաբերեց այս կեղտոտ հնարքը ռինգում 23-րդ աստիճանի համար: Գաուսը ժամանակ չուներ սովորելու էկզոտիկ կոմուտատիվ հանրահաշվի նման տարբերակի մասին, բայց Գաուսի աշակերտները մեծացան: մեկ այլ կեղտոտ հնարքի՝ Իդեալների նոր գեղեցիկ տեսության տեղում: Ճիշտ է, սա առանձնապես չօգնեց Ֆերմատի խնդրի լուծմանը. ավելի պարզ դարձավ միայն դրա բնական բարդությունը։

Ամբողջ 19-րդ դարի ընթացքում այս հնագույն կուռքը իր երկրպագուներից ավելի ու ավելի շատ զոհեր էր պահանջում՝ նոր բարդ տեսությունների տեսքով։ Զարմանալի չէ, որ քսաներորդ դարի սկզբին հավատացյալները հուսալքվեցին և ապստամբեցին՝ մերժելով իրենց նախկին կուռքը։ Պրոֆեսիոնալ մաթեմատիկոսների շրջանում «ֆերմատիստ» բառը դարձել է վիրավորական մականուն։ Եվ չնայած Ֆերմայի թեորեմի ամբողջական ապացուցման համար զգալի մրցանակ էր շնորհվել, այն հիմնականում վիճարկում էին ինքնավստահ տգետները։ Այն ժամանակվա ամենաուժեղ մաթեմատիկոսները՝ Պուանկարեն և Հիլբերտը, խուսափում էին այս թեմայից։

1900 թվականին Հիլբերտը Ֆերմայի թեորեմը չներառեց 20-րդ դարի մաթեմատիկայի առջեւ ծառացած քսաներեք հիմնական խնդիրների ցանկում։ Ճիշտ է, նա դրանց շարքում ներառել է Դիոֆանտինյան հավասարումների լուծելիության ընդհանուր խնդիրը։ Ակնարկը պարզ էր՝ հետևե՛ք Գաուսի և Գալուայի օրինակին, ստեղծե՛ք նոր մաթեմատիկական առարկաների ընդհանուր տեսություններ։ Հետո մի լավ (բայց ոչ նախապես կանխատեսելի) օր հին փուշն ինքն իրեն կթափի։

Հենց այդպես վարվեց մեծ ռոմանտիկ Անրի Պուանկարեն։ Անտեսելով բազմաթիվ «հավերժական» խնդիրներ՝ նա ողջ կյանքում ուսումնասիրել է մաթեմատիկայի կամ ֆիզիկայի որոշ առարկաների ՍԻՄԵՏՐԻԱ՝ կա՛մ բարդ փոփոխականի ֆունկցիաներ, կա՛մ երկնային մարմինների հետագծեր, կա՛մ հանրահաշվական կորեր կամ հարթ բազմազանություններ (սրանք կոր գծերի բազմաչափ ընդհանրացումներ են): . Նրա գործողությունների շարժառիթը պարզ էր. եթե երկու տարբեր առարկաներ ունեն նման համաչափություններ, ապա նրանց միջև հնարավոր է ներքին հարաբերություն, որը մենք դեռևս չենք կարողանում հասկանալ: Օրինակ, երկչափ երկրաչափություններից յուրաքանչյուրը (Էվկլիդես, Լոբաչևսկի կամ Ռիման) ունի իր համաչափության խումբը, որը գործում է հարթության վրա։ Բայց հարթության կետերը կոմպլեքս թվեր են. այս կերպ ցանկացած երկրաչափական խմբի գործողությունը տեղափոխվում է բարդ ֆունկցիաների անսահման աշխարհ։ Հնարավոր է և անհրաժեշտ է ուսումնասիրել այդ ֆունկցիաներից ամենասիմետրիկը՝ ԱՎՏՈՄՈՐՖՈՆ (որոնք ենթակա են Էվկլիդյան խմբին) և ՄՈԴՈՒԼԱՐ (որոնք ենթակա են Լոբաչևսկու խմբին):

Ինքնաթիռում կան նաև էլիպսաձև կորեր։ Նրանք կապ չունեն էլիպսի հետ, այլ տրված են Y 2 = AX 3 + BX 2 + CX ձևի հավասարումներով և հետևաբար հատում են ցանկացած ուղիղ երեք կետում: Այս փաստը թույլ է տալիս մեզ բազմապատկել էլիպսային կորի կետերում` այն վերածել խմբի: Այս խմբի հանրահաշվական կառուցվածքն արտացոլում է կորի երկրաչափական հատկությունները, միգուցե այն եզակիորեն որոշվում է իր խմբի՞ կողմից։ Այս հարցը արժե ուսումնասիրել, քանի որ որոշ կորերի համար մեզ հետաքրքրող խումբը մոդուլային է, այսինքն՝ կապված է Լոբաչևսկու երկրաչափության հետ…

Այսպես էր պատճառաբանում Պուանկարեն՝ գայթակղելով Եվրոպայի մաթեմատիկական երիտասարդությանը, սակայն քսաներորդ դարի սկզբին այդ գայթակղությունները չեն հանգեցրել վառ թեորեմների կամ վարկածների։ Այլ կերպ ստացվեց Հիլբերտի կոչով. ուսումնասիրել Դիոֆանտինի հավասարումների ընդհանուր լուծումները ամբողջ թվային գործակիցներով: 1922 թվականին երիտասարդ ամերիկացի Լյուիս Մորդելը կապեց նման հավասարման լուծումների բազմությունը (սա որոշակի հարթության վեկտորային տարածություն է) բարդ կորի երկրաչափական սեռի հետ, որը տրված է այս հավասարմամբ: Մորդելը եկել է այն եզրակացության, որ եթե հավասարման աստիճանը բավականաչափ մեծ է (ավելի քան երկու), ապա լուծման տարածության չափն արտահայտվում է կորի սեռով, և, հետևաբար, այս չափը FINITE է: Ընդհակառակը, 2-ի հզորությամբ Պյութագորասի հավասարումն ունի լուծումների ԱՆՎԵՐՋ ընտանիք:

Իհարկե, Մորդելը տեսավ իր վարկածի և Ֆերմայի թեորեմի միջև կապը։ Եթե ​​հայտնի դառնա, որ յուրաքանչյուր n> 2 աստիճանի համար Ֆերմատի հավասարման ամբողջական լուծումների տարածությունը վերջավոր է, դա կօգնի ապացուցել, որ այդպիսի լուծումներ ընդհանրապես չկան։ Բայց Մորդելը իր վարկածն ապացուցելու ուղիներ չտեսավ, և թեև նա երկար կյանք ապրեց, նա չսպասեց, որ այս վարկածը վերածվի Ֆալթինգսի թեորեմի: Դա տեղի ունեցավ 1983 թվականին՝ բոլորովին այլ դարաշրջանում՝ սորտերի հանրահաշվական տոպոլոգիայի մեծ հաջողություններից հետո։

Պուանկարեն այս գիտությունը ստեղծեց կարծես պատահաբար. նա ուզում էր իմանալ, թե ինչ են եռաչափ սորտերը: Ի վերջո, Ռիմանը պարզեց բոլոր փակ մակերեսների կառուցվածքը և ստացավ շատ պարզ պատասխան: Եթե ​​եռաչափ կամ բազմաչափ դեպքում նման պատասխան չկա, դուք պետք է հորինեք բազմազանության հանրահաշվական ինվարիանտների համակարգ, որը որոշում է դրա երկրաչափական կառուցվածքը: Լավագույնն այն է, որ նման ինվարիանտները որոշ խմբերի տարրեր լինեն՝ կոմուտատիվ կամ ոչ կոմուտատիվ:

Տարօրինակ կերպով, Պուանկարեի այս հանդուգն ծրագիրը հաջողվեց. այն իրականացվեց 1950-1970 թվականներին՝ շնորհիվ բազմաթիվ երկրաչափերի և հանրահաշվագետների ջանքերի: Մինչև 1950 թվականը սորտերի դասակարգման տարբեր մեթոդների հանգիստ կուտակում կար, և այդ օրվանից հետո մարդկանց և գաղափարների կրիտիկական զանգված կարծես կուտակվեց, և պայթյուն սկսվեց, որը համեմատելի էր 17-րդ դարի մաթեմատիկական վերլուծության գյուտի հետ: Բայց վերլուծական հեղափոխությունը ձգվեց մեկուկես դար՝ ընդգրկելով մաթեմատիկոսների չորս սերունդների ստեղծագործական կենսագրությունները՝ Նյուտոնից և Լայբնիցից մինչև Ֆուրիե և Կոշի: Ընդհակառակը, քսաներորդ դարի տոպոլոգիական հեղափոխությունը ավարտվեց քսան տարում՝ շնորհիվ դրա մասնակիցների մեծ թվի։ Միևնույն ժամանակ, ի հայտ եկավ ինքնավստահ երիտասարդ մաթեմատիկոսների մի մեծ սերունդ, որոնք անսպասելիորեն գործազուրկ մնացին իրենց պատմական հայրենիքում։

Յոթանասունականներին նրանք շտապեցին մաթեմատիկայի և տեսական ֆիզիկայի հարակից ոլորտները։ Շատերն իրենց գիտական ​​դպրոցները հիմնել են Եվրոպայի և Ամերիկայի տասնյակ համալսարաններում։ Տարբեր տարիքի ու ազգի բազմաթիվ ուսանողներ՝ տարբեր կարողություններով և հակումներով, դեռևս շրջանառվում են այս կենտրոնների միջև, և բոլորը ցանկանում են հայտնի լինել ինչ-որ հայտնագործությամբ։ Հենց այս շփոթության մեջ վերջապես ապացուցվեցին Մորդելի ենթադրությունը և Ֆերմայի թեորեմը։

Սակայն իր ճակատագրին անտեղյակ առաջին ծիծեռնակը մեծացավ Ճապոնիայում՝ հետպատերազմյան սոված ու գործազուրկ տարիներին։ Ծիծեռնակի անունը Յուտակա Տանիյամա էր։ 1955 թվականին այս հերոսը դարձավ 28 տարեկան, և նա որոշեց (ընկերների՝ Գորո Շիմուրայի և Տակաուջի Տամագավայի հետ) վերակենդանացնել մաթեմատիկական հետազոտությունները Ճապոնիայում։ Որտեղի՞ց սկսել: Իհարկե, օտարերկրյա գործընկերներից մեկուսացվածության հաղթահարմամբ։ Այսպիսով, 1955 թվականին երեք ճապոնացի երիտասարդներ Տոկիոյում կազմակերպեցին հանրահաշվի և թվերի տեսության վերաբերյալ առաջին միջազգային համաժողովը: Դա անել Ճապոնիայում, որը վերակրթվել էր ամերիկացիների կողմից, ըստ երևույթին, ավելի հեշտ էր, քան Ռուսաստանում սառեցված Ստալինի կողմից…

Պատվավոր հյուրերի թվում էին Ֆրանսիայից երկու հերոսներ՝ Անդրե Վեյլը և Ժան Պիեռ Սերը։ Այստեղ ճապոնացիների բախտը շատ բերեց. Վեյլը ֆրանսիացի հանրահաշվագետների ճանաչված ղեկավարն էր և Բուրբակի խմբի անդամ, իսկ երիտասարդ Սերրը նույն դերն ունեցավ տոպոլոգների շրջանում: Նրանց հետ բուռն քննարկումների ժամանակ ճապոնացի երիտասարդների գլուխները ճաքեցին, ուղեղները հալվեցին, բայց արդյունքում բյուրեղացան այնպիսի գաղափարներ ու ծրագրեր, որոնք դժվար թե ծնվեին այլ միջավայրում։

Մի օր Թանիյաման կառչեց Վեյլին՝ էլիպսաձեւ կորերի և մոդուլային ֆունկցիաների մասին հարցով: Սկզբում ֆրանսիացին ոչինչ չէր հասկանում՝ Տանիյաման անգլերենով արտահայտվելու վարպետ չէր։ Հետո պարզ դարձավ գործի էությունը, սակայն Թանիյաման չի հասցրել իր հույսերին ստույգ ձեւակերպում տալ։ Այն ամենը, ինչ Վեյլը կարող էր պատասխանել երիտասարդ ճապոնացուն, այն էր, որ եթե նա շատ հաջողակ լիներ ոգեշնչման առումով, ապա նրա անորոշ վարկածներից ինչ-որ օգտակար բան կհայտնվեր։ Բայց առայժմ դրա համար քիչ հույս կա։

Ակնհայտ է, որ Վեյլը չի ​​նկատել դրախտային կրակը Թանիյամայի հայացքում։ Եվ կրակ կար. թվում է, թե մի պահ հանգուցյալ Պուանկարեի աննկուն միտքը ներթափանցել էր ճապոնացիների մեջ։ Տանիյաման եկել է այն համոզման, որ յուրաքանչյուր էլիպսային կոր առաջանում է մոդուլային ֆունկցիաներով, ավելի ճիշտ՝ այն «միասնականացված է մոդուլային ձևով»։ Ավաղ, հենց այս ձևակերպումը ծնվեց շատ ավելի ուշ՝ Տանիյամայի և նրա ընկեր Շիմուրայի զրույցներում։ Եվ հետո Տանիյաման ինքնասպան եղավ դեպրեսիայի մեջ... Նրա վարկածը մնաց առանց վարպետի. պարզ չէր, թե ինչպես դա ապացուցել կամ որտեղ փորձարկել, և հետևաբար երկար ժամանակ ոչ ոք դրան լուրջ չէր վերաբերվում: Առաջին արձագանքը եղավ միայն երեսուն տարի անց, գրեթե ինչպես Ֆերմատի դարաշրջանում:

Սառույցը կոտրվեց 1983 թվականին, երբ քսանյոթամյա գերմանացի Գերդ Ֆալթինգսը հայտարարեց ամբողջ աշխարհին. Մորդելի վարկածն ապացուցվեց։ Մաթեմատիկոսները զգուշանում էին, բայց Ֆալթինգսը իսկական գերմանացի էր. նրա երկար ու բարդ ապացույցի մեջ բացեր չկային։ Պարզապես եկել է ժամանակը, կուտակվել են փաստեր և հասկացություններ, և այժմ մեկ տաղանդավոր հանրահաշվագետ, հենվելով տասը այլ հանրահաշվի արդյունքների վրա, կարողացել է լուծել վաթսուն տարի տիրոջը սպասված խնդիրը։ Սա հազվադեպ չէ 20-րդ դարի մաթեմատիկայում: Արժե հիշել աշխարհիկ շարունակականության խնդիրը բազմությունների տեսության մեջ, երկու Բերնսայդի ենթադրությունները խմբի տեսության մեջ կամ Պուանկարեի ենթադրությունները տոպոլոգիայում։ Վերջապես, թվերի տեսության մեջ եկել է հին մշակաբույսերի բերքը քաղելու ժամանակը... Ո՞ր գագաթն է լինելու մաթեմատիկոսների կողմից նվաճվածների շարքում հաջորդը: Էյլերի խնդիրը, Ռիմանի ենթադրությունը կամ Ֆերմայի թեորեմը կփլուզվե՞ն: Լավ է!

Եվ հիմա, Ֆալթինգսի բացահայտումից երկու տարի անց, Գերմանիայում հայտնվեց մեկ այլ ոգեշնչված մաթեմատիկոս։ Նրա անունը Գերհարդ Ֆրեյ էր, և նա ինչ-որ տարօրինակ բան ասաց. ասես Ֆերմատի թեորեմը բխում էր Տանիյամայի վարկածից։ Ցավոք սրտի, Ֆրեյի՝ իր մտքերը ներկայացնելու ոճն ավելի շատ հիշեցնում էր դժբախտ Տանիյամային, քան իր արտահայտված հայրենակից Ֆալթինգսին։ Գերմանիայում ոչ ոք չհասկացավ Ֆրեյին, և նա գնաց արտասահման՝ փառավոր Փրինսթոն քաղաք, որտեղ Էյնշտեյնից հետո նրանք վարժվեցին նման այցելուների հետ: Զարմանալի չէ, որ Բարրի Մազուրն իր բույնը դրեց այնտեղ՝ բազմակողմանի տոպոլոգ, վերջին հարձակման հերոսներից մեկը սահուն բազմազանության վրա: Եվ Մազուրի կողքին մեծացավ մի աշակերտ՝ Քեն Ռիբեթը, որը նույնքան փորձառու էր տոպոլոգիայի և հանրահաշվի խճճվածության մեջ, բայց իրեն ոչ մի կերպ չէր փառաբանել։

Առաջին անգամ լսելով Ֆրեյի ելույթը՝ Ռիբեթը որոշեց, որ դա անհեթեթություն է և կեղծ գիտական ​​ֆանտաստիկա (հավանաբար, Վեյլը նույն կերպ է արձագանքել Տանիյամայի բացահայտումներին)։ Բայց Ռիբեթը չէր կարողանում մոռանալ այս «ֆանտազիան» և երբեմն մտավոր վերադառնում էր դրան։ Վեց ամիս անց Ռիբեթը հավատում էր, որ Ֆրեյի երևակայությունների մեջ ինչ-որ խելամիտ բան կա, և մեկ տարի անց նա որոշեց, որ ինքը գրեթե կարող է ապացուցել Ֆրեյի տարօրինակ վարկածը։ Բայց որոշ «անցքեր» մնացին, և Ռիբեթը որոշեց խոստովանել իր շեֆ Մազուրին։ Նա ուշադիր լսեց աշակերտին և հանգիստ պատասխանեց. «Այո, դու ամեն ինչ արեցիր։ Այստեղ դուք պետք է կիրառեք փոխակերպումը Ф, այստեղ օգտագործեք Lemmas B և K, և ամեն ինչ կստանա անթերի ձև: Այսպիսով, Ռիբեթը թռիչք կատարեց անհայտությունից դեպի անմահություն՝ օգտագործելով կատապուլտ՝ ի դեմս Ֆրեյի և Մազուրի: Հանուն արդարության, դրանք բոլորը, հանգուցյալ Թանիյամայի հետ միասին, պետք է համարվեն Ֆերմատի մեծ թեորեմի ապացույցներ:

Բայց խնդիրն այն է, որ նրանք իրենց պնդումը բխում էին Տանիյամայի վարկածից, որն ինքնին ապացուցված չէ: Իսկ եթե դա սխալ է: Մաթեմատիկոսները վաղուց գիտեն, որ «ինչ-որ բան բխում է ստից», եթե Թանիյամայի գուշակությունը սխալ է, ապա Ռիբեթի անբասիր դատողությունն անարժեք է: Տանիյամայի ենթադրությունն ապացուցելու (կամ հերքելու) հրատապ անհրաժեշտություն կա, այլապես Ֆալթինգսի նման մեկը այլ կերպ կապացուցի Ֆերմայի թեորեմը։ Նա կդառնա հերոս!

Քիչ հավանական է, որ մենք երբևէ իմանանք, թե քանի երիտասարդ կամ փորձառու հանրահաշվագետներ հարձակվեցին Ֆերմայի թեորեմի վրա Ֆալթինգսի հաջողությունից կամ Ռիբեթի հաղթանակից հետո 1986 թվականին: Նրանք բոլորն էլ փորձում էին թաքուն աշխատել, որպեսզի ձախողման դեպքում չհաշվվեն «դուլերի»՝ ֆերմատիստների համայնքի մեջ։ Հայտնի է, որ բոլորից հաջողակը՝ Քեմբրիջից Էնդրյու Ուայլսը, հաղթանակի համը միայն 1993 թվականի սկզբին է ստացել։ Սա ոչ այնքան ուրախացրեց, որքան վախեցրեց Ուայլսին. իսկ եթե սխալ կամ բաց լինի Թանիյամայի վարկածի ապացուցման մեջ: Հետո կորավ նրա գիտական ​​համբավը։ Դուք պետք է ուշադիր գրեք ապացույցը (բայց դա կլինի տասնյակ էջեր) և հետաձգեք այն վեց ամսով կամ մեկ տարով, այնուհետև նորից կարդաք այն սառնասրտորեն և լկտիաբար ... Բայց եթե այս ընթացքում ինչ-որ մեկը հրապարակի իր ապացույցը: Օ՜, փորձանք ...

Այդուհանդերձ, Ուայլսն իր ապացույցը արագ փորձարկելու կրկնակի միջոց է հորինել: Նախ, դուք պետք է վստահեք ձեր վստահելի ընկերներից և գործընկերներից մեկին և պատմեք նրան հիմնավորման ողջ գիծը: Արտաքինից բոլոր սխալներն ավելի հայտնի են։ Երկրորդ, անհրաժեշտ է այս թեմայով հատուկ դասընթաց կարդալ խելացի ուսանողների և ասպիրանտների համար. այս խելացի մարդիկ դասախոսի ոչ մի սխալ բաց չեն թողնի: Պարզապես նրանց մի ասեք դասընթացի վերջնական նպատակը մինչև վերջին պահը, այլապես ամբողջ աշխարհը կիմանա այդ մասին: Եվ, իհարկե, այդպիսի հանդիսատես պետք է փնտրել Քեմբրիջից ավելի հեռու, ավելի լավ է ոչ թե Անգլիայում, այլ Ամերիկայում... Ի՞նչը կարող է ավելի լավ լինել, քան հեռավոր Փրինսթոնը:

Ահա թե որտեղ է Ուայլսը ուղևորվել 1993 թվականի գարնանը: Նրա համբերատար ընկեր Նիկլաս Կացը, Ուայլսի երկար զեկույցը լսելուց հետո, դրանում մի շարք բացեր գտավ, բայց պարզվեց, որ դրանք բոլորը հեշտությամբ շտկվում էին։ Բայց Փրինսթոնի շրջանավարտները շուտով փախան Ուայլսի հատուկ դասընթացից՝ չցանկանալով հետևել դասախոսի քմահաճ մտքին, որը նրանց տանում է դեպի ոչ ոք չգիտի, թե ուր: Իր աշխատանքի այս (առանձնապես ոչ խորը) քննությունից հետո Ուայլսը որոշեց, որ ժամանակն է աշխարհին մեծ հրաշք բերելու:

1993 թվականի հունիսին Քեմբրիջում տեղի ունեցավ հերթական կոնֆերանսը «Իվասավա տեսությունը»՝ թվերի տեսության հանրաճանաչ ճյուղ: Ուայլսը որոշեց դրա վերաբերյալ կիսվել Տանիյամայի ենթադրության իր ապացույցով՝ մինչև վերջ չհայտարարելով հիմնական արդյունքը։ Զեկույցը երկար շարունակվեց, բայց հաջողվեց, աստիճանաբար սկսեցին հավաքվել լրագրողներ, ովքեր ինչ-որ բան զգացին: Վերջապես, որոտը հարվածեց. Ֆերմայի թեորեմն ապացուցված է: Համընդհանուր ցնծությունը չմթավեց որևէ կասկածի տակ. թվում է, թե ամեն ինչ պարզ է... Բայց երկու ամիս անց Կացը, Ուայլսի վերջնական տեքստը կարդալուց հետո, դրանում մեկ այլ բաց նկատեց։ Որոշակի անցում տրամաբանության մեջ հիմնված էր «Էյլերի համակարգի» վրա, բայց այն, ինչ կառուցեց Ուայլսը, այդպիսի համակարգ չէր:

Ուայլսը ստուգեց խցանման հատվածը և հասկացավ, որ սխալվում էր: Նույնիսկ ավելի վատ. պարզ չէ, թե ինչպես փոխարինել սխալ պատճառաբանությունը: Դրան հաջորդեցին Ուայլսի կյանքի ամենամութ ամիսները։ Նախկինում նա ազատորեն սինթեզել է աննախադեպ ապացույց իմպրովիզացված նյութից. Այժմ նա կապված է մի նեղ և ճշգրիտ խնդրի հետ՝ առանց վստահության, որ այն լուծում ունի, և որ տեսանելի ապագայում կկարողանա գտնել այն: Վերջերս Ֆրեյը չկարողացավ դիմակայել նույն պայքարին, և այժմ նրա անունը ստվերվեց հաջողակ Ռիբեթի անունով, չնայած Ֆրեյի ենթադրությունը ճիշտ էր: Իսկ ի՞նչ կլինի ԻՄ գուշակության և ԻՄ անվան հետ։

Այս ծանր աշխատանքը ձգվեց ուղիղ մեկ տարի։ 1994 թվականի սեպտեմբերին Ուայլսը պատրաստ էր ընդունել պարտությունը և Թանիյամայի վարկածը թողնել ավելի բախտավոր իրավահաջորդներին։ Այս որոշումը կայացնելով՝ նա սկսեց կամաց-կամաց վերընթերցել իր ապացույցը՝ սկզբից մինչև վերջ՝ լսելով դատողության ռիթմը, նորից վերապրելով հաջողված գտածոների հաճույքը: Երբ նա հասավ «անիծյալ» տեղը, Ուայլսը, սակայն, մտքում չլսեց կեղծ գրությունը։ Արդյո՞ք նրա բանականության ընթացքն անթերի էր, ի վերջո, և սխալն առաջացել է միայն հոգեկան կերպարի ԲԱՌԱԿԱՆ նկարագրության մեջ։ Եթե ​​այստեղ «Էյլերի համակարգ» չկա, ապա ի՞նչ է թաքնված այստեղ։

Հանկարծ մի պարզ միտք ծագեց՝ «Էյլերի համակարգը» չի գործում այնտեղ, որտեղ կիրառելի է Իվասավա տեսությունը։ Ինչու՞ ուղղակիորեն չկիրառել այս տեսությունը. բարեբախտաբար, Ուայլսն ինքը ծանոթ և ծանոթ է դրան: Իսկ ինչո՞ւ հենց սկզբից նա չփորձեց այս մոտեցումը, այլ տարվեց խնդրի վերաբերյալ ուրիշի տեսլականով։ Ուայլսը չէր կարողանում հիշել այս մանրամասները, և դա անօգուտ էր: Նա անհրաժեշտ պատճառաբանությունն արեց Իվասավայի տեսության շրջանակներում, և ամեն ինչ ստացվեց կես ժամում։ Այսպիսով, մեկ տարի ուշացումով, փակվեց Թանիյամայի վարկածի ապացուցման վերջին բացը։ Վերջնական տեքստը պատռելու տվեցին հանրահայտ մաթեմատիկական ամսագրի գրախոսների խումբը, մեկ տարի անց հայտարարեցին, որ այժմ սխալներ չկան։ Այսպիսով, 1995 թվականին Ֆերմատի վերջին վարկածը մահացավ նրա կյանքի երեք հարյուր վաթսուներորդ տարում՝ դառնալով ապացուցված թեորեմ, որն անխուսափելիորեն կմտնի թվերի տեսության դասագրքեր։

Ամփոփելով Ֆերմայի թեորեմի շուրջ երեք դար շարունակվող աղմուկը՝ մենք պետք է տարօրինակ եզրակացություն անենք. այս հերոսական էպոսը կարող էր և չլիներ։ Իրոք, Պյութագորասի թեորեմն արտահայտում է պարզ և կարևոր կապ տեսողական բնական առարկաների՝ հատվածների երկարությունների միջև։ Բայց նույնը չի կարելի ասել Ֆերմայի թեորեմի մասին։ Այն ավելի շատ նման է գիտական ​​սուբստրատի վրա մշակութային վերնաշենքի` նման ձեռքբերումների Հյուսիսային բեւեռԵրկիր կամ թռիչք դեպի լուսին: Հիշենք, որ այս երկու սխրանքներն էլ գրողները երգել են իրենց իրագործումից շատ առաջ՝ դեռ հին ժամանակներում, Էվկլիդեսի «Սկզբունքների» հայտնվելուց հետո, բայց մինչ Դիոֆանտոսի «Թվաբանության» հայտնվելը։ Սա նշանակում է, որ այն ժամանակ սոցիալական կարիք առաջացավ նման ինտելեկտուալ սխրագործությունների համար, գոնե երևակայական: Մինչ հելլենները կհերիքեին Հոմերոսի բանաստեղծությունները, ինչպես Ֆերմատից հարյուր տարի առաջ, ֆրանսիացիները բավականաչափ կրոնական հոբբի ունեին: Բայց հետո կրոնական կրքերը հանդարտվեցին, և գիտությունը կանգնեց նրանց կողքին:

Ռուսաստանում նման գործընթացներ սկսվեցին հարյուր հիսուն տարի առաջ, երբ Տուրգենևը Եվգենի Բազարովին հավասարեցրեց Եվգենի Օնեգինին։ Ճիշտ է, գրող Տուրգենևը լավ չէր հասկանում գիտնական Բազարովի արարքի դրդապատճառները և չէր համարձակվում երգել դրանք, բայց դա շուտով արեցին գիտնական Իվան Սեչենովը և լուսավոր լրագրող Ժյուլ Վեռնը։ Ինքնաբուխ գիտական ​​և տեխնոլոգիական հեղափոխությանը անհրաժեշտ է մշակութային պատյան՝ մարդկանց մեծամասնության մտքերը թափանցելու համար, իսկ հետո առաջին հերթին հայտնվում է գիտաֆանտաստիկ, իսկ հետո գիտահանրամատչելի գրականությունը (ներառյալ «Գիտելիքը ուժ է» ամսագիրը):

Ընդ որում, կոնկրետ գիտական ​​թեման ընդհանրապես կարևոր չէ հանրության լայն շերտերի համար և այնքան էլ կարևոր չէ նույնիսկ կատարող հերոսների համար։ Այսպիսով, լսելով Փիրիի և Կուկի կողմից Հյուսիսային բևեռ հասնելու մասին, Ամունդսենն անմիջապես փոխեց իր արդեն պատրաստված արշավախմբի նպատակը և շուտով հասավ Հարավային բևեռ՝ մեկ ամսով առաջ անցնելով Սքոթից: Ավելի ուշ Յուրի Գագարինի հաջող թռիչքը Երկրի շուրջը ստիպեց նախագահ Քենեդիին փոխել ամերիկյան տիեզերական ծրագրի նախկին նպատակը ավելի թանկ, բայց շատ ավելի տպավորիչ՝ մարդկանց վայրէջք Լուսնի վրա:

Դեռ ավելի վաղ ըմբռնող Հիլբերտը պատասխանել էր ուսանողների միամիտ հարցին. «Հիմա ո՞ր գիտական ​​խնդրի լուծումն է առավել օգտակար»։ - պատասխանեց կատակով. «Ճանճ բռնիր լուսնի հեռավոր կողմում»: «Ինչո՞ւ է դա անհրաժեշտ» տարակուսած հարցին. - հաջորդեց հստակ պատասխանը. «ՍԱ ոչ մեկին պետք չէ: Բայց մտածեք գիտական ​​մեթոդների և տեխնիկական միջոցների մասին, որոնք մենք պետք է մշակենք նման խնդիր լուծելու համար, և քանի՞ այլ գեղեցիկ խնդիրներ կլուծենք ճանապարհին»:

Սա հենց այն է, ինչ տեղի ունեցավ Ֆերմայի թեորեմի հետ: Հնարավոր է, որ Էյլերը կարոտել է նրան:

Այս դեպքում մաթեմատիկոսների կուռքը կդառնար ինչ-որ այլ խնդիր, գուցե նաև թվերի տեսությունից։ Օրինակ՝ Էրատոստենեսի խնդիրը. այն վերջավոր է, թե՞ անսահման շատ երկվորյակ պարզեր (օրինակ՝ 11 և 13, 17 և 19 և այլն): Կամ Էյլերի խնդիրը. Արդյո՞ք յուրաքանչյուր զույգ թիվ երկու պարզ թվերի գումարն է: Կամ՝ կա՞ հանրահաշվական կապ π և e թվերի միջև: Այս երեք խնդիրները դեռ լուծված չեն, թեև քսաներորդ դարում մաթեմատիկոսները նկատելիորեն մոտեցել են դրանց էությունը հասկանալուն։ Բայց այս դարը նաև բազմաթիվ նոր, ոչ պակաս հետաքրքիր խնդիրների տեղիք տվեց հատկապես մաթեմատիկայի ֆիզիկայի և բնագիտության այլ ճյուղերի միացման կետերում։

Դեռ 1900 թվականին Հիլբերտն առանձնացրեց դրանցից մեկը՝ ստեղծել մաթեմատիկական ֆիզիկայի աքսիոմների ամբողջական համակարգ։ Հարյուր տարի անց այս խնդիրը հեռու է լուծվելուց, թեկուզ միայն այն պատճառով, որ ֆիզիկայի մաթեմատիկական գործիքների զինանոցը անշեղորեն աճում է, և դրանցից ոչ բոլորն ունեն խիստ հիմնավորում: Բայց 1970-ից հետո տեսական ֆիզիկան բաժանվեց երկու ճյուղի։ Մեկը (դասական) սկսած Նյուտոնի ժամանակներից զբաղվում է ԿԱՅՈՒՆ գործընթացների մոդելավորմամբ և կանխատեսմամբ, մյուսը (նորածինը) փորձում է պաշտոնականացնել ԱՆԿԱՅՈՒՆ գործընթացների փոխազդեցությունը և դրանք վերահսկելու ուղիները։ Հասկանալի է, որ ֆիզիկայի այս երկու ճյուղերը պետք է աքսիոմատիզացվեն առանձին։

Նրանցից առաջինը, հավանաբար, կկարողանա հաղթահարել քսան կամ հիսուն տարի հետո ...

Իսկ ի՞նչն է պակասում ֆիզիկայի երկրորդ ճյուղին՝ այն, որը պատասխանատու է էվոլյուցիայի բոլոր տեսակների համար (ներառյալ տարօրինակ ֆրակտալները և տարօրինակ գրավիչները, կենսացենոզների էկոլոգիան և Գումիլևի կրքոտության տեսությունը): Մենք դա դժվար թե շուտ հասկանանք։ Բայց գիտնականների պաշտամունքը նոր կուռքի հանդեպ արդեն զանգվածային երեւույթ է դարձել։ Հավանաբար այստեղ կբացվի մի էպոս՝ համեմատելի Ֆերմայի թեորեմի երեքդարյա կենսագրության հետ։ Այսպիսով, տարբեր գիտությունների հանգույցում ավելի ու ավելի շատ նոր կուռքեր են ծնվում՝ նման կրոնականներին, բայց ավելի բարդ և դինամիկ ...

Ըստ երևույթին, մարդը չի կարող մարդ մնալ առանց հին կուռքերին ժամանակ առ ժամանակ տապալելու և նորերը չստեղծելու՝ տանջանքների մեջ և ուրախությամբ։ Պիեռ Ֆերմատին բախտ է վիճակվել հայտնվել ճակատագրական պահի մոտ թեժ կետնոր կուռքի ծնունդ, և նրան հաջողվեց նորածնի վրա թողնել իր անձի հետքը: Նման ճակատագրին կարելի է նախանձել, իսկ նմանակելն էլ մեղք չէ։

Սերգեյ Սմիրնով
«Գիտելիքը ուժ է»

Շատ տարիներ առաջ ես նամակ ստացա Տաշքենդից Վալերի Մուրատովից, դատելով ձեռագրից, մի երիտասարդի, ով այն ժամանակ ապրում էր Կոմունիստիչեսկայա փողոցում, թիվ 31 շենքում: Տղան վճռական էր տրամադրված. ես ապացուցեմ Ֆերմայի թեորեմը, սազում է առնվազն 500 ռուբլի: Ուրիշ ժամանակ ես դա ձեզ անվճար կապացուցեի, բայց հիմա ինձ փող է պետք…

Զարմանալի պարադոքս. քչերը գիտեն, թե ով է Ֆերմատը, երբ է ապրել և ինչ է արել: Այնուամենայնիվ քիչ մարդկարող է նույնիսկ ամենաշատը ընդհանուր իմաստովնկարագրեք նրա մեծ թեորեմը: Բայց բոլորը գիտեն, որ կա Ֆերմայի ինչ-որ թեորեմ, որի ապացույցի վրա ամբողջ աշխարհի մաթեմատիկոսները պայքարում են ավելի քան 300 տարի, բայց նրանք չեն կարող դա ապացուցել:

Կան շատ հավակնոտ մարդիկ, և հենց այն գիտակցումը, որ կա մի բան, որը ուրիշները չեն կարող անել, ավելի է խթանում նրանց փառասիրությունը: Հետևաբար, ակադեմիաներում, գիտական ​​ինստիտուտներում և նույնիսկ թերթերի խմբագրություններում ամբողջ աշխարհում եկել և գալիս են Մեծ թեորեմի հազարավոր (!) ապացույցներ՝ կեղծ գիտական ​​սիրողական կատարողականության աննախադեպ և երբեք չխախտված ռեկորդ: Նույնիսկ տերմին կա՝ «ֆերմատիստներ», այսինքն՝ Մեծ թեորեմն ապացուցելու ցանկությամբ տարված մարդիկ, ովքեր ամբողջովին տանջում էին պրոֆեսիոնալ մաթեմատիկոսներին՝ իրենց աշխատանքները գնահատելու պահանջներով։ Հանրահայտ գերմանացի մաթեմատիկոս Էդմունդ Լանդաուն նույնիսկ ստանդարտ պատրաստեց, ըստ որի նա պատասխանեց. «Ֆերմայի թեորեմի ձեր ապացույցում կա սխալ էջի վրա ...», և նրա ասպիրանտները դրեցին էջի համարը: Իսկ 1994-ի ամռանը ամբողջ աշխարհի թերթերը հաղորդում էին մի ամբողջ սենսացիոն բան. Մեծ թեորեմն ապացուցված է:

Այսպիսով, ո՞վ է Ֆերմատը, ո՞րն է խնդրի էությունը և արդյո՞ք այն իսկապես լուծվել է։ Պիեռ Ֆերմատը ծնվել է 1601 թվականին կաշեգործի, հարուստ և հարգված մարդու ընտանիքում. նա զբաղեցնում էր երկրորդ հյուպատոսի պաշտոնը իր հայրենի Բոմոնտ քաղաքում, սա քաղաքապետի օգնականի նման մի բան է: Պիեռը սկզբում սովորել է ֆրանցիսկյան վանականների մոտ, այնուհետև Թուլուզի իրավագիտության ֆակուլտետում, որտեղից հետո սովորել է իրավաբանություն։ Այնուամենայնիվ, Ֆերմատի հետաքրքրությունների շրջանակը շատ դուրս եկավ իրավագիտակցության շրջանակներից: Նրան հատկապես հետաքրքրում էր դասական բանասիրությունը, հայտնի են նրա մեկնաբանությունները անտիկ հեղինակների տեքստերի վերաբերյալ։ Իսկ երկրորդ կիրքը մաթեմատիկան է։

17-րդ դարում, ինչպես նաև շատ տարիներ անց, չկար այդպիսի մասնագիտություն՝ մաթեմատիկոս։ Ուստի այն ժամանակվա բոլոր մեծ մաթեմատիկոսները մաթեմատիկոսներ էին «համակցությամբ»՝ Ռենե Դեկարտը ծառայում էր բանակում, Ֆրանսուա Վիեն՝ իրավաբան, Ֆրանչեսկո Կավալյերին՝ վանական։ Գիտական ​​ամսագրերհետո այդպես չէր, և գիտության դասական Պիեռ Ֆերմատն իր կենդանության օրոք ոչ մի գիտական ​​աշխատություն չհրապարակեց: Կար «սիրողականների» բավականին նեղ շրջանակ, ովքեր իրենց համար տարբեր հետաքրքիր խնդիրներ էին լուծում և միմյանց նամակներ գրում այդ մասին, երբեմն վիճում (ինչպես Ֆերմատն ու Դեկարտը), բայց հիմնականում մնում էին համախոհներ։ Նրանք դարձան նոր մաթեմատիկայի հիմնադիրները, հնարամիտ սերմերի ցանողները, որոնցից աճեց մաթեմատիկական ժամանակակից գիտելիքների հզոր ծառը՝ ուժ ստանալով և ճյուղավորելով։

Այսպիսով, Ֆերմատը նույն «սիրահարն» էր։ Թուլուզում, որտեղ նա ապրել է 34 տարի, բոլորը նրան ճանաչում էին, առաջին հերթին՝ որպես Քննչական պալատի խորհրդական և փորձառու փաստաբան։ 30 տարեկանում ամուսնացել է, ունեցել երեք որդի և երկու դուստր, երբեմն մեկնել է գործուղումների, որոնցից մեկի ժամանակ 63 տարեկան հասակում հանկարծամահ է եղել։ Ամեն ինչ! Երեք հրացանակիրների ժամանակակից այս մարդու կյանքը զարմանալիորեն աղքատ է իրադարձություններով և զուրկ արկածներից: Արկածը ընկավ նրա Մեծ թեորեմի վիճակին: Մենք չենք խոսի Ֆերմայի ողջ մաթեմատիկական ժառանգության մասին, և դժվար է դրա մասին ժողովրդական ձևով խոսել։ Ընդունեք իմ խոսքը. այս ժառանգությունը մեծ է և բազմազան: Այն պնդումը, որ Մեծ թեորեմը նրա ստեղծագործության գագաթնակետն է, խիստ հակասական է: Պարզապես Մեծ թեորեմի ճակատագիրը զարմանալիորեն հետաքրքիր է, և մաթեմատիկայի առեղծվածներին չտարածված մարդկանց հսկայական աշխարհը միշտ հետաքրքրվել է ոչ թե բուն թեորեմով, այլ նրան շրջապատող ամեն ինչով…

Այս ամբողջ պատմության արմատները պետք է փնտրել հնության մեջ, այնքան սիրելի Ֆերմատ։ Մոտ 3-րդ դարում Ալեքսանդրիայում ապրում էր հույն մաթեմատիկոս Դիոֆանտոսը, մի գիտնական, ով իր ձևով մտածում էր արկղից դուրս և իր մտքերը բացատրում տուփից դուրս: Նրա «Թվաբանության» 13 հատորներից մեզ են հասել միայն 6-ը, հենց երբ Ֆերմատը 20 տարեկան էր, լույս տեսավ նրա ստեղծագործությունների նոր թարգմանությունը։ Ֆերմատը շատ էր սիրում Դիոֆանտոսին, և այս աշխատանքները նրա տեղեկատու գիրքն էին։ Իր դաշտերում Ֆերմատը գրեց իր Մեծ թեորեմը, որն իր ամենապարզ ժամանակակից ձևով ունի հետևյալ տեսքը. Z2 + 42 = 52): Նույն տեղում, «Դիոֆանտին» հատորի լուսանցքներում, Ֆերմատը ավելացնում է. «Ես գտա այս հիրավի հրաշալի ապացույցը, բայց այս լուսանցքները նրա համար չափազանց նեղ են»։

Առաջին հայացքից փոքր բանը պարզ է, բայց երբ մյուս մաթեմատիկոսները սկսեցին ապացուցել այս «պարզ» թեորեմը, հարյուր տարի ոչ ոքի դա չհաջողվեց։ Ի վերջո, մեծ Լեոնարդ Էյլերը դա ապացուցեց n = 4-ի համար, ապա 20 (!) Տարիներ անց` n = 3-ի համար: Եվ նորից աշխատանքը երկար տարիներ կանգ առավ: Հաջորդ հաղթանակը պատկանում է գերմանացի Պիտեր Դիրիխլեին (1805-1859) և ֆրանսիացի Անդրիեն Լեժանդրին (1752-1833) - նրանք խոստովանեցին, որ Ֆերմատը ճիշտ էր, երբ n = 5: Այնուհետև ֆրանսիացի Գաբրիել Լամը (1795-1870) նույնն արեց: n = 7: Վերջապես, անցյալ դարի կեսերին գերմանացի Էռնստ Կումմերը (1810-1893) ապացուցեց Մեծ թեորեմը 100-ից փոքր կամ հավասար n-ի բոլոր արժեքների համար: Ավելին, նա դա ապացուցեց այն մեթոդներով, որ Ֆերմատը չէր կարող իմանալ, դրանով իսկ ավելի ամրապնդելով առեղծվածի վարագույրը Մեծ թեորեմի շուրջ:

Այսպիսով, պարզվեց, որ նրանք «կտոր առ մաս» ապացուցում էին Ֆերմայի թեորեմը, բայց ոչ մեկին «ամբողջությամբ» չհաջողվեց։ Ապացուցումների նոր փորձերը հանգեցրին միայն n-ի արժեքների քանակական աճին: Բոլորը հասկանում էին, որ աշխատանքի անդունդը ծախսելով, կարելի էր ապացուցել Մեծ թեորեմը կամայականորեն մեծ թվով n-ի համար, բայց Ֆերմատը խոսում էր ցանկացած արժեքի մասին: 2-ից մեծ! «Որքան անհրաժեշտ է» և «ցանկացած» տարբերության մեջ էր, որ կենտրոնացավ խնդրի ամբողջ իմաստը։

Այնուամենայնիվ, հարկ է նշել, որ Ֆերմգի թեորեմն ապացուցելու փորձերը պարզապես ինչ-որ մաթեմատիկական խաղ չէին, որը լուծում էր բարդ ռեբուսը։ Այս ապացուցումների ընթացքում բացվեցին մաթեմատիկական նոր հորիզոններ, առաջացան ու լուծվեցին խնդիրներ, որոնք դարձան մաթեմատիկական ծառի նոր ճյուղեր։ Գերմանացի մեծ մաթեմատիկոս Դեյվիդ Հիլբերտը (1862-1943 թթ.) բերել է «Մեծ թեորեմը» որպես օրինակ այն բանի, թե «գիտության վրա ինչ խթանիչ ազդեցություն կարող է ունենալ հատուկ և աննշան թվացող խնդիր»: Նույն Կումմերը, աշխատելով Ֆերմայի թեորեմի վրա, ինքն է ապացուցել այն թեորեմները, որոնք հիմք են հանդիսացել թվերի տեսության, հանրահաշվի և ֆունկցիաների տեսության։ Այսպիսով, Մեծ Թեորսեմայի ապացույցը սպորտը չէ, այլ իրական գիտությունը:

Ժամանակն անցավ, և պրոֆեսիոնալ «ֆսրմատնց»-ին օգնության հասավ էլեկտրոնիկան։ Էլեկտրոնային ուղեղները չէին կարող նոր մեթոդներ հորինել, բայց արագություն ընդունեցին։ Մոտավորապես 80-ականների սկզբին Ֆերմայի թեորեմն ապացուցվեց համակարգչի օգնությամբ n-ով պակաս կամ հավասար 5500-ի: Աստիճանաբար այս թիվը հասավ 100000-ի, բայց բոլորը հասկացան, որ նման «կուտակումը» մաքուր տեխնոլոգիայի խնդիր է, տալով. ոչինչ մտքին կամ սրտին… Մեծ թեորեմի ամրոցը չկարողացավ «գլխով» վերցնել և սկսեցին շրջանցիկ մանևրներ փնտրել։

1980-ականների կեսերին երիտասարդ ոչ միջակ մաթեմատիկոս Գ.Ֆիլիտինգսը ապացուցեց այսպես կոչված «Մորդելի ենթադրությունը», որը, ի դեպ, նույնպես 61 տարի շարունակ ոչ մի մաթեմատիկոսի «ձեռքը չէր ընկել»։ Հույս առաջացավ, որ այժմ, այսպես ասած, «թևից գրոհով» կարող է լուծվել նաև Ֆերմայի թեորեմը։ Այնուամենայնիվ, հետո ոչինչ չեղավ։ 1986 թվականին գերմանացի մաթեմատիկոս Գերհարդ Ֆրեյն ապացուցման նոր մեթոդ առաջարկեց Էսսեչում։ Ես չեմ ենթադրում դա խիստ բացատրել, բայց ոչ մաթեմատիկական, այլ ընդհանուր մարդկային լեզվով, դա հնչում է մոտավորապես այսպես. հետևաբար, մենք կապացուցենք Մեծ թեորեմը: Մեկ տարի անց Բերկլիից ամերիկացի Քենեթ Ռիբեթը ցույց տվեց, որ Ֆրեյը ճիշտ էր, և, իրոք, մի ապացույցը կարող էր կրճատվել մյուսով: Շատ մաթեմատիկոսներ գնացին այս ճանապարհով տարբեր երկրներաշխարհը. Վիկտոր Ալեքսանդրովիչ Կոլիվանովը շատ բան արեց Մեծ թեորեմն ապացուցելու համար։ Անառիկ բերդի երեքհարյուրամյա պարիսպները օրորվում էին։ Մաթեմատիկոսները հասկացան, որ դա երկար չի տևի։

1993 թվականի ամռանը Հին Քեմբրիջում, Իսահակ Նյուտոնի մաթեմատիկական գիտությունների ինստիտուտում, աշխարհի 75 նշանավոր մաթեմատիկոսներ հավաքվեցին՝ քննարկելու իրենց խնդիրները։ Նրանց թվում էր ամերիկացի պրոֆեսոր Էնդրյու Ուայլսը Փրինսթոնի շքեղ համալսարանից, թվերի տեսության ականավոր մասնագետ։ Բոլորը գիտեին, որ նա երկար տարիներ ուսումնասիրում էր Մեծ թեորեմը։ Ուայլսը երեք ելույթ ունեցավ և վերջում՝ 1993 թվականի հունիսի 23-ին, ամենավերջում, շրջվելով գրատախտակից, ժպտալով ասաց.

-Երևի չշարունակեմ…

Նախ մեռելային լռություն տիրեց, հետո՝ ծափահարություններ։ Հանդիսատեսները բավական որակավորված էին հասկանալու համար. Ֆերմայի վերջին թեորեմն ապացուցված է: Համենայնդեպս, ներկաներից ոչ մեկը տվյալ ապացույցում սխալ չի գտել։ Նյուտոնի ինստիտուտի փոխտնօրեն Փիթեր Գոդարդը լրագրողներին ասել է.

«Փորձագետների մեծամասնությունը չէր կարծում, որ կբացահայտի այդ հետքը իրենց ողջ կյանքում: Սա մեր դարի մաթեմատիկայի ամենամեծ նվաճումներից մեկն է…

Անցավ մի քանի ամիս, ոչ մի մեկնաբանություն ու հերքում չհետևեց։ Ճիշտ է, Ուայլսը չհրապարակեց իր ապացույցը, այլ միայն ուղարկեց իր աշխատության այսպես կոչված տպագրությունները իր գործընկերների շատ նեղ շրջանակին, ինչը, բնականաբար, խանգարում է մաթեմատիկոսներին մեկնաբանել այս գիտական ​​սենսացիա, և ես հասկանում եմ ակադեմիկոս Լյուդվիգ Դմիտրիևիչ Ֆադդեևին։ , ով ասաց:

-Կարող եմ ասել, որ սենսացիան եղավ այն ժամանակ, երբ ես սեփական աչքերով եմ տեսնում ապացույցը։

Ֆադդեևը կարծում է, որ Ուայլսի հաղթանակի հավանականությունը շատ մեծ է։

«Իմ հայրը, որը թվերի տեսության հայտնի մասնագետ էր,, օրինակ, վստահ էր, որ թեորեմը կհաստատվի, բայց ոչ տարրական միջոցներով», - ավելացրեց նա:

Մեր մյուս ակադեմիկոս Վիկտոր Պավլովիչ Մասլովը թերահավատորեն էր վերաբերվում այդ լուրերին, ով կարծում է, որ Մեծ թեորեմի ապացույցն ամենևին էլ իրական մաթեմատիկական խնդիր չէ։ Կիրառական մաթեմատիկայի խորհրդի նախագահ Մասլովը, ըստ իր գիտական ​​հետաքրքրությունների, հեռու է «ֆերմատիստ» լինելուց, և երբ ասում է, որ Մեծ թեորեմի ամբողջական լուծումը միայն սպորտային հետաքրքրություն է ներկայացնում, իրեն կարելի է հասկանալ։ Այնուամենայնիվ, ես համարձակվում եմ նշել, որ ցանկացած գիտության մեջ համապատասխանության հասկացությունը փոփոխական մեծություն է: 90 տարի առաջ Ռադերֆորդին, հավանաբար, նաև ասվել է. «Դե, լավ, լավ, ռադիոակտիվ քայքայման տեսությունը… Ուրեմն ի՞նչ: Ի՞նչ օգուտ դրանից»:

Մեծ թեորեմի ապացուցման աշխատանքն արդեն շատ բան է տվել մաթեմատիկային, և հույս կա, որ ավելին կտա։

«Այն, ինչ արեց Ուայլսը, մաթեմատիկոսներին կտեղափոխի այլ ոլորտներ», - ասաց Փիթեր Գոդարդը: - Ավելի շուտ դա ոչ թե փակում է մտքի ուղղություններից մեկը, այլ առաջ է քաշում նոր հարցեր, որոնք պատասխան կպահանջեն...

Մոսկվայի պետական ​​համալսարանի պրոֆեսոր Միխայիլ Իլյիչ Զելիքինն ինձ ներկա իրավիճակն այսպես բացատրեց.

Ուայլսի աշխատանքում ոչ ոք սխալներ չի տեսնում։ Բայց որպեսզի այս աշխատանքը դառնա գիտական ​​փաստ, անհրաժեշտ է, որ մի քանի հարգված մաթեմատիկոսներ ինքնուրույն կրկնեն այս ապացույցը և հաստատեն դրա ճիշտությունը։ Սա sine qua non է մաթեմատիկական համայնքում Ուայլսի աշխատանքի իրազեկման համար…

Որքա՞ն ժամանակ կպահանջվի դրա համար:

Այս հարցն ուղղեցի թվերի տեսության ոլորտում մեր առաջատար մասնագետներից մեկին՝ ֆիզիկամաթեմատիկական գիտությունների դոկտոր Ալեքսեյ Նիկոլաևիչ Պարշինին։

- Էնդրյու Ուայլսը դեռ շատ ժամանակ ունի առջևում ...

Բանն այն է, որ 1907 թվականի սեպտեմբերի 13-ին գերմանացի մաթեմատիկոս Պ.Վոլֆսկելը, ով, ի տարբերություն մաթեմատիկոսների ճնշող մեծամասնության, հարուստ մարդ էր, 100 հազար մարկ կտակեց նրան, ով կապացուցի Մեծ թեորեմը առաջիկա 100 տարում։ Դարասկզբին կտակված գումարի տոկոսները գնում էին հայտնի Գետգանգենտ համալսարանի գանձարան։ Այդ գումարով հրավիրվում էին առաջատար մաթեմատիկոսներ՝ դասախոսություններ կարդալու և գիտական ​​աշխատանք կատարելու համար։ Այդ ժամանակ մրցանակի հանձնման հանձնաժողովի նախագահն էր արդեն իմ կողմից հիշատակված Դեյվիդ Հիլբերտը։ Նա իսկապես չէր ցանկանում վճարել բոնուսը:

- Բարեբախտաբար,- ասաց մեծ մաթեմատիկոսը,- թվում է, թե մեզնից բացի մաթեմատիկոս չունենք, ով կկարողանար կատարել այս խնդիրը, բայց ես երբեք չեմ համարձակվի մորթել այն հավը, որը մեզ համար ոսկե ձվեր է ածում:

Վոլֆսկելի սահմանած 2007 թվականի վերջնաժամկետին հաշված տարիներ են մնացել, և ինձ թվում է, որ լուրջ վտանգ է կախված «Հիլբերտի հավի» գլխին։ Բայց դա մրցանակը չէ, իրականում դա է իմաստը: Խոսքը մտքի հետաքրքրասիրության և մարդկային համառության մեջ է։ Մենք պայքարեցինք ավելի քան երեք հարյուր տարի, բայց նրանք ապացուցեցին:

Եվ հետագա. Ինձ համար ամենահետաքրքիրն այս ամբողջ պատմության մեջ՝ ինչպե՞ս է ինքը՝ Ֆերմատն ապացուցել իր Մեծ թեորեմը։ Չէ՞ որ այսօրվա բոլոր մաթեմատիկական հնարքները նրա համար անհայտ էին։ Եվ նա ընդհանրապես ապացուցե՞լ է դա։ Ի վերջո, կա մի վարկած, որը նա կարծես թե ապացուցել է, բայց ինքը սխալ է գտել, հետևաբար ապացույցները չի ուղարկել այլ մաթեմատիկոսների և մոռացել է հատել «Դիոֆանտին» հատորի լուսանցքների մուտքը։ Հետևաբար, ինձ թվում է, որ Մեծ թեորեմի ապացույցը, ակնհայտորեն, տեղի ունեցավ, բայց Ֆերմայի թեորեմի գաղտնիքը մնաց, և դժվար թե մենք երբևէ բացահայտենք այն…

Թերևս այն ժամանակ Ֆերմատը սխալվեց, բայց նա չէր սխալվել, երբ գրեց. «Միգուցե սերունդը երախտապարտ կլինի ինձ, որ ցույց տվեցի նրան, որ հին մարդիկ ամեն ինչ չգիտեին, և դա կարող է թափանցել նրանց գիտակցությունը, ովքեր կգան ինձանից հետո անցնելու։ ջահը իր որդիներին...»

Պիեռ Ֆերմատը, կարդալով Դիոֆանտ Ալեքսանդրացու «Թվաբանությունը» և խորհելով դրա առաջադրանքների մասին, սովորություն ուներ իր մտորումների արդյունքները գրի առնել գրքի լուսանցքում՝ կարճ դիտողությունների տեսքով։ Գրքի լուսանցքներում Դիոֆանտոսի ութերորդ խնդրի դեմ Ֆերմատը գրել է. Ընդհակառակը, անհնար է խորանարդը տարրալուծել երկու խորանարդի, կամ բիկվադրատը երկու բիկվադրատի, և, ընդհանրապես, նույն ցուցիչով քառակուսուց երկու աստիճանով մեծ ոչ մի աստիճան։ Ես դրա իսկապես հրաշալի ապացույցն եմ հայտնաբերել, բայց այս դաշտերը նրա համար չափազանց նեղ են։» / E.T.Bell «Մաթեմատիկայի ստեղծողները». Մ., 1979, էջ 69/. Ձեր ուշադրությանն եմ ներկայացնում ֆերմայի թեորեմի տարրական ապացույցը, որը կարող է հասկանալ մաթեմատիկայի սիրահար ցանկացած ավագ դպրոցի աշակերտ։

Եկեք համեմատենք Դիոֆանտոսի խնդրի վերաբերյալ Ֆերմայի մեկնաբանությունը Ֆերմայի մեծ թեորեմի ժամանակակից ձևակերպման հետ, որն ունի հավասարման ձև։
« Հավասարումը

x n + y n = z n(որտեղ n-ը երկուսից մեծ է)

չունի լուծումներ դրական ամբողջ թվերով»

Մեկնաբանությունը տրամաբանական կապի մեջ է առաջադրանքի հետ՝ անալոգային նախադրյալի տրամաբանական կապին սուբյեկտի հետ։ Այն, ինչ հաստատվում է Դիոֆանտոսի խնդրով, ընդհակառակը, հաստատվում է Ֆերմայի մեկնաբանությամբ։

Ֆերմատի մեկնաբանությունը կարելի է մեկնաբանել այսպես՝ եթե քառակուսի հավասարումերեք անհայտներով ունի անվերջ լուծումների հավաքածու Պյութագորասի թվերի բոլոր եռյակների բազմության վրա, այնուհետև, ընդհակառակը, քառակուսուց մի աստիճանով մեծ երեք անհայտ ունեցող հավասարում.

Դիոֆանտոսի խնդրի հետ դրա կապի մասին ակնարկ անգամ չկա հավասարման մեջ։ Դրա հայտարարությունը պահանջում է ապացույց, բայց դրա տակ չկա որևէ պայման, որից հետևում է, որ այն չունի լուծումներ դրական ամբողջ թվերով։

Ինձ հայտնի հավասարման ապացույցի տարբերակները կրճատվում են հետևյալ ալգորիթմի վրա.

1. Որպես եզրակացություն ընդունված է Ֆերմայի թեորեմի հավասարումը, որի վավերականությունը ստուգվում է ապացույցի օգնությամբ։
2. Նույն հավասարումը կոչվում է օրիգինալայն հավասարումը, որից պետք է բխի դրա ապացույցը:

Արդյունքում ձևավորվեց տավտոլոգիա. Եթե ​​հավասարումը չունի լուծումներ դրական ամբողջ թվերով, ապա այն չունի լուծումներ դրական ամբողջ թվերով«Տավտոլոգիայի ապացույցը միտումնավոր սխալ է և զուրկ որևէ իմաստից։ Բայց դա ապացուցվում է հակասական մեթոդով։

• Հակառակ ենթադրությունն է արվում այն ​​հավասարման հետ, որը ցանկանում եք ապացուցել: Այն չպետք է հակասի սկզբնական հավասարմանը, բայց հակասում է դրան։ Անիմաստ է ապացուցել այն, ինչ ընդունված է առանց ապացույցի, և ընդունել առանց ապացույցի այն, ինչ պահանջվում է ապացուցել:
• Ընդունված ենթադրության հիման վրա կատարվում են բացարձակապես ճիշտ մաթեմատիկական գործողություններ և գործողություններ՝ ապացուցելու համար, որ այն հակասում է սկզբնական հավասարմանը և կեղծ է։

Ուստի, արդեն 370 տարի, Ֆերմայի վերջին թեորեմի հավասարման ապացույցը մնում է մաթեմատիկայի մասնագետների և սիրահարների անիրագործելի երազանքը։

Ես վերցրեցի հավասարումը որպես թեորեմի եզրակացություն, իսկ Դիոֆանտոսի ութերորդ խնդիրը և դրա հավասարումը որպես թեորեմի պայման։

«Եթե հավասարումը x 2 + y 2 = z 2 (1) ունի անսահման լուծումների բազմություն Պյութագորասի թվերի բոլոր եռյակների բազմության վրա, ապա, ընդհակառակը, հավասարումը. x n + y n = z n , որտեղ n> 2 (2) չունի լուծումներ դրական ամբողջ թվերի բազմության վրա»:

Ապացույց.

Ա)Բոլորը գիտեն, որ (1) հավասարումը ունի անսահման լուծումների բազմություն Պյութագորասի թվերի բոլոր եռյակների վրա: Եկեք ապացուցենք, որ Պյութագորասյան թվերի ոչ մի եռապատիկ, որը լուծում է (1) հավասարումը, լուծում չէ (2):

Հավասարության հետադարձելիության օրենքի հիման վրա (1) հավասարման կողմերը փոխվում են։ Պյութագորասյան թվեր (z, x, y) կարելի է մեկնաբանել որպես ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի երկարություններ և քառակուսիներ (x 2, y 2, z 2) կարելի է մեկնաբանել որպես նրա հիպոթենուսի և ոտքերի վրա կառուցված քառակուսիների տարածք:

(1) հավասարման քառակուսիների քառակուսիները բազմապատկվում են կամայական բարձրությամբ հ :

z 2 h = x 2 h + y 2 ժ (3)

Հավասարումը (3) կարելի է մեկնաբանել որպես զուգահեռականի ծավալի հավասարություն երկու զուգահեռականի ծավալների գումարին։

Թող երեք զուգահեռականի բարձրությունը h = z :

z 3 = x 2 z + y 2 z (4)

Խորանարդի ծավալը տարրալուծվում է երկու զուգահեռականի երկու ծավալների։ Թողեք խորանարդի ծավալը անփոփոխ և նվազեցրեք առաջին զուգահեռականի բարձրությունը x և նվազեցնել երկրորդ զուգահեռականի բարձրությունը մինչև y ... Խորանարդի ծավալը մեծ է երկու խորանարդի ծավալների գումարից.

z 3> x 3 + y 3 (5)

Պյութագորասյան թվերի եռյակների բազմության վրա ( x, y, z ) ժամը n = 3 (2) հավասարման լուծում չի կարող լինել: Հետևաբար, Պյութագորասի թվերի բոլոր եռյակների վրա անհնար է խորանարդը տարրալուծել երկու խորանարդի:

(3) հավասարման մեջ թողնենք երեք զուգահեռականի բարձրությունը h = z 2 :

z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)

Զուգահեռականի ծավալը տարրալուծվում է երկու զուգահեռականի ծավալների գումարի։
(6) հավասարման ձախ կողմը թողեք անփոփոխ: Նրա աջ կողմում բարձրությունն է z 2 նվազեցնել մինչև Ն.Ս առաջին կիսամյակում և մինչև ժամը 2-ին երկրորդ ժամկետում։

Հավասարումը (6) վերածվեց անհավասարության.

Զուգահեռականի ծավալը տարրալուծվում է երկու զուգահեռականի երկու ծավալների։

(8) հավասարման ձախ կողմը թողեք անփոփոխ:
Աջ կողմում բարձրությունը z n-2 նվազեցնել մինչև x n-2 առաջին կիսամյակում և նվազում մինչև y n-2 երկրորդ ժամկետում։ Հավասարումը (8) վերածվում է անհավասարության.

z n> x n + y n

(9)

Պյութագորասյան թվերի եռապատիկների բազմության վրա չի կարող լինել (2) հավասարման մեկ լուծում։

Հետևաբար, բոլորի համար Պյութագորասի թվերի բոլոր եռյակների բազմության վրա n> 2 (2) հավասարումը լուծումներ չունի:

Ստացել է «postinno հրաշագործ ապացույց», բայց միայն եռյակի համար Պյութագորասյան թվեր... Սա ապացույցների բացակայությունև Պ.Ֆերմատի հրաժարվելու պատճառը նրանից։

Բ)Եկեք ապացուցենք, որ հավասարումը (2) չունի ոչ պյութագորասական թվերի եռապատիկների բազմության լուծումներ, ինչը կամայականորեն վերցված Պյութագորասյան թվերի եռակի ընտանիքի ձախողումն է։ z = 13, x = 12, y = 5 և դրական ամբողջ թվերի կամայական եռակի ընտանիքը z = 21, x = 19, y = 16

Թվերի երկու եռյակներն էլ իրենց ընտանիքի անդամներն են.

	(13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1)	(10)
	(21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1)	(11)

Ընտանիքի (10) և (11) անդամների թիվը հավասար է 13-ի արտադրյալի կեսին 12-ի և 21-ի 20-ի, այսինքն՝ 78-ի և 210-ի։

Ընտանիքի յուրաքանչյուր անդամ (10) պարունակում է z = 13 և փոփոխականներ Ն.Ս և ժամը 13> x> 0 , 13> y> 0 1

Ընտանիքի յուրաքանչյուր անդամ (11) պարունակում է z = 21 և փոփոխականներ Ն.Ս և ժամը որոնք վերցնում են ամբողջ թվերի արժեքները 21> x> 0 , 21> y> 0 ... Փոփոխականներն աստիճանաբար նվազում են 1 .

(10) և (11) հաջորդականության թվերի եռյակները կարող են ներկայացվել որպես երրորդ աստիճանի անհավասարությունների հաջորդականություն.

	13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3
	21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3

և չորրորդ աստիճանի անհավասարությունների տեսքով.

	13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4
	21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4

Յուրաքանչյուր անհավասարության ճիշտությունը հաստատվում է թվերի բարձրացմամբ երրորդ և չորրորդ ուժեր։

Ավելի մեծ թվով խորանարդը չի կարող քայքայվել փոքր թվով երկու խորանարդի: Այն կա՛մ փոքր է, կա՛մ ավելի, քան երկու փոքր թվերի խորանարդների գումարը:

Ավելի մեծ թվի երկկվադրատը չի կարող քայքայվել փոքր թվերի երկու երկկվադրատների: Այն կա՛մ փոքր է, կա՛մ ավելի փոքր թվերի երկկվադրատների գումարից:

Ցուցանիշի աճով բոլոր անհավասարությունները, բացառությամբ ձախ ծայրահեղ անհավասարության, ունեն նույն նշանակությունը.

Անհավասարություններ, դրանք բոլորն ունեն նույն նշանակությունը. ավելի մեծ թվի աստիճանն ավելի մեծ է, քան նույն ցուցիչ ունեցող երկու թվից պակաս թվերի գումարը.

	13 n> 12 n + 12 n; 13 n> 12 n + 11 n; ...; 13 n> 7 n + 4 n; ...; 13 n> 1 n + 1 n	(12)
	21 n> 20 n + 20 n; 21 n> 20 n + 19 n; ...; ;…; 21 n> 1 n + 1 n	(13)

(12) (13) հաջորդականությունների ամենաձախ անդամը ամենաթույլ անհավասարությունն է: Դրա ճշգրտությունը որոշում է (12) հաջորդականության բոլոր հետագա անհավասարությունների ճիշտությունը. n> 8 և հաջորդականությունը (13) համար n> 14 .

Նրանց մեջ չի կարող լինել մեկ հավասարություն։ Դրական ամբողջ թվերի կամայական եռապատիկը (21,19,16) Ֆերմատի մեծ թեորեմի (2) հավասարման լուծումը չէ։ Եթե ​​դրական ամբողջ թվերի կամայականորեն վերցված եռյակը հավասարման լուծում չէ, ապա հավասարումը չունի լուծումներ դրական ամբողջ թվերի բազմության վրա, ինչը մենք պետք է ապացուցեինք:

ՀԵՏ)Դիոֆանտոսի խնդրի վերաբերյալ Ֆերմատի մեկնաբանությունը նշում է, որ անհնար է քայքայել « ընդհանուր առմամբ, քառակուսուց ոչ մի աստիճան մեծ չէ, նույն ցուցիչով երկու աստիճանով».

Համբույրներքառակուսուց մեծ աստիճանը իրականում անհնար է բաժանվել երկու աստիճանի նույն ցուցիչով: Անպատշաճքառակուսուց մեծ աստիճանը կարող է քայքայվել նույն ցուցիչով երկու աստիճանի:

Դրական ամբողջ թվերի ցանկացած կամայական եռապատիկ (z, x, y) կարող է պատկանել մի ընտանիքի, որի յուրաքանչյուր անդամ բաղկացած է հաստատուն թվից զ և երկու թվով պակաս, քան զ ... Ընտանիքի յուրաքանչյուր անդամ կարող է ներկայացվել անհավասարության տեսքով, իսկ ստացված բոլոր անհավասարությունները կարող են ներկայացվել որպես անհավասարությունների հաջորդականություն.

z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1 n + 1 n

(14)

Անհավասարությունների հաջորդականությունը (14) սկսվում է անհավասարումներով, որոնց ձախ կողմը փոքր է աջից, և ավարտվում է անհավասարություններով, որոնցում աջ կողմը փոքր է ձախից: Աճող ցուցանիշով n> 2 (14) հաջորդականության աջ կողմում անհավասարությունների թիվը մեծանում է: Ցուցանիշով n = k Հաջորդականության ձախ կողմի բոլոր անհավասարությունները փոխում են իրենց նշանակությունը և ընդունում (14) հաջորդականության անհավասարությունների աջ կողմի անհավասարությունների նշանակությունը: Բոլոր անհավասարությունների համար ցուցիչի մեծացման արդյունքում ձախ կողմը ավելի մեծ է ստացվում, քան աջ կողմը.

z k> (z-1) k + (z-1) k; z k> (z-1) k + (z-2) k; ...; z k> 2 k + 1 k; z k> 1 k + 1 k

(15)

Ցուցանիշի հետագա աճով n> k անհավասարություններից ոչ մեկը չի փոխում իր իմաստը և չի վերածվում հավասարության։ Այս հիման վրա կարելի է պնդել, որ դրական ամբողջ թվերի ցանկացած կամայականորեն վերցված եռակի (z, x, y) ժամը n> 2 , z> x , զ> յ

Դրական ամբողջ թվերի կամայական եռակի մեջ զ կարող է լինել կամայականորեն մեծ բնական թիվ։ Բոլոր բնական թվերի համար, որոնք մեծ չեն զ , ապացուցված է Ֆերմայի վերջին թեորեմը։

Դ)Անկախ նրանից, թե որքան մեծ է թիվը զ , նրանից առաջ թվերի բնական շարքում կա ամբողջ թվերի մեծ, բայց վերջավոր բազմություն, իսկ դրանից հետո՝ ամբողջ թվերի անվերջ բազմություն։

Եկեք ապացուցենք, որ բնական թվերի ամբողջ անսահման բազմությունը մեծ է զ , ձևավորեք թվերի եռյակներ, որոնք լուծումներ չեն Մեծ Ֆերմատի թեորեմի հավասարման համար, օրինակ՝ դրական ամբողջ թվերի կամայականորեն վերցված եռապատիկ։ (z + 1, x, y) , որտեղ z + 1> x և z + 1> y ցուցանիշի բոլոր արժեքների համար n> 2 Մեծ Ֆերմայի թեորեմի հավասարման լուծում չէ։

Դրական ամբողջ թվերի կամայական եռյակ (z + 1, x, y) կարող է պատկանել թվերի եռյակների ընտանիքին, որոնց յուրաքանչյուր անդամ բաղկացած է հաստատուն թվից z + 1 և երկու թիվ Ն.Ս և ժամը վերցնելով տարբեր արժեքներ ավելի քիչ, քան z + 1 ... Ընտանիքի անդամները կարող են ներկայացվել անհավասարությունների տեսքով, որոնցում հաստատուն ձախ կողմը փոքր է կամ ավելի, քան աջ կողմը: Անհավասարությունները կարող են դասավորվել կարգով որպես անհավասարությունների հաջորդականություն.

Ցուցանիշի հետագա աճով n> k մինչև անսահմանություն, (17) հաջորդականության անհավասարություններից և ոչ մեկը չի փոխում իր իմաստը և վերածվում հավասարության։ Հերթականությամբ (16) անհավասարությունը ձևավորվել է դրական ամբողջ թվերի կամայական եռապատիկից (z + 1, x, y) , ձևով կարող է լինել իր աջ կողմում (z + 1) n> x n + y n կամ լինել նրա ձախ մասում ձևի մեջ (z + 1) n< x n + y n .

Ամեն դեպքում դրական ամբողջ թվերի եռյակը (z + 1, x, y) ժամը n> 2 , z + 1> x , z + 1> y հաջորդականությամբ (16) անհավասարություն է և չի կարող ներկայացնել հավասարություն, այսինքն՝ այն չի կարող ներկայացնել Մեծ Ֆերմատի թեորեմի հավասարման լուծումը:

Հեշտ և պարզ է հասկանալ ուժային անհավասարությունների հաջորդականության ծագումը (16), որտեղ ձախ կողմի վերջին անհավասարությունը և աջ կողմի առաջին անհավասարությունը հակառակ իմաստի անհավասարություններ են։ Ընդհակառակը, դպրոցականների, ավագ դպրոցի աշակերտների և ավագ դպրոցի աշակերտների համար հեշտ և հեշտ չէ հասկանալ, թե ինչպես է գոյանում անհավասարությունների հաջորդականությունը (17) անհավասարությունների հաջորդականությունից (16), որում բոլոր անհավասարություններն ունեն նույն նշանակությունը: .

Հերթականությամբ (16) անհավասարությունների ամբողջ աստիճանի 1 միավորով մեծացումը ձախ կողմի վերջին անհավասարությունը վերածում է աջ կողմի հակառակ իմաստի առաջին անհավասարության։ Այսպիսով, հաջորդականության իններորդ կողմի անհավասարությունների թիվը նվազում է, իսկ աջ կողմի անհավասարությունների թիվը մեծանում է։ Հակառակ նշանակության վերջին և առաջին ուժերի անհավասարությունների միջև անպայմանորեն առկա է ուժերի հավասարություն։ Նրա աստիճանը չի կարող ամբողջ թիվ լինել, քանի որ երկու հաջորդական բնական թվերի միջև կան միայն ոչ ամբողջ թվեր։ Ոչ ամբողջ աստիճանի հզորության հավասարությունը, թեորեմի վարկածով, չի կարող համարվել (1) հավասարման լուծում։

Եթե ​​(16) հաջորդականությամբ շարունակենք աստիճանը մեծացնել 1 միավորով, ապա նրա ձախ կողմի վերջին անհավասարությունը կվերածվի աջ կողմի հակառակ իմաստի առաջին անհավասարության։ Արդյունքում, ձախակողմյան ոչ մի անհավասարություն չի մնում, և մնում են միայն աջ կողմի անհավասարությունները, որոնք ներկայացնում են հզորության աճող անհավասարությունների հաջորդականությունը (17): Նրանց ամբողջ աստիճանի հետագա աճը 1 միավորով միայն ուժեղացնում է նրա ուժային անհավասարությունները և կտրականապես բացառում է ամբողջ աստիճանով հավասարության ի հայտ գալու հնարավորությունը։

Այսպիսով, ընդհանուր առմամբ, ուժային անհավասարությունների հաջորդականության (17) բնական թվի (z + 1) ոչ մի ամբողջ թվային հզորություն չի կարող բաժանվել նույն ցուցիչով երկու ամբողջ հզորության։ Հետևաբար, (1) հավասարումը չունի լուծումներ բնական թվերի անվերջ բազմության վրա, որը պահանջվում էր ապացուցել:

Հետևաբար, Ֆերմայի վերջին թեորեմն ապացուցված է իր ողջ համընդհանուրությամբ.

• Ա բաժնում) բոլոր եռյակների համար (z, x, y) Պյութագորասյան թվեր (Ֆերմատի հայտնագործությունն իսկապես հրաշալի ապացույց է),
• բաժնում B) ցանկացած եռյակի ընտանիքի բոլոր անդամների համար (z, x, y) Պյութագորասյան թվեր,
• Գ բաժնում) բոլոր եռապատիկ թվերի համար (z, x, y) , ոչ մեծ թվեր զ
• Դ բաժնում) թվերի բոլոր եռյակների համար (z, x, y) թվերի բնական շարք.

Փոփոխությունները կատարվել են 09/05/2010թ.

Ինչ թեորեմներ կարող են և չեն կարող ապացուցվել հակասությամբ

Մաթեմատիկական տերմինների բացատրական բառարանում սահմանում է տրվում հակառակ թեորեմի ապացուցմանը, հակադարձ թեորեմի հակառակը։

«Հակասությամբ ապացույցը թեորեմի (առաջարկի) ապացուցման մեթոդ է, որը բաղկացած է ոչ թե թեորեմի, այլ դրա համարժեքի (համարժեքի) թեորեմի հակառակ ապացուցումից: Հակասությամբ ապացույցն օգտագործվում է այն ժամանակ, երբ ուղղակի թեորեմը դժվար է ապացուցել, իսկ հակառակն ավելի հեշտ է ապացուցել։ Հակասությամբ ապացուցելիս թեորեմի եզրակացությունը փոխարինվում է նրա ժխտմամբ, իսկ պատճառաբանությամբ հասնում է պայմանի ժխտմանը, այսինքն. հակասության, հակառակի (տրվածի հակառակը. այս վերացումը աբսուրդի ապացուցում է թեորեմը»:

Հակասությամբ ապացուցելը շատ տարածված է մաթեմատիկայի մեջ։ Հակասության ապացույցը հիմնված է բացառված երրորդի օրենքի վրա, որն այն է, որ երկու պնդումների (հայտարարությունների) A և A (ժխտում A) դրանցից մեկը ճշմարիտ է, իսկ մյուսը՝ սխալ»։/ Մաթեմատիկական տերմինների բացատրական բառարան. ուղեցույց ուսուցիչների համար / Օ. Վ. Մանտուրով [եւ ուրիշներ]; խմբ. V.A. Ditkina.- M .: Կրթություն, 1965.- 539 p .: ill.-C.112 /.

Ավելի լավ չի լինի բացահայտ հայտարարել, որ հակասությամբ ապացուցելու մեթոդը մաթեմատիկական մեթոդ չէ, թեև կիրառվում է մաթեմատիկայի մեջ, որ դա տրամաբանական մեթոդ է և պատկանում է տրամաբանությանը։ Ընդունելի՞ է ասել, որ հակասական ապացույցը «օգտագործվում է այն ժամանակ, երբ ուղղակի թեորեմը դժվար է ապացուցել», իսկ իրականում այն ​​օգտագործվում է, եթե և միայն եթե դրան փոխարինող չկա։

Առանձնահատուկ ուշադրության է արժանի ուղիղ և հակադարձ թեորեմների փոխհարաբերությունների բնութագրումը։ «Տրված թեորեմի (կամ տրված թեորեմի) հակադարձ թեորեմը այն թեորեմն է, որում պայմանը եզրակացությունն է, իսկ եզրակացությունը՝ տվյալ թեորեմի պայմանը։ Այս թեորեմը հակադարձ թեորեմի նկատմամբ կոչվում է ուղիղ թեորեմ (բնօրինակ): Միևնույն ժամանակ, հակադարձ թեորեմին հակառակ թեորեմը կլինի տվյալ թեորեմը. ուստի ուղիղ և հակադարձ թեորեմները կոչվում են փոխադարձ հակադարձ։ Եթե ​​ուղիղ (տրված) թեորեմը ճշմարիտ է, ապա հակառակ թեորեմը միշտ չէ, որ ճշմարիտ է։ Օրինակ, եթե քառանկյունը ռոմբ է, ապա նրա անկյունագծերը փոխադարձաբար ուղղահայաց են (ուղղակի թեորեմ): Եթե ​​քառանկյան անկյունագծերը փոխադարձաբար ուղղահայաց են, ապա քառանկյունը ռոմբ է. սա ճիշտ չէ, այսինքն՝ հակառակ թեորեմը ճիշտ չէ»:/ Մաթեմատիկական տերմինների բացատրական բառարան. ուղեցույց ուսուցիչների համար / Օ. Վ. Մանտուրով [եւ ուրիշներ]; խմբ. V.A. Ditkina.- M .: Կրթություն, 1965.- 539 p .: ill.-C.261 /.

Այս հատկանիշըուղիղ և հակադարձ թեորեմի հարաբերությունը հաշվի չի առնում այն ​​փաստը, որ ուղիղ թեորեմի պայմանը վերցված է որպես տրված, առանց ապացույցի, որպեսզի դրա ճիշտությունը երաշխավորված չէ։ Հակադարձ թեորեմի պայմանը տրված չէ, քանի որ այն ապացուցված ուղիղ թեորեմի եզրակացությունն է։ Դրա ճիշտության մասին է վկայում ուղիղ թեորեմի ապացույցը։ Ուղղակի և հակադարձ թեորեմների պայմանների այս էական տրամաբանական տարբերությունը որոշիչ է դառնում այն ​​հարցում, թե որ թեորեմները կարող են և որոնք չեն կարող ապացուցվել տրամաբանական մեթոդով հակասության միջոցով։

Ենթադրենք, որ մտքում կա ուղիղ թեորեմ, որը կարելի է ապացուցել սովորական մաթեմատիկական մեթոդով, բայց դժվար։ Եկեք այն ձևակերպենք ընդհանուր տեսարան v կարճ ձևԱյսպիսով. -ից Ապետք է Ե ... Խորհրդանիշ Ա առանց ապացույցի ընդունված թեորեմի տվյալ պայմանը կարևոր է։ Խորհրդանիշ Ե թեորեմի եզրակացության իմաստը, որը պահանջվում է ապացուցել.

Ուղղակի թեորեմը մենք կապացուցենք հակասությամբ, տրամաբանականմեթոդ. Օգտագործվում է տրամաբանական մեթոդ՝ ապացուցելու այն թեորեմը, որն ունի ոչ մաթեմատիկականվիճակ, և տրամաբանականվիճակ. Այն կարելի է ձեռք բերել, եթե թեորեմի մաթեմատիկական պայմանը -ից Ապետք է Ե , լրացնել հակառակ պայմանով -ից Ադա չի հետևում Ե .

Արդյունքում ստացանք նոր թեորեմի տրամաբանական հակասական պայման, որը պարունակում է երկու մաս. -ից Ապետք է Ե և -ից Ադա չի հետևում Ե ... Նոր թեորեմի ստացված պայմանը համապատասխանում է բացառված միջինի տրամաբանական օրենքին և համապատասխանում է թեորեմի ապացուցմանը հակասական մեթոդով։

Ըստ օրենքի՝ հակասական պայմանի մի մասը կեղծ է, մյուս մասը՝ ճիշտ, երրորդը՝ բացառված։ Հակասության միջոցով ապացուցումն իր խնդիրն ունի և նպատակ ունի պարզելու թեորեմի պայմանի երկու մասերից կոնկրետ որ մասն է կեղծ։ Հենց պայմանի կեղծ մասը որոշվի, կպարզվի, որ մյուս մասը ճշմարիտ է, իսկ երրորդը բացառվում է։

Համաձայն բացատրական բառարանմաթեմատիկական տերմիններ, «Ապացույցը պատճառաբանությունն է, որի ընթացքում հաստատվում է ցանկացած պնդման (դատողություն, պնդում, թեորեմ) ճշմարտացիությունը կամ կեղծը»։... Ապացույց հակասությամբկա պատճառաբանություն, որի ընթացքում հաստատվում է կեղծիք(անհեթեթություն) եզրակացության բխող կեղծապացուցվող թեորեմի պայմանները.

Տրված է. -ից Ապետք է Եև սկսած Ադա չի հետևում Ե .

Ապացուցել. -ից Ապետք է Ե .

ԱպացույցԹեորեմի տրամաբանական պայմանը պարունակում է հակասություն, որը պետք է լուծվի: Պայմանի հակասությունը պետք է իր լուծումը գտնի ապացույցի և դրա արդյունքի մեջ։ Արդյունքը կեղծ է ստացվում՝ անթերի և անսխալ պատճառաբանությամբ։ Տրամաբանորեն ճիշտ պատճառաբանությամբ կեղծ եզրակացության պատճառ կարող է լինել միայն հակասական պայման. -ից Ապետք է Ե և -ից Ադա չի հետևում Ե .

Կասկած չկա, որ պայմանի մի մասը կեղծ է, իսկ մյուսը՝ այս դեպքում։ Պայմանի երկու մասերն էլ ունեն նույն ծագումը, ընդունվում են որպես տվյալ, ենթադրվում է, հավասարապես հնարավոր է, հավասարապես թույլատրելի և այլն։ Տրամաբանական պատճառաբանության ընթացքում չի հայտնաբերվել որևէ տրամաբանական հատկանիշ, որը կտարբերեր պայմանի մի մասը մյուսից։ . Հետեւաբար, նույն չափով դա կարող է լինել -ից Ապետք է Ե և գուցե -ից Ադա չի հետևում Ե ... Հայտարարություն -ից Ապետք է Ե Միգուցե կեղծ, ապա հայտարարությունը -ից Ադա չի հետևում Ե ճշմարիտ կլինի: Հայտարարություն -ից Ադա չի հետևում Ե կարող է կեղծ լինել, ապա հայտարարությունը -ից Ապետք է Ե ճշմարիտ կլինի:

Հետևաբար, ուղղակի թեորեմն անհնար է ապացուցել հակասությամբ։

Այժմ մենք կապացուցենք նույն ուղիղ թեորեմը սովորական մաթեմատիկական մեթոդով։

Տրված է. Ա .

Ապացուցել. -ից Ապետք է Ե .

Ապացույց.

1. Սկսած Ապետք է Բ

2. Սկսած Բպետք է Վ (նախկինում ապացուցված թեորեմով)):

3. Սկսած Վպետք է Գ (նախկինում ապացուցված թեորեմով):

4. Սկսած Գպետք է Դ (նախկինում ապացուցված թեորեմով):

5. Սկսած Դպետք է Ե (նախկինում ապացուցված թեորեմով):

Հիմնվելով անցումային օրենքի վրա՝ -ից Ապետք է Ե ... Ուղղակի թեորեմն ապացուցվում է սովորական մեթոդով.

Թող ապացուցված ուղիղ թեորեմն ունենա ճիշտ հակառակ թեորեմը. -ից Եպետք է Ա .

Եկեք դա ապացուցենք սովորականով մաթեմատիկականմեթոդ. Հակադարձ թեորեմի ապացույցը կարող է խորհրդանշական արտահայտվել մաթեմատիկական գործողությունների ալգորիթմի տեսքով։

Տրված է. Ե

Ապացուցել. -ից Եպետք է Ա .

Ապացույց.

1. Սկսած Եպետք է Դ

2. Սկսած Դպետք է Գ (նախկինում ապացուցված հակադարձ թեորեմով):

3. Սկսած Գպետք է Վ (նախկինում ապացուցված հակադարձ թեորեմով):

4. Սկսած Վդա չի հետևում Բ (հակադարձ թեորեմը ճիշտ չէ): Ահա թե ինչու -ից Բդա չի հետևում Ա .

Այս իրավիճակում անիմաստ է շարունակել հակառակ թեորեմի մաթեմատիկական ապացույցը։ Իրավիճակի պատճառը տրամաբանական է. Անհնար է փոխարինել սխալ հակադարձ թեորեմը որևէ բանով։ Հետևաբար, այս հակադարձ թեորեմը չի կարող ապացուցվել սովորական մաթեմատիկական մեթոդով։ Ամբողջ հույսն այս հակադարձ թեորեմի հակասության մեթոդով ապացուցման վրա է։

Հակասական մեթոդով ապացուցելու համար պահանջվում է դրա մաթեմատիկական պայմանը փոխարինել տրամաբանական հակասական պայմանով, որն իր իմաստով պարունակում է երկու մաս՝ կեղծ և ճշմարիտ։

Հակադարձ թեորեմընշում է. -ից Եդա չի հետևում Ա ... Նրա վիճակը Ե , որից բխում է եզրակացությունը Ա , ուղղակի թեորեմի սովորական մաթեմատիկական մեթոդով ապացուցման արդյունք է։ Այս պայմանը պետք է պահպանվի և լրացվի հայտարարությամբ -ից Եպետք է Ա ... Հավելման արդյունքում ստացվում է նոր հակադարձ թեորեմի հակասական պայման. -ից Եպետք է Ա և -ից Եդա չի հետևում Ա ... Սրա հիման վրա տրամաբանորենհակասական պայման, հակառակ թեորեմը կարելի է ապացուցել ճիշտի միջոցով տրամաբանականպատճառաբանելով միայն և միայն, տրամաբանականհակասության մեթոդով։ Հակասությամբ ապացուցելու դեպքում ցանկացած մաթեմատիկական գործողություն և գործողություն ստորադասվում է տրամաբանական գործողություններին և, հետևաբար, չեն հաշվվում:

Հակասական հայտարարության առաջին մասում -ից Եպետք է Ա վիճակ Ե ապացուցվել է ուղիղ թեորեմի ապացույցով։ Երկրորդ մասում -ից Եդա չի հետևում Ա վիճակ Ե ենթադրվել և ընդունվել է առանց ապացույցների։ Դրանցից մի քանիսը մեկը սուտ է, մյուսը՝ ճշմարիտ։ Պահանջվում է ապացուցել, թե դրանցից որն է կեղծ։

Մենք ապացուցում ենք ճիշտի միջոցով տրամաբանականպատճառաբանելով և գտնել, որ դրա արդյունքը կեղծ, անհեթեթ եզրակացություն է: Կեղծ տրամաբանական եզրակացության պատճառը թեորեմի հակասական տրամաբանական պայմանն է, որը պարունակում է երկու մաս՝ կեղծ և ճշմարիտ։ Միայն հայտարարությունը կարող է կեղծ մաս լինել -ից Եդա չի հետևում Ա , որի մեջ Ե ընդունվել է առանց ապացույցների։ Սրանով է այն տարբերվում Ե հաստատում -ից Եպետք է Ա , որն ապացուցվում է ուղիղ թեորեմի ապացույցով։

Հետևաբար, հետևյալ հայտարարությունը ճշմարիտ է. -ից Եպետք է Ա , ինչպես պահանջվում է ապացուցելու համար:

ԱրդյունքՀակասության միջոցով տրամաբանական մեթոդով ապացուցվում է միայն հակառակ թեորեմը, որն ունի մաթեմատիկական մեթոդով ապացուցված ուղիղ թեորեմ և որը չի կարող ապացուցվել մաթեմատիկական մեթոդով։

Ստացված եզրակացությունը բացառիկ նշանակություն է ձեռք բերում Մեծ Ֆերմայի թեորեմի հակասությամբ ապացուցման մեթոդի առնչությամբ։ Այն ապացուցելու փորձերի ճնշող մեծամասնությունը հիմնված է ոչ թե սովորական մաթեմատիկական մեթոդի, այլ հակասության միջոցով ապացուցելու տրամաբանական մեթոդի վրա։ Ուայլսի Մեծ Ֆերմատի թեորեմի ապացույցը բացառություն չէ։

Դմիտրի Աբրովն իր «Ֆերմատի թեորեմ. Ուայլսի ապացույցների ֆենոմենը» հոդվածում հրապարակել է Ուայլսի Մեծ Ֆերմատի թեորեմի ապացուցման մեկնաբանություն։ Ըստ Աբրովի, Ուայլսն ապացուցում է Մեծ Ֆերմատի թեորեմը գերմանացի մաթեմատիկոս Գերհարդ Ֆրեյի (ծն. 1944 թ.) ուշագրավ գտածոյի օգնությամբ, որը կապում է Ֆերմատի հավասարման հնարավոր լուծումը։ x n + y n = z n , որտեղ n> 2 , մեկ այլ, նրանից բոլորովին տարբերվող հավասարման հետ։ Այս նոր հավասարումը տրված է հատուկ կորով (կոչվում է Ֆրեյի էլիպսային կոր): Ֆրեյի կորը տրված է շատ պարզ ձևի հավասարմամբ.
.

«Այսինքն, Ֆրեյը համապատասխանում էր բոլոր լուծումներին (ա, բ, գ)Ֆերմատի հավասարումը, այսինքն՝ հարաբերությունը բավարարող թվեր a n + b n = c nկորի վերևում: Այս դեպքում այստեղից կհետևեր մեծ Ֆերմայի թեորեմը։(Մեջբերում՝ Աբրով Դ. «Ֆերմատի թեորեմ. Ուայլսի ապացույցների ֆենոմենը»)

Այլ կերպ ասած, Գերհարդ Ֆրեյն առաջարկել է մեծ Ֆերմայի թեորեմի հավասարումը x n + y n = z n , որտեղ n> 2 , ունի լուծումներ դրական ամբողջ թվերով։ Այս լուծումները, ըստ Ֆրեյի ենթադրության, նրա հավասարման լուծումներն են
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0 , որը տրվում է իր էլիպսաձեւ կորով։

Էնդրյու Ուայլսն ընդունեց Ֆրեյի այս ուշագրավ գտածոն և նրա օգնությամբ մաթեմատիկականմեթոդն ապացուցեց, որ այս գտածոն, այսինքն՝ Ֆրեյի էլիպսային կորը, գոյություն չունի։ Հետևաբար, չկա հավասարում և դրա լուծումները, որոնք տրված են գոյություն չունեցող էլիպսային կորով, հետևաբար Ուայլսը պետք է ընդուներ այն եզրակացությունը, որ Մեծ Ֆերմատի թեորեմի և Ֆերմայի թեորեմի հավասարումը գոյություն չունի։ Այնուամենայնիվ, նա ավելի համեստ եզրակացություն արեց, որ Մեծ Ֆերմայի թեորեմի հավասարումը դրական ամբողջ թվերով լուծումներ չունի։

Հնարավոր է, որ անհերքելի փաստ է, որ Ուայլսն ընդունել է մի ենթադրություն, որն իր իմաստով ճիշտ հակառակն է Ֆերմայի Վերջին թեորեմում ասվածին: Այն պարտավորեցնում է Ուայլսին ապացուցել Ֆերմայի վերջին թեորեմը հակասությամբ։ Մենք կհետևենք նրա օրինակին և կտեսնենք, թե ինչ է ստացվում այս օրինակից:

Ֆերմայի վերջին թեորեմը նշում է, որ հավասարումը x n + y n = z n , որտեղ n> 2 , դրական ամբողջ թվերով լուծումներ չունի։

Համաձայն հակասությամբ ապացուցելու տրամաբանական մեթոդի՝ այս պնդումը պահպանվում է, ընդունվում է որպես տրված առանց ապացույցի, այնուհետև լրացվում է իմաստով հակառակ պնդումով՝ հավասարում։ x n + y n = z n , որտեղ n> 2 , ունի լուծումներ դրական ամբողջ թվերով։

Ենթադրյալ հայտարարությունը նույնպես ընդունվում է որպես տրված՝ առանց ապացույցի։ Երկու պնդումներն էլ՝ դիտարկված տրամաբանության հիմնական օրենքների տեսանկյունից, հավասարապես վավերական են, հավասար և հավասարապես հնարավոր։ Ճիշտ պատճառաբանության միջոցով անհրաժեշտ է պարզել, թե դրանցից որն է սխալ, որպեսզի հետո հաստատվի, որ մյուս պնդումը ճիշտ է։

Ճիշտ պատճառաբանությունն ավարտվում է կեղծ, անհեթեթ եզրակացությամբ, որի տրամաբանական պատճառ կարող է լինել միայն ապացուցվող թեորեմի հակասական պայմանը, որը պարունակում է հակառակ իմաստի երկու մաս։ Դրանք անհեթեթ եզրակացության տրամաբանական պատճառն էին, հակասության միջոցով ապացուցման արդյունքը։

Սակայն տրամաբանորեն ճիշտ պատճառաբանության ընթացքում չգտնվեց ոչ մի նշան, որով հնարավոր կլիներ պարզել, թե կոնկրետ որ հայտարարությունն է կեղծ։ Դա կարող է լինել հայտարարությունը. հավասարումը x n + y n = z n , որտեղ n> 2 , ունի լուծումներ դրական ամբողջ թվերով։ Նույն հիմքի վրա դա կարող է լինել պնդումը՝ հավասարումը x n + y n = z n , որտեղ n> 2 , դրական ամբողջ թվերով լուծումներ չունի։

Պատճառաբանության արդյունքում կարող է լինել միայն մեկ եզրակացություն. Ֆերմայի վերջին թեորեմը չի կարող ապացուցվել հակասությամբ.

Բոլորովին այլ բան կլիներ, եթե Ֆերմայի վերջին թեորեմը լիներ հակադարձ թեորեմ, որն ունի սովորական մաթեմատիկական մեթոդով ապացուցված ուղղակի թեորեմ: Այս դեպքում դա կարելի էր ապացուցել հակասությամբ։ Եվ քանի որ դա ուղիղ թեորեմ է, դրա ապացույցը պետք է հիմնված լինի ոչ թե հակասությամբ ապացուցելու տրամաբանական մեթոդի, այլ սովորական մաթեմատիկական մեթոդի վրա։

Ըստ Դ.Աբրովի, ժամանակակից ռուս մաթեմատիկոսներից ամենահայտնի ակադեմիկոս Վ.Ի.Առնոլդը «ակտիվ թերահավատորեն» արձագանքեց Ուայլսի ապացույցին։ Ակադեմիկոսն ասաց. «Սա իրական մաթեմատիկա չէ, իրական մաթեմատիկան երկրաչափական է և ուժեղ՝ կապված ֆիզիկայի հետ» (մեջբերում՝ Աբրով Դ. «Ֆերմատի թեորեմ. Ուայլսի ապացույցների ֆենոմենը»: Ակադեմիկոսի հայտարարությունը արտահայտում է Ուայլսի էությունը. Մեծ Ֆերմատի թեորեմի ոչ մաթեմատիկական ապացույց:

Հակասությամբ անհնար է ապացուցել ոչ այն, որ Մեծ Ֆերմատի թեորեմի հավասարումը լուծումներ չունի, ոչ էլ այն ունի լուծումներ։ Ուայլսի սխալը ոչ թե մաթեմատիկական է, այլ տրամաբանական՝ ապացույցի օգտագործումը հակասության միջոցով, որտեղ դրա օգտագործումը իմաստ չունի և չի ապացուցում Մեծ Ֆերմայի թեորեմը:

Ֆերմայի վերջին թեորեմը չի ապացուցվում սովորականի միջոցով մաթեմատիկական մեթոդ, եթե տրված է՝ հավասարումը x n + y n = z n , որտեղ n> 2 , դրական ամբողջ թվերում լուծումներ չունի, և եթե դրա մեջ պահանջվում է ապացուցել՝ հավասարումը x n + y n = z n , որտեղ n> 2 , դրական ամբողջ թվերով լուծումներ չունի։ Այս ձևի մեջ կա ոչ թե թեորեմ, այլ իմաստից զուրկ տավտոլոգիա։

Նշում. BTF-ի իմ ապացույցը քննարկվել է ֆորումներից մեկում: Տրոտիլի ներդրողներից մեկը, թվերի տեսության փորձագետը, արել է հետևյալ հեղինակավոր հայտարարությունը, որը վերնագրված է. «Միրկորոդսկու արածի համառոտ պատմում»: Բառացի մեջբերում եմ.

« Ա. Նա ապացուցեց, որ եթե z 2 = x 2 + y , ապա z n> x n + y n ... Սա հայտնի և միանգամայն ակնհայտ փաստ է։

Վ. Նա վերցրեց երկու եռյակ՝ պյութագորասական և ոչ պյութագորասական և պարզ որոնմամբ ցույց տվեց, որ եռյակների կոնկրետ, հատուկ ընտանիքի համար (78 և 210 հատ) BTF-ը կատարվում է (և միայն իր համար):

ՀԵՏ. Եվ հետո հեղինակը բաց է թողնում այն ​​փաստը, որ ից < հետագա աստիճանում կարող է լինել = , ոչ միայն > ... Պարզ հակաօրինակ՝ անցում n = 1 v n = 2 Պյութագորասյան եռյակում։

Դ. Այս կետը ոչ մի էական բան չի ավելացնում BTF-ի ապացույցին: Եզրակացություն. BTF-ն ապացուցված չէ»:

Ես կետ առ կետ կդիտարկեմ նրա եզրակացությունը։

Ա.Այն ապացուցեց BTF-ը Պյութագորասի թվերի ամբողջ անսահման եռյակների համար: Ապացուցված է երկրաչափական մեթոդով, որը, ինչպես կարծում եմ, ոչ թե ես եմ հայտնաբերել, այլ նորից եմ հայտնաբերել։ Եվ դա, ինչպես կարծում եմ, հայտնաբերել է հենց ինքը՝ Պ.Ֆերմատը։ Հենց սա էր, որ Ֆերմատը կարող էր նկատի ունենալ, երբ գրում էր.

«Ես դրա իսկապես հրաշալի ապացույց եմ հայտնաբերել, բայց այս դաշտերը նրա համար չափազանց նեղ են»։ Այս իմ ենթադրությունը հիմնված է այն փաստի վրա, որ Դիոֆանտոսի խնդիրում, որի դեմ գրքի լուսանցքում գրել է Ֆերմատը, մենք խոսում ենք Դիոֆանտինյան հավասարման լուծումների մասին, որոնք պյութագորասյան թվերի եռապատիկ են։

Պյութագորասի թվերի եռյակների անսահման բազմությունը դիոֆատիկ հավասարման լուծումներ են, իսկ Ֆերմայի թեորեմում, ընդհակառակը, լուծումներից ոչ մեկը չի կարող լինել Ֆերմայի թեորեմի հավասարման լուծում։ Եվ Ֆերմայի իսկապես հրաշք ապացույցը ուղղակիորեն կապված է այս փաստի հետ։ Հետագայում Ֆերմատը կարողացավ իր թեորեմը տարածել բոլոր բնական թվերի բազմության վրա։ Բոլոր բնական թվերի բազմության վրա BTF-ը չի պատկանում «բացառիկ գեղեցիկ թեորեմների բազմությանը»։ Սա իմ ենթադրությունն է, որն անհնար է ապացուցել կամ հերքել։ Դա կարելի է և՛ ընդունել, և՛ մերժել։

Վ.Այս պահին ես ապացուցում եմ, որ և՛ Պյութագորասի կամայականորեն վերցված թվերի ընտանիքը, և՛ BTF թվերի կամայականորեն վերցված ոչ Պյութագորասյան եռյակի ընտանիքը բավարարված է: Սա անհրաժեշտ, բայց անբավարար և միջանկյալ հղում է BTF-ի իմ ապացույցում: . Պյութագորասյան թվերի եռակի ընտանիքի և ոչ պյութագորասական թվերի եռակի ընտանիքի օրինակները ունեն կոնկրետ օրինակների նշանակություն, որոնք ենթադրում են և չեն բացառում նմանատիպ այլ օրինակների առկայությունը։

Տրոտիլի այն պնդումը, որ ես «պարզ որոնումով ցույց տվեցի, որ եռյակների կոնկրետ, որոշակի ընտանիքի համար (78 և 210 հատ) BTF-ը կատարված է (և միայն դրա համար) անհիմն է։ Նա չի կարող հերքել այն փաստը, որ ես կարող եմ նույնքան լավ վերցնել պյութագորասյան և ոչ պյութագորաս եռյակների այլ օրինակներ՝ մեկ և մյուս եռյակներից բաղկացած կոնկրետ ընտանիք ստանալու համար:

Որ զույգ եռյակ էլ վերցնեմ, խնդիրը լուծելու համար դրանց համապատասխանությունը, իմ կարծիքով, կարելի է ստուգել միայն «պարզ թվարկում» մեթոդով։ Որևէ այլ մեթոդ ինձ հայտնի չէ և պարտադիր չէ։ Եթե ​​Տրոտիլին դուր չի գալիս, ուրեմն պետք է այլ մեթոդ առաջարկեր, ինչը չի սիրում։ Առանց փոխարեն որևէ բան առաջարկելու՝ դատապարտել «պարզ բիրտ ուժը», որն այս դեպքում անփոխարինելի է, ճիշտ չէ։

ՀԵՏ.Ես բաց թողեցի = միջեւ< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1), որում աստիճան n> 2 — ամբողջդրական թիվ. Անհավասարությունների միջև հավասարությունից հետևում է պարտադիր(1) հավասարման դիտարկում ոչ ամբողջական աստիճանով n> 2 ... Տրոտիլը հաշվում է պարտադիրանհավասարությունների միջև հավասարության դիտարկումը իրականում հաշվի է առնում անհրաժեշտ BTF-ի ապացույցում, հաշվի առնելով հավասարումը (1) համար թերիաստիճանի իմաստը n> 2 ... Ես դա արեցի ինձ համար և գտա այդ հավասարումը (1): թերիաստիճանի իմաստը n> 2 ունի երեք թվի լուծում. z, (z-1), (z-1) ոչ ամբողջ թվային ցուցիչով:

Նախորդ հոդվածը. Հնարավո՞ր է դա անել առանց դիետաների: Հաջորդ հոդվածը. Պեստո սոուս. տնական բաղադրատոմսեր