Vector de inducción de campo eléctrico. Flujo de vectores e y d. Flujo del vector de inducción eléctrica Teorema de Gauss para el vector de inducción de campo eléctrico

La ley de interacción de cargas eléctricas, la ley de Coulomb, se puede formular de manera diferente, en la forma del llamado teorema de Gauss. El teorema de Gauss se obtiene como consecuencia de la ley de Coulomb y el principio de superposición. La demostración se basa en la proporcionalidad inversa de la fuerza de interacción de dos cargas puntuales al cuadrado de la distancia entre ellas. Por lo tanto, el teorema de Gauss es aplicable a cualquier campo físico donde la ley del cuadrado inverso y el principio de superposición se aplican, por ejemplo, a un campo gravitacional.

Arroz. 9. Líneas de intensidad de campo eléctrico de una carga puntual que cruzan la superficie cerrada X

Para formular el teorema de Gauss, volvamos a la imagen de las líneas de fuerza del campo eléctrico de una carga puntual estacionaria. Las líneas de fuerza de una carga puntual solitaria son líneas rectas radiales dispuestas simétricamente (Fig. 7). Se puede trazar cualquier número de tales líneas. Designemos su número total a través de Entonces la densidad de líneas de fuerza a una distancia de la carga, es decir, el número de líneas que cruzan la superficie unitaria de una esfera de radio es igual Comparando esta relación con la expresión para la intensidad de campo de un carga puntual (4), vemos que la densidad de las líneas es proporcional a la intensidad del campo. Podemos igualar numéricamente estos valores eligiendo apropiadamente el número total de líneas de fuerza N:

Por lo tanto, la superficie de una esfera de cualquier radio que encierra una carga puntual interseca el mismo número de líneas de fuerza. Esto significa que las líneas de fuerza son continuas: en el intervalo entre dos esferas concéntricas cualesquiera de radios diferentes, ninguna de las líneas se corta y no se agregan nuevas. Dado que las líneas de fuerza son continuas, el mismo número de líneas de fuerza se cruzan con cualquier superficie cerrada (Fig.9), cubriendo la carga

Las líneas de fuerza tienen dirección. En el caso de una carga positiva, salen de la superficie cerrada que rodea la carga, como se muestra en la Fig. 9. En el caso de una carga negativa, entran al interior de la superficie. Si el número de líneas salientes se considera positivo y el número de líneas entrantes es negativo, entonces en la fórmula (8) podemos omitir el signo del módulo de carga y escribirlo en la forma

Corriente de tensión. Introduzcamos ahora el concepto de flujo del vector de intensidad de campo a través de la superficie. Un campo arbitrario se puede dividir mentalmente en áreas pequeñas, en las que la intensidad cambia tan poco en magnitud y dirección que dentro de esta área el campo puede considerarse uniforme. En cada una de esas áreas, las líneas de fuerza son líneas rectas paralelas y tienen una densidad constante.

Arroz. 10. Para determinar el flujo del vector de intensidad de campo a través del sitio

Consideremos cuántas líneas de fuerza penetran en un área pequeña, la dirección de la normal a la que forma un ángulo a con la dirección de las líneas de tensión (Fig. 10). Sea una proyección sobre un plano perpendicular a las líneas de fuerza. Dado que el número de líneas que cruzan el mismo y la densidad de línea, de acuerdo con la condición aceptada, es igual al módulo de la intensidad de campo E, entonces

La cantidad a es la proyección del vector E en la dirección de la normal al sitio

Por lo tanto, el número de líneas de fuerza que cruzan el sitio es igual a

El producto se llama flujo de la intensidad de campo a través de la superficie La fórmula (10) muestra que el flujo del vector E a través de la superficie igual al número las líneas de fuerza que cruzan esta superficie. Tenga en cuenta que el flujo del vector de intensidad, como el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie, es un escalar.

Arroz. 11. El flujo del vector de intensidad E a través del sitio

La dependencia del flujo de la orientación del área con respecto a las líneas de fuerza se ilustra en la Fig.

El flujo de intensidad de campo a través de una superficie arbitraria es la suma de los flujos a través de las áreas elementales en las que se puede dividir esta superficie. En virtud de las relaciones (9) y (10), se puede argumentar que el flujo de la intensidad de campo de una carga puntual a través de cualquier superficie cerrada 2 que encierra la carga (ver Fig.9), como el número de líneas de fuerza que emergen de esta superficie es igual En este caso, el vector normal a las áreas elementales la superficie cerrada debe dirigirse hacia afuera. Si la carga dentro de la superficie es negativa, entonces las líneas de fuerza entran en el interior de esta superficie y el flujo del vector de intensidad de campo asociado con la carga también es negativo.

Si hay varias cargas dentro de una superficie cerrada, entonces, de acuerdo con el principio de superposición, las corrientes de sus intensidades de campo se sumarán. El flujo total será igual a donde debe entenderse como la suma algebraica de todas las cargas dentro de la superficie.

Si no hay cargas eléctricas dentro de una superficie cerrada o su suma algebraica es cero, entonces el flujo total de intensidad de campo a través de esta superficie es cero: cuántas líneas de fuerza entran en el volumen delimitado por la superficie, la misma cantidad sale.

Ahora podemos finalmente formular el teorema de Gauss: el flujo del vector de intensidad del campo eléctrico E en el vacío a través de cualquier superficie cerrada es proporcional a la carga total dentro de esta superficie. Matemáticamente, el teorema de Gauss se expresa mediante la misma fórmula (9), donde se entiende la suma algebraica de cargas. En electrostático absoluto

el sistema de unidades CGSE, el coeficiente y el teorema de Gauss se escriben en la forma

En SI y el flujo de tensión a través de una superficie cerrada se expresa mediante la fórmula

El teorema de Gauss se usa ampliamente en electrostática. En algunos casos, con su ayuda, es fácil calcular los campos creados por cargas ubicadas simétricamente.

Campos fuente equilibrados. Apliquemos el teorema de Gauss para calcular la intensidad del campo eléctrico de una esfera con un radio uniformemente cargado sobre la superficie. Para mayor precisión, consideraremos que su carga es positiva. La distribución de cargas que crean el campo tiene simetría esférica. Por tanto, el campo también posee la misma simetría. Las líneas de fuerza de dicho campo se dirigen a lo largo de los radios y el módulo de intensidad es el mismo en todos los puntos equidistantes del centro de la pelota.

Para encontrar la intensidad de campo a una distancia del centro de la bola, dibujamos mentalmente una superficie esférica de radio concéntrico con la bola, ya que en todos los puntos de esta esfera la intensidad de campo se dirige perpendicular a su superficie y es la misma. en magnitud, el flujo de intensidad es simplemente igual al producto de la intensidad del campo por el área de la superficie de la esfera:

Pero esta cantidad también se puede expresar mediante el teorema de Gauss. Si estamos interesados ​​en el campo fuera de la pelota, es decir, entonces, por ejemplo, en SI y, comparando con (13), encontramos

En el sistema de unidades CGSE, obviamente,

Por lo tanto, fuera de la pelota, la intensidad de campo es la misma que la del campo de una carga puntual colocada en el centro de la pelota. Si estamos interesados ​​en el campo dentro de la pelota, es decir, cuándo, entonces, dado que toda la carga distribuida sobre la superficie de la pelota está fuera de la esfera, dibujamos mentalmente. Por lo tanto, no hay campo dentro de la pelota:

De manera similar, utilizando el teorema de Gauss, puede calcular el campo electrostático creado por una carga infinita

plano con una densidad constante en todos los puntos del plano. Por razones de simetría, podemos suponer que las líneas de fuerza son perpendiculares al plano, se dirigen desde él en ambas direcciones y tienen la misma densidad en todas partes. De hecho, si la densidad de las líneas de fuerza en diferentes puntos fuera diferente, entonces el movimiento del plano cargado a lo largo de sí mismo conduciría a un cambio en el campo en estos puntos, lo que contradice la simetría del sistema; tal cambio no debería cambiar el campo. En otras palabras, el campo de un plano infinito de carga uniforme es uniforme.

Como superficie cerrada para la aplicación del teorema de Gauss, elegimos la superficie de un cilindro construido de la siguiente manera: la generatriz del cilindro es paralela a las líneas de fuerza, y las bases tienen áreas paralelas al plano cargado y se encuentran en el lado opuesto. lados de la misma (Fig. 12). El flujo de intensidad de campo a través de la superficie lateral es cero, por lo tanto, el flujo total a través de la superficie cerrada es igual a la suma del flujo a través de la base del cilindro:

Arroz. 12. Al cálculo de la intensidad de campo de un plano con carga uniforme

Según el teorema de Gauss, el mismo flujo está determinado por la carga de la parte del plano que se encuentra dentro del cilindro, y en SI es igual. Al comparar estas expresiones para el flujo, encontramos

En el sistema CGSE, la intensidad de campo de un plano infinito con carga uniforme viene dada por la fórmula

Para una placa cargada uniformemente de dimensiones finitas, las expresiones obtenidas son aproximadamente válidas en una región ubicada suficientemente lejos de los bordes de la placa y no demasiado lejos de su superficie. Cerca de los bordes de la placa, el campo ya no será uniforme y sus líneas de fuerza están dobladas. A distancias muy grandes en comparación con las dimensiones de la placa, el campo disminuye con la distancia de la misma manera que el campo de una carga puntual.

Como otros ejemplos de campos creados por fuentes distribuidas simétricamente, se puede citar el campo de un filamento rectilíneo infinito cargado uniformemente a lo largo de la longitud, el campo de un cilindro circular infinito cargado uniformemente, el campo de una bola,

uniformemente cargado sobre el volumen, etc. El teorema de Gauss permite calcular fácilmente la intensidad de campo en todos estos casos.

El teorema de Gauss da una conexión entre el campo y sus fuentes, en cierto sentido, lo opuesto al que da la ley de Coulomb, que le permite determinar el campo eléctrico para cargas dadas. Usando el teorema de Gauss, es posible determinar la carga total en cualquier región del espacio en la que se conoce la distribución del campo eléctrico.

¿Cuál es la diferencia entre los conceptos de largo alcance y corto alcance al describir la interacción de cargas eléctricas? ¿Hasta qué punto se pueden aplicar estos conceptos a la interacción gravitacional?

¿Qué es la intensidad del campo eléctrico? ¿Qué quieren decir cuando lo llaman la característica de fuerza de un campo eléctrico?

¿Cómo se puede juzgar la dirección y el módulo de la intensidad de campo en un punto determinado a partir del patrón de las líneas de campo?

¿Pueden cruzarse las líneas de fuerza de un campo eléctrico? Justifica tu respuesta.

Dibuje una imagen cualitativa de las líneas de fuerza del campo electrostático de dos cargas tales que.

El flujo de la intensidad del campo eléctrico a través de una superficie cerrada se expresa mediante diferentes fórmulas (11) y (12) en los sistemas de unidades del GSE y en el SI. Cómo reconciliar esto con significado geométrico flujo determinado por el número de líneas de fuerza que cruzan la superficie?

¿Cómo usar el teorema de Gauss para encontrar la fuerza del campo eléctrico con una distribución simétrica de las cargas que lo crean?

¿Cómo aplicar las fórmulas (14) y (15) al cálculo de la intensidad de campo de una esfera con carga negativa?

Teorema de Gauss y geometría del espacio físico. Veamos la demostración del teorema de Gauss desde un punto de vista ligeramente diferente. Volvamos a la fórmula (7), de la cual se concluyó que el mismo número de líneas de fuerza atraviesan cualquier superficie esférica que rodee la carga. Esta conclusión se debe a que hay una reducción en los denominadores de ambos lados de la igualdad.

En el lado derecho surgió debido a que la fuerza de interacción de las cargas, descrita por la ley de Coulomb, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre las cargas. A la izquierda, la apariencia está asociada con la geometría: el área de la superficie de una esfera es proporcional al cuadrado de su radio.

La proporcionalidad del área de la superficie a un cuadrado de dimensiones lineales es un sello distintivo de la geometría euclidiana en el espacio tridimensional. De hecho, la proporcionalidad de áreas precisamente a cuadrados de dimensiones lineales, y no a ningún otro grado entero, es característica del espacio.

tres dimensiones. El hecho de que este exponente sea exactamente dos, y no difiera de dos, ni siquiera en una cantidad insignificante, atestigua la no curvatura de este espacio tridimensional, es decir, el hecho de que su geometría es precisamente euclidiana.

Por tanto, el teorema de Gauss es una manifestación de las propiedades del espacio físico en la ley fundamental de interacción de las cargas eléctricas.

La idea de una estrecha conexión entre las leyes fundamentales de la física y las propiedades del espacio fue expresada por muchos mentes sobresalientes mucho antes del establecimiento de estas leyes. Entonces, I. Kant, tres décadas antes del descubrimiento de la ley de Coulomb, escribió sobre las propiedades del espacio: "La tridimensionalidad ocurre, aparentemente, porque las sustancias en el mundo existente actúan unas sobre otras de tal manera que la fuerza de acción es inversamente proporcional a la otra. proporcional al cuadrado de la distancia ".

La ley de Coulomb y el teorema de Gauss representan en realidad la misma ley de la naturaleza, expresada en diferentes formas... La ley de Coulomb refleja el concepto de acción de largo alcance, mientras que el teorema de Gauss procede del concepto de campo de fuerza que llena el espacio, es decir, del concepto de acción de corto alcance. En electrostática, la fuente del campo de fuerza es una carga, y la característica del campo asociado con la fuente, el flujo de intensidad, no puede cambiar en el espacio vacío, donde no hay otras cargas. Dado que el flujo se puede visualizar como un conjunto de líneas de campo de fuerza, la invariabilidad del flujo se manifiesta en la continuidad de estas líneas.

El teorema de Gauss, basado en la proporcionalidad inversa de la interacción al cuadrado de la distancia y en el principio de superposición (aditividad de la interacción), es aplicable a cualquier campo físico en el que opere la ley del inverso del cuadrado. En particular, también es válido para el campo gravitacional. Está claro que esto no es solo una coincidencia accidental, sino un reflejo del hecho de que tanto las interacciones eléctricas como las gravitacionales se están desarrollando en el espacio físico euclidiano tridimensional.

¿En qué característica de la ley de interacción de las cargas eléctricas se basa el teorema de Gauss?

Demuestre, con base en el teorema de Gauss, que la intensidad del campo eléctrico de una carga puntual es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. ¿Qué propiedades de simetría del espacio se utilizan en esta demostración?

¿Cómo se refleja la geometría del espacio físico en la ley de Coulomb y el teorema de Gauss? ¿Qué característica de estas leyes da testimonio de la naturaleza euclidiana de la geometría y la tridimensionalidad del espacio físico?

Introduzcamos el concepto de flujo del vector de inducción eléctrica. Considere un área infinitamente pequeña. En la mayoría de los casos, es necesario conocer no solo el tamaño del sitio, sino también su orientación en el espacio. Introduzcamos el concepto de plataforma vectorial. Acordemos por un vector-área para significar un vector dirigido perpendicular al área y numéricamente igual al tamaño del área.

Figura 1 - A la definición del vector - sitio

Llamemos al flujo vectorial en todo el sitio
producto escalar de vectores y
... Por lo tanto,

Flujo de vectores a través de una superficie arbitraria se encuentra integrando todas las corrientes elementales

(4)

Si el campo es de superficie uniforme y plana ubicado perpendicular al campo, entonces:

. (5)

La expresión anterior determina el número de líneas de fuerza que penetran en el sitio. por unidad de tiempo.

Teorema de Ostrogradsky-Gauss. Divergencia de la intensidad del campo eléctrico

El flujo del vector de inducción eléctrica a través de una superficie cerrada arbitraria es igual a la suma algebraica de cargas eléctricas libres cubierto por esta superficie

(6)

La expresión (6) es Teorema O-G en forma integral. El teorema 0-D opera con un efecto integral (total), es decir si
no se sabe si esto significa la ausencia de cargas en todos los puntos de la parte investigada del espacio, o si la suma de las cargas positivas y negativas ubicadas en diferentes puntos de este espacio es igual a cero.

Para encontrar las cargas ubicadas y su magnitud para un campo dado, necesita una relación que conecte el vector de inducción eléctrica en un punto dado con una carga en el mismo punto.

Suponga que necesitamos determinar la presencia de carga en el punto a(Figura 2)

Figura 2 - Para el cálculo de la divergencia vectorial

Aplicamos el teorema O-G. El flujo del vector de inducción eléctrica a través de una superficie arbitraria que delimita el volumen en el que se encuentra el punto. a, es igual a

La suma algebraica de cargas en el volumen se puede escribir en forma de integral de volumen

(7)

dónde - cargo por unidad de volumen ;

- elemento de volumen.

Para obtener una conexión entre el campo y la carga en el punto a Disminuiremos el volumen, tirando de la superficie al punto a... En este caso, dividimos ambos lados de nuestra igualdad por el valor ... Pasando al límite, obtenemos:

.

El lado derecho de la expresión resultante es, por definición, la densidad de carga volumétrica en el punto considerado en el espacio. El lado izquierdo representa el límite de la relación entre el flujo del vector de inducción eléctrica a través de una superficie cerrada y el volumen limitado por esta superficie cuando el volumen tiende a cero. Esta cantidad escalar es una característica importante del campo eléctrico y se llama vector de divergencia .

Por lo tanto:

,

por eso

, (8)

dónde - densidad de carga aparente.

Usando esta relación, el problema inverso de la electrostática se resuelve simplemente, es decir, encontrar cargas distribuidas en un campo conocido.

Si el vector se da, entonces se conocen sus proyecciones
,
,
sobre los ejes de coordenadas en función de las coordenadas y para calcular la densidad distribuida de cargas que crearon un campo dado, resulta suficiente encontrar la suma de tres derivadas parciales de estas proyecciones con respecto a las variables correspondientes. En aquellos puntos para los que
sin cargos. En puntos donde
es positivo, hay una carga positiva con una densidad aparente igual a
, y en aquellos puntos donde
tendrá un valor negativo, hay una carga negativa, cuya densidad también está determinada por el valor de divergencia.

La expresión (8) representa el teorema 0-Г en forma diferencial. De esta forma, el teorema muestra que las fuentes del campo eléctrico son cargas eléctricas gratuitas; las líneas de fuerza del vector de inducción eléctrica comienzan y terminan con cargas positivas y negativas, respectivamente.

La principal tarea aplicada de la electrostática es el cálculo de los campos eléctricos generados en varios dispositivos y aparatos. En general, este problema se resuelve mediante la ley de Coulomb y el principio de superposición. Sin embargo, esta tarea se vuelve muy complicada cuando se considera una gran cantidad de cargas puntuales o distribuidas espacialmente. Incluso mayores dificultades surgen cuando existen dieléctricos o conductores en el espacio, cuando, bajo la acción de un campo externo E 0, se produce una redistribución de cargas microscópicas, creando su propio campo adicional E. Por tanto, para la solución práctica de estos problemas, auxiliares Los métodos y técnicas se utilizan utilizando un complejo aparato matemático. Consideraremos el método más simple basado en la aplicación del teorema de Ostrogradsky-Gauss. Para formular este teorema, presentamos varios conceptos nuevos:

A) densidad de carga

Si el cuerpo cargado es grande, entonces necesita conocer la distribución de cargas dentro del cuerpo.

Densidad de carga a granel- medido por la carga por unidad de volumen:

Densidad de carga superficial- medido por la carga por unidad de superficie del cuerpo (cuando la carga se distribuye sobre la superficie):

Densidad de carga lineal(distribución de carga a lo largo del conductor):

B) vector de inducción electrostática

Por el vector de inducción electrostática. (vector de desplazamiento eléctrico) es una cantidad vectorial que caracteriza al campo eléctrico.

Vector es igual al producto del vector sobre la constante dieléctrica absoluta del medio en un punto dado:

Comprobemos la dimensión D en unidades SI:

ya que
,

entonces las dimensiones D y E no coinciden y sus valores numéricos también son diferentes.

De la definición se deduce que para el campo vectorial se aplica el mismo principio de superposición que para el campo :

Campo está representado gráficamente por líneas de inducción, al igual que el campo ... Las líneas de inducción se trazan de modo que la tangente en cada punto coincida con la dirección , y el número de líneas es igual al valor numérico de D en la ubicación dada.

Para comprender el significado de la introducción Veamos un ejemplo.

v) vector de flujo inducción electrostática

Considere la superficie S en un campo eléctrico y elija la dirección de la normal

1. Si el campo es uniforme, entonces el número de líneas de fuerza a través de la superficie S:

2. Si el campo no es homogéneo, entonces la superficie se divide en elementos infinitesimales dS, que se consideran planos y el campo alrededor de ellos es uniforme. Por lo tanto, el flujo a través de un elemento de superficie es: dN = D n dS,

y el flujo total a través de cualquier superficie:

(6)

El flujo de inducción N es una cantidad escalar; dependiendo de  puede ser> 0 o< 0, или = 0.