Այս հոդվածը. «Երկրորդ ուշագրավ սահմանը» նվիրված է տեսակների անորոշությունների բացահայտմանը.

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ և $ ^\infty $:

Նաև նման անորոշությունները կարելի է բացահայտել՝ օգտագործելով էքսպոնենցիալ ուժային ֆունկցիայի լոգարիթմը, սակայն սա լուծման ևս մեկ մեթոդ է, որը կքննարկվի մեկ այլ հոդվածում։

Բանաձև և հետևանքներ

Բանաձևերկրորդ ուշագրավ սահմանաչափը գրված է հետևյալ կերպ. $

Բանաձևից հետևեք հետեւանքները, որոնք շատ հարմար են սահմաններով օրինակներ լուծելու համար՝ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( where ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \մինչև 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

Պետք է նշել, որ երկրորդ ուշագրավ սահմանը միշտ չէ, որ կարող է կիրառվել էքսպոնենցիալ հզորության ֆունկցիայի նկատմամբ, այլ միայն այն դեպքերում, երբ բազան հակված է միասնության։ Դա անելու համար նախ մտքում հաշվարկեք հիմքի սահմանը, իսկ հետո եզրակացություններ արեք։ Այս ամենը կքննարկվի օրինակների լուծումներում:

Լուծման օրինակներ

Դիտարկենք լուծումների օրինակներ՝ օգտագործելով ուղղակի բանաձևը և դրա հետևանքները: Մենք նաև կվերլուծենք այն դեպքերը, երբ բանաձևը պետք չէ։ Բավական է գրել միայն պատրաստի պատասխանը։

Օրինակ 1

Գտեք սահմանը $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $

Լուծում

Անսահմանությունը փոխարինելով սահմանով և դիտելով անորոշությունը՝ $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg( \frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Գտեք հիմքի սահմանը՝ $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac( 4)( x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ Մենք ստացել ենք մեկին հավասար հիմք, ինչը նշանակում է, որ դուք արդեն կարող եք կիրառել երկրորդ հրաշալի սահմանը։ Դա անելու համար մենք ֆունկցիայի հիմքը կհամապատասխանենք բանաձևին՝ հանելով և ավելացնելով մեկը. $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ մեծ(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ Մենք նայում ենք երկրորդ հետևանքին և գրում պատասխանը. $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Եթե ​​դուք չեք կարող լուծել ձեր խնդիրը, ապա ուղարկեք այն մեզ: Մենք մանրամասն լուծում կտանք։ Դուք կկարողանաք ծանոթանալ հաշվարկի ընթացքին և տեղեկություններ հավաքել: Սա կօգնի ձեզ ժամանակին ուսուցչից վարկ ստանալ:

Պատասխանել

$$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$

Օրինակ 4

Լուծեք սահմանաչափ $ \lim_(x\ to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $

Լուծում

Մենք գտնում ենք բազայի սահմանը և տեսնում ենք, որ $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, այնպես որ կարող ենք կիրառել երկրորդ հրաշալի սահմանը։ Որպես ստանդարտ, ըստ պլանի, աստիճանի հիմքից մենք ավելացնում և հանում ենք մեկը. $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Կոտորակը ճշգրտում ենք 2-րդ նոտայի բանաձևով։ սահման: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Այժմ կարգավորեք աստիճանը: Ցուցանիշը պետք է պարունակի $ \frac(3x^2-2)(6) $ հիմքի հայտարարին հավասար կոտորակ։ Դա անելու համար բազմապատկեք և բաժանեք աստիճանը դրա վրա և շարունակեք լուծել. $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ $ e $-ի հզորության սահմանաչափը հետևյալն է. $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $: Այսպիսով, շարունակելով լուծումը, մենք ունենք.

Պատասխանել

$$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$

Եկեք վերլուծենք այն դեպքերը, երբ խնդիրը նման է երկրորդ ուշագրավ սահմանին, բայց լուծվում է առանց դրա։

«Երկրորդ ուշագրավ սահմանը. լուծումների օրինակներ» հոդվածում վերլուծվել է բանաձևը, տրվել դրա հետևանքները և այս թեմայի շուրջ առաջացած խնդիրների հաճախակի տեսակները։

Սովորաբար երկրորդ ուշագրավ սահմանը գրվում է հետևյալ ձևով.

\սկիզբ(հավասարում) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e\վերջ (հավասարում)

Հավասարության (1) աջ կողմում նշված $e$ թիվը իռացիոնալ է։ Այս թվի մոտավոր արժեքն է՝ $e\ approx(2(,)718281828459045)$։ Եթե ​​մենք կատարենք $t=\frac(1)(x)$ փոխարինումը, ապա բանաձևը (1) կարող է վերաշարադրվել հետևյալ ձևով.

\սկիզբ(հավասարում) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\վերջ (հավասարում)

Ինչ վերաբերում է առաջին ուշագրավ սահմանին, ապա կարևոր չէ, թե որ արտահայտությունն է օգտագործվելու $x$ փոփոխականի փոխարեն (1) բանաձևում կամ $t$ փոփոխականի փոխարեն (2): Հիմնական բանը երկու պայմանի կատարումն է.

1. Աստիճանի հիմքը (այսինքն՝ (1) և (2) բանաձևերի փակագծերում արտահայտությունը) պետք է ձգվի մեկին.
2. Ցուցանիշը (այսինքն՝ $x$ բանաձևում (1) կամ $\frac(1)(t)$ (2) բանաձևում) պետք է ձգվի դեպի անսահմանություն։

Ասում են, որ երկրորդ ուշագրավ սահմանը բացահայտում է $1^\infty$-ի անորոշությունը։ Նկատի ունեցեք, որ (1) բանաձեւում մենք չենք նշում, թե ինչ անսահմանության ($+\infty$ կամ $-\infty$) մասին է խոսքը։ Այս դեպքերից որևէ մեկում (1) բանաձևը ճշմարիտ է: Բանաձևում (2) $t$ փոփոխականը կարող է զրոյի ձգվել ինչպես ձախից, այնպես էլ աջից:

Նշում եմ, որ կան նաև երկրորդ ուշագրավ սահմանի մի քանի օգտակար հետևանքներ. Երկրորդ ուշագրավ սահմանաչափի օգտագործման օրինակները, ինչպես նաև դրա հետևանքները շատ տարածված են ստանդարտ ստանդարտ հաշվարկների և թեստերի կազմողների մոտ:

Օրինակ #1

Հաշվե՛ք $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$ սահմանաչափը:

Մենք անմիջապես նշում ենք, որ աստիճանի հիմքը (այսինքն $\frac(3x+1)(3x-5)$) ձգտում է մեկին.

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\left|\frac(\infty)(\infty)\աջ| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = մեկ. $$

Այս դեպքում ցուցիչը ($4x+7$ արտահայտություն) ձգտում է դեպի անսահմանություն, այսինքն. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$:

Աստիճանի հիմքը հակված է մեկին, ցուցիչը՝ դեպի անսահմանություն, այսինքն. մենք գործ ունենք $1^\infty$-ի անորոշության հետ։ Եկեք կիրառենք այս անորոշությունը բացահայտելու բանաձևը. $1+\frac(1)(x)$ արտահայտությունը գտնվում է բանաձևի աստիճանի հիմքում, իսկ մեր օրինակում աստիճանի հիմքը հետևյալն է՝ $\frac(3x+1)(3x-5): ) $. Հետևաբար, առաջին քայլը $\frac(3x+1)(3x-5)$ արտահայտությունը պաշտոնապես կարգավորելն է $1+\frac(1)(x)$-ի։ Սկսենք գումարելով և հանելով մեկը.

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\աջ)^(4x+7) $$

Պետք է նշել, որ անհնար է պարզապես միավոր ավելացնել: Եթե ​​մեզ ստիպում են միավոր գումարել, ապա այն նույնպես պետք է հանել, որպեսզի չփոխվի ամբողջ արտահայտության արժեքը։ Լուծումը շարունակելու համար մենք հաշվի ենք առնում, որ

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3x+5)(3x-5)=\frac(6)(3x-5): $$

Քանի որ $\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$, ապա.

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ ձախ (1+\frac(6)(3x-5)\աջ)^(4x+7) $$

Շարունակենք ճշգրտումը։ Բանաձևի $1+\frac(1)(x)$ արտահայտության մեջ կոտորակի համարիչը 1 է, իսկ մեր $1+\frac(6)(3x-5)$ համարիչը $6$ է։ Համարիչում $1$ ստանալու համար թողեք $6$ հայտարարի մեջ՝ օգտագործելով հետևյալ փոխակերպումը.

$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

Այս կերպ,

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\աջ)^(4x+7) $$

Այսպիսով, աստիճանի հիմքը, այսինքն. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$, հարմարեցված բանաձևում պահանջվող $1+\frac(1)(x)$-ի համար: Հիմա եկեք սկսենք աշխատել ցուցիչի հետ: Նկատի ունեցեք, որ բանաձևում ցուցիչների և հայտարարի արտահայտությունները նույնն են.

Սա նշանակում է, որ մեր օրինակում ցուցանիշը և հայտարարը պետք է բերվեն նույն ձևի։ Ցուցանիշում $\frac(3x-5)(6)$ արտահայտությունը ստանալու համար ուղղակի չափանիշը բազմապատկեք այս կոտորակի վրա: Բնականաբար, նման բազմապատկումը փոխհատուցելու համար դուք ստիպված կլինեք անմիջապես բազմապատկել փոխադարձով, այսինքն. մինչև $\frac(6)(3x-5)$: Այսպիսով, մենք ունենք.

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\աջ)^(4x+7) =\lim_(x\to\ infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5) )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\աջ)^(\ frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$

Առանձին-առանձին դիտարկեք $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$ կոտորակի սահմանը, որը գտնվում է հզորության մեջ.

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\left|\frac(\infty)(\infty)\աջ| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\left(4+\frac(7)(x)\աջ))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ frac(4)(3)=8. $$

Պատասխանել$\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x)))=e^(-\frac(2) (9)) $.

Օրինակ #4

Գտեք $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$ սահմանաչափը:

Քանի որ $x>0$-ի համար մենք ունենք $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$, ապա.

$$ \lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\ ձախ (\frac(x+1)(x)\աջ)\աջ) $$

Ընդարձակելով $\frac(x+1)(x)$ կոտորակը $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$ կոտորակների գումարի մեջ՝ ստանում ենք.

$$ \lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\ձախ (x\cdot\ln\left(1+\frac(1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(\ln\left(\frac(x+1) (x)\right)^x\right) =\ln(e) =1. $$

Պատասխանել$\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)=1$:

Օրինակ #5

Գտեք $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$ սահմանաչափը:

Քանի որ $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ և $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$, ապա գործ ունենք $1^\infty$ ձևի անորոշության հետ։ Մանրամասն բացատրությունները տրված են թիվ 2 օրինակում, սակայն այստեղ մենք սահմանափակվում ենք հակիրճ լուծումով։ Կատարելով $t=x-2$ փոխարինումը, ստանում ենք.

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\ձախ|\սկիզբ (հավասարեցված)&t=x-2 ;\;x=t+2\\&t\to(0)\end(հավասարեցված)\աջ| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\աջ)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. $$

Այս օրինակը կարող եք լուծել այլ կերպ՝ օգտագործելով փոխարինումը. $t=\frac(1)(x-2)$: Իհարկե, պատասխանը կլինի նույնը.

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\ձախ|\սկիզբ (հավասարեցված)&t=\frac( 1)(x-2);\;x=\frac(2t+1)(t)\\&t\to\infty\end(հավասարեցված)\աջ| =\lim_(t\to\infty)\left(1+\frac(3)(t)\right)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\right)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\աջ)^(\frac(t)(3))\right)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$

Պատասխանել$\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$:

Օրինակ #6

Գտեք $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $ սահմանաչափը:

Եկեք պարզենք, թե ինչի է ձգտում $\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ արտահայտությունը $x\to\infty$ պայմանով:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\left|\frac(\infty)(\infty)\աջ| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2 -0)=1. $$

Այսպիսով, տրված սահմանում մենք գործ ունենք $1^\infty$ ձևի անորոշության հետ, որը կբացահայտենք՝ օգտագործելով երկրորդ ուշագրավ սահմանը.

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\right)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac (2x^2-4)(7))\աջ)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4) )(7))\աջ)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7))\աջ)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$

Պատասխանել$\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\աջ)^(3x)=1$:

Սահմանների լուծման մեթոդներ. Անորոշություններ.
Ֆունկցիայի աճի կարգը. Փոխարինման մեթոդ

Օրինակ 4

Գտեք սահմանը

Սա ավելի պարզ օրինակ է ինքնուրույն լուծման համար: Առաջարկվող օրինակում կրկին անորոշություն (արմատից ավելի բարձր աճի կարգի):

Եթե ​​«x»-ը հակված է «մինուս անսահմանությանը»

Այս հոդվածում երկար ժամանակ սավառնում է «մինուս անսահմանության» ուրվականը։ Դիտարկենք սահմանները բազմանդամներով, որոնցում . Լուծման սկզբունքներն ու մեթոդները կլինեն ճիշտ նույնը, ինչ դասի առաջին մասում, բացառությամբ մի շարք նրբերանգների։

Դիտարկենք 4 չիպս, որոնք կպահանջվեն գործնական առաջադրանքներ լուծելու համար.

1) Հաշվել սահմանը

Սահմանաչափի արժեքը կախված է միայն տերմինից, քանի որ այն ունի աճի ամենաբարձր կարգը: Եթե, ապա անսահման մեծ մոդուլ բացասական թիվՀԱՆԳՍՏԻ աստիճանի, այս դեպքում՝ չորրորդում, հավասար է «գումարած անսահմանության»՝ . Constant («երկու») դրական, Ահա թե ինչու:

2) Հաշվել սահմանը

Ահա նորից ավագ դիպլոմը նույնիսկ, Ահա թե ինչու: . Բայց առջևում կա «մինուս» ( բացասականհաստատուն –1), հետևաբար.

3) Հաշվել սահմանը

Սահմանաչափի արժեքը կախված է միայն . Ինչպես հիշում եք դպրոցից, «մինուսը» «դուրս է գալիս» կենտ աստիճանի տակից, ուրեմն անսահման մեծ մոդուլբացասական թիվ մինչև տարօրինակ ուժհավասար է «մինուս անսահմանություն», այս դեպքում՝ .
Constant («չորս») դրական, նշանակում է.

4) Հաշվել սահմանը

Գյուղի առաջին տղան էլի ունի տարօրինակաստիճան, ընդ որում՝ ծոցում բացասականհաստատուն, ինչը նշանակում է.
.

Օրինակ 5

Գտեք սահմանը

Օգտագործելով վերը նշված կետերը, մենք եզրակացնում ենք, որ այստեղ կա անորոշություն: Համարիչն ու հայտարարը աճի նույն կարգի են, ինչը նշանակում է, որ սահմանում վերջավոր թիվ է ստացվելու։ Պատասխանը սովորում ենք՝ դեն նետելով բոլոր տապակները.

Լուծումը չնչին է.

Օրինակ 6

Գտեք սահմանը

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։

Եվ հիմա, թերևս դեպքերից ամենանուրբը.

Օրինակ 7

Գտեք սահմանը

Հաշվի առնելով ավագ ժամկետները՝ գալիս ենք այն եզրակացության, որ այստեղ անորոշություն կա։ Համարիչը աճի ավելի բարձր կարգի է, քան հայտարարը, ուստի անմիջապես կարող ենք ասել, որ սահմանը անսահմանություն է։ Բայց ի՞նչ անսահմանություն՝ «գումարած», թե՞ «մինուս»։ Ընդունումը նույնն է՝ համարիչով և հայտարարով մենք կազատվենք մանրուքներից.

Մենք որոշում ենք.

Բաժանի՛ր համարիչն ու հայտարարը

Օրինակ 15

Գտեք սահմանը

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Դասի վերջում ավարտելու մոտավոր նմուշ.

Փոփոխական փոխարինման թեմայի վերաբերյալ ևս մի քանի հետաքրքիր օրինակ.

Օրինակ 16

Գտեք սահմանը

Մեկը սահմանաչափի մեջ փոխարինելը հանգեցնում է անորոշության: Փոփոխականի փոխարինումն արդեն իսկ հուշում է, բայց նախ փոխակերպում ենք շոշափողը՝ օգտագործելով բանաձևը. Իսկապես, ինչի՞ն է մեզ անհրաժեշտ շոշափողը:

Նկատի ունեցեք, որ հետևաբար. Եթե ​​դա ամբողջովին պարզ չէ, նայեք սինուսային արժեքներին. եռանկյունաչափական աղյուսակ. Այսպիսով, մենք անմիջապես ազատվում ենք գործոնից, բացի այդ, ստանում ենք առավել ծանոթ անորոշությունը՝ 0:0։ Լավ կլիներ, որ մեր սահմանը նույնպես միտվեր զրոյի։

Փոխարինենք.

Եթե, ապա

Կոսինուսի տակ ունենք «x», որը նույնպես պետք է արտահայտվի «te»-ի միջոցով։
Փոխարինումից մենք արտահայտում ենք.

Մենք լրացնում ենք լուծումը.

(1) Կատարում է փոխարինում

(2) Ընդարձակեք կոսինուսի տակ գտնվող փակագծերը:

(4) կազմակերպել առաջին հրաշալի սահմանը, արհեստականորեն բազմապատկեք համարիչը և ի փոխադարձը:

Անկախ լուծման առաջադրանք.

Օրինակ 17

Գտեք սահմանը

Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։

Սրանք պարզ առաջադրանքներ էին իրենց դասարանում, գործնականում ամեն ինչ ավելի վատ է, և, ի լրումն նվազեցման բանաձևեր, պետք է օգտագործել տարբեր եռանկյունաչափական բանաձևեր, ինչպես նաև այլ հնարքներ։ Համալիր սահմաններ հոդվածում ես վերլուծեցի մի քանի իրական օրինակ =)

Տոնի նախօրեին մենք վերջնականապես կպարզենք իրավիճակը ևս մեկ ընդհանուր անորոշությամբ.

Անորոշության վերացում «մեկը դեպի անսահմանության ուժը»

Այս անորոշությունը «մատուցվում է» երկրորդ հրաշալի սահմանը, և այդ դասի երկրորդ մասում մենք մանրամասնորեն նայեցինք լուծումների ստանդարտ օրինակներին, որոնք պրակտիկայում հայտնաբերվում են շատ դեպքերում: Այժմ ցուցադրողների հետ նկարը կավարտվի, բացի այդ, դասի վերջնական առաջադրանքները կնվիրվեն այն սահմաններին՝ «հնարքներին», որոնցում թվում է, թե անհրաժեշտ է կիրառել 2-րդ հրաշալի սահմանը, թեև դա ամենևին էլ այն չէ. գործ.

2-րդ ուշագրավ սահմանի երկու աշխատանքային բանաձեւերի թերությունն այն է, որ փաստարկը պետք է ձգտի դեպի «գումարած անսահմանություն» կամ զրոյի։ Բայց ի՞նչ, եթե փաստարկը հակված է այլ թվի:

Օգնության է գալիս համընդհանուր բանաձեւը (որն իրականում երկրորդ ուշագրավ սահմանի հետեւանք է).

Անորոշությունը կարող է վերացվել բանաձևով.

Ինչ-որ տեղ, ինչպես արդեն բացատրվել է, թե ինչ են նշանակում քառակուսի փակագծեր. Ոչ մի առանձնահատուկ բան, փակագծերը պարզապես փակագծեր են: Սովորաբար դրանք օգտագործվում են մաթեմատիկական նշումը հստակ ընդգծելու համար:

Եկեք առանձնացնենք բանաձևի էական կետերը.

1) Խոսքը վերաբերում է միայն անորոշության մասին և ոչ մի այլ.

2) «x» փաստարկը կարող է հակված լինել կամայական արժեք(և ոչ միայն զրոյի կամ ), մասնավորապես՝ «մինուս անսահմանության» կամ դեպի որևէ մեկինվերջնական համարը.

Օգտագործելով այս բանաձևը, կարող եք լուծել դասի բոլոր օրինակները Ուշագրավ սահմաններ, որոնք պատկանում են 2-րդ հրաշալի սահմանին։ Օրինակ, եկեք հաշվարկենք սահմանը.

Այս դեպքում , և ըստ բանաձևի :

Ճիշտ է, ես ձեզ խորհուրդ չեմ տալիս դա անել, ավանդույթի համաձայն, դուք դեռ օգտագործում եք լուծման «սովորական» դիզայնը, եթե այն հնարավոր է կիրառել: Այնուամենայնիվ օգտագործելով բանաձեւը շատ հարմար է ստուգել«դասական» օրինակներ մինչև 2-րդ հրաշալի սահման.

Տիպի և ձևի անորոշությունը ամենատարածված անորոշություններն են, որոնք պետք է լուծվեն սահմանները լուծելիս:

Սահմանների վերաբերյալ առաջադրանքների մեծ մասը, որոնք հանդիպում են ուսանողներին, պարզապես կրում են նման անորոշություններ: Դրանք բացահայտելու կամ ավելի ճիշտ՝ երկիմաստություններից խուսափելու համար գոյություն ունեն մի քանի արհեստական ​​մեթոդներ՝ սահմանային նշանի տակ արտահայտության ձևը փոխակերպելու համար։ Այս տեխնիկան հետևյալն է. համարիչի և հայտարարի բաժանում տերմին առ անդամ փոփոխականի ամենաբարձր հզորությամբ, բազմապատկում կոնյուգացիոն արտահայտությամբ և գործակցում հետագա կրճատման համար՝ լուծումների միջոցով։ քառակուսի հավասարումներև կրճատված բազմապատկման բանաձևերը:

Տեսակների անորոշություն

Օրինակ 1

nհավասար է 2-ի։ Հետևաբար, համարիչն ու հայտարարը բաժանում ենք անդամի վրա.

.

Մեկնաբանություն արտահայտության աջ կողմում. Սլաքները և թվերը ցույց են տալիս, թե ինչի են հակված կոտորակները փոխարինումից հետո nանսահմանության արժեքներ. Այստեղ, ինչպես օրինակ 2-ում, աստիճանը nհայտարարում ավելի շատ կա, քան համարիչում, ինչի արդյունքում ամբողջ կոտորակը հակված է անվերջին. փոքր չափսկամ «սուպեր փոքր»:

Մենք ստանում ենք պատասխանը՝ այս ֆունկցիայի սահմանը դեպի անսահմանություն հակված փոփոխականով է.

Օրինակ 2 .

Լուծում. Այստեղ փոփոխականի ամենաբարձր հզորությունը xհավասար է 1-ի։ Հետևաբար, համարիչն ու հայտարարը անդամով բաժանում ենք x:

.

Լուծման ընթացքի մեկնաբանություն. Համարիչում «X»-ը քշում ենք երրորդ աստիճանի արմատի տակ, և որպեսզի դրա սկզբնական աստիճանը (1) մնա անփոփոխ, նրան վերագրում ենք նույն աստիճանը, ինչ արմատը, այսինքն՝ 3։ Չկան սլաքներ և լրացուցիչ։ Այս մուտքի թվերը, այնպես որ մտովի փորձեք, բայց նախորդ օրինակի համեմատությամբ որոշեք, թե ինչի են հակված համարիչի և հայտարարի արտահայտությունները անսահմանությունը «x»-ով փոխարինելուց հետո:

Ստացանք պատասխանը՝ այս ֆունկցիայի սահմանը դեպի անսահմանություն հակված փոփոխականով հավասար է զրոյի։

Տեսակների անորոշություն

Օրինակ 3Բացահայտեք անորոշությունը և գտեք սահմանը:

Լուծում. Համարիչը խորանարդների տարբերությունն է։ Եկեք այն տարանջատենք գործոնների` օգտագործելով դասընթացի կրճատված բազմապատկման բանաձևը դպրոցական մաթեմատիկա:

Հայտարարը քառակուսի եռանկյուն է, որը մենք գործոնացնում ենք՝ լուծելով քառակուսի հավասարումը (կրկին հղում քառակուսի հավասարումների լուծմանը).

Գրենք փոխակերպումների արդյունքում ստացված արտահայտությունը և գտնենք ֆունկցիայի սահմանը.

Օրինակ 4Բացահայտեք անորոշությունը և գտեք սահմանը

Լուծում. Քաղորդի սահմանային թեորեմն այստեղ չի կիրառվում, քանի որ

Հետևաբար, մենք կոտորակը փոխակերպում ենք նույն ձևով. համարիչն ու հայտարարը բազմապատկելով երկանդամ խոնարհվածով հայտարարին և կրճատելով x+1. Համաձայն 1-ին թեորեմի հետևության՝ ստանում ենք արտահայտություն, որը լուծելով` գտնում ենք ցանկալի սահմանը.

Օրինակ 5Բացահայտեք անորոշությունը և գտեք սահմանը

Լուծում. Ուղղակի արժեքի փոխարինում x= 0-ը տվյալ ֆունկցիայի մեջ հանգեցնում է 0/0 ձևի անորոշության: Այն բացահայտելու համար մենք կատարում ենք նույնական փոխակերպումներ և արդյունքում ստանում ենք ցանկալի սահմանը.

Օրինակ 6Հաշվիր

Լուծում:օգտագործել սահմանային թեորեմները

Պատասխան. 11

Օրինակ 7Հաշվիր

Լուծում:Այս օրինակում համարիչի և հայտարարի սահմանները 0 են.

; . Մենք ստացել ենք, հետևաբար, քանորդի սահմանային թեորեմը չի կարող կիրառվել:

Մենք գործոնացնում ենք համարիչն ու հայտարարը, որպեսզի կոտորակը կրճատենք զրոյի ձգվող ընդհանուր գործակցով և, հետևաբար, հնարավոր դարձնենք կիրառել 3-րդ թեորեմը։

Մենք ընդլայնում ենք քառակուսի եռանկյունը համարիչում բանաձևով, որտեղ x 1 և x 2 եռանդամի արմատներն են։ Գործոնավորում և հայտարար, կոտորակը փոքրացրու (x-2-ով), այնուհետև կիրառիր 3-րդ թեորեմը:

Պատասխան.

Օրինակ 8Հաշվիր

Լուծում:Երբ համարիչն ու հայտարարը հակված են դեպի անսահմանություն, հետևաբար, ուղղակիորեն կիրառելով 3-րդ թեորեմը, մենք ստանում ենք արտահայտությունը, որը ներկայացնում է անորոշությունը: Այս տեսակի անորոշությունից ազատվելու համար համարիչն ու հայտարարը բաժանեք փաստարկի ամենաբարձր հզորության վրա: Այս օրինակում դուք պետք է բաժանեք X:

Պատասխան.

Օրինակ 9Հաշվիր

Լուծում: x 3:

Պատասխան. 2

Օրինակ 10Հաշվիր

Լուծում:Համարիչն ու հայտարարը հակված են դեպի անսահմանություն։ Մենք համարիչն ու հայտարարը բաժանում ենք փաստարկի ամենաբարձր հզորությամբ, այսինքն. x 5:

=

Կոտորակի համարիչը հակված է 1-ի, հայտարարը՝ 0-ի, ուստի կոտորակը ձգտում է դեպի անվերջություն։

Պատասխան.

Օրինակ 11.Հաշվիր

Լուծում:Համարիչն ու հայտարարը հակված են դեպի անսահմանություն։ Մենք համարիչն ու հայտարարը բաժանում ենք փաստարկի ամենաբարձր հզորությամբ, այսինքն. x 7:

Պատասխան. 0

Ածանցյալ.

y = f(x) ֆունկցիայի ածանցյալը x փաստարկի նկատմամբնրա y աճի հարաբերակցության սահմանը x արգումենտի x հավելման հարաբերակցության սահմանը կոչվում է, երբ փաստարկի աճը ձգտում է զրոյի. Եթե ​​այս սահմանը վերջավոր է, ապա ֆունկցիան y = f(x) x կետում կոչվում է դիֆերենցիալ: Եթե ​​այս սահմանը գոյություն ունի, ապա մենք ասում ենք, որ ֆունկցիան y = f(x) x-ում ունի անվերջ ածանցյալ:

Հիմնական տարրական ֆունկցիաների ածանցյալներ.

1. (const)=0 9.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

Տարբերակման կանոններ.

ա)

մեջ)

Օրինակ 1Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Լուծում:Եթե ​​երկրորդ անդամի ածանցյալը գտնում ենք կոտորակի տարբերակման կանոնով, ապա առաջին անդամը բարդ ֆունկցիա է, որի ածանցյալը գտնում ենք բանաձևով.

, որտեղ , ապա

Լուծելիս օգտագործվել են հետևյալ բանաձևերը՝ 1,2,10, a, c, d.

Պատասխան.

Օրինակ 21.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Լուծում:երկու տերմիններն էլ բարդ ֆունկցիաներ են, որտեղ առաջինի համար , , իսկ երկրորդի համար , , ապա

Պատասխան.

Ածանցյալ հավելվածներ.

1. Արագություն և արագացում

Թող s(t) ֆունկցիան նկարագրի դիրքօբյեկտ որոշ կոորդինատային համակարգում t ժամանակում: Այդ դեպքում s(t) ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը ակնթարթային է արագությունօբյեկտ:
v=s′=f′(t)
s(t) ֆունկցիայի երկրորդ ածանցյալը ակնթարթայինն է արագացումօբյեկտ:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. Շոշափող հավասարում
y−y0=f′(x0)(x−x0),
որտեղ (x0,y0) հպման կետի կոորդինատներն են, f′(x0)՝ հպման կետում f(x) ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքն է:

3. Նորմալ հավասարում
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),

որտեղ (x0,y0) այն կետի կոորդինատներն են, որտեղ գծված է նորմալը, f′(x0)՝ f(x) ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքն է տվյալ կետում։

4. Աճող և նվազող ֆունկցիա
Եթե ​​f′(x0)>0, ապա ֆունկցիան մեծանում է x0 կետում: Ստորև բերված նկարում ֆունկցիան աճում է x-ում x2.
Եթե ​​f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1Եթե ​​f′(x0)=0 կամ ածանցյալը գոյություն չունի, ապա այս հատկանիշը թույլ չի տալիս որոշել x0 կետում ֆունկցիայի միապաղաղության բնույթը։

5. Ֆունկցիայի տեղական ծայրահեղություն
f(x) ֆունկցիան ունի տեղական առավելագույնը x1 կետում, եթե գոյություն ունի x1 կետի այնպիսի հարևանություն, որ այս հարևանության բոլոր x-երի համար պահպանվի f(x1)≥f(x) անհավասարությունը:
Նմանապես, f(x) ֆունկցիան ունի տեղական նվազագույնը x2 կետում, եթե գոյություն ունի x2 կետի այնպիսի հարևանություն, որ այս հարևանության բոլոր x-երի համար պահպանվի f(x2)≤f(x) անհավասարությունը:

6. Կրիտիկական կետեր
x0 կետն է կրիտիկական կետ f(x) ֆունկցիան, եթե դրա մեջ f′(x0) ածանցյալը հավասար է զրոյի կամ գոյություն չունի։

7. Էքստրեմի գոյության առաջին բավարար նշանը
Եթե ​​f(x) ֆունկցիան մեծանում է (f′(x)>0) բոլոր x-ի համար ինչ-որ միջակայքում (a,x1]) և նվազում (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) բոլոր x-ի համար ընդմիջումից )

Նախորդ հոդվածը. Կենդանակերպի նշանների կատարյալ համատեղելիությունը բարեկամության մեջ Հաջորդ հոդվածը. Նիկոլայի անվան օրը (Նիկոլաս հրեշտակի օր) ըստ ուղղափառ օրացույցի