Kaip teisingai suvesti trupmenas į bendrą vardiklį. Trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio (Moskalenko M.V.). Trupmenų mažinimo iki nurodyto vardiklio taisyklė

Iš pradžių norėjau įtraukti bendro vardiklio metodus į trupmenų pridėjimo ir atėmimo pastraipą. Bet informacijos buvo tiek daug, o jos svarba tokia didelė (juk bendri vardikliai skirti ne tik skaitinėms trupmenoms), kad geriau šį klausimą panagrinėti atskirai.

Taigi, tarkime, kad turime dvi trupmenas su skirtingais vardikliais. Ir mes norime užtikrinti, kad vardikliai taptų vienodi. Į pagalbą ateina pagrindinė frakcijos savybė, kuri, prisiminus, skamba taip:

Trupmena nepasikeis, jei jos skaitiklis ir vardiklis bus padauginti iš to paties skaičiaus, kuris nėra nulis.

Taigi, pasirinkus tinkamus veiksnius, trupmenų vardikliai tampa vienodi – šis procesas vadinamas bendrojo vardiklio mažinimu. O reikalingi skaičiai, „išlyginantys“ vardiklius, vadinami papildomais faktoriais.

Kodėl net reikia suvesti trupmenas į bendrą vardiklį? Štai tik kelios priežastys:

1. Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas ir atėmimas. Nėra kito būdo atlikti šią operaciją;
2. Trupmenų palyginimas. Kartais konvertuojant į bendrą vardiklį ši užduotis tampa daug lengvesnė;
3. Akcijų ir procentų problemų sprendimas. Procentai iš tikrųjų yra įprastos išraiškos, kuriose yra trupmenų.

Yra daug būdų, kaip rasti skaičius, kuriuos padauginus trupmenų vardikliai tampa lygūs. Mes apsvarstysime tik tris iš jų - didėjančio sudėtingumo ir tam tikra prasme efektyvumo tvarka.

Kryžminis dauginimas

Paprasčiausias ir patikimiausias būdas sulyginti vardiklius. Eisime į priekį: pirmąją trupmeną padauginsime iš antrosios trupmenos vardiklio, o antrąją – iš pirmosios. Dėl to abiejų trupmenų vardikliai taps lygūs pradinių vardiklių sandaugai. Pažiūrėk:

Apsvarstykite gretimų trupmenų vardiklius kaip papildomus veiksnius. Mes gauname:

Taip, tai taip paprasta. Jei tik pradedate mokytis trupmenų, geriau dirbti būtent šiuo metodu – taip apsidrausite nuo daugybės klaidų ir garantuotai gausite rezultatą.

Vienintelis šio metodo trūkumas yra tas, kad reikia daug skaičiuoti, nes vardikliai dauginami „prieš laiką“, ir dėl to galima gauti labai didelius skaičius. Tai kaina, kurią reikia mokėti už patikimumą.

Bendrųjų daliklių metodas

Ši technika padeda labai sumažinti skaičiavimus, tačiau, deja, ji naudojama retai. Metodas yra toks:

1. Prieš pradėdami (ty kryžminį metodą), pažvelkite į vardiklius. Galbūt vienas iš jų (didesnis) yra padalintas į kitą.
2. Skaičius, gautas atlikus tokį padalijimą, bus papildomas koeficientas trupmenai su mažesniu vardikliu.
3. Šiuo atveju trupmenos su dideliu vardikliu iš viso nereikia dauginti – tai yra sutaupymas. Tuo pačiu metu smarkiai sumažėja klaidų tikimybė.

Užduotis. Raskite posakių reikšmes:

Atkreipkite dėmesį, kad 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Kadangi abiem atvejais vienas vardiklis dalijasi iš kito be liekanos, taikome bendrųjų veiksnių metodą. Mes turime:

Atkreipkite dėmesį, kad antroji trupmena niekada nebuvo padauginta iš nieko. Tiesą sakant, skaičiavimo kiekį sumažinome per pusę!

Beje, šiame pavyzdyje trupmenas paėmiau ne be priežasties. Jei jums įdomu, pabandykite juos suskaičiuoti skersai. Po sumažinimo atsakymai bus tie patys, bet darbo bus daug daugiau.

Tai yra bendrųjų daliklių metodo stiprybė, tačiau, vėlgi, jis gali būti taikomas tik tada, kai vienas iš vardklių dalijasi iš kito be liekanos. Kas yra pakankamai reta.

Rečiausiai paplitęs kelių metodas

Kai trupmenas suvedame į bendrą vardiklį, iš esmės bandome rasti skaičių, kuris dalijasi iš kiekvieno vardiklio. Tada į šį skaičių įtraukiame abiejų trupmenų vardiklius.

Tokių skaičių yra labai daug, o mažiausias iš jų nebūtinai bus lygus pradinių trupmenų vardikų tiesioginei sandaugai, kaip manoma taikant „kryžminį“ metodą.

Pavyzdžiui, vardikliuose 8 ir 12 tinkamas skaičius 24, nes 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Šis skaičius yra daug mažesnis nei sandauga 8 12 = 96.

Mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno vardiklio, vadinamas jų mažiausiu bendruoju kartotiniu (LCM).

Žymėjimas: mažiausias bendrasis a ir b kartotinis žymimas LCM (a; b). Pavyzdžiui, LCM (16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24.

Jei galite rasti tokį skaičių, bendra skaičiavimo suma bus minimali. Pažvelkite į pavyzdžius:

Užduotis. Raskite posakių reikšmes:

Atkreipkite dėmesį, kad 234 = 117 · 2; 351 = 117 3. 2 ir 3 koeficientai yra santykinai pirminiai (jie neturi bendrų daliklių, išskyrus 1), o koeficientas 117 yra bendras. Todėl LCM (234; 351) = 117 2 3 = 702.

Panašiai 15 = 5 · 3; 20 = 5 4. 3 ir 4 faktoriai yra santykinai pirmieji, o koeficientas 5 yra įprastas. Todėl LCM (15; 20) = 5 3 4 = 60.

Dabar pateikiame trupmenas į bendrus vardiklius:

Atkreipkite dėmesį, koks naudingas buvo pradinių vardiklių faktorius:

1. Radę tuos pačius veiksnius, iš karto priėjome mažiausią bendrą kartotinį, o tai, paprastai kalbant, yra nereikšminga problema;
2. Iš gauto išplėtimo galite sužinoti, kokių veiksnių "trūksta" kiekvienai frakcijai. Pavyzdžiui, 234 3 = 702, todėl pirmosios trupmenos papildomas koeficientas yra 3.

Jei norite įvertinti, kiek didžiulių pelnų gaunama taikant mažiausiai įprastą kelių metodą, pabandykite tuos pačius pavyzdžius apskaičiuoti naudodami kryžminį metodą. Žinoma, be skaičiuoklės. Manau, kad po to komentarai bus nereikalingi.

Nemanykite, kad tikruose pavyzdžiuose tokių sudėtingų trupmenų nebus. Jie susitinka visą laiką, o aukščiau pateiktos užduotys nėra riba!

Vienintelė problema yra tai, kaip rasti šį NOC. Kartais viskas randama per kelias sekundes, pažodžiui „iš akies“, tačiau apskritai tai yra sudėtinga skaičiavimo užduotis, kurią reikia apsvarstyti atskirai. Mes čia to neliesime.

Šiame straipsnyje mes analizuosime, kaip teisingai sumažinti trupmenas iki naujo vardiklio, kas yra papildomas veiksnys ir kaip jį rasti. Po to suformuluosime pagrindinę trupmenų redukavimo į naujus vardiklius taisyklę ir iliustruosime uždavinių pavyzdžiais.

Sąvoka sumažinti trupmeną iki kito vardiklio

Prisiminkime pagrindinę trupmenos savybę. Anot jo, paprastoji trupmena a b (kur a ir b yra bet kokie skaičiai) turi begalinį skaičių jai lygių trupmenų. Tokias trupmenas galima gauti skaitiklį ir vardiklį padauginus iš to paties skaičiaus m (natūralus). Kitaip tariant, visi bendrosios trupmenos gali būti pakeistas kitų tipų a · m b · m. Tai yra pradinės vertės sumažinimas iki trupmenos su norimu vardikliu.

Galite sumažinti trupmeną iki kito vardiklio, padauginę jos skaitiklį ir vardiklį iš bet kurio natūraliojo skaičiaus. Pagrindinė sąlyga yra ta, kad daugiklis turi būti vienodas abiejose trupmenos dalyse. Dėl to jūs gaunate dalį, lygią pradinei.

Paaiškinkime tai pavyzdžiu.

1 pavyzdys

Sumažinkite trupmeną 11 25 iki naujo vardiklio.

Sprendimas

Paimkite savavališką natūralųjį skaičių 4 ir padauginkite iš jo abi pradinės trupmenos puses. Mes manome: 11 4 = 44 ir 25 4 = 100. Rezultatas yra trupmena 44 100.

Visus skaičiavimus galima parašyti taip: 11 25 = 11 4 25 4 = 44 100

Pasirodo, bet kuri trupmena gali būti sumažinta iki daugybės skirtingų vardiklių. Vietoj keturių galėtume paimti kitą natūralųjį skaičių ir gauti kitą trupmeną, lygiavertį pradiniam.

Tačiau joks skaičius negali tapti naujos trupmenos vardikliu. Taigi a b vardiklyje gali būti tik tie skaičiai b · m, kurie yra b kartotiniai. Prisiminkite pagrindines padalijimo sąvokas – kartotinius ir daliklius. Jei skaičius nėra b kartotinis, bet jis negali būti naujos trupmenos daliklis. Paaiškinkime savo mintį problemos sprendimo pavyzdžiu.

2 pavyzdys

Apskaičiuokite, ar galima trupmeną 5 9 sumažinti iki vardklių 54 ir 21.

Sprendimas

54 yra devynių kartotinis, kuris yra naujos trupmenos vardiklyje (ty 54 galima padalyti iš 9). Tai reiškia, kad toks sumažinimas yra įmanomas. Ir mes negalime padalyti 21 iš 9, todėl šio veiksmo negalima atlikti šiai trupmenai.

Papildomo daugiklio koncepcija

Suformuluokime, kas yra papildomas veiksnys.

1 apibrėžimas

Papildomas daugiklis yra natūralusis skaičius, iš kurio padauginamos abi trupmenos pusės, kad būtų gautas naujas vardiklis.

Tie. kai atliekame šį veiksmą trupmenai, jai imame papildomą veiksnį. Pavyzdžiui, norint, kad trupmena 7 10 būtų 21 30, mums reikia papildomo koeficiento 3. Ir jūs galite gauti trupmeną 15 40 iš 3 8 naudodami daugiklį 5.

Atitinkamai, jei žinome vardiklį, iki kurio reikia sumažinti trupmeną, tada galime apskaičiuoti papildomą koeficientą. Pažiūrėkime, kaip tai padaryti.

Turime trupmeną a b, kurią galima sumažinti iki kokio nors vardiklio c; apskaičiuokite papildomą koeficientą m. Turime padauginti pradinės trupmenos vardiklį iš m. Gauname b m, o uždavinio teiginiu b m = c. Prisiminkime, kaip yra susiję daugyba ir dalyba. Šis ryšys mums padarys tokią išvadą: papildomas veiksnys yra ne kas kita, kaip c dalijimosi iš b koeficientas, kitaip tariant, m = c: b.

Taigi, norėdami rasti papildomą veiksnį, reikiamą vardiklį turime padalinti iš pradinio.

3 pavyzdys

Raskite papildomą koeficientą, su kuriuo trupmena 17 4 buvo sumažinta iki vardiklio 124.

Sprendimas

Naudodami aukščiau pateiktą taisyklę, 124 tiesiog padalinsime iš pradinės trupmenos vardiklio, keturių.

Skaičiuojame: 124: 4 = 31.

Šio tipo skaičiavimai dažnai reikalingi konvertuojant trupmenas į bendrą vardiklį.

Trupmenų mažinimo iki nurodyto vardiklio taisyklė

Pereikime prie pagrindinės taisyklės, pagal kurią galite sumažinti trupmenas iki nurodyto vardiklio, apibrėžimo. Taigi,

2 apibrėžimas

Norėdami sumažinti trupmeną iki nurodyto vardiklio, jums reikia:

1. nustatyti papildomą veiksnį;
2. padauginkite iš jo pradinės trupmenos skaitiklį ir vardiklį.

Kaip šią taisyklę pritaikyti praktiškai? Pateiksime problemos sprendimo pavyzdį.

4 pavyzdys

Išmeskite trupmeną 7 16 į vardiklį 336.

Sprendimas

Pradėkime nuo papildomo koeficiento apskaičiavimo. Padalinkime: 336: 16 = 21.

Gautą atsakymą padauginame iš abiejų pradinės trupmenos pusių: 7 16 = 7 21 16 21 = 147 336. Taigi pradinę trupmeną perkėlėme į norimą vardiklį 336.

Atsakymas: 7 16 = 147 336.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl + Enter

Bendrojo vardiklio mažinimo schema

1. Būtina nustatyti, koks bus mažiausias bendrasis trupmenų vardiklių kartotinis. Jei turite reikalų su mišriu arba sveiku skaičiumi, pirmiausia turite jį paversti trupmena ir tik tada nustatyti mažiausiąjį bendrąjį kartotinį. Norėdami paversti sveikąjį skaičių į trupmeną, skaitiklyje turite įrašyti patį skaičių, o vardiklyje - vieną. Pavyzdžiui, skaičius 5 kaip trupmena atrodys taip: 5/1. Norėdami paversti mišrų skaičių trupmena, turite padauginti visą skaičių iš vardiklio ir pridėti prie jo skaitiklį. Pavyzdys: 8 sveikieji skaičiai ir 3/5 kaip trupmena = 8x5 + 3/5 = 43/5.
2. Po to reikia rasti papildomą koeficientą, kuris nustatomas padalijus NOZ iš kiekvienos trupmenos vardiklio.
3. Paskutinis žingsnis yra trupmenos padauginimas iš papildomo koeficiento.

Svarbu atsiminti, kad konvertavimas į bendrą vardiklį nėra skirtas tik sudėti ar atimti. Norėdami palyginti kelias trupmenas su skirtingais vardikliais, taip pat pirmiausia turite kiekvieną iš jų sujungti į bendrą vardiklį.

Bendras trupmenų vardiklis

Norint suprasti, kaip suvesti trupmeną į bendrą vardiklį, būtina suprasti kai kurias trupmenų savybes. Taigi, svarbi savybė, naudojama redukuoti iki NCD, yra trupmenų lygybė. Kitaip tariant, jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami iš skaičiaus, tada rezultatas yra trupmena, lygi ankstesnei. Kaip pavyzdį paimkime toliau pateiktą pavyzdį. Norėdami, kad trupmenos 5/9 ir 5/6 būtų mažiausias bendras vardiklis, turite atlikti šiuos veiksmus:

1. Pirma, suraskite mažiausią bendrą vardiklių kartotinį. Šiuo atveju skaičiams 9 ir 6 LCM bus 18.
2. Nustatykite papildomus kiekvienos frakcijos veiksnius. Tai daroma taip. LCM padalijame iš kiekvienos trupmenos vardiklio, todėl gauname 18: 9 = 2 ir 18: 6 = 3. Šie skaičiai bus papildomi veiksniai.
3. Į NOZ atnešame dvi frakcijas. Kai padauginate trupmeną iš skaičiaus, turite padauginti ir skaitiklį, ir vardiklį. Trupmeną 5/9 galima padauginti iš papildomo koeficiento 2, taip gaunama trupmena, lygi šiai – 10/18. Tą patį darome su antrąja trupmena: 5/6 padauginkite iš 3, gausime 15/18.

Kaip matote iš aukščiau pateikto pavyzdžio, abi trupmenos buvo sumažintos iki mažiausio bendro vardiklio. Norėdami pagaliau išsiaiškinti, kaip rasti bendrą vardiklį, turite įvaldyti kitą trupmenų savybę. Tai slypi tame, kad trupmenos skaitiklį ir vardiklį galima atšaukti tuo pačiu skaičiumi, kuris vadinamas bendruoju dalikliu. Pavyzdžiui, 12/30 galima sumažinti iki 2/5, padalijus jį iš bendro koeficiento 6.

Šioje pamokoje mes apžvelgsime trupmenų sumažinimą iki bendro vardiklio ir spręsime šios temos problemas. Apibrėžkime bendro vardiklio ir papildomo veiksnio sąvoką, prisiminkime apie pirminius skaičius. Apibrėžkime mažiausio bendro vardiklio (LCN) sąvoką ir išspręskime daugybę problemų, kad ją rastume.

Tema: trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas ir atėmimas

Pamoka: trupmenų konvertavimas į bendrą vardiklį

Kartojimas. Pagrindinė trupmenos savybė.

Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami arba padalyti iš to paties natūraliojo skaičiaus, tada gausite jam lygią trupmeną.

Pavyzdžiui, trupmenos skaitiklį ir vardiklį galima padalyti iš 2. Gauname trupmeną. Ši operacija vadinama frakcijų mažinimu. Taip pat galite atlikti atvirkštinę transformaciją trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginus iš 2. Šiuo atveju sakome, kad trupmeną sumažinome iki naujo vardiklio. Skaičius 2 vadinamas papildomu veiksniu.

Išvestis. Trupmeną galima sumažinti iki bet kurio vardiklio, tam tikros trupmenos vardiklio kartotinio. Norint trupmeną perkelti į naują vardiklį, jos skaitiklis ir vardiklis dauginami iš papildomo koeficiento.

1. Perveskite trupmeną į vardiklį 35.

35 yra 7 kartotinis, tai yra, 35 dalijasi iš 7 be liekanos. Tai reiškia, kad ši transformacija yra įmanoma. Raskime papildomą veiksnį. Norėdami tai padaryti, padalinkite 35 iš 7. Gauname 5. Pradinės trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš 5.

2. Perveskite trupmeną į vardiklį 18.

Raskime papildomą veiksnį. Norėdami tai padaryti, padalijame naują vardiklį iš pradinio. Gauname 3. Šios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš 3.

3. Atveskite trupmeną iki vardiklio 60.

Padalinę 60 iš 15, gauname papildomą daugiklį. Tai yra 4. Skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš 4.

4. Perveskite trupmeną į vardiklį 24

Paprastais atvejais redukcija iki naujo vardiklio atliekama mintyse. Papildomą daugiklį galima nurodyti tik už skliausto dešinėje ir virš pradinės trupmenos.

Trupmeną galima sumažinti iki vardiklio 15, o trupmeną iki vardiklio 15. Trupmenos taip pat turi bendrą vardiklį 15.

Bendras trupmenų vardiklis gali būti bet koks bendras jų vardiklių kartotinis. Paprastumo dėlei trupmenos sudaro mažiausią bendrą vardiklį. Jis lygus šių trupmenų vardiklių mažiausiam bendrajam kartotiniui.

Pavyzdys. Sumažinti iki mažiausio bendro trupmenos vardiklio ir.

Pirma, suraskite mažiausią bendrąjį šių trupmenų vardiklių kartotinį. Šis skaičius yra 12. Raskime papildomą koeficientą pirmai ir antrai trupmenai. Norėdami tai padaryti, 12 padalijame iš 4 ir iš 6. Trys yra papildomas pirmosios trupmenos koeficientas, o antrajai - du. Perkelkime trupmenas į vardiklį 12.

Suvedėme trupmenas į bendrą vardiklį, tai yra, radome joms lygias trupmenas, kurios turi tą patį vardiklį.

Taisyklė. Norėdami suvesti trupmenas iki mažiausio bendro vardiklio, jums reikia

Pirma, suraskite mažiausią bendrąjį šių trupmenų vardklių kartotinį, tai bus jų mažiausias bendras vardiklis;

Antra, padalykite mažiausią bendrą vardiklį iš šių trupmenų vardikų, tai yra, raskite papildomą kiekvienos trupmenos koeficientą.

Trečia, padauginkite kiekvienos trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš papildomo koeficiento.

a) Sumažinkite trupmeną ir iki bendro vardiklio.

Mažiausias bendras vardiklis yra 12. Pirmosios trupmenos papildomas koeficientas yra 4, o antrosios – 3. Trupmenas pridėkite prie vardiklio 24.

b) Sumažinkite trupmeną ir iki bendro vardiklio.

Mažiausias bendras vardiklis yra 45. Padalijus 45 iš 9 iš 15, gaunama atitinkamai 5 ir 3. Trupmenas priveskite prie vardiklio 45.

c) Sumažinkite trupmeną ir iki bendro vardiklio.

Bendras vardiklis yra 24. Papildomi koeficientai yra atitinkamai 2 ir 3.

Kartais sunku žodžiu rasti mažiausią bendrąjį duotųjų trupmenų vardikų kartotinį. Tada bendras vardiklis ir papildomi veiksniai randami naudojant pirminį faktorių.

Sumažinkite trupmeną ir iki bendro vardiklio.

Išplėskime skaičius 60 ir 168 į pirminius koeficientus. Parašykime 60 išskaidymą ir iš antrojo skilimo pridėkime trūkstamus koeficientus 2 ir 7. Padauginkite 60 iš 14, kad gautumėte bendrą vardiklį 840. Pirmosios trupmenos papildomas koeficientas yra 14. Antrosios trupmenos papildomas koeficientas yra 5. Suveskite trupmenas iki bendro vardiklio 840.

Bibliografija

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. ir kt., Matematika 6. - M .: Mnemosina, 2012 m.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematikos 6 klasė. - Gimnazija, 2006 m.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Už matematikos vadovėlio puslapių. – Švietimas, 1989 m.

4. Rurukinas A.N., Čaikovskis I.V. Matematikos kurso užduotys 5-6 kl. – ZSH MEPhI, 2011 m.

5. Rurukinas A.N., Sočilovas S.V., Čaikovskis K.G. Matematika 5-6. Vadovas MEPhI neakivaizdinės mokyklos 6 klasės mokiniams. – ZSH MEPhI, 2011 m.

6. Ševrinas L.N., Geinas A.G., Koryakovas I.O. ir kt.. Matematika: Vadovėlis-pašnekovas vidurinės mokyklos 5-6 klasėms. Matematikos mokytojo biblioteka. – Švietimas, 1989 m.

Galite atsisiųsti 1.2 punkte nurodytas knygas. šios pamokos.

Namų darbai

Vilenkinas N.Y., Žokovas V.I., Česnokovas A.S. ir kt., Matematika 6. - M .: Mnemosina, 2012. (žr. 1.2 nuorodą)

Namų darbai: # 297, # 298, # 300.

Kitos užduotys: # 270, # 290