$A_ (nn)$ эд хөрөнгийг эзэмшдэг диагональ давамгайлал, хэрэв

$| a_ (ii) | \ geqslant \ sum_ (j \ neq i) | a_ (ij) |, \ qquad i = 1, \ цэг, n,$

үүнээс гадна дор хаяж нэг тэгш бус байдал хатуу байна. Хэрэв бүх тэгш бус байдал хатуу байвал матрицыг хэлнэ $A_ (nn)$ эзэмшдэг хатуудиагональ давамгайлал.

Диагональ давамгайлсан матрицууд програмуудад ихэвчлэн гарч ирдэг. Тэдний гол давуу тал нь ийм матрицаар SLAE-ийг шийдвэрлэх давтагдах аргууд (энгийн давталтын арга, Зайделийн арга) нь яг байгаа шийдэлд ойртдог бөгөөд энэ нь баруун гар талын аль алинд нь өвөрмөц онцлогтой байдаг.

Үл хөдлөх хөрөнгө

Хатуу диагональ давамгайлсан матриц нь дахин төрөхгүй.

бас үзнэ үү

"Диагональ давамгайлал" нийтлэлд сэтгэгдэл бичээрэй.

Диагональ давамгайллаас авсан хэсэг

Хусар Павлоградын дэглэм Браунаугаас хоёр милийн зайд байрладаг байв. Николай Ростов кадетаар ажиллаж байсан эскадриль нь Германы Сальценек тосгонд байрладаг байв. Васка Денисов нэрээр бүх морин дивизэд танигдсан эскадрилийн командлагч, ахмад Денисовт тосгоны хамгийн сайн байрыг өгчээ. Юнкер Ростов Польш дахь дэглэмийг гүйцэж түрүүлснээсээ хойш эскадрилийн командлагчтай хамт амьдарч байжээ.
Аравдугаар сарын 11 -нд, үндсэн байранд байгаа бүх зүйл Макын ялагдлын тухай мэдээгээр хөл дээрээ боссон тэр өдөр, эскадрилийн төв байранд жагссан амьдрал өмнөх шигээ чимээгүйхэн үргэлжилж байв. Шөнөжингөө хөзөр хөсөр хаясан Денисов Ростов өглөө эрт морь унаж, тэжээлээ идээд буцаж ирэхэд гэртээ хараахан ирээгүй байв. Ростов курсантын дүрэмт хувцастай үүдний танхим руу гарч морийг түлхэж, уян хатан, залуухан хөдөлгөөнөөрөө хөлөө шидээд, мориноос салахыг хүсэхгүй байгаа мэт үзүүр дээр зогсож байгаад эцэст нь үсрэн бууж, элчийг хашгирав.

Тодорхойлолт.

Матрицын элементүүд байвал дараалсан диагональ давамгайлсан системийг систем гэж нэрлэдэгтэгш бус байдлыг хангах:

Тэгш бус байдал гэдэг нь матрицын мөр бүрт байна гэсэн үг юм диагональ элементийг тодруулсан болно: түүний модуль нь нэг эгнээний бусад бүх элементүүдийн модулийн нийлбэрээс их байна.

Теорем

Диагональ давамгайлал бүхий системийг үргэлж шийдвэрлэх боломжтой бөгөөд үүнээс гадна өвөрмөц байдлаар хийдэг.

Холбогдох нэгэн төрлийн системийг авч үзье.

Энэ нь чухал биш шийдэлтэй гэж бодъё Хамгийн том модультай энэ шийдлийн бүрэлдэхүүн хэсгийг индекстэй тохируулаарай
, өөрөөр хэлбэл

,
,
.

Бичээд үзье хэлбэрийн системийн гурав дахь тэгшитгэл

мөн энэ тэгш байдлын хоёр талын модулийг авна. Үүний үр дүнд бид дараахь зүйлийг олж авдаг.

Тэгш бус байдлыг хүчин зүйлээр бууруулах
, тэг гэж үзвэл диагональ давамгайллыг илэрхийлсэн тэгш бус байдалтай зөрчилддөг. Үүссэн зөрчилдөөн нь гурван мэдэгдлийг тууштай илэрхийлэх боломжийг бидэнд олгодог.

Тэдний сүүлчийнх нь теоремын нотолгоо бүрэн болсон гэсэн үг юм.

Гурвалжин матрицтай системүүд. Шүүрдэх арга.

Олон асуудлыг шийдэхдээ дараахь хэлбэрийн шугаман тэгшитгэлийн системтэй ажиллах шаардлагатай болно.

,
,

коэффициент хаана байна
, баруун тал
тоонуудын хамт мэддэг ба ... Нэмэлт харилцааг ихэвчлэн системийн хилийн нөхцөл гэж нэрлэдэг. Ихэнх тохиолдолд тэд илүү төвөгтэй байж болно. Жишээлбэл:

;
,

хаана
- өгсөн тоо. Гэсэн хэдий ч танилцуулгыг хүндрүүлэхгүйн тулд бид нэмэлт нөхцлүүдийн хамгийн энгийн хэлбэрээр өөрсдийгөө хязгаарлаж байна.

Үнэт зүйлсийн давуу талыг ашиглан ба өгөгдсөн бол бид системийг дараах байдлаар дахин бичих болно.

Энэ системийн матриц нь гурван диагональ бүтэцтэй:

Энэ нь шүүрдэх арга гэж нэрлэгддэг тусгай аргын ачаар системийн шийдлийг ихээхэн хөнгөвчилдөг.

Энэ арга нь үл мэдэгдэх үл мэдэгдэх зүйл гэсэн таамаглалд үндэслэсэн болно ба
давтагдах харьцаатай холбоотой

,
.

Энд тоо хэмжээ
,
Шүүрдэх коэффициент гэж нэрлэгддэг асуудлыг асуудлын нөхцлөөс хамааран тодорхойлно. Үнэн хэрэгтээ ийм журам нь үл мэдэгдэх зүйлийн шууд тодорхойлолтыг орлуулах гэсэн үг юм ажлын коэффициентийг тодорхойлох, дараа нь утгыг тооцоолох .

Тодорхойлсон програмыг хэрэгжүүлэхийн тулд бид хамаарлыг ашиглан илэрхийлнэ
хөндлөн
:

ба орлуулах
ба хэлбэрээр илэрхийлсэн болно
, анхны тэгшитгэлд оруулна. Үүний үр дүнд бид дараахь зүйлийг олж авдаг.

Сүүлчийн харилцаа нь биелэх болно, үүнээс гадна, хэрэв бид үүнийг шаардах юм бол шийдлээс үл хамааран
тэгш байдал байсан:

Тиймээс шүүрдэх коэффициентүүдийн давтагдах харилцаа дараах байдалтай байна.

,
,
.

Зүүн хилийн нөхцөл
ба харьцаа
Хэрэв бид тавих юм бол тууштай байна

Шүүрдэх коэффициентүүдийн үлдсэн утгууд
ба
ажиллаж буй коэффициентийг тооцоолох үе шатыг дуусгадаг.

Эндээс үл мэдэгдэх үлдэгдлийг олох боломжтой
давтагдах томъёог ашиглан буцаж гүйх явцад.

Гауссын аргаар ерөнхий системийг шийдвэрлэхэд шаардагдах үйл ажиллагааны тоо нэмэгдэх тусам нэмэгддэг пропорциональ байдлаар ... Шүүрдэх аргыг хоёр мөчлөг болгон бууруулдаг: эхлээд шүүрдэх коэффициентийг томъёог ашиглан тооцоолж, дараа нь тэдний тусламжтайгаар системийн уусмалын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг давтан томъёог ашиглан олдог. ... Энэ нь системийн хэмжээ нэмэгдэхийн хэрээр арифметик үйлдлийн тоо пропорциональ өсөх болно гэсэн үг юм , гэхдээ үгүй ... Тиймээс боломжит хэрэглээний хүрээнд шүүрдэх арга нь илүү хэмнэлттэй байдаг. Үүн дээр програм хангамжийг компьютер дээр хэрэгжүүлэх онцгой энгийн байдлыг нэмж оруулах хэрэгтэй.

Гурван өнцөгт матрицтай SLAE -д хүргэдэг олон хэрэглээний асуудлын хувьд түүний коэффициент нь тэгш бус байдлыг хангадаг.

диагональ давамгайлах шинж чанарыг илэрхийлдэг. Ялангуяа бид ийм системийг гурав, тавдугаар бүлгээс олох болно.

Өмнөх хэсгийн теоремын дагуу ийм системийн шийдэл үргэлж байдаг бөгөөд өвөрмөц байдаг. Тэд мөн шүүрдэх аргыг ашиглан уусмалыг бодит тооцоолоход чухал ач холбогдолтой мэдэгдэлтэй байдаг.

Лемма

Хэрэв гурвалжин матрицтай системийн хувьд диагональ давамгайлах нөхцөл хангагдсан бол шүүрдэх коэффициент нь тэгш бус байдлыг хангана.

Бид нотолгоог индукцийн аргаар хийдэг. Дагуу
, би идэж
лемма үнэн юм. Энэ нь үнэн гэж одоо бодъё мөн анхаарч үзээрэй
:

Тиймээс, индукц To
үндэслэлтэй, энэ нь леммын нотолгоог бөглөнө.

Шүүрдэх коэффициентүүдийн тэгш бус байдал гүйлтийг тогтвортой болгодог. Үнэн хэрэгтээ шийдлийн бүрэлдэхүүн хэсэг гэж бодъё дугуйруулах процедурын үр дүнд үүнийг алдаатай тооцоолсон. Дараа нь дараагийн бүрэлдэхүүн хэсгийг тооцоолохдоо
рекурсив томъёоны дагуу тэгш бус байдлын улмаас энэ алдаа нэмэгдэхгүй.

Тодорхойлолт.

Теорем

Холбогдох нэгэн төрлийн системийг авч үзье.

,
,
.

Бичээд үзье хэлбэрийн системийн гурав дахь тэгшитгэл

мөн энэ тэгш байдлын хоёр талын модулийг авна. Үүний үр дүнд бид дараахь зүйлийг олж авдаг.

Тэдний сүүлчийнх нь теоремын нотолгоо бүрэн болсон гэсэн үг юм.

Гурвалжин матрицтай системүүд. Шүүрдэх арга.

Олон асуудлыг шийдэхдээ дараахь хэлбэрийн шугаман тэгшитгэлийн системтэй ажиллах шаардлагатай болно.

,
,

;
,

Үнэт зүйлсийн давуу талыг ашиглан ба өгөгдсөн бол бид системийг дараах байдлаар дахин бичих болно.

Энэ системийн матриц нь гурван диагональ бүтэцтэй:

Энэ нь шүүрдэх арга гэж нэрлэгддэг тусгай аргын ачаар системийн шийдлийг ихээхэн хөнгөвчилдөг.

,
.

Тодорхойлсон програмыг хэрэгжүүлэхийн тулд бид хамаарлыг ашиглан илэрхийлнэ
хөндлөн
:

Тиймээс шүүрдэх коэффициентүүдийн давтагдах харилцаа дараах байдалтай байна.

,
,
.

Зүүн хилийн нөхцөл
ба харьцаа
Хэрэв бид тавих юм бол тууштай байна

Шүүрдэх коэффициентүүдийн үлдсэн утгууд
ба
ажиллаж буй коэффициентийг тооцоолох үе шатыг дуусгадаг.

Эндээс үл мэдэгдэх үлдэгдлийг олох боломжтой
давтагдах томъёог ашиглан буцаж гүйх явцад.

Лемма

Тиймээс, индукц To
үндэслэлтэй, энэ нь леммын нотолгоог бөглөнө.

МАТРИЦИЙН ДУТАГДАХГҮЙ БА ДИАГОНАЛ ДОМОНАЦИЙН ХӨРӨНГӨ1

Цветкович Лилиана - Сербийн Нови Садын их сургууль, Шинжлэх ухааны факультетийн математик, мэдээлэл зүйн тэнхимийн профессор, Обрадович 4, Нови Сад, Серби, 21000, имэйл: [имэйлээр хамгаалагдсан]

Костик Владимир - туслах профессор, доктор, Шинжлэх ухааны факультетийн математик, мэдээлэл зүйн тэнхим, Серби, Обрадович 4, 21000, Нови Сад, Серби, имэйл: [имэйлээр хамгаалагдсан]

Крукиер Лев Абрамович - Физик -математикийн шинжлэх ухааны доктор, профессор, Өндөр үзүүлэлттэй тооцоолол, мэдээлэл, харилцаа холбооны технологийн тэнхимийн эрхлэгч, Өмнөд Холбооны Их Сургуулийн мэдээлэлжүүлэлтийн Өмнөд Оросын бүсийн төвийн захирал, Стачки өргөн чөлөө, 200/1, bldg . 2, Ростов-на-Дону, 344090, имэйл: крукиер [имэйлээр хамгаалагдсан] ru

Цветкович Лжилжана - Сербийн Нови Садын Их Сургуулийн Шинжлэх Ухааны Факультетийн Математик, Мэдээллийн тэнхимийн профессор, Д.Обрадовика 4, Нови Сад, Серби, 21000, и -мэйл: [имэйлээр хамгаалагдсан]

Костич Владимир - Сербийн Нови Садын Их Сургуулийн Шинжлэх Ухааны Факультетийн Математик, Мэдээллийн тэнхимийн туслах профессор, Д.Обрадовика 4, Нови Сад, Серби, 21000, имэйл: [имэйлээр хамгаалагдсан]

Крукиер Лев Абрамович - Физик -математикийн шинжлэх ухааны доктор, профессор, Өндөр үзүүлэлттэй тооцоолол, мэдээлэл, харилцаа холбооны технологийн тэнхимийн эрхлэгч, Өмнөд Холбооны Их Сургуулийн Компьютерийн Төвийн захирал, Стачки өргөн чөлөө, 200/1, билд. 2, Ростов-на-Дону, Орос, 344090, имэйл: [имэйлээр хамгаалагдсан] ru

Матриц дахь диагональ давамгайлал нь түүний доройтолгүй байх энгийн нөхцөл юм. Диагональ давамгайлах тухай ойлголтыг ерөнхийд нь харуулсан матрицын шинж чанарууд үргэлж эрэлттэй байдаг. Тэдгээрийг диагональ давамгайлал гэх мэт нөхцөл гэж үздэг бөгөөд эдгээр нөхцөлд доройтолгүй хэвээр байгаа матрицын дэд ангиудыг (H-матриц гэх мэт) тодорхойлоход тусалдаг. Энэхүү баримт бичигт диагональ давамгайллын давуу талыг хадгалсан, харин H-матрицын ангиллаас гадуур үлдэх доройтолгүй матрицын шинэ ангиудыг бүтээсэн болно. Эдгээр шинж чанарууд нь ялангуяа тохиромжтой байдаг, учир нь олон програмууд энэ ангиллын матриц руу хөтөлдөг бөгөөд H матриц биш матрицын доройтлын бус онолыг одоо сунгаж болно.

Түлхүүр үгс: диагональ давамгайлал, доройтолгүй, масштаб.

Матрицын хоёрдмол утгатай байдлыг хангах энгийн нөхцлийг үргэлж сайшаан хүлээн авдаг боловч ихэнх нь диагональ давамгайллын нэг төрөл гэж үзэж болох бөгөөд энэ нь сайн мэддэг H матрицын дэд ангиудыг бий болгодог. Энэхүү баримт бичигт бид диагональ давамгайллын ашиг тусыг хадгалж үлддэг, харин H матрицын ангилалтай ерөнхий харилцаанд ордог, хоёрдогч бус матрицын шинэ ангиудыг бий болгосон. H-матрицын онолоос үүдэлтэй олон програмыг өргөтгөх боломжтой болсон тул энэ өмч нь ялангуяа таатай байна.

Түлхүүр үгс: диагональ давамгайлал, хоёрдмол утгагүй байдал, масштабын техник.

Математикийн физикийн хилийн асуудлын тоон шийдэл нь дүрмийн дагуу шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн анхны асуудлыг багасгадаг. Шийдлийн алгоритмыг сонгохдоо анхны матриц нь доройтдоггүй эсэхийг мэдэх шаардлагатай байна уу? Нэмж дурдахад матрицын тогтворгүй байдлын талаархи асуулт нь жишээлбэл давтагдах аргуудын нэгдэх онол, өөрийн утгыг нутагшуулах онол, тодорхойлогчид, хормогч үндэс, спектрийн радиус, матрицын ганц утга зэргийг тооцоолоход хамаатай юм. гэх мэт

Матриц нь дахин төрөхгүй байхыг баталгаажуулах хамгийн энгийн, гэхдээ туйлын ашигтай нөхцлүүдийн нэг бол диагональ давамгайллын сайн мэддэг шинж чанар (энд дурдсан лавлагаа) гэдгийг анхаарна уу.

Теорем 1. A = e Cnxn матрицыг ингэж өгье

s> r (a): = S k l, (1)

бүх i ∈ N: = (1,2, ... n).

Дараа нь А матриц нь дахин төрөхгүй болно.

Үл хөдлөх хөрөнгөтэй матрицуудыг (1) хатуу диагональ давамгайлсан матриц гэж нэрлэдэг

(8BB матриц). Тэдний байгалийн ерөнхий ойлголт нь диагоналийн давамгайлсан (GDB) матрицын ангиллыг дараах байдлаар тодорхойлдог.

Тодорхойлолт 1. A = [a ^] e Cnxn матрицыг AW нь 8ВВ-матриц болох доройтолгүй диагональ W матриц байвал BB матриц гэж нэрлэдэг.

Матрицын хэд хэдэн тодорхойлолтыг танилцуулъя

A = [ay] e Cnxn.

Тодорхойлолт 2. Матриц (A) = [тогших], тодорхойлсон

(A) = e Cn

А матрицын харьцуулах матриц гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 3. A = e C матриц

\ üj> 0, i = j

бол M матриц юм

аж< 0, i * j,

урвуу дэвсгэр-

матриц А "> 0, өөрөөр хэлбэл түүний бүх элементүүд эерэг байна.

Мэдээжийн хэрэг, VBB ангиллын матрицууд нь мөн л сэргээгддэггүй матриц бөгөөд байж болно

1 Энэ ажлыг Сербийн Боловсрол, Шинжлэх Ухааны Яам, 174019 буцалтгүй тусламж, Вожводинагийн Шинжлэх Ухаан, Технологийн Хөгжлийн Яам 2675, 01850 тэтгэлэгээр хэсэгчлэн дэмжсэн.

уран зохиолд доройтолгүй H матриц нэрээр олдсон. Дараахь шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцлийг ашиглан тэдгээрийг тодорхойлж болно.

Теорем 2. A = [ay] e матриц ба H-

матриц бол хэрэв харьцуулах матриц нь сэргээгдэхгүй M матриц юм.

Одоогийн байдлаар нөхөн төлжөөгүй H матрицын олон дэд ангиудыг аль хэдийн судалж үзсэн боловч тэдгээрийг бүгдийг нь диагональ давамгайлах шинж чанарыг ерөнхийд нь авч үзэх үүднээс авч үзсэн болно.

Энэхүү баримт бичигт бид 8BB ангиллыг өөр байдлаар ерөнхийд нь харуулснаар H-матрицын ангиас давж гарах боломжийн талаар авч үзэх болно. Үндсэн санаа бол масштаблах аргыг үргэлжлүүлэн ашиглах боловч диагональ биш матрицтай байх явдал юм.

A = [ay] e cnxn матриц ба индексийг авч үзье

Бид матрицыг танилцуулж байна

r (A): = £ a R (A): = £

ßk (A): = £ ба yk (A): = aü - ^

Bk Abk матрицын элементүүд дараах хэлбэртэй эсэхийг шалгахад хялбар байдаг.

ßk (A), Y k (A), akj,

i = j = k, i = j * k,

i = k, j * k, i * k, j = k,

A inöaeüiüö neö ^ aёö.

Хэрэв бид дээр дурдсан bk Abk1 матрицад 1 -р теоремыг хэрэглэж, түүнийг шилжүүлсэн бол хоёр үндсэн теоремыг олж авна.

Теорем 3. Аливаа матрицыг өгье

A = [ay] e cnxn тэгээс өөр диагональ элементтэй. Хэрэв k ∈ N байгаа бол> Γk (A) байх ба r ∈ N \ (k) бүрийн хувьд,

Дараа нь А матриц нь дахин төрөөгүй болно.

Теорем 4. Аливаа матрицыг өгье

A = [ay] e cnxn тэгээс өөр диагональ элементтэй. Хэрэв k ∈ N байгаа бол> Hk (A) байх ба r ∈ N \ (k) бүрийн хувьд,

Дараа нь А матриц нь доройтдоггүй. Хоорондын харилцааны талаар байгалийн асуулт гарч ирнэ

өмнөх хоёр теоремын матриц: b ^ - BOO -матриц (томъёогоор (5) -аар тодорхойлогдсон) ба

Bk-BOO-матриц (томъёогоор (6) -аар тодорхойлогдсон) ба H-матрицын анги. Дараахь энгийн жишээ үүнийг тодорхой болгож байна.

Жишээ. Дараах 4 матрицыг анхаарч үзээрэй.

мөн анхны А -тай төстэй Lk Abk, k ∈ N матрицыг авч үзье. Энэ матриц нь SDD матрицын шинж чанартай байх нөхцөлийг (мөр эсвэл баганаар) олж үзье.

Нийтлэлийн туршид r, k eN: = (1,2, ... /?) Бид дараах тэмдэглэгээг ашиглах болно.

2 2 1 1 3 -1 1 1 1

" 2 11 -1 2 1 1 2 3

2 1 1 1 2 -1 1 1 5

Муудахгүй байх теоремууд

Тэд бүгд доройтдоггүй:

A1 нь b - BOO боловч ямар ч k = (1,2,3) хувьд bk - BOO биш юм. Энэ нь H-матриц биш, учир нь (A ^ 1 сөрөг биш;

Тэгш хэмийн ачаар A2 нь нэгэн зэрэг LR - BOO ба L юм<2 - БОО, так же как ЬЯ - БОО и

Б<3 - БОО, но не является Н-матрицей, так как (А2) вырожденная;

A3 бол b9 - BOO, гэхдээ тийм биш

Lr - SDD (k = (1,2,3) хувьд), мөн H матриц, учир нь (A3 ^ нь мөн доройтсон;

A4 нь H -матриц юм (A ^ нь дахин төрөөгүй ба ^ A4) 1> 0 боловч энэ нь ямар ч k = (1,2,3) хувьд LR - SDD эсвэл Lk - SDD биш юм.

Зураг нь хоорондох ерөнхий хамаарлыг харуулж байна

Lr - SDD, Lk - SDD ба H -матрицууд өмнөх жишээн дээрх матрицуудын хамт.

LR - SDD, lC - SDD ба хоорондын хамаарал

там мин (| au - r (A) |) "

Тэгш бус байдлаас эхэлье

мөн энэ үр дүнг bk Ab матрицад хэрэглэснээр бид олж авна

Теорем 5. Тэг диагональ элементтэй дурын A = [a--] e Cnxn матриц өгье.

цагдаа. Хэрэв А нь BOO ангилалд багтдаг бол

1 + хамгийн их ^ i * k \ acc \

H матриц

Хэдийгээр бид хүлээн авсан ч гэсэн анхаарал татаж байна

b ^ Ab ^ 1 матрицыг шилжүүлэн авах замаар олж авсан матрицад 1 -р теоремыг ашигласнаар bCk BOO ангиллын матрицууд нь энэ матрицыг Am матрицад 2 -р теоремыг ашигласнаар авсан ангилалтай давхцахгүй байна.

Тодорхойлолтуудыг танилцуулъя.

Тодорхойлолт 4. А матрицыг AT (Lk-BOO) бол (Lk-BOO-р эгнээгээр) гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 5. А матрицыг AT (bCk-BOO) байвал (bCk-BOO эгнээгээр) гэж нэрлэдэг.

Жишээ нь U - BOO ангиуд,

BC-BOO, (bk-BOO мөр мөрөөр) ба (L ^ -BOO мөр мөр) хоорондоо холбоотой. Тиймээс бид H матрицын ангиллыг дөрвөн өөр аргаар сунгасан.

Шинэ теоремуудын хэрэглээ

Урвуу матрицын С-нормыг тооцоолоход шинэ үр дүнгийн ашиг тусыг харуулъя.

Хатуу диагональ давамгайлсан дурын А матрицын хувьд сайн мэдэх Варах теорем (WaraH) тооцооллыг өгдөг.

мин [| pf (A) | - тк (A), мин (| yk (A) | - qk (A) - | af (A) |)] "i i (фf ii ii

Үүний нэгэн адил бид Lk - SDD матрицын хувьд баганан дээрх дараах үр дүнг гаргадаг.

Теорем 6. Дурын A = e матрицыг өгье, тэгээс өөр диагональ оруулгатай байна. Хэрэв А нь баганан дахь bk-SDD ангилалд багтдаг бол

Ik-lll<_ie#|akk|_

"" сая [| pf (A) | - Rf (AT), сая (| ук (A) | - qk (AT) - | арын |)] "

Энэхүү үр дүнгийн ач холбогдол нь доройтолгүй H матрицын олон дэд ангилалд энэ төрлийн хязгаарлалт байдаг боловч H-матриц биш доройтолгүй матрицын хувьд энэ нь тийм ч чухал биш асуудал юм. Тиймээс өмнөх теоремтой ижил төрлийн хязгаарлалт маш их эрэлттэй байна.

Уран зохиол

Levy L. Sur le possibilité du l "equlibre electrique C. R. Acad. Парис, 1881. Боть 93. Х. 706-708.

Horn R.A., Johnson C.R. Матрицын шинжилгээ. Кембриж, 1994. Варга Р.С. Герсгорин ба түүний тойрог // Тооцоолох математикийн Springer цуврал. 2004. Боть. 36.226 х. Берман А., Племонс Р.Ж. Математикийн шинжлэх ухаанд сөрөг бус матриц. Хэрэглээний математикийн SIAM цувралын сонгодог бүтээлүүд. 1994. Боть. 9.340 х.

Цветкович Л. H матрицын онол vs. өөрийн үнэ цэнийн нутагшуулалт // Тоон тоо. Алгор. 2006. Боть. 42. P. 229-245. Cvetkovic Lj., Kostic V., Kovacevic M., Szulc T. H-матриц ба тэдгээрийн Schur нэмэлтүүдийн талаархи нэмэлт үр дүн // Appl. Математик. Тооцоолол. 1982. P. 506-510.

Варах Ж.М. Матрицын хамгийн бага утгын доод хязгаар // Шугаман алгебр Appl. 1975. Боть. 11. хуудас 3-5.

Редакторууд хүлээн авсан

Гэгээн Питербургийн Улсын Их Сургууль

Хэрэглээний математикийн факультет - Хяналтын процесс

A. P. IVANOV

ТОДОРХОЙ АРГУУДЫН ДАДЛАГА

Алгебрийн шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдэл

Арга зүйн заавар

Санкт-Петербург

БҮЛЭГ 1. ДЭМЖИХ МЭДЭЭЛЭЛ

Арга зүйн гарын авлагад SLAE -ийг шийдвэрлэх аргуудын ангилал, тэдгээрийг ашиглах алгоритмыг өгсөн болно. Эдгээр аргуудыг бусад эх сурвалжид дурдахгүйгээр ашиглах боломжийг олгодог хэлбэрээр танилцуулсан болно. Системийн матриц нь утгагүй гэж үздэг. дет А 6 = 0.

§1. Вектор ба матрицын норм

Хэрэв x элементийн шугаман орон зайг Ω орон зайн бүх элементүүдэд тодорхойлсон бөгөөд нөхцлийг хангасан k kΩ функцийг оруулбал хэвийн гэж нэрлэдэг гэдгийг санаарай.

1.kxk Ω ≥ 0, ба kxkΩ = 0 x = 0Ω;

2. kλxk Ω = | λ | KxkΩ;

3.kx + yk Ω ≤ kxkΩ + kykΩ.

Бид ирээдүйд векторуудыг жижиг латин үсгээр тэмдэглэхийг зөвшөөрч, тэдгээрийг баганын вектор гэж үзэж, матрицыг том латин үсгээр, скаляр утгыг грек үсгээр (i үсгүүдийн бүхэл тоонуудын тэмдэглэгээг хадгалах, j, k, l, m, n) ...

Хамгийн түгээмэл векторын нормативт дараахь зүйлс орно.


	\| xi \|;
1.kxk1 =	\| xi \|;

2.kxk2 = u x2; t

3.kxk∞ = maxi | xi |.

Rn орон зайн бүх хэмжигдэхүүнүүд тэнцүү, өөрөөр хэлбэл kxki ба kxkj гэсэн хоёр хэм хэмжээ нь харилцаатай холбоотой байдаг.

αij kxkj ≤ kxki ≤ βij kxkj,

k k ≤ k k ≤ ˜ k k

α˜ ij x i x j β ij x i,

үүнээс гадна αij, βij, α˜ij, βij нь x -ээс хамаардаггүй. Түүгээр ч барахгүй хязгаарлагдмал хэмжээст орон зайд ямар ч хоёр хэм хэмжээ тэнцүү байдаг.

Матрицын орон зай нь тоогоор нэмэх, үржүүлэх үйлдлүүд нь нормативын тухай ойлголтыг олон талаар нэвтрүүлж болох шугаман орон зайг бүрдүүлдэг. Гэсэн хэдий ч захирагдах хэм хэмжээг ихэвчлэн авч үздэг. харьцаагаар векторуудын нормтой холбоотой хэм хэмжээ:

Матрицын дэд нормыг харгалзах векторын нормативтай ижил индексээр тэмдэглэснээр үүнийг тогтоож болно.

k k1

| aij |; кАк2

k∞

(AT A);

Энд λi (AT A) нь AT A матрицын өөрийн утгыг илэрхийлдэг бөгөөд энд AT нь А -д шилжүүлсэн матриц юм.Нормативын дээрх гурван үндсэн шинж чанараас гадна бид энд бас хоёр зүйлийг тэмдэглэж байна.

kABk ≤ kAk kBk,

kAxk ≤ kAk kxk,

Үүнээс гадна сүүлийн тэгш бус байдлын хувьд матрицын норм нь харгалзах векторын нормативт захирагддаг. Цаашид зөвхөн векторын хэм хэмжээнд хамаарах матрицын хэм хэмжээг ашиглахыг бид зөвшөөрч байна. Ийм хэм хэмжээний хувьд дараахь тэгш байдлыг хангана гэдгийг анхаарна уу: хэрэв E бол таних матриц бол kEk = 1 ,.

§2. Диагональ давамгайлсан матрицууд

Тодорхойлолт 2.1. (Aij) n i, j = 1 элемент бүхий А матрицыг тэгш бус байвал диагональ давамгайлсан (δ утгын) матриц гэж нэрлэдэг.

| aii | - | aij | ≥ δ> 0, i = 1, n.

§3. Эерэг тодорхой матрицууд

Тодорхойлолт 3.1. Тэгш хэмтэй А матрицыг а гэж нэрлэнэ

Энэ матрицтай xT Ax квадрат хэлбэр x 6 = 0 векторын хувьд зөвхөн эерэг утгыг авдаг бол эерэг тодорхой.

Матрицын эерэг тодорхой байдлын шалгуур нь түүний өөрийн үнэ цэнийн эерэг байдал эсвэл үндсэн насанд хүрээгүй хүмүүсийн эерэг байдал байж болно.

§4. SLAE нөхцлийн дугаар

Аливаа асуудлыг шийдвэрлэхдээ мэдэгдэж байгаа шиг гурван төрлийн алдаа байдаг: үхлийн алдаа, арга зүйн алдаа, дугуйруулах алдаа. Анхан шатны өгөгдлийн үл хөдлөх алдааны SLAE -ийн шийдэлд нөлөөлж, дугуйрсан алдааг үл тоомсорлож, арга зүйн алдаа байхгүй байгааг харгалзан үзье.

А матрицыг яг мэддэг бөгөөд баруун талын b нь δb гэсэн алдааг агуулдаг.

Дараа нь шийдлийн харьцангуй алдааны хувьд kδxk / kxk

	үнэлгээ авахад хялбар байдаг:

энд ν (A) = kAkkA - 1 k.

Ν (A) тоог системийн нөхцлийн дугаар (4.1) (эсвэл матриц А) гэж нэрлэдэг. Аливаа матрицын хувьд үргэлж ν (A) ≥ 1 байх нь харагдаж байна. Нөхцөл байдлын тооны утга нь матрицын нормативын сонголтоос хамаардаг тул тодорхой нормыг сонгохдоо бид тус тус индексжүүлж, ν (A): ν1 ( A), ν2 (A) эсвэл ν ∞ (A).

Ν (A) 1 тохиолдолд (4.1) систем буюу А матрицыг нөхцөлт бус гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд тооцооллоос дараах байдлаар

(4.2), системийн шийдлийн алдаа (4.1) нь хүлээн зөвшөөрөгдөхгүй том хэмжээтэй болж магадгүй юм. Алдааг хүлээн зөвшөөрөх эсвэл хүлээн зөвшөөрөх боломжгүй гэсэн ойлголтыг асуудлын мэдэгдэлээр тодорхойлдог.

Диагональ давамгайлсан матрицын хувьд түүний нөхцлийн дугаарын дээд хязгаарыг олж авахад хялбар байдаг. Үүсдэг

Теорем 4.1. Диагонал δ> 0 -ийн давамгайлал бүхий матрицыг А гэж үзье. Дараа нь энэ нь дан бус бөгөөд ν∞ (A) ≤ kAk∞ / δ байна.

§5. Нөхцөл байдал муутай системийн жишээ.

SLAE (4.1) -ийг авч үзье

−1

− 1 . . .

−1

.. .

−1

Энэ систем нь өвөрмөц шийдэлтэй x = (0, 0, ..., 0, 1) T. Системийн баруун гар тал нь δb = (0, 0, ..., 0, ε), ε> 0 гэсэн алдааг агуулна.

δxn = ε, δxn - 1 = ε, δxn - 2 = 2 ε, δxn - k = 2 k - 1 ε ,. ... ... , δx1 = 2 n - 2.

k∞ =

2 n - 2,

k∞

k k∞

Тиймээс,

ν∞ (A) ≥ kδxk ∞: kδbk ∞ = 2n - 2. кхк ∞ кбк ∞

KAk∞ = n тул kA - 1 k∞ ≥ n - 1 2 n - 2 боловч det (A - 1) = (det A) −1 = 1. Жишээ нь n = 102. Дараа нь ν ( A) ≥ 2100> 1030. Түүнээс гадна, ε = 10−15 байсан ч бид kδxk∞> 1015 авна. Тийм биш

Өмнөх нийтлэл: Миний чихрийн шижингийн 2 -р хэлбэрийн хоолны дэглэм Дараагийн нийтлэл: Насанд хүрэгчдэд ротавирусын халдвар - шинж тэмдэг ба эмчилгээ

Диагональ давамгайлсан системүүд. Диагональ давамгайлсан системүүд Матрицыг диагональ давамгайлал болгон бууруулах

Үл хөдлөх хөрөнгө

бас үзнэ үү

"Диагональ давамгайлал" нийтлэлд сэтгэгдэл бичээрэй.

Диагональ давамгайллаас авсан хэсэг

Гурвалжин матрицтай системүүд. Шүүрдэх арга.

Гурвалжин матрицтай системүүд. Шүүрдэх арга.

БҮЛЭГ 1. ДЭМЖИХ МЭДЭЭЛЭЛ

§1. Вектор ба матрицын норм

§2. Диагональ давамгайлсан матрицууд

§3. Эерэг тодорхой матрицууд

§4. SLAE нөхцлийн дугаар

§5. Нөхцөл байдал муутай системийн жишээ.