Iracionalios išraiškos (išraiškos su šaknimis) ir jų transformacija. Iracionalios išraiškos (išraiškos su šaknimis) ir jų transformacija Užduotis posakių, turinčių radikalus, transformacija iš vieningo valstybinio egzamino

susitarimas

Vartotojų registravimo svetainėje "KOKYBĖS ŽENKLAS" taisyklės:

Draudžiama registruoti vartotojus slapyvardžiais, panašiais į: 111111, 123456, ytsukenb, lox ir kt.;

Draudžiama iš naujo registruotis svetainėje (kurti pasikartojančias paskyras);

Draudžiama naudoti kitų asmenų duomenis;

Draudžiama naudoti kitų asmenų elektroninio pašto adresus;

Elgesio taisyklės svetainėje, forume ir komentaruose:

1.2. Kitų vartotojų asmens duomenų skelbimas profilyje.

1.3. Bet kokie destruktyvūs veiksmai, susiję su šiuo ištekliu (destruktyvūs scenarijai, slaptažodžio atspėjimas, apsaugos sistemos pažeidimas ir kt.).

1.4. Nepadorių žodžių ir posakių naudojimas kaip slapyvardis; posakiai, pažeidžiantys Rusijos Federacijos įstatymus, etikos ir moralės normas; žodžiai ir frazės, panašios į administracijos ir moderatorių slapyvardžius.

4. 2 kategorijos pažeidimai: baudžiamas visišku draudimu siųsti bet kokio tipo žinutes iki 7 dienų. 4.1. Informacijos, kuri patenka į Rusijos Federacijos baudžiamąjį kodeksą, Rusijos Federacijos administracinį kodeksą ir prieštarauja Rusijos Federacijos Konstitucijai, paskelbimas.

4.2. Propaganda bet kokia ekstremizmo, smurto, žiaurumo, fašizmo, nacizmo, terorizmo, rasizmo forma; tarpetninės, tarpreliginės ir socialinės neapykantos kurstymas.

4.3. Nekorektiškas darbo aptarimas ir „KOKYBĖS ŽENKLO“ puslapiuose publikuotų tekstų ir pastabų autorių įžeidinėjimai.

4.4. Grasinimai forumo dalyviams.

4.5. Sąmoningai melagingos informacijos, šmeižto ir kitos tiek vartotojų, tiek kitų asmenų garbę ir orumą diskredituojančios informacijos skelbimas.

4.6. Pornografija avataruose, pranešimuose ir citatose, taip pat nuorodos į pornografinius vaizdus ir išteklius.

4.7. Atviras aptarimas apie administracijos ir moderatorių veiksmus.

4.8. Viešas aptarimas ir galiojančių taisyklių vertinimas bet kokia forma.

5.1. Keiksmažodžiai ir nešvankybės.

5.2. Provokacijos (asmeniniai išpuoliai, asmeninis diskreditavimas, neigiamos emocinės reakcijos formavimas) ir diskusijos dalyvių patyčios (sistemingas provokacijų naudojimas vieno ar kelių dalyvių atžvilgiu).

5.3. Vartotojų provokavimas konfliktuoti tarpusavyje.

5.4. Šiurkštumas ir grubumas pašnekovų atžvilgiu.

5.5. Asmeninis ir asmeninių santykių išsiaiškinimas forumo gijose.

5.6. Potvynis (identiški arba beprasmiai pranešimai).

5.7. Tyčia klaidingai rašomi kitų naudotojų slapyvardžiai ar vardai įžeidžiančiu būdu.

5.8. Cituojamų žinučių redagavimas, jų reikšmės iškraipymas.

5.9. Asmeninio susirašinėjimo publikavimas be aiškaus pašnekovo sutikimo.

5.11. Destruktyvus trolinimas – tai tikslingas diskusijos pavertimas susirėmimu.

6.1. Pranešimų pervertinimas (per didelis citavimas).

6.2. Naudojamas raudonas šriftas, skirtas moderatorių pataisymams ir komentarams.

6.3. Moderatoriaus ar administratoriaus uždarytų temų diskusijos tęsinys.

6.4. Kurti temas, kurios neturi semantinio turinio arba yra provokuojančio turinio.

6.5. Temos ar pranešimo pavadinimo viso ar dalies sukūrimas didžiosiomis raidėmis arba užsienio kalba. Išimtis daroma nuolatinių temų pavadinimams ir moderatorių atidarytoms temoms.

6.6. Sukurkite parašą didesniu nei įrašo šriftu ir paraše naudokite daugiau nei vieną paletės spalvą.

7. Forumo taisyklių pažeidėjams taikomos sankcijos

7.1. Laikinas arba nuolatinis draudimas patekti į forumą.

7.4. Paskyros ištrynimas.

7.5. IP blokavimas.

8. Užrašai

8.1.Moderatoriai ir administracija gali taikyti sankcijas be paaiškinimo.

8.2. Šiose taisyklėse gali būti daromi pakeitimai, apie kuriuos bus pranešta visiems svetainės dalyviams.

8.3. Vartotojams draudžiama naudoti klonus tuo laikotarpiu, kai blokuojamas pagrindinis slapyvardis. Tokiu atveju klonas užblokuojamas neribotam laikui, o pagrindinis slapyvardis gaus papildomą dieną.

8.4 Moderatorius arba administratorius gali redaguoti pranešimą su nepadoria kalba.

9. Administracija Svetainės "KOKYBĖS ŽENKAS" administracija pasilieka teisę be paaiškinimo ištrinti bet kokius pranešimus ir temas. Svetainės administracija pasilieka teisę redaguoti žinutes ir vartotojo profilį, jei juose esanti informacija tik iš dalies pažeidžia forumo taisykles. Šie įgaliojimai taikomi moderatoriams ir administratoriams. Administracija pasilieka teisę prireikus šias Taisykles keisti ar papildyti. Taisyklių nežinojimas neatleidžia vartotojo nuo atsakomybės už jų pažeidimą. Svetainės administracija negali patikrinti visos vartotojų paskelbtos informacijos. Visi pranešimai atspindi tik autoriaus nuomonę ir negali būti naudojami vertinant visų forumo dalyvių nuomones kaip visumą. Svetainės darbuotojų ir moderatorių pranešimai yra jų asmeninės nuomonės išraiška ir gali nesutapti su svetainės redaktorių ir vadovų nuomone.

Klasė: 8

Pamokos tikslai:

Švietimas:

1. Gilinti mokinių žinias kvadratinių šaknų tema ir apibendrinti mokomąją medžiagą.
2. Supažindinkite mokinius su dvigubo radikalo samprata.
3. Išmokite transformuoti dvigubus radikalus, išskirdami visą radikalų išraiškos kvadratą.
4. Išmokykite mokinius naudoti dvigubo radikalo formulę.
5. Ugdykite įgūdžius ir gebėjimus dirbti su neracionaliomis išraiškomis.

Vystantis:

1. Ugdykite mokinių dėmesį.
2. Gebėjimo siekti darbo rezultatų ugdymas.
3. Ugdykite susidomėjimą algebros studijomis ir savarankiško darbo įgūdžius.

Švietimas:

1. Kolektyvizmo jausmo ugdymas.
2. Atsakomybės už darbo rezultatą jausmo formavimas.
3. Tinkamos mokinių savigarbos formavimas renkantis darbo klasėje pažymį.

Įranga: kompiuteris, projektorius.

Per užsiėmimus

1 darbo etapas. Laiko organizavimas.

2 darbo etapas. Motyvacija ir problemų sprendimas

Iki aštuntos klasės atlikome penkias aritmetines skaičių operacijas: sudėtį, atimtį, daugybą, dalybą ir laipsnį, o skaičiavimuose aktyviai naudojome įvairias šių veiksmų savybes.

Aštuntos klasės algebros kurse buvo įvesta nauja operacija – neneigiamo skaičiaus kvadratinės šaknies paėmimas. Išraiškos, kuriose yra kvadratinės šaknies ištraukimo operacija, vadinamos iracionaliosiomis.

Dideliame aiškinamajame žodyne galite rasti tokį neracionalumo apibrėžimą:

Filosofiniu požiūriu neracionalumas yra neprieinamumas protui, tai, ko protu nesuvokiama, kas aiškiai nepaklūsta logikos dėsniams ir negali būti išreikšta loginėmis sąvokomis, o tai vertinama kaip „perprotinga“. Matematiniu požiūriu neracionalumas yra nesuderinamas su vienybe; nėra nei sveikasis skaičius, nei trupmena.

Ar neracionalumo sąvoka tikrai yra kažkas „nesuprantamo, nesulyginamo, nesuvokiamo“?

Šiandien bandysime rasti atsakymą į šį klausimą.

3 darbo etapas. Anksčiau studijuotos medžiagos kartojimas

1) Kvadratinės šaknies savybės

Norėdami sėkmingai transformuoti išraiškas, kuriose yra kvadratinės šaknies operacija, turite žinoti šios operacijos ypatybes.

Prisiminkime šias savybes:

1) Dviejų neneigiamų skaičių sandaugos kvadratinė šaknis yra lygi šių skaičių kvadratinių šaknų sandaugai.

2) Jei a≥0, b>0, tai lygybė yra teisinga

3) Jei a≥0 ir n yra natūralusis skaičius, tada

4) Bet kuriam a tapatybė turi

Jei gerai išmanote racionaliųjų išraiškų transformavimo būdus, algebrinių trupmenų transformavimo būdus, įvaldote šaknies sąvokos apibrėžimą ir kvadratinės šaknies savybes, gebate įvesti koeficientą po kvadratinės šaknies ženklu, pašalinti faktorių iš po kvadratinės šaknies ženklu, galite transformuoti bet kurią išraišką, kurioje yra kvadratinės šaknies ištraukimo operacija

2) Radikalų konvertavimo metodai

Be išvardintų teoremų, transformuojant radikalus, naudojami kai kurie specialūs metodai, kurie taip pat išplaukia iš šių teoremų, tačiau reikalauja tam tikrų įgūdžių.

Pirmas vadinamas iracionalumo sunaikinimu trupmenos vardiklyje. Jei trupmenos vardiklyje yra šaknis ar kelios šaknys, tada tvarkyti tokią trupmeną nėra visiškai patogu. Šios technikos prasmė ta, kad reikia pasirinkti tokį veiksnį, kad jo sandauga pagal vardiklį neturėtų šaknų.

Antra Įdomi radikalų transformacija vadinama dviguba radikalų transformacija.

4 darbo etapas. Pristatykite dvigubo radikalo sąvoką ir įrodykite kompleksinio radikalo formulę.

Formos ir išraiškos vadinamos dvigubais radikalais arba kompleksiniais radikalais. Transformuoti dvigubą radikalą reiškia atsikratyti išorinio radikalo.

Tapatybės galioja

At kiekviena radikali išraiška yra neneigiama.

Įrodykime šias lygybes (studentas įrodo):

Norėdami tai padaryti, pakelkime abi šių išraiškų puses kvadratu, naudodami dviejų skaičių sumos (skirtumo) kvadrato formulę ir kvadratų skirtumo formulę.

Palyginkime kairę pusę:

Padarykime dešinę pusę kvadratu:

= ∙ = = = = = = =

Atkreipkite dėmesį, kad įrodyta tapatybė leidžia žymiai supaprastinti skaičiavimus ir transformacijas, jei išraiška reiškia visą kvadratą.

5 darbo etapas. Pažvelkime į būdus, kaip transformuoti dvigubą radikalą.

1 būdas:

Galite atlikti algebrines operacijas su kai kuriomis išraiškomis, kuriose yra dvigubų radikalų.

Pavyzdžiai:

= = = = = =

= = = = = =

= = = = = =

2 būdas

Radikalią išraišką galite sumažinti iki tobulo kvadrato.

Pavyzdžiai:

Taigi, jei radikalų išraiška vaizduojama kaip tobulas kvadratas, galite lengvai atsikratyti išorinio radikalo.

Pabandykime išspręsti

NEPASIEKIA!!!

3 būdas

Tais atvejais, kai radikalų išraišką nėra lengva pavaizduoti tobulo kvadrato pavidalu, galite naudoti paruoštą sudėtingo radikalo formulę.

Pavyzdžiai:

6 darbo etapas. Studijuotos medžiagos konsolidavimas.

Konvertuoti išraiškas, kuriose yra dvigubų radikalų:

7 darbo etapas. Pamokos pabaiga.

Galite konvertuoti dvigubus radikalus taip:

1. algebrinių operacijų atlikimas išraiškoje, turinčioje dvigubus radikalus, taikant kvadratinių šaknų savybes;
2. radikalios išraiškos sumažinimas iki tobulo kvadrato;
3. naudojant sudėtingas radikalų formules.

8 darbo etapas. Namų darbai.

Namuose dvigubus radikalus transformuosite įvairiais būdais (išdalinkite darbalapius).

Pamoka baigta. Ačiū už pamoką!

Šaknų savybėmis grindžiamos kitos dvi transformacijos, vadinamos jų įtraukimu po šaknies ženklu ir išėmimu iš po šaknies ženklo, prie kurių dabar kreipiamės.

Daugiklio įvedimas po šaknies ženklu

Įvedus veiksnį po ženklu, reikia pakeisti išraišką , kur B ir C yra kai kurie skaičiai arba išraiškos, o n yra natūralusis skaičius, didesnis už vienetą, identiškai vienoda formos arba išraiška.

Pavyzdžiui, po šaknies ženklu įvedus koeficientą 2, neracionali išraiška įgauna formą .

Šios transformacijos teoriniai pagrindai, jos įgyvendinimo taisyklės, taip pat įvairių tipinių pavyzdžių sprendimai pateikiami straipsnyje, kuriame pristatomas daugiklis po šaknies ženklu.

Daugiklio pašalinimas iš po šaknies ženklo

Transformacija, tam tikra prasme priešinga veiksnio įvedimui po šaknies ženklu, yra veiksnio pašalinimas iš po šaknies ženklo. Jį sudaro šaknis kaip nelyginio n sandauga arba lyginio n sandauga, kur B ir C yra kai kurie skaičiai arba išraiškos.

Pavyzdžiui, grįžkime prie ankstesnės pastraipos: neracionali išraiška, pašalinus veiksnį iš po šaknies ženklo, įgauna formą . Kitas pavyzdys: pašalinus veiksnį iš po šaknies ženklo reiškinyje gaunamas sandauga, kurią galima perrašyti kaip .

Kuo pagrįsta ši transformacija ir kokiomis taisyklėmis ji atliekama, atskirame straipsnyje išnagrinėsime daugiklio pašalinimą iš šaknies ženklo. Ten taip pat pateiksime sprendimų sprendimus ir išvardinsime būdus, kaip radikalią išraišką sumažinti iki formos, patogios dauginti.

Konvertuojamos trupmenos, kuriose yra šaknų

Iracionaliose išraiškose gali būti trupmenų, kurių šaknys yra skaitiklyje ir vardikliu. Su tokiomis frakcijomis galite atlikti bet kurią iš pagrindinių trupmenų tapatumo transformacijos.

Pirma, niekas netrukdo jums dirbti su skaitiklio ir vardiklio išraiškomis. Kaip pavyzdį apsvarstykite trupmeną. Iracionalioji išraiška skaitiklyje akivaizdžiai identiškai lygi , o kreipiantis į šaknų savybes, vardiklyje esančią išraišką galima pakeisti šaknimi . Dėl to pradinė trupmena konvertuojama į formą .

Antra, galite pakeisti ženklą prieš trupmeną, pakeisdami skaitiklio arba vardiklio ženklą. Pavyzdžiui, vyksta šios neracionalios išraiškos transformacijos: .

Trečia, kartais įmanoma ir patartina sumažinti dalį. Pavyzdžiui, kaip neleisti sau malonumo sumažinti trupmeną neracionaliai išraiškai, kaip rezultatas, gauname .

Akivaizdu, kad daugeliu atvejų, prieš mažinant trupmeną, jos skaitiklyje ir vardiklyje esančias išraiškas tenka suskaičiuoti, o tai paprastais atvejais galima pasiekti sutrumpintomis daugybos formulėmis. Ir kartais tai padeda sumažinti trupmeną pakeičiant kintamąjį, leidžiantį pereiti nuo pradinės trupmenos su neracionalumu prie racionalios trupmenos, su kuria patogiau ir pažįstama dirbti.

Pavyzdžiui, paimkime išraišką . Įveskime naujus kintamuosius ir šiuose kintamuosiuose pradinė išraiška turi formą . Atlikęs skaitiklyje

Algebrines išraiškas, kuriose naudojami ne tik keturi racionalūs veiksmai, bet ir radikalūs ženklai (iš pažodinių išraiškų), vadiname iracionaliomis algebrinėmis išraiškomis.

Tai, pavyzdžiui, posakiai

Nustatant o. d.z. Iracionalioms algebrinėms išraiškoms reikia atsižvelgti į tai, kad lyginio laipsnio radikalo ženklu pažymėtos išraiškos neturi būti neigiamos. Ieškant išraiškos skaitinės reikšmės nurodytoms pažodinėms parametrų reikšmėms, lyginių šaknys laipsnis suprantamas aritmetine prasme.

1 pavyzdys. Raskite o. d.z. posakius

ir jo vertė .

Sprendimas. O.d.z. nustatyta iš sąlygų. Pastebime, kad kun. d.z. lemia nelygybės. Apskaičiuodami vertę tam tikrame taške gauname

Transformuojant iracionalias algebrines išraiškas, naudojamos visos operacijų su šaknimis taisyklės (I skyrius, § 2). Pirmiausia panagrinėkime galimus posakių supaprastinimus, pvz., „monomalio šaknis“ arba „dviejų mononomų dalinio šaknis“. Sakysime, kad šaknis redukuojama į paprasčiausią formą, jei: 1) jos vardiklyje nėra neracionalumo, 2) neįmanoma redukuoti jos laipsnio radikalios išraiškos rodikliu ir, galiausiai, 3) viskas, kas įmanoma. veiksniai pašalinami iš po šaknies. Bet kurią šaknį galima sumažinti iki paprasčiausios formos, ty pakeisti identiškai lygiaverte, tačiau atitinkančia visas tris išvardytas sąlygas.

2 pavyzdys. Sumažinkite šias šaknis į paprasčiausią formą:

Sprendimas, a) 3 sumažinkite kiekvieno radikalios išraiškos veiksnio šaknies ir eksponentą.

Iš po šaknies ženklo išimame veiksnius a ir ;.

Šaknys, kurių paprasčiausios formos skiriasi, galbūt tik koeficientais (skaitiniais arba abėcėliniais), dažniausiai vadinamos panašiomis. Pavyzdžiui, šaknys ir yra panašios, kadangi ir šaknys nėra panašios, kadangi

Pridedant ir atimant panašias šaknis, jos visos redukuojamos į paprasčiausią formą, o tada šaknis išimama iš skliaustų.

3 pavyzdys. Atlikite šiuos veiksmus:

Sprendimas. Sumažinkime kiekvieną šaknį iki paprasčiausios formos:

Dabar mes randame (visos šaknys pasirodė panašios)

Šalinant veiksnius iš po lyginio laipsnio šaknies ženklo, reikia atsiminti, kad šaknis suprantama aritmetine prasme. Taigi, jei ženklai a, b nenurodyti, neturėtumėte rašyti. Čia apie. d.z. susideda ne tik iš vertybių, bet ir iš vertybių a

4 pavyzdys: supaprastinkite išraišką

Galimi šie atvejai:

Jei iš anksto nemanysite, kad , tada pavyzdžio sprendimas taps dar sudėtingesnis, nes atsakymą turėsite parašyti bendra forma:

o tada apsvarstykite keturis galimus atvejus: . Paliekame šią analizę užbaigti skaitytojui.

Ką tik išspręstame pavyzdyje radikalios išraiškos akivaizdžiai pavaizduotos kaip tikslūs kai kurių dvejetainių kvadratai. Kai kuriais atvejais šis radikalios išraiškos vaizdavimas nėra atliktas tokiu akivaizdžiu būdu. Taigi, kartais galite supaprastinti formos radikalus

8 klasėje moksleiviai matematikos pamokose supažindinami su sąvoka „radikalas“ arba, paprasčiau tariant, „šaknis“. Tada jie pirmą kartą susidūrė su sudėtingų radikalų supaprastinimo problema. Sudėtingi radikalai yra išraiškos, kuriose viena šaknis yra po kita. Todėl jie kartais vadinami įdėtais radikalais. Šiame straipsnyje matematikos ir fizikos mokytojas išsamiai pasakoja apie tai kaip supaprastinti sudėtingą radikalą.

Sudėtingų radikalų supaprastinimo metodai

Supaprastinti sudėtingą radikalą reiškia atsikratyti išorinės šaknies. Šią temą geriausia pradėti nagrinėti supaprastinant dvigubus radikalus. Juk jei išmoksime supaprastinti dvigubus radikalus, galėsime supaprastinti ir sudėtingesnius.

Kaip atsikratyti išorinės šaknies? Akivaizdu, kad tam reikia pakeisti radikalią išraišką, pateikiant ją pilno kvadrato pavidalu. Norėdami tai padaryti, naudosime gerai žinomą formulę „Skirtumo kvadratas“:

Čia, kaip matote, neigiamas terminas turi veiksnį dešinėje. Todėl pateikime šį veiksnį po šaknimi. Norėdami tai padaryti, pristatome jį kaip produktą iš:

Tada ir. Belieka tik atkreipti dėmesį į tai, kad . Dabar matome, kad po šaknies skirtumas yra kvadratas:

Dabar prisiminkime tai. Būtent modulis. Čia tai labai svarbu, nes kvadratinė šaknis yra teigiamas skaičius. Tada gauname:

Na, nuo title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="21" width="61" style="vertical-align: -3px;">, модуль раскрывается со знаком минус. В результате в ответе получаем:!}

Taip mums pavyko supaprastinti šį radikalą. Tačiau yra ir sudėtingesnių atvejų, kai iš karto neįmanoma atspėti, kaip pavaizduoti radikalią išraišką pilno kvadrato pavidalu. Pavyzdžiui, sekančiame pavyzdyje.

Kad ilgai nesukaustytumėte savo smegenų, galite naudoti šį metodą.

Leiskite jums priminti, kad mūsų tikslas yra pavaizduoti išraišką po šaknimi kaip tobulą kvadratą. Konkrečiai šiame pavyzdyje, sumos kvadrato forma:

Na, o sumos kvadratas atskleidžiamas pagal gerai žinomą formulę, kurią šiandien jau rašėme:

Taigi, mintis iš tikrųjų yra priimti neracionaliąją radikalios išraiškos dalį, o racionaliąją – už. Tada gauname tokią lygčių sistemą:

Aišku, kad . Priešingu atveju antroji sistemos lygtis netenkinama. Tada išreiškiame koeficientą iš antrosios lygties:

Šios trupmenos vardiklis nėra lygus nuliui, o tai reiškia, kad jo skaitiklis yra lygus nuliui. Gauname bikvadratinę lygtį, kurią galima išspręsti standartiniu būdu (daugiau informacijos žiūrėkite pridėtame vaizdo įraše). Ją išsprendę gauname net 4 šaknis. Galite pasiimti bet kurį. Man tai labiau patinka. Tada . Taigi, pagaliau gauname:

Čia yra būdas supaprastinti sudėtingą radikalą. Yra dar vienas. Mėgstantiems įsiminti sudėtingas formules, o aš nesu. Bet išsamumo dėlei papasakosiu ir apie jį.

Sudėtingų radikalų formulė

Štai kaip atrodo formulė:

Gana baisu, ar ne? Tačiau nebijokite, kai kuriais atvejais jis gali būti sėkmingai naudojamas. Pažiūrėkime į pavyzdį:

Atitinkamas reikšmes pakeičiame į formulę:

Tai yra atsakymas.

Taigi, šiandien klasėje kalbėjau apie tai, kaip supaprastinti sudėtingą radikalą. Jei anksčiau nežinojote šiandien aptartų metodų, greičiausiai dar turite daug išmokti, kad jaustumėtės užtikrintai laikydami vieningą valstybinį egzaminą ar matematikos stojamąjį egzaminą. Bet nesijaudink, aš galiu tave viso to išmokyti. Visa reikalinga informacija apie mano užsiėmimus yra įjungta. Sėkmės tau!

Medžiagą parengė Sergejus Valerjevičius