Aritmetinė progresija yra pirmojo dešimties suma. Kaip rasti aritmetinę progresiją? Aritmetinės progresijos pavyzdžiai su sprendimu. Aritmetinės progresijos n-ojo nario formulės taikymas
Taigi, susėskime ir pradėkime rašyti keletą skaičių. Pavyzdžiui:
Galite rašyti bet kokius skaičius, o jų gali būti tiek, kiek norite (mūsų atveju - jų). Kad ir kiek skaičių berašytume, visada galime pasakyti, kuris iš jų pirmas, kuris antras ir taip iki paskutinio, tai yra, galime juos sunumeruoti. Tai yra skaičių sekos pavyzdys:
Skaitmeninė seka
Pavyzdžiui, mūsų sekai:
Priskirtas numeris būdingas tik vienam eilės numeriui. Kitaip tariant, sekoje nėra trijų sekundžių skaičių. Antrasis skaičius (kaip ir -tasis skaičius) visada yra tas pats.
Skaičius su skaičiumi vadinamas --uoju sekos nariu.
Visą seką dažniausiai vadiname kokia nors raide (pavyzdžiui,), o kiekvieną šios sekos narį – ta pačia raide, kurios indeksas lygus šio nario skaičiui: .
Mūsų atveju: 
Tarkime, kad turime skaitinę seką, kurioje skirtumas tarp gretimų skaičių yra vienodas ir lygus.
Pavyzdžiui: 
ir tt
Tokia skaitinė seka vadinama aritmetine progresija.
Terminą „progresija“ romėnų autorius Boethius įvedė dar VI amžiuje ir jis buvo suprantamas platesne prasme kaip nesibaigianti skaitinė seka. Pavadinimas „aritmetika“ buvo perkeltas iš ištisinių proporcijų teorijos, kuria užsiėmė senovės graikai.
Tai skaitinė seka, kurios kiekvienas narys yra lygus ankstesniam, pridėtas tuo pačiu numeriu. Šis skaičius vadinamas aritmetinės progresijos skirtumu ir žymimas.
Pabandykite nustatyti, kurios skaičių sekos yra aritmetinė progresija, o kurios ne:
a)
b)
c)
d)
Supratau? Palyginkite mūsų atsakymus:
Is aritmetinė progresija - b, c.
Nėra aritmetinė progresija - a, d.
Grįžkime prie duotosios progresijos () ir pabandykime rasti jos nario reikšmę. Egzistuoja du būdas jį rasti.
1. Metodas
Prie ankstesnės progresijos skaičiaus reikšmės galime pridėti tol, kol pasieksime tąjį progresijos narį. Gerai, kad neturime daug ką apibendrinti – tik trys vertybės:
Taigi aprašytos aritmetinės progresijos --asis narys yra lygus.
2. Būdas
O kas, jei mums reikėtų rasti progresijos e-nojo nario vertę? Sumavimas būtų užtrukęs ne vieną valandą, ir tai nėra faktas, kad sudėdami skaičius nebūtume suklydę.
Žinoma, matematikai sugalvojo būdą, kaip prie ankstesnės reikšmės nereikia pridėti aritmetinės progresijos skirtumo. Atidžiai pažiūrėkite į nupieštą paveikslėlį... Tikrai jau pastebėjote tam tikrą modelį, būtent:
Pavyzdžiui, pažiūrėkime, kas sudaro šios aritmetinės progresijos --ojo nario reikšmę: 
Kitaip tariant:
Pabandykite tokiu būdu savarankiškai rasti šios aritmetinės progresijos nario vertę.
Apskaičiuota? Palyginkite savo įrašus su atsakymu:
Atkreipkite dėmesį, kad gavote lygiai tokį patį skaičių kaip ir ankstesniame metode, kai prie ankstesnės reikšmės paeiliui pridėjome aritmetinės progresijos narius.
Pabandykime „nuasmeninti“ šią formulę – suformuluosime ją į bendrą formą ir gausime:
|
Aritmetinės progresijos lygtis. |
Aritmetinės progresijos arba didėja, arba mažėja.
Didėja- progresija, kurioje kiekviena paskesnė terminų reikšmė yra didesnė už ankstesnę.
Pavyzdžiui:
Mažėjantis- progresija, kurioje kiekviena paskesnė terminų reikšmė yra mažesnė už ankstesnę.
Pavyzdžiui:
Išvestinė formulė naudojama skaičiuojant terminus tiek didėjančiais, tiek mažėjančiais aritmetinės progresijos nariais.
Pažiūrėkime tai praktiškai.
Pateikiame aritmetinę progresiją, kurią sudaro šie skaičiai:
Nuo tada:
Taigi buvome įsitikinę, kad formulė veikia tiek mažėjant, tiek didinant aritmetinę progresiją.
Pabandykite patys rasti --ąjį ir -ąjį šios aritmetinės progresijos narius.
Palyginkime rezultatus:
Aritmetinės progresijos savybė
Apsunkinkime užduotį – išvesime aritmetinės progresijos savybę.
Tarkime, kad mums pateikiama tokia sąlyga:
- aritmetinė progresija, raskite reikšmę.
Tai lengva, sakote, ir pradėkite skaičiuoti pagal jums jau žinomą formulę:
Leiskite, a, tada:
Visiškai teisus. Pasirodo, pirmiausia randame, tada pridedame prie pirmojo skaičiaus ir gauname tai, ko ieškome. Jei progresija vaizduojama mažomis reikšmėmis, tada tame nėra nieko sudėtingo, bet ką daryti, jei sąlygoje mums pateikiami skaičiai? Sutikite, yra galimybė padaryti klaidų skaičiavimuose.
Dabar pagalvokite, ar įmanoma išspręsti šią problemą vienu žingsniu naudojant bet kokią formulę? Žinoma, taip, ir mes stengsimės tai iškelti dabar.
Norimą aritmetinės progresijos narį žymime kaip, žinome jo radimo formulę – tai ta pati formulė, kurią išvedėme pradžioje:
, tada:
- ankstesnis progreso narys yra:
- kitas progresavimo terminas yra:
Susukime ankstesnius ir kitus progreso narius:
Pasirodo, kad ankstesnių ir paskesnių progresijos narių suma yra dvigubai didesnė už tarp jų esančios progresijos nario vertę. Kitaip tariant, norint rasti progresijos nario vertę su žinomomis ankstesnėmis ir nuosekliomis reikšmėmis, būtina jas pridėti ir padalinti iš.
Teisingai, mes gavome tą patį numerį. Pataisykime medžiagą. Progresavimo vertę apskaičiuokite patys, nes tai visai nesunku.
Šauniai padirbėta! Jūs žinote beveik viską apie progresą! Belieka išsiaiškinti tik vieną formulę, kurią, pasak legendos, vienas didžiausių visų laikų matematikų, „matematikų karalius“ – Karlas Gaussas, nesunkiai išvedė sau...
Kai Carlui Gausui buvo 9 metai, mokytojas, užsiėmęs kitų klasių mokinių darbų tikrinimu, pamokoje uždavė tokią užduotį: „Apskaičiuokite visų natūraliųjų skaičių sumą nuo iki (pagal kitus šaltinius iki) imtinai. “ Kuo nustebino mokytojas, kai vienas iš jo mokinių (tai buvo Karlas Gaussas) po minutės teisingai atsakė į užduotį, o dauguma drąsuolių klasės draugų po ilgų skaičiavimų gavo neteisingą rezultatą ...
Jaunasis Carlas Gaussas pastebėjo modelį, kurį galite lengvai pastebėti.
Tarkime, kad turime aritmetinę progresiją, susidedančią iš -ti narių: Turime rasti nurodytų aritmetinės progresijos narių sumą. Žinoma, galime rankiniu būdu susumuoti visas reikšmes, bet ką daryti, jei užduotyje reikia rasti jos terminų sumą, kaip ieškojo Gaussas?
Pavaizduokime mums duotą progresą. Atidžiai pažiūrėkite į paryškintus skaičius ir pabandykite su jais atlikti įvairius matematinius veiksmus. 
Išbandė? ką pastebėjai? Teisingai! Jų sumos yra lygios
Dabar atsakykite, kiek tokių porų bus mums pateiktoje progresijoje? Žinoma, lygiai pusė visų skaičių, tai yra.
Remdamiesi tuo, kad dviejų aritmetinės progresijos narių suma yra lygi ir panašių lygių porų, gauname, kad bendra suma yra lygi:
.
Taigi bet kurios aritmetinės progresijos pirmųjų narių sumos formulė bus tokia:
Kai kuriose problemose mes nežinome termino, bet žinome progresijos skirtumą. Pabandykite sumos formulę pakeisti th nario formule.
Ką tu gavai?
Šauniai padirbėta! Dabar grįžkime prie uždavinio, kuris buvo pateiktas Carlui Gaussui: patys apskaičiuokite, kokia yra skaičių, prasidedančių nuo -ojo, ir skaičių, prasidedančių nuo -ojo, suma.
Kiek gavai?
Gaussas pasirodė, kad terminų suma yra lygi, o terminų suma. Ar taip nusprendėte?
Tiesą sakant, aritmetinės progresijos narių sumos formulę dar III amžiuje įrodė senovės graikų mokslininkas Diofantas, ir visą tą laiką sąmojingi žmonės naudojo aritmetinės progresijos ypatybes.
Pavyzdžiui, įsivaizduokite Senovės Egiptą ir didžiausią to meto statybų aikštelę – piramidės statybą... Paveiksle pavaizduota viena jos pusė. 
Sakai, kur čia progresas? Atidžiai pažiūrėkite ir suraskite smėlio blokų skaičių kiekvienoje piramidės sienos eilutėje. 
Kodėl gi ne aritmetinė progresija? Suskaičiuokite, kiek blokų reikia vienai sienai pastatyti, jei į pagrindą dedamos blokinės plytos. Tikiuosi, neskaičiuosite judindami pirštu per monitorių, ar prisimeni paskutinę formulę ir viską, ką pasakėme apie aritmetinę progresiją?
Šiuo atveju progresas atrodo taip:
Aritmetinės progresijos skirtumas.
Aritmetinės progresijos narių skaičius.
Pakeiskime savo duomenis į paskutines formules (blokų skaičių skaičiuojame 2 būdais).
1 būdas.
2 būdas.
O dabar galite skaičiuoti ir monitoriuje: palyginkite gautas reikšmes su mūsų piramidėje esančių blokų skaičiumi. Ar sutiko? Puiku, jūs įvaldėte aritmetinės progresijos narių sumą.
Žinoma, jūs negalite statyti piramidės iš blokų prie pagrindo, bet iš? Pabandykite apskaičiuoti, kiek smėlio plytų reikia norint pastatyti sieną su tokia sąlyga.
Ar susitvarkei?
Teisingas atsakymas yra blokai:
Sportuoti
Užduotys:
- Maša vasarai įgauna formą. Kiekvieną dieną ji padidina pritūpimų skaičių. Kiek kartų Maša pritūps per savaites, jei darydavo pritūpimus per pirmąją treniruotę.
- Kokia yra visų nelyginių skaičių suma.
- Laikydami rąstus, medkirčiai juos sukrauna taip, kad kiekviename viršutiniame sluoksnyje būtų vienu rąstu mažiau nei ankstesniame. Kiek rąstų yra viename mūre, jei mūro pagrindas yra rąstai.
Atsakymai:
- Apibrėžkime aritmetinės progresijos parametrus. Tokiu atveju
(savaitės = dienos).Atsakymas: Po dviejų savaičių Maša turėtų pritūpti kartą per dieną.
- Pirmas nelyginis skaičius, paskutinis skaičius.
Aritmetinės progresijos skirtumas.
Tačiau nelyginių skaičių skaičius per pusę, tačiau patikrinkite šį faktą naudodami formulę, skirtą aritmetinės progresijos --ajam nariui rasti:Skaičiuose yra nelyginių skaičių.
Turimus duomenis pakeičiame į formulę:Atsakymas: Visų nelyginių skaičių suma yra lygi.
- Prisiminkite problemą dėl piramidžių. Mūsų atveju a , kadangi kiekvienas viršutinis sluoksnis sumažintas vienu rąstu, yra tik krūva sluoksnių, tai yra.
Pakeiskite duomenis formulėje:Atsakymas: Mūre yra rąstų.
Apibendrinant
- - skaitinė seka, kurioje skirtumas tarp gretimų skaičių yra vienodas ir lygus. Jo daugėja ir mažėja.
- Formulės radimas aritmetinės progresijos narys užrašomas formule - , kur yra skaičių skaičius progresijoje.
- Aritmetinės progresijos narių savybė- - kur - skaičių skaičius progresijoje.
- Aritmetinės progresijos narių suma galima rasti dviem būdais:
, kur yra reikšmių skaičius.
ARITMETINĖ PROGRESIJA. VIDUTINIS LYGIS
Skaitmeninė seka
Sėskime ir pradėkime rašyti keletą skaičių. Pavyzdžiui:
Galite rašyti bet kokius skaičius, jų gali būti tiek, kiek norite. Bet visada galite atskirti, kuris iš jų pirmas, kuris antras ir t.t., tai yra, galime juos sunumeruoti. Tai yra skaičių sekos pavyzdys.
Skaitmeninė seka yra skaičių rinkinys, kiekvienam iš kurių galima priskirti unikalų numerį.
Kitaip tariant, kiekvienas skaičius gali būti susietas su tam tikru natūraliu skaičiumi ir tik vienu. Ir mes nepriskirsime šio numerio jokiam kitam numeriui iš šio rinkinio.
Skaičius su skaičiumi vadinamas --uoju sekos nariu.
Visą seką dažniausiai vadiname kokia nors raide (pavyzdžiui,), o kiekvieną šios sekos narį – ta pačia raide, kurios indeksas lygus šio nario skaičiui: .
Labai patogu, jei --asis sekos narys gali būti pateiktas kokia nors formule. Pavyzdžiui, formulė
nustato seką:
Ir formulė yra tokia seka:
Pavyzdžiui, aritmetinė progresija yra seka (pirmasis narys čia yra lygus ir skirtumas). Arba (, skirtumas).
n-ojo termino formulė
Pasikartojančia vadiname formulę, kurioje, norint sužinoti -tąjį terminą, reikia žinoti ankstesnį ar kelis ankstesnius:
Norėdami, pavyzdžiui, pagal tokią formulę rasti progresijos t-ąjį narį, turime apskaičiuoti ankstesnius devynis. Pavyzdžiui, tegul. Tada:
Na, dabar aišku, kokia formulė?
Kiekvienoje eilutėje pridedame, padauginus iš tam tikro skaičiaus. Kam? Labai paprasta: tai yra dabartinio nario skaičius, atėmus:
Dabar daug patogiau, tiesa? Mes tikriname:
Spręskite patys:
Aritmetinėje progresijoje raskite n-ojo nario formulę ir suraskite šimtąjį narį.
Sprendimas:
Pirmasis narys yra lygus. Ir koks skirtumas? Ir štai kas:
(juk jis vadinamas skirtumu, nes lygus nuoseklių progresijos narių skirtumui).
Taigi formulė yra tokia:
Tada šimtasis terminas yra:
Kokia yra visų natūraliųjų skaičių suma nuo iki?
Pasak legendos, didysis matematikas Carlas Gaussas, būdamas 9 metų berniukas, šią sumą apskaičiavo per kelias minutes. Pastebėjo, kad pirmojo ir paskutinio skaičiaus suma yra lygi, antrojo ir priešpaskutinio – vienodos, trečio ir trečiojo nuo galo suma yra vienoda ir pan. Kiek tokių porų yra? Teisingai, lygiai pusė visų skaičių, tai yra. Taigi,
Bendra bet kurios aritmetinės progresijos pirmųjų narių sumos formulė bus tokia:
Pavyzdys:
Raskite visų dviženklių kartotinių sumą.
Sprendimas:
Pirmasis toks skaičius yra šis. Kiekvienas kitas gaunamas pridedant skaičių prie ankstesnio. Taigi mus dominantys skaičiai sudaro aritmetinę progresiją su pirmuoju nariu ir skirtumu.
Šios progresijos aštuntojo termino formulė yra tokia:
Kiek terminų yra progresijoje, jei jie visi turi būti dviejų skaitmenų?
Labai lengva: .
Paskutinis progresavimo terminas bus lygus. Tada suma:
Atsakymas:.
Dabar spręskite patys:
- Kiekvieną dieną sportininkas nubėga 1 m daugiau nei praėjusią dieną. Kiek kilometrų jis nubėgs per savaites, jei pirmą dieną nubėgo km m?
- Dviratininkas kiekvieną dieną nuvažiuoja daugiau mylių nei ankstesnis. Pirmą dieną nukeliavo km. Kiek dienų jis turi važiuoti, kad įveiktų kilometrą? Kiek kilometrų jis nuvažiuos paskutinę kelionės dieną?
- Kasmet tiek pat sumažinama šaldytuvo kaina parduotuvėje. Nustatykite, kiek kasmet sumažėjo šaldytuvo kaina, jei, išpardavus už rublius, po šešerių metų jis buvo parduotas už rublius.
Atsakymai:
- Čia svarbiausia atpažinti aritmetinę progresiją ir nustatyti jos parametrus. Šiuo atveju (savaitės = dienos). Turite nustatyti pirmųjų šios progresijos sąlygų sumą:
.
Atsakymas: - Čia pateikiama:, reikia rasti.
Akivaizdu, kad turite naudoti tą pačią sumos formulę kaip ir ankstesnėje užduotyje:
.
Pakeiskite reikšmes:Šaknis akivaizdžiai netinka, tad atsakymas.
Apskaičiuokime atstumą, nuvažiuotą per paskutinę dieną, naudodami --ojo termino formulę:
(km).
Atsakymas: - Duota:. Rasti:.
Lengviau netampa:
(trinti).
Atsakymas:
ARITMETINĖ PROGRESIJA. TRUMPAI APIE PAGRINDINĮ
Tai skaitinė seka, kurioje skirtumas tarp gretimų skaičių yra vienodas ir lygus.
Aritmetinė progresija didėja () ir mažėja ().
Pavyzdžiui:
Aritmetinės progresijos n-ojo nario radimo formulė
parašyta kaip formulė, kur yra skaičių skaičius progresijoje.
Aritmetinės progresijos narių savybė
Tai leidžia lengvai rasti progresijos narį, jei žinomi jo kaimyniniai nariai – kur yra skaičių skaičius progresijoje.
Aritmetinės progresijos narių suma
Yra du būdai, kaip rasti sumą:
Kur yra reikšmių skaičius.
Kur yra reikšmių skaičius.
LIKUSIEJI 2/3 STRAIPSNIŲ PRIEINAMI TIK YOUCLEVER STUDENTIAMS!
Tapk YouClever studentu,
Pasiruoškite OGE arba NAUDOKITE matematiką už „puodelį kavos per mėnesį“,
Taip pat gausite neribotą prieigą prie „YouClever“ vadovėlio, „100gia“ mokymo programos (sprendimų knygos), neriboto bandomojo USE ir OGE, 6000 užduočių su sprendimų analize ir kitų YouClever ir 100gia paslaugų.
Matematika turi savo grožį, kaip ir tapyba bei poezija.
Rusų mokslininkas, mechanikas N.E. Žukovskis
Labai dažnos matematikos stojamųjų testų užduotys yra užduotys, susijusios su aritmetinės progresijos samprata. Norint sėkmingai išspręsti tokias problemas, būtina gerai išmanyti aritmetinės progresijos savybes ir turėti tam tikrų jų taikymo įgūdžių.
Pirmiausia prisiminkime pagrindines aritmetinės progresijos savybes ir pateiksime svarbiausias formules, susijusi su šia koncepcija.
Apibrėžimas. Skaitmeninė seka, kuriame kiekvienas paskesnis terminas nuo ankstesnio skiriasi tuo pačiu skaičiumi, vadinama aritmetine progresija. Tuo pačiu metu skaičiusvadinamas progresijos skirtumu.
Aritmetinei progresijai galioja formulės
, (1)
kur . Formulė (1) vadinama aritmetinės progresijos bendrojo nario formule, o formulė (2) yra pagrindinė aritmetinės progresijos savybė: kiekvienas progresijos narys sutampa su gretimų narių aritmetiniu vidurkiu ir .
Atkreipkite dėmesį, kad kaip tik dėl šios savybės nagrinėjama progresija vadinama „aritmetine“.
Pirmiau pateiktos (1) ir (2) formulės apibendrinamos taip:
(3)
Norėdami apskaičiuoti sumą Pirmas aritmetinės progresijos nariaidažniausiai naudojama formulė
(5) kur ir .
Jei atsižvelgsime į formulę (1), tada formulė (5) reiškia
Jei paskirsime
kur . Kadangi , tada (7) ir (8) formulės yra atitinkamų (5) ir (6) formulių apibendrinimas.
Visų pirma, iš (5) formulės išplaukia, ką
Daugumai studentų mažai žinoma yra aritmetinės progresijos savybė, suformuluota pagal šią teoremą.
Teorema. Jei tada
Įrodymas. Jei tada
Teorema įrodyta.
Pavyzdžiui , naudojant teoremą, galima tai parodyti
Pereikime prie tipinių uždavinių sprendimo pavyzdžių svarstymo tema „Aritmetinė progresija“.
1 pavyzdys Leiskite ir. Rasti.
Sprendimas. Taikydami formulę (6), gauname . Nuo ir , tada arba .
2 pavyzdys Leiskite tris kartus daugiau, o dalinant iš koeficiento gaunasi 2, o likusioji dalis yra 8. Nustatykite ir.
Sprendimas. Lygčių sistema išplaukia iš pavyzdžio sąlygos
Kadangi , , ir , tada iš lygčių sistemos (10) gauname
Šios lygčių sistemos sprendiniai yra ir .
3 pavyzdys Raskite, ar ir.
Sprendimas. Pagal (5) formulę turime arba . Tačiau naudojant savybę (9), gauname .
Nuo ir , tada iš lygybės toliau pateikiama lygtis arba .
4 pavyzdys Raskite, jei.
Sprendimas.Pagal formulę (5) turime
Tačiau naudojant teoremą galima rašyti
Iš čia ir iš (11) formulės gauname .
5 pavyzdys. Duota:. Rasti.
Sprendimas. Nuo tada . Tačiau todėl .
6 pavyzdys Tegul , ir . Rasti.
Sprendimas. Naudodami (9) formulę gauname . Todėl, jei , tada arba .
Nuo ir tada čia turime lygčių sistemą
Išspręsdami kurią, gauname ir .
Natūrali lygties šaknis yra .
7 pavyzdys Raskite, ar ir.
Sprendimas. Kadangi pagal (3) formulę turime, kad , tai lygčių sistema išplaukia iš uždavinio sąlygos
Jei pakeisime išraiškąį antrąją sistemos lygtį, tada gauname arba .
Kvadratinės lygties šaknys yra ir .
Panagrinėkime du atvejus.
1. Leiskite , tada . Nuo ir tada .
Šiuo atveju pagal (6) formulę turime
2. Jei , tada , ir
Atsakymas: ir.
8 pavyzdys Yra žinoma, kad ir Rasti.
Sprendimas. Atsižvelgdami į (5) formulę ir pavyzdžio sąlygą, rašome ir .
Tai reiškia lygčių sistemą
Jei pirmąją sistemos lygtį padauginsime iš 2, o tada pridėsime prie antrosios lygties, gausime
Pagal (9) formulę turime. Šiuo atžvilgiu iš (12) seka arba .
Nuo ir tada .
Atsakymas:.
9 pavyzdys Raskite, ar ir.
Sprendimas. Nuo , ir pagal sąlygą , tada arba .
Iš (5) formulės žinoma, ką . Nuo tada .
Vadinasi, čia turime tiesinių lygčių sistemą
Iš čia gauname ir . Atsižvelgdami į (8) formulę, rašome .
10 pavyzdys Išspręskite lygtį.
Sprendimas. Iš pateiktos lygties išplaukia, kad . Tarkime, kad , , ir . Tokiu atveju .
Pagal (1) formulę galime rašyti arba .
Kadangi , (13) lygtis turi unikalią tinkamą šaknį .
11 pavyzdys. Raskite didžiausią reikšmę, jei ir .
Sprendimas. Nuo tada svarstoma aritmetinė progresija mažėja. Šiuo atžvilgiu išraiška įgyja didžiausią reikšmę, kai tai yra minimalaus teigiamo progreso nario skaičius.
Mes naudojame formulę (1) ir faktą, kuris ir . Tada gauname tai arba .
Nes tada arba . Tačiau šioje nelygybėjedidžiausias natūralusis skaičius, Štai kodėl .
Jei reikšmės ir yra pakeistos į (6) formulę, tada gauname .
Atsakymas:.
12 pavyzdys. Raskite visų dviženklių natūraliųjų skaičių, kuriuos padalijus iš 6, likutį sudaro 5, sumą.
Sprendimas.Žymima visų dvireikšmių natūraliųjų skaičių aibe, t.y. . Toliau sudarome poaibį, susidedantį iš tų aibės elementų (skaičių), kuriuos padalijus iš skaičiaus 6, gauname 5 likutį.
Lengva montuoti, ką . Aišku, kad aibės elementaisudaryti aritmetinę progresiją, kuriame ir .
Norėdami nustatyti aibės kardinalumą (elementų skaičių), darome prielaidą, kad . Kadangi ir , tada formulė (1) reiškia arba . Atsižvelgdami į (5) formulę, gauname .
Aukščiau pateikti problemų sprendimo pavyzdžiai jokiu būdu negali teigti, kad jie yra išsamūs. Šis straipsnis parašytas remiantis šiuolaikinių metodų, skirtų tipinėms konkrečios temos problemoms spręsti, analize. Norint giliau ištirti problemų, susijusių su aritmetine progresija, sprendimo būdus, patartina remtis rekomenduojamos literatūros sąrašu.
1. Matematikos užduočių rinkinys stojantiesiems į technikos universitetus / Red. M.I. Scanavi. - M .: Pasaulis ir švietimas, 2013. - 608 p.
2. Suprun V.P. Matematika aukštųjų mokyklų studentams: papildomos mokyklos programos dalys. – M.: Lenandas / URSS, 2014. - 216 p.
3. Medynsky M.M. Pilnas elementarios matematikos kursas atliekant užduotis ir pratybas. 2 knyga: skaičių sekos ir progresas. – M.: Editus, 2015. - 208 p.
Ar turite kokių nors klausimų?
Norėdami gauti korepetitoriaus pagalbą – registruokitės.
svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.
Kokia formulės esmė?
Ši formulė leidžia rasti bet koks PAGAL JO NUMERĮ“ n" .
Žinoma, jūs turite žinoti pirmąjį terminą a 1 ir progresavimo skirtumas d, na, be šių parametrų negalėsite užrašyti konkrečios eigos.
Nepakanka įsiminti (ar apgauti) šią formulę. Būtina įsisavinti jo esmę ir pritaikyti formulę įvairiose problemose. Taip, ir nepamirškite tinkamu laiku, taip ...) Kaip nepamiršti- Aš nežinau. Bet kaip atsiminti Jei reikės, duosiu patarimą. Tiems, kurie įvaldo pamoką iki galo.)
Taigi, panagrinėkime aritmetinės progresijos n-ojo nario formulę.
Kas yra formulė apskritai – įsivaizduojame.) Kas yra aritmetinė progresija, narių skaičius, progresijos skirtumas – aiškiai pasakyta ankstesnėje pamokoje. Pažiūrėk, jei neskaitėte. Ten viskas paprasta. Belieka išsiaiškinti, kas n-asis narys.
Apskritai progresą galima parašyti kaip skaičių seką:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1- žymi pirmąjį aritmetinės progresijos narį, a 3- trečiasis narys a 4- ketvirta ir pan. Jei mus domina penktoji kadencija, tarkime, kad dirbame su a 5, jei šimtas dvidešimtas – nuo a 120.
Kaip apibrėžti apskritai bet koks aritmetinės progresijos narys, s bet koks numeris? Labai paprasta! Kaip šitas:
a n
Štai kas yra n-asis aritmetinės progresijos narys. Po raide n slepiasi iš karto visi narių skaičiai: 1, 2, 3, 4 ir t.t.
O ką mums duoda toks rekordas? Tik pagalvokite, vietoj skaičiaus jie užrašė raidę ...
Šis žymėjimas suteikia mums galingą įrankį dirbant su aritmetine progresija. Naudojant žymėjimą a n, galime greitai rasti bet koks narys bet koks aritmetinė progresija. Ir daugybė užduočių, kurias reikia išspręsti. Pamatysite toliau.
Aritmetinės progresijos n-ojo nario formulėje:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- pirmasis aritmetinės progresijos narys;
n- nario numeris.
Formulė susieja pagrindinius bet kokios eigos parametrus: a n; a 1; d ir n. Aplink šiuos parametrus visi galvosūkiai sukasi paeiliui.
N-ojo termino formulė taip pat gali būti naudojama konkrečiai progresijai parašyti. Pavyzdžiui, užduotyje galima sakyti, kad progresą suteikia sąlyga:
a n = 5 + (n-1) 2.
Tokia problema gali net suklaidinti... Nėra serijos, jokio skirtumo... Bet palyginus sąlygą su formule, nesunku suprasti, kad šioje progresijoje a 1 \u003d 5 ir d = 2.
Ir tai gali būti dar piktesnė!) Jei laikysimės tos pačios sąlygos: a n = 5 + (n-1) 2, taip, atverti skliaustus ir duoti panašius? Gauname naują formulę:
an = 3 + 2n.
tai Tik ne bendrai, o konkrečiai progresijai. Čia ir slypi spąstai. Kai kurie žmonės mano, kad pirmasis terminas yra trys. Nors realiai pirmasis narys yra penketukas... Šiek tiek žemiau dirbsime su tokia modifikuota formule.
Pažangos užduotyse yra dar vienas žymėjimas - a n+1. Tai, jūs atspėjote, yra progreso „n plius pirmasis“ terminas. Jo reikšmė paprasta ir nekenksminga.) Tai progresijos narys, kurio skaičius yra vienetu didesnis už skaičių n. Pavyzdžiui, jei sprendžiame kokią nors problemą a n tada penktoji kadencija a n+1 bus šeštasis narys. ir kt.
Dažniausiai pavadinimas a n+1 pasitaiko rekursinėse formulėse. Nebijokite šio baisaus žodžio!) Tai tik būdas išreikšti aritmetinės progresijos terminą per ankstesnįjį. Tarkime, kad tokia forma mums pateikiama aritmetinė progresija, naudojant pasikartojančią formulę:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11
Ketvirtasis – per trečią, penktas – per ketvirtą ir t.t. Ir kaip iš karto suskaičiuoti, sakyk dvidešimtą terminą, a 20? Bet jokiu būdu!) Nors 19-asis terminas nėra žinomas, 20-asis negali būti skaičiuojamas. Tai yra esminis skirtumas tarp rekursinės formulės ir n-ojo nario formulės. Rekursyvūs veikia tik per ankstesnis terminas, o n-ojo termino formulė – per Pirmas ir leidžia iškarto raskite bet kurį narį pagal jo numerį. Neskaičiuojant visos skaičių serijos iš eilės.
Aritmetinėje progresijoje rekursinė formulė gali būti lengvai paversta įprasta. Suskaičiuokite porą iš eilės einančių terminų, apskaičiuokite skirtumą d, jei reikia, suraskite pirmąjį terminą a 1, parašykite formulę įprasta forma ir dirbkite su ja. GIA tokios užduotys dažnai randamos.
Aritmetinės progresijos n-ojo nario formulės taikymas.
Pirmiausia pažvelkime į tiesioginį formulės taikymą. Ankstesnės pamokos pabaigoje iškilo problema:
Duota aritmetinė progresija (a n). Raskite 121, jei 1 = 3 ir d = 1/6.
Šį uždavinį galima išspręsti be jokių formulių, tiesiog remiantis aritmetinės progresijos reikšme. Pridėti, taip pridėti... Valanda ar dvi.)
O pagal formulę sprendimas užtruks mažiau nei minutę. Galite laiku.) Mes nusprendžiame.
Sąlygose pateikiami visi formulės naudojimo duomenys: a 1 \u003d 3, d = 1/6. Lieka pažiūrėti, kas n. Jokiu problemu! Mums reikia rasti a 121. Čia rašome:
Prašau atkreipti dėmesį! Vietoj indekso n pasirodė konkretus skaičius: 121. Kas yra gana logiška.) Mus domina aritmetinės progresijos narys. numeris šimtas dvidešimt vienas. Tai bus mūsų n. Tai yra ši prasmė n= 121 pakeisime toliau į formulę skliausteliuose. Pakeiskite visus skaičius formulėje ir apskaičiuokite:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3 + 20 = 23
Tai viskas. Lygiai taip pat greitai galima rasti penkis šimtus dešimtą narį ir tūkstantį trečią bet kurį. Vietoj to dedame n norimą skaičių raidės rodyklėje " a" ir skliausteliuose, ir svarstome.
Leiskite jums priminti esmę: ši formulė leidžia jums rasti bet koks aritmetinės progresijos terminas PAGAL JO NUMERĮ“ n" .
Išspręskime problemą protingiau. Tarkime, kad turime tokią problemą:
Raskite pirmąjį aritmetinės progresijos narį (a n), jei a 17 =-2; d=-0,5.
Jei turite kokių nors sunkumų, aš pasiūlysiu pirmąjį žingsnį. Užrašykite aritmetinės progresijos n-ojo nario formulę! Taip taip. Rašykite ranka tiesiai į užrašų knygelę:
| a n = a 1 + (n-1)d |
Ir dabar, žiūrėdami į formulės raides, suprantame, kokius duomenis turime ir ko trūksta? Yra d=-0,5, yra septynioliktas narys... Viskas? Jei manai, kad tai viskas, vadinasi, problemos išspręsti nepavyks, taip...
Turime ir numerį n! Būklė a 17 =-2 paslėptas du variantai. Tai ir septyniolikto nario reikšmė (-2), ir jo skaičius (17). Tie. n=17.Ši „smulkmena“ dažnai praslysta pro galvą, o be jos, (be „smulkmenos“, ne galvos!) problemos išspręsti nepavyks. Nors ... ir be galvos.)
Dabar galime tiesiog kvailai pakeisti savo duomenis į formulę:
a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
O taip, a 17 mes žinome, kad -2. Gerai, įdėkime:
-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
Tai iš esmės yra viskas. Belieka iš formulės išreikšti pirmąjį aritmetinės progresijos narį ir apskaičiuoti. Jūs gaunate atsakymą: a 1 = 6.
Tokia technika – formulės rašymas ir tiesiog žinomų duomenų pakeitimas – labai padeda atliekant paprastas užduotis. Na, žinoma, jūs turite mokėti išreikšti kintamąjį iš formulės, bet ką daryti!? Be šio įgūdžio matematikos apskritai negalima mokytis ...
Kita populiari problema:
Raskite aritmetinės progresijos skirtumą (a n), jei a 1 =2; 15 = 12.
Ką mes darome? Nustebsite, mes rašome formulę!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Apsvarstykite, ką žinome: a 1 = 2; a 15 = 12; ir (ypatingas akcentas!) n=15. Nedvejodami pakeiskite formulę:
12=2 + (15-1)d
Atlikime aritmetiką.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Tai yra teisingas atsakymas.
Taigi, užduotys a n, a 1 ir d nusprendė. Belieka išmokti rasti numerį:
Skaičius 99 yra aritmetinės progresijos narys (a n), kur a 1 =12; d=3. Raskite šio nario numerį.
Žinomus dydžius pakeičiame n-ojo nario formule:
a n = 12 + (n-1) 3
Iš pirmo žvilgsnio čia yra du nežinomi kiekiai: a n ir n. Bet a n yra tam tikras progresijos narys su skaičiumi n... Ir šis progresijos narys, kurį mes žinome! Tai 99. Mes nežinome jo numerio. n, taigi ir šį skaičių reikia surasti. Pakeiskite progresavimo terminą 99 į formulę:
99 = 12 + (n-1) 3
Išreiškiame iš formulės n, mes galvojame. Gauname atsakymą: n = 30.
O dabar problema ta pačia tema, bet kūrybiškesnė):
Nustatykite, ar skaičius 117 bus aritmetinės progresijos narys (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Dar kartą parašykime formulę. Ką, nėra pasirinkimų? Hm... Kam mums reikalingos akys?) Ar matome pirmąjį progresijos narį? Mes matome. Tai yra -3,6. Galite drąsiai rašyti: a 1 \u003d -3,6. Skirtumas d galima nustatyti iš serijos? Tai paprasta, jei žinote, kuo skiriasi aritmetinė progresija:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Taip, mes padarėme paprasčiausią dalyką. Belieka susidoroti su nežinomu numeriu n ir nesuprantamas skaičius 117. Ankstesnėje užduotyje bent jau buvo žinoma, kad buvo pateiktas progresijos terminas. Bet čia mes to net nežinome... Kaip būti!? Na, kaip būti, kaip būti... Įjunkite kūrybinius sugebėjimus!)
Mes tarkime kad 117 visgi yra mūsų progreso narys. Su nežinomu numeriu n. Ir, kaip ir ankstesnėje užduotyje, pabandykime rasti šį skaičių. Tie. rašome formulę (taip-taip!)) ir pakeičiame savo skaičius:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Vėlgi išreiškiame iš formulėsn, suskaičiuojame ir gauname:
Oi! Numeris pasirodė trupmenos!Šimtas su puse. Ir trupmeniniai skaičiai progresijoje negali būti. Kokią išvadą darome? Taip! 117 numeris nėra mūsų progreso narys. Jis yra kažkur tarp 101 ir 102 narių. Jei skaičius pasirodė natūralus, t.y. teigiamas sveikasis skaičius, tada skaičius būtų progresijos narys su rastu skaičiumi. Ir mūsų atveju atsakymas į problemą bus toks: ne.
Užduotis, pagrįsta tikra GIA versija:
Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygą:
a n \u003d -4 + 6,8n
Raskite pirmąją ir dešimtąją progresijos narius.
Čia progresas nustatomas neįprastai. Kažkokia formulė... Būna.) Tačiau ši formulė (kaip rašiau aukščiau) - taip pat aritmetinės progresijos n-ojo nario formulė! Ji taip pat leidžia raskite bet kurį progresijos narį pagal jo skaičių.
Ieškome pirmojo nario. Tas, kuris galvoja. kad pirmasis narys yra minus keturi, yra mirtinai klaidinga!) Kadangi uždavinyje esanti formulė yra modifikuota. Jame pirmasis aritmetinės progresijos narys paslėptas. Nieko, dabar rasime.)
Kaip ir ankstesnėse užduotyse, mes pakeičiame n=1į šią formulę:
a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8
Čia! Pirmasis terminas yra 2,8, o ne -4!
Panašiai ieškome dešimtojo termino:
a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64
Tai viskas.
O dabar tiems, kurie perskaitė iki šių eilučių, pažadėta premija.)
Tarkime, sudėtingoje kovos situacijoje, susijusioje su GIA arba vieningu valstybiniu egzaminu, pamiršote naudingą n-ojo aritmetinės progresijos nario formulę. Kažkas ateina į galvą, bet kažkaip neaiškiai... Nesvarbu n ten, arba n+1 arba n-1... Kaip būti!?
Ramus! Šią formulę lengva išvesti. Nelabai griežtas, bet tikrai pakankamai pasitikėjimui ir teisingam sprendimui!) Išvadai pakanka prisiminti elementarią aritmetinės progresijos prasmę ir turėti porą minučių laiko. Jums tereikia nupiešti paveikslėlį. Dėl aiškumo.
Nubrėžiame skaitinę ašį ir pažymime joje pirmąją. antras, trečias ir kt. nariai. Ir atkreipkite dėmesį į skirtumą d tarp narių. Kaip šitas:
Žiūrime į paveikslėlį ir galvojame: kam lygus antrasis terminas? Antra vienas d:
a 2 =a 1 + 1 d
Kas yra trečiasis terminas? Trečias terminas lygus pirmam terminui plius du d.
a 3 =a 1 + 2 d
Ar supranti? Kai kurių žodžių nerašau paryškintu šriftu. Gerai, dar vienas žingsnis.)
Kas yra ketvirtasis terminas? Ketvirta terminas lygus pirmam terminui plius trys d.
a 4 =a 1 + 3 d
Pats laikas suvokti, kad spragų skaičius, t.y. d, visada vienu mažiau nei ieškomo nario n. Tai yra, iki skaičiaus n, tarpų skaičius bus n-1. Taigi, formulė bus tokia (be variantų!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Apskritai vaizdiniai paveikslėliai labai padeda sprendžiant daugelį matematikos problemų. Nepamirškite nuotraukų. Bet jei sunku nupiešti paveikslėlį, tai... tik formulė!) Be to, n-ojo nario formulė leidžia prie sprendinio prijungti visą galingą matematikos arsenalą – lygtis, nelygybes, sistemas ir kt. Jūs negalite įdėti paveikslėlio į lygtį...
Užduotys savarankiškam apsisprendimui.
Apšilimui:
1. Aritmetinėje progresijoje (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Raskite 3.
Užuomina: pagal paveikslėlį problema išspręsta per 20 sekundžių... Pagal formulę pasirodo sunkiau. Bet formulės įsisavinimui ji yra naudingesnė.) 555 skyriuje ši problema išspręsta ir paveikslėliu, ir formule. Jausti skirtumą!)
Ir tai nebėra apšilimas.)
2. Aritmetinėje progresijoje (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Raskite 3 .
Kas, nenoras piešti paveikslą?) Vis dėlto! Formulėje geriau, taip...
3. Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygą:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Raskite šimtą dvidešimt penktą šios progresijos narį.
Šioje užduotyje progresija pateikiama pasikartojančiu būdu. Bet skaičiuojant iki šimto dvidešimt penktosios kadencijos... Ne kiekvienas gali padaryti tokį žygdarbį.) Bet n-osios kadencijos formulė yra kiekvieno žmogaus galioje!
4. Pateikta aritmetinė progresija (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Raskite mažiausio teigiamo progresijos nario skaičių.
5. Pagal 4 užduoties sąlygą raskite progresijos mažiausių teigiamų ir didžiausių neigiamų narių sumą.
6. Didėjančios aritmetinės progresijos penktojo ir dvylikto narių sandauga yra -2,5, o trečiojo ir vienuolikto narių suma lygi nuliui. Raskite 14.
Ne pati lengviausia užduotis, taip...) Čia metodas „ant pirštų“ neveiks. Turite rašyti formules ir išspręsti lygtis.
Atsakymai (netvarkingai):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Įvyko? Tai gražu!)
Ne viskas pavyksta? Taip atsitinka. Beje, paskutinėje užduotyje yra vienas subtilus taškas. Reikės atidumo skaitant problemą. Ir logika.
Visų šių problemų sprendimas yra išsamiai aptartas 555 skyriuje. Ir fantazijos elementas ketvirtam, o subtilus momentas šeštajam, ir bendri požiūriai į bet kokių problemų sprendimą n-ojo termino formulei - viskas nudažyta. Rekomenduoju.
Jei jums patinka ši svetainė...
Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)
Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)
galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.
Kažkas žodį „progresavimas“ traktuoja atsargiai, kaip labai sudėtingą terminą iš aukštosios matematikos skyrių. Tuo tarpu paprasčiausia aritmetinė progresija – taksi skaitiklio darbas (kur jie dar ir lieka). O suprasti aritmetinės sekos esmę (o matematikoje nėra nieko svarbiau už „suprasti esmę“) nėra taip sunku, išanalizavus keletą elementarių sąvokų.
Matematinė skaičių seka
Įprasta skaičių seka vadinti skaičių seka, kurių kiekviena turi savo numerį.
ir 1 yra pirmasis sekos narys;
ir 2 yra antrasis sekos narys;
ir 7 yra septintasis sekos narys;
ir n yra n-tas sekos narys;
Tačiau mūsų nedomina joks savavališkas skaičių ir skaičių rinkinys. Sutelksime dėmesį į skaitinę seką, kurioje n-ojo nario reikšmė yra susieta su eilės skaičiumi priklausomybe, kurią galima aiškiai suformuluoti matematiškai. Kitaip tariant: n-ojo skaičiaus skaitinė reikšmė yra tam tikra n funkcija.
a - skaitinės sekos nario reikšmė;
n yra jo serijos numeris;
f(n) yra funkcija, kurios eilės eilė skaičių sekoje n yra argumentas.
Apibrėžimas
Aritmetine progresija paprastai vadinama skaitinė seka, kurioje kiekvienas paskesnis narys yra didesnis (mažesnis) nei ankstesnis tuo pačiu skaičiumi. Aritmetinės sekos n-ojo nario formulė yra tokia:
a n – esamo aritmetinės progresijos nario reikšmė;
a n+1 – kito skaičiaus formulė;
d – skirtumas (tam tikras skaičius).
Nesunku nustatyti, kad jei skirtumas yra teigiamas (d>0), tai kiekvienas paskesnis nagrinėjamos eilutės narys bus didesnis nei ankstesnis, ir tokia aritmetinė progresija bus didėjanti.
Žemiau esančiame grafike nesunku suprasti, kodėl skaičių seka vadinama „didėjančia“.
Tais atvejais, kai skirtumas yra neigiamas (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Nurodyto nario vertė
Kartais reikia nustatyti kokio nors savavališko aritmetinės progresijos nario a n reikšmę. Tai galite padaryti paeiliui apskaičiuodami visų aritmetinės progresijos narių reikšmes, nuo pirmosios iki norimos. Tačiau toks būdas ne visada priimtinas, jei, pavyzdžiui, reikia rasti penkių tūkstantosios ar aštuonios milijoninės dalies vertę. Tradicinis skaičiavimas užtruks ilgai. Tačiau tam tikrą aritmetinę progresiją galima ištirti naudojant tam tikras formules. Taip pat yra n-ojo nario formulė: bet kurio aritmetinės progresijos nario reikšmę galima nustatyti kaip pirmojo progresijos nario sumą su progresijos skirtumu, padauginus iš norimo nario skaičiaus, atėmus vieną. .
Formulė yra universali progresavimui didinti ir mažinti.
Pateikto nario vertės apskaičiavimo pavyzdys
Išspręskime tokį aritmetinės progresijos n-ojo nario reikšmės radimo uždavinį.
Sąlyga: yra aritmetinė progresija su parametrais:
Pirmasis sekos narys yra 3;
Skaičių serijų skirtumas yra 1,2.
Užduotis: reikia rasti 214 terminų reikšmę
Sprendimas: norėdami nustatyti tam tikro nario vertę, naudojame formulę:
a(n) = a1 + d(n-1)
Pakeitę problemos teiginio duomenis į išraišką, gauname:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Atsakymas: 214-asis sekos narys yra lygus 258,6.
Šio skaičiavimo metodo pranašumai yra akivaizdūs – visas sprendimas trunka ne daugiau kaip 2 eilutes.
Tam tikro terminų skaičiaus suma
Labai dažnai tam tikroje aritmetinėje eilutėje reikia nustatyti kai kurių jos segmentų verčių sumą. Taip pat nereikia skaičiuoti kiekvieno termino verčių ir tada jų susumuoti. Šis metodas taikomas, jei terminų, kurių sumą reikia rasti, skaičius yra mažas. Kitais atvejais patogiau naudoti šią formulę.
Aritmetinės progresijos nuo 1 iki n narių suma yra lygi pirmojo ir n-ojo narių sumai, padaugintai iš nario skaičiaus n ir padalytai iš dviejų. Jei formulėje n-ojo nario reikšmė pakeičiama išraiška iš ankstesnės straipsnio pastraipos, gauname:
Skaičiavimo pavyzdys
Pavyzdžiui, išspręskime problemą su šiomis sąlygomis:
Pirmasis sekos narys yra nulis;
Skirtumas yra 0,5.
Užduotyje reikia nustatyti serijos terminų sumą nuo 56 iki 101.
Sprendimas. Progresijos sumai nustatyti naudokite formulę:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Pirma, mes nustatome 101 progresijos nario verčių sumą, pakeisdami pateiktas mūsų problemos sąlygas į formulę:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525
Akivaizdu, kad norint sužinoti progresijos nuo 56 iki 101 terminų sumą, iš S 101 reikia atimti S 55.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Taigi šio pavyzdžio aritmetinės progresijos suma yra tokia:
101 s – 55 \u003d 2 525 – 742,5 \u003d 1 782,5
Aritmetinės progresijos praktinio taikymo pavyzdys
Straipsnio pabaigoje grįžkime prie pirmoje pastraipoje pateiktos aritmetinės sekos pavyzdžio – taksometras (taksi automobilio skaitiklis). Panagrinėkime tokį pavyzdį.
Įlipimas į taksi (į kurį įeina 3 km) kainuoja 50 rublių. Už kiekvieną kitą kilometrą mokama 22 rubliai / km. Kelionės atstumas 30 km. Apskaičiuokite kelionės kainą.
1. Išmeskime pirmus 3 km, kurių kaina įskaičiuota į nusileidimo kainą.
30 - 3 = 27 km.
2. Tolesnis skaičiavimas yra ne kas kita, kaip aritmetinių skaičių serijų analizė.
Nario numeris yra nuvažiuotų kilometrų skaičius (atėmus pirmuosius tris).
Nario vertė yra suma.
Pirmasis šios problemos terminas bus lygus 1 = 50 rublių.
Progresavimo skirtumas d = 22 p.
mus dominantis skaičius - (27 + 1) aritmetinės progresijos nario reikšmė - skaitiklio rodmuo 27 kilometro pabaigoje - 27,999 ... = 28 km.
a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644
Savavališkai ilgo laikotarpio kalendoriaus duomenų skaičiavimai yra pagrįsti formulėmis, apibūdinančiomis tam tikras skaitines sekas. Astronomijoje orbitos ilgis geometriškai priklauso nuo dangaus kūno atstumo iki šviestuvo. Be to, įvairios skaitinės eilutės sėkmingai naudojamos statistikoje ir kitose taikomosiose matematikos šakose.
Kita skaičių sekos rūšis yra geometrinė
Geometrinei progresijai būdingas didelis pokyčio greitis, palyginti su aritmetine. Neatsitiktinai politikoje, sociologijoje, medicinoje dažnai, norėdami parodyti didelį konkretaus reiškinio, pavyzdžiui, ligos, plitimo greitį epidemijos metu, sakoma, kad procesas vystosi eksponentiškai.
N-asis geometrinių skaičių serijos narys skiriasi nuo ankstesnio, nes jis padauginamas iš kažkokio pastovaus skaičiaus - vardiklis, pavyzdžiui, pirmasis narys yra atitinkamai 1, vardiklis yra atitinkamai 2, tada:
n = 1: 1 ∙ 2 = 2
n = 2: 2 ∙ 2 = 4
n = 3: 4 ∙ 2 = 8
n = 4: 8 ∙ 2 = 16
n = 5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - dabartinio geometrinės progresijos nario reikšmė;
b n+1 - kito geometrinės progresijos nario formulė;
q yra geometrinės progresijos (pastovaus skaičiaus) vardiklis.
Jei aritmetinės progresijos grafikas yra tiesi linija, tada geometrinė piešia šiek tiek kitokį vaizdą:
Kaip ir aritmetikos atveju, geometrinė progresija turi savavališko nario vertės formulę. Bet kuris n-asis geometrinės progresijos narys yra lygus pirmojo nario sandaugai ir progresijos vardiklio iki laipsnio n, sumažinto vienetu, sandaugai:
Pavyzdys. Turime geometrinę progresiją, kurios pirmasis narys lygus 3, o progresijos vardiklis lygus 1,5. Raskite 5 progresijos narį
b 5 \u003d b 1 ∙ q (5–1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875
Tam tikro narių skaičiaus suma taip pat apskaičiuojama naudojant specialią formulę. Pirmųjų n geometrinės progresijos narių suma yra lygi skirtumui tarp progresijos n-ojo nario ir jo vardiklio sandaugos ir pirmojo progresijos nario, padalijus iš vardiklio, sumažinto vienetu:
Jei b n pakeičiamas naudojant aukščiau aptartą formulę, nagrinėjamos skaičių serijos pirmųjų n narių sumos reikšmė bus tokia:
Pavyzdys. Geometrinė progresija prasideda nuo pirmojo nario, kuris lygus 1. Vardiklis nustatomas lygus 3. Raskime pirmųjų aštuonių narių sumą.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Taip, taip: aritmetinė progresija tau ne žaislas :) Na, draugai, jei jūs skaitote šį tekstą, tai vidinis gaubto įrodymas man sako, kad jūs vis dar nežinote, kas yra aritmetinė progresija, bet jūs tikrai (ne, taip: TAIP!) norite žinoti. Todėl nekankinsiu jūsų ilgomis įžangomis ir iškart kibsiu į reikalus.
Norėdami pradėti, pora pavyzdžių. Apsvarstykite keletą skaičių rinkinių:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Kas bendro tarp šių rinkinių? Iš pirmo žvilgsnio nieko. Bet iš tikrųjų kažkas yra. Būtent: kiekvienas kitas elementas nuo ankstesnio skiriasi tuo pačiu skaičiumi.
Spręskite patys. Pirmasis rinkinys yra tik iš eilės einantys skaičiai, kurių kiekvienas yra didesnis nei ankstesnis. Antruoju atveju skirtumas tarp gretimų skaičių jau lygus penkiems, tačiau šis skirtumas vis tiek yra pastovus. Trečiuoju atveju apskritai yra šaknys. Tačiau $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, tuo tarpu $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, t.y. Tokiu atveju kiekvienas kitas elementas tiesiog padidėja $\sqrt(2)$ (ir neišsigąskite, kad šis skaičius yra neracionalus).
Taigi: visos tokios sekos tiesiog vadinamos aritmetine progresija. Pateikime griežtą apibrėžimą:
Apibrėžimas. Skaičių seka, kurioje kiekvienas kitas lygiai tiek pat skiriasi nuo ankstesnio, vadinama aritmetine progresija. Pati suma, kuria skiriasi skaičiai, vadinama progresijos skirtumu ir dažniausiai žymima raide $d$.
Žymėjimas: $\left(((a)_(n)) \right)$ yra pati progresija, $d$ yra jos skirtumas.
Ir tik pora svarbių pastabų. Pirma, atsižvelgiama tik į progresą tvarkingas skaičių seka: juos leidžiama skaityti griežtai ta tvarka, kuria jie parašyti – ir nieko daugiau. Negalite pertvarkyti ar sukeisti numerių.
Antra, pati seka gali būti baigtinė arba begalinė. Pavyzdžiui, aibė (1; 2; 3) akivaizdžiai yra baigtinė aritmetinė progresija. Bet jei rašote kažką panašaus į (1; 2; 3; 4; ...) - tai jau yra begalinė progresija. Elipsė po keturių tarsi sufleruoja, kad nemažai skaičių eina toliau. Pavyzdžiui, be galo daug. :)
Taip pat norėčiau pastebėti, kad progresas didėja ir mažėja. Jau matėme didėjančius – tą patį rinkinį (1; 2; 3; 4; ...). Štai mažėjančio progresavimo pavyzdžiai:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
Gerai, gerai: paskutinis pavyzdys gali atrodyti pernelyg sudėtingas. Bet visa kita, manau, jūs suprantate. Todėl pateikiame naujus apibrėžimus:
Apibrėžimas. Aritmetinė progresija vadinama:
- didėja, jei kiekvienas kitas elementas yra didesnis už ankstesnį;
- mažėja, jei, atvirkščiai, kiekvienas paskesnis elementas yra mažesnis nei ankstesnis.
Be to, yra taip vadinamos „stacionarios“ sekos – jos susideda iš to paties pasikartojančio skaičiaus. Pavyzdžiui, (3; 3; 3; ...).
Lieka tik vienas klausimas: kaip atskirti didėjančią progresą nuo mažėjančios? Laimei, čia viskas priklauso tik nuo skaičiaus $d$ ženklo, t.y. progresavimo skirtumai:
- Jei $d \gt 0$, tai progresija didėja;
- Jei $d \lt 0$, tai progresija akivaizdžiai mažėja;
- Galiausiai yra atvejis $d=0$ — šiuo atveju visa progresija redukuojama į stacionarią identiškų skaičių seką: (1; 1; 1; 1; ...) ir t.t.
Pabandykime apskaičiuoti skirtumą $d$ trims pirmiau nurodytoms mažėjančioms pakopoms. Norėdami tai padaryti, pakanka paimti bet kuriuos du gretimus elementus (pavyzdžiui, pirmąjį ir antrąjį) ir atimti iš dešinėje esančio skaičiaus, o iš skaičiaus kairėje. Tai atrodys taip:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Kaip matote, visais trimis atvejais skirtumas tikrai buvo neigiamas. Ir dabar, kai daugiau ar mažiau išsiaiškinome apibrėžimus, laikas išsiaiškinti, kaip aprašomos progresijos ir kokios jos savybės.
Progresavimo ir pasikartojimo formulės nariai
Kadangi mūsų sekų elementai negali būti sukeisti, jie gali būti sunumeruoti:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \teisingai\)\]
Atskiri šios aibės elementai vadinami progresijos nariais. Jie nurodomi tokiu būdu skaičiaus pagalba: pirmasis narys, antrasis narys ir pan.
Be to, kaip jau žinome, kaimyniniai progreso nariai yra susieti pagal formulę:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rodyklė dešinėn ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Trumpai tariant, norėdami rasti progresijos $n$-ąjį narį, turite žinoti $n-1$-ąjį laikotarpį ir skirtumą $d$. Tokia formulė vadinama pasikartojančia, nes jos pagalba galima rasti bet kokį skaičių, tik žinant ankstesnįjį (o iš tikrųjų – visus ankstesnius). Tai labai nepatogu, todėl yra sudėtingesnė formulė, kuri sumažina bet kokį skaičiavimą iki pirmojo termino ir skirtumo:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]
Tikriausiai jau esate susidūrę su šia formule. Jie mėgsta tai pateikti visokiose žinynuose ir rešebnikuose. Ir bet kuriame protingame matematikos vadovėlyje jis yra vienas iš pirmųjų.
Tačiau siūlau šiek tiek pasitreniruoti.
Užduotis numeris 1. Užrašykite pirmuosius tris aritmetinės progresijos narius $\left(((a)_(n)) \right)$, jei $((a)_(1))=8,d=-5$.
Sprendimas. Taigi, mes žinome pirmąjį terminą $((a)_(1))=8$ ir progresijos skirtumą $d=-5$. Naudokime ką tik pateiktą formulę ir pakeiskime $n=1$, $n=2$ ir $n=3$:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(lygiuoti)\]
Atsakymas: (8; 3; -2)
Tai viskas! Atkreipkite dėmesį, kad mūsų progresas mažėja.
Žinoma, $n=1$ negalėjo būti pakeistas – mes jau žinome pirmąjį terminą. Tačiau pakeitę vienetą įsitikinome, kad mūsų formulė veikia net pirmą kadenciją. Kitais atvejais viskas susivedė į banalią aritmetiką.
Užduotis numeris 2. Užrašykite pirmuosius tris aritmetinės progresijos narius, jei jos septintasis narys yra –40, o septynioliktasis – –50.
Sprendimas. Problemos sąlygą rašome įprastomis sąlygomis:
\[((a)_(7)) = -40;\quad ((a)_(17)) = -50.\]
\[\left\( \begin(lygiuoti) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(lygiuoti) \right.\]
\[\left\( \begin(lygiuoti) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(lygiuoti) \teisingai.\]
Sistemos ženklą dedu, nes šie reikalavimai turi būti įvykdyti vienu metu. Ir dabar atkreipiame dėmesį, kad atėmę pirmąją lygtį iš antrosios lygties (turime teisę tai padaryti, nes turime sistemą), gausime štai ką:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(lygiuoti)\]
Kaip tik taip, mes nustatėme progresavimo skirtumą! Belieka rastą skaičių pakeisti bet kurioje sistemos lygtyje. Pavyzdžiui, pirmajame:
\[\begin(matrica) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1)) = -40 + 6 = -34. \\ \end(matrica)\]
Dabar, žinant pirmąjį terminą ir skirtumą, belieka rasti antrąjį ir trečiąjį terminus:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(lygiuoti)\]
Pasiruošę! Problema išspręsta.
Atsakymas: (-34; -35; -36)
Atkreipkite dėmesį į keistą progresijos savybę, kurią aptikome: jei paimsime $n$-ąją ir $m$-ąją dalį ir atimsime juos vienas iš kito, gausime progresijos skirtumą, padaugintą iš skaičiaus $n-m$:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
Paprasta, bet labai naudinga savybė, kurią tikrai turėtumėte žinoti – jos pagalba galite žymiai pagreitinti daugelio progresavimo problemų sprendimą. Štai puikus pavyzdys:
Užduotis numeris 3. Penktasis aritmetinės progresijos narys yra 8,4, o dešimtasis – 14,4. Raskite penkioliktą šios progresijos narį.
Sprendimas. Kadangi $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ ir turime rasti $((a)_(15))$, atkreipiame dėmesį į šiuos dalykus:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(lygiuoti)\]
Bet pagal sąlygą $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, taigi $5d=6$, iš kur turime:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(lygiuoti)\]
Atsakymas: 20.4
Tai viskas! Nereikėjo sudaryti jokių lygčių sistemų ir skaičiuoti pirmojo nario bei skirtumo – viskas buvo nuspręsta vos per porą eilučių.
Dabar panagrinėkime kitą problemos tipą – neigiamų ir teigiamų progreso narių paiešką. Ne paslaptis, kad jei progresija didėja, o jos pirmasis terminas yra neigiamas, tai anksčiau ar vėliau joje atsiras teigiami terminai. Ir atvirkščiai: mažėjančios progresijos sąlygos anksčiau ar vėliau taps neigiamos.
Tuo pačiu metu toli gražu ne visada įmanoma rasti šį momentą „ant kaktos“, nuosekliai rūšiuojant elementus. Dažnai uždaviniai yra suplanuoti taip, kad nežinant formulių skaičiavimai užtruktų kelis lapus – tiesiog užmigtume, kol rastume atsakymą. Todėl mes stengsimės šias problemas išspręsti greičiau.
Užduotis numeris 4. Kiek neigiamų narių aritmetinėje progresijoje -38,5; -35,8; …?
Sprendimas. Taigi $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, iš kurių iškart randame skirtumą:
Atkreipkite dėmesį, kad skirtumas yra teigiamas, todėl progresas didėja. Pirmasis narys yra neigiamas, todėl iš tikrųjų tam tikru momentu mes suklupsime ant teigiamų skaičių. Tik klausimas, kada tai įvyks.
Pabandykime išsiaiškinti: kiek laiko (t. y. iki kokio natūraliojo skaičiaus $n$) išsaugomas terminų negatyvumas:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n)) \lt 0\Rodyklė dešinėn ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rodyklė dešinėn ((n)_(\max ))=15. \\ \end(lygiuoti)\]
Paskutinę eilutę reikia paaiškinti. Taigi žinome, kad $n \lt 15\frac(7)(27)$. Kita vertus, mums tiks tik sveikosios skaičiaus reikšmės (be to: $n\in \mathbb(N)$), todėl didžiausias leistinas skaičius yra būtent $n=15$ ir jokiu būdu ne 16.
Užduotis numeris 5. Aritmetine progresija $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Raskite pirmojo teigiamo šios progresijos nario skaičių.
Tai būtų lygiai tokia pati problema kaip ir ankstesnė, bet mes nežinome $((a)_(1))$. Tačiau kaimyniniai terminai yra žinomi: $((a)_(5))$ ir $((a)_(6))$, todėl galime lengvai rasti progresijos skirtumą:
Be to, pabandykime išreikšti penktą terminą pirmuoju ir skirtumu, naudodami standartinę formulę:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1)) = -150-12 = -162. \\ \end(lygiuoti)\]
Dabar tęsiame analogiją su ankstesne problema. Sužinome, kuriame mūsų sekos taške atsiras teigiami skaičiai:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rodyklė dešinėn ((n)_(\min ))=56. \\ \end(lygiuoti)\]
Mažiausias sveikasis šios nelygybės sprendimas yra skaičius 56.
Atkreipkite dėmesį, kad paskutinėje užduotyje viskas buvo sumažinta iki griežtos nelygybės, todėl variantas $n=55$ mums netiks.
Dabar, kai išmokome spręsti paprastas problemas, pereikime prie sudėtingesnių. Bet pirmiausia išmokime dar vieną labai naudingą aritmetinės progresijos savybę, kuri ateityje sutaupys daug laiko ir nevienodų langelių. :)
Aritmetinis vidurkis ir lygios įtraukos
Apsvarstykite kelis nuoseklius didėjančios aritmetinės progresijos $\left(((a)_(n)) \right)$ narius. Pabandykime pažymėti juos skaičių eilutėje:
Aritmetinės progresijos nariai skaičių tiesėjeAš konkrečiai atkreipiau dėmesį į savavališkus narius $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, o ne bet kokius $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ ir kt. Nes taisyklė, kurią dabar jums pasakysiu, galioja bet kokiems „segmentams“.
O taisyklė labai paprasta. Prisiminkime rekursinę formulę ir užrašykite ją visiems pažymėtiems nariams:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(lygiuoti)\]
Tačiau šias lygybes galima perrašyti skirtingai:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(lygiuoti)\]
Na ir kas? Tačiau faktas, kad terminai $((a)_(n-1))$ ir $((a)_(n+1))$ yra tokiu pat atstumu nuo $((a)_(n)) $ . Ir šis atstumas lygus $d$. Tą patį galima pasakyti apie terminus $((a)_(n-2))$ ir $((a)_(n+2))$ – jie taip pat pašalinami iš $((a)_(n) )$ tuo pačiu atstumu, lygiu $2d$. Galite tęsti neribotą laiką, tačiau paveikslėlis gerai iliustruoja prasmę
Progresijos nariai guli tokiu pat atstumu nuo centro Ką tai reiškia mums? Tai reiškia, kad galite rasti $((a)_(n))$, jei žinomi gretimi skaičiai:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Išvedėme puikų teiginį: kiekvienas aritmetinės progresijos narys yra lygus gretimų narių aritmetiniam vidurkiui! Be to, mes galime nukrypti nuo mūsų $((a)_(n))$ į kairę ir į dešinę ne vienu žingsniu, o $k$ žingsniais — ir vis tiek formulė bus teisinga:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Tie. nesunkiai galime rasti $((a)_(150))$, jei žinome $((a)_(100))$ ir $((a)_(200))$, nes $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad šis faktas mums nieko naudingo neduoda. Tačiau praktikoje daugelis užduočių yra specialiai „paaštrintos“ aritmetinio vidurkio vartojimui. Pažiūrėk:
Užduotis numeris 6. Raskite visas $x$ reikšmes taip, kad skaičiai $-6((x)^(2))$, $x+1$ ir $14+4((x)^(2))$ būtų nuoseklūs aritmetinė progresija (nurodyta tvarka).
Sprendimas. Kadangi šie skaičiai yra progresijos nariai, jiems tenkinama aritmetinio vidurkio sąlyga: centrinis elementas $x+1$ gali būti išreikštas gretimais elementais:
\[\begin(lygiuoti) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(lygiuoti)\]
Rezultatas yra klasikinė kvadratinė lygtis. Jo šaknys: $x=2$ ir $x=-3$ yra atsakymai.
Atsakymas: -3; 2.
Užduotis numeris 7. Raskite $$ reikšmes tokias, kad skaičiai $-1;4-3;(()^(2))+1$ sudarytų aritmetinę progresiją (ta tvarka).
Sprendimas. Vėlgi, vidurinį terminą išreiškiame gretimų terminų aritmetiniu vidurkiu:
\[\begin(lygiuoti) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(lygiuoti)\]
Kita kvadratinė lygtis. Ir vėl dvi šaknys: $x=6$ ir $x=1$.
Atsakymas: 1; 6.
Jei spręsdami problemą gaunate žiaurius skaičius arba nesate visiškai tikri dėl rastų atsakymų teisingumo, tada yra nuostabus triukas, leidžiantis patikrinti: ar teisingai išsprendėme problemą?
Tarkime, 6 uždavinyje gavome atsakymus -3 ir 2. Kaip galime patikrinti, ar šie atsakymai teisingi? Tiesiog prijunkite juos prie pradinės būklės ir pažiūrėkime, kas atsitiks. Priminsiu, kad turime tris skaičius ($-6(()^(2))$, $+1$ ir $14+4(()^(2))$), kurie turėtų sudaryti aritmetinę progresiją. Pakaitalas $x=-3$:
\[\begin(lygiuoti) & x=-3\Rodyklė dešinėn \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(lygiuoti)\]
Gavome skaičius -54; −2; 50, kurie skiriasi 52, neabejotinai yra aritmetinė progresija. Tas pats atsitinka su $x=2$:
\[\begin(lygiuoti) & x=2\Rodyklė dešinėn \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(lygiuoti)\]
Vėl progresija, bet su 27 skirtumu. Taigi, problema išspręsta teisingai. Norintys antrąją užduotį gali pasitikrinti patys, bet iš karto pasakysiu: ir ten viskas teisingai.
Apskritai, spręsdami paskutines problemas, susidūrėme su dar vienu įdomiu faktu, kurį taip pat reikia atsiminti:
Jei trys skaičiai yra tokie, kad antrasis yra pirmojo ir paskutinio vidurkis, tada šie skaičiai sudaro aritmetinę progresiją.
Ateityje šio teiginio supratimas leis mums tiesiogine to žodžio prasme „sukonstruoti“ reikiamas pažangas pagal problemos būklę. Tačiau prieš įsitraukdami į tokią „konstrukciją“, turėtume atkreipti dėmesį į dar vieną faktą, kuris tiesiogiai išplaukia iš to, kas jau buvo svarstyta.
Elementų grupavimas ir suma
Vėl grįžkime prie skaičių eilutės. Atkreipiame dėmesį į keletą progreso narių, tarp kurių galbūt. verti daug kitų narių:
Skaičių eilutėje pažymėti 6 elementaiPabandykime „kairę uodegą“ išreikšti $((a)_(n))$ ir $d$, o „dešinę uodegą“ – $((a)_(k))$ ir $ d$. Tai labai paprasta:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(lygiuoti)\]
Dabar atkreipkite dėmesį, kad šios sumos yra lygios:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(lygiuoti)\]
Paprasčiau tariant, jei laikysime pradžią du progreso elementus, kurie iš viso yra lygūs tam tikram skaičiui $S$, o tada pradedame žingsniuoti nuo šių elementų priešingomis kryptimis (vienas kito link arba atvirkščiai, norėdami tolti), tada elementų sumos, į kurias atsidursime, taip pat bus lygios$S$. Geriausiai tai galima pavaizduoti grafiškai:
Tos pačios įtraukos suteikia vienodas sumas Šio fakto supratimas leis mums išspręsti iš esmės aukštesnio sudėtingumo problemas nei tos, kurias svarstėme aukščiau. Pavyzdžiui, šie:
Užduotis numeris 8. Nustatykite aritmetinės progresijos skirtumą, kai pirmasis narys yra 66, o antrojo ir dvyliktojo narių sandauga yra mažiausia įmanoma.
Sprendimas. Užsirašykime viską, ką žinome:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(lygiuoti)\]
Taigi, mes nežinome progresijos $d$ skirtumo. Tiesą sakant, visas sprendimas bus sukurtas atsižvelgiant į skirtumą, nes produktas $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ gali būti perrašytas taip:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(lygiuoti)\]
Tiems, kurie yra bake: aš išėmiau bendrą koeficientą 11 iš antrojo laikiklio. Taigi norima sandauga yra kvadratinė funkcija kintamojo $d$ atžvilgiu. Todėl apsvarstykite funkciją $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ – jos grafikas bus parabolė su šakomis į viršų, nes jei atidarysime skliaustus, gausime:
\[\begin(lygiuoti) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end (lygiuoti)\]
Kaip matote, koeficientas su didžiausiu terminu yra 11 - tai teigiamas skaičius, todėl mes iš tikrųjų susiduriame su parabole su šakomis į viršų:
kvadratinės funkcijos grafikas – parabolė
Atkreipkite dėmesį: ši parabolė turi mažiausią vertę savo viršūnėje su abscise $((d)_(0))$. Žinoma, šią abscisę galime apskaičiuoti pagal standartinę schemą (yra formulė $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), bet daug protingiau būtų atkreipkite dėmesį, kad norima viršūnė yra ant parabolės ašies simetrijos, todėl taškas $((d)_(0))$ yra vienodu atstumu nuo lygties $f\left(d \right)=0$ šaknų:
\[\begin(lygiuoti) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(lygiuoti)\]
Todėl skliausteliuose neskubėjau atversti: originalioje formoje šaknis buvo labai labai lengva rasti. Todėl abscisė yra lygi skaičių −66 ir −6 aritmetiniam vidurkiui:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Kas suteikia mums atrastą skaičių? Su juo reikalinga prekė įgauna mažiausią reikšmę (beje, mes neskaičiavome $((y)_(\min ))$ - to iš mūsų nereikalaujama). Kartu šis skaičius yra pradinės progresijos skirtumas, t.y. radome atsakymą. :)
Atsakymas: -36
Užduotis numeris 9. Tarp skaičių $-\frac(1)(2)$ ir $-\frac(1)(6)$ įterpkite tris skaičius, kad kartu su nurodytais skaičiais sudarytų aritmetinę progresiją.
Sprendimas. Tiesą sakant, turime sudaryti penkių skaičių seką, kurių pirmasis ir paskutinis skaičiai jau žinomi. Trūkstamus skaičius pažymėkite kintamaisiais $x$, $y$ ir $z$:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
Atkreipkite dėmesį, kad skaičius $y$ yra mūsų sekos "viduris" – jis yra vienodu atstumu nuo skaičių $x$ ir $z$ bei nuo skaičių $-\frac(1)(2)$ ir $-\frac. (1) (6) $. Ir jei šiuo metu negalime gauti $y$ iš skaičių $x$ ir $z$, tai su progresijos galais situacija yra kitokia. Prisiminkite aritmetinį vidurkį:
Dabar, žinodami $y$, rasime likusius skaičius. Atminkite, kad $x$ yra tarp $-\frac(1)(2)$ ir $y=-\frac(1)(3)$ ką tik rasta. Štai kodėl
Ginčiuodami panašiai, randame likusį skaičių:
Pasiruošę! Mes radome visus tris skaičius. Užrašykite juos atsakyme tokia tvarka, kokia jie turėtų būti įterpti tarp pradinių skaičių.
Atsakymas: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Užduotis numeris 10. Tarp skaičių 2 ir 42 įterpkite kelis skaičius, kurie kartu su nurodytais skaičiais sudaro aritmetinę progresiją, jei žinoma, kad pirmojo, antrojo ir paskutinio įterptų skaičių suma yra 56.
Sprendimas. Dar sunkesnė užduotis, kuri vis dėlto sprendžiama taip pat, kaip ir ankstesnės – per aritmetinį vidurkį. Problema ta, kad mes tiksliai nežinome, kiek skaičių įterpti. Todėl tikslumui darome prielaidą, kad įvedus bus lygiai $n$ skaičiai, o pirmasis iš jų yra 2, o paskutinis - 42. Tokiu atveju norima aritmetinė progresija gali būti pavaizduota taip:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;(a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]
\[((a)_(2))+(a)_(3))+(a)_(n-1)) = 56\]
Tačiau atkreipkite dėmesį, kad skaičiai $((a)_(2))$ ir $((a)_(n-1))$ gaunami iš skaičių 2 ir 42, stovinčių kraštuose vienu žingsniu vienas kito link. , t.y. į sekos centrą. Ir tai reiškia, kad
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Bet tada aukščiau pateiktą išraišką galima perrašyti taip:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+(a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(lygiuoti)\]
Žinodami $((a)_(3))$ ir $((a)_(1))$, galime lengvai rasti progresijos skirtumą:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rodyklė dešinėn d=5. \\ \end(lygiuoti)\]
Belieka tik surasti likusius narius:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(lygiuoti)\]
Taigi, jau 9 žingsniu pateksime į kairįjį sekos galą – skaičių 42. Iš viso reikėjo įterpti tik 7 skaičius: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Atsakymas: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Tekstinės užduotys su progresais
Baigdamas norėčiau apsvarstyti keletą gana paprastų problemų. Na, kaip paprasti: daugumai mokinių, kurie mokykloje mokosi matematikos ir neskaitė to, kas parašyta aukščiau, šios užduotys gali atrodyti kaip gestas. Nepaisant to, būtent tokios užduotys kyla OGE ir USE matematikoje, todėl rekomenduoju su jomis susipažinti.
Užduotis numeris 11. Sausio mėnesį komanda pagamino 62 dalis, o kiekvieną kitą mėnesį pagamino 14 dalių daugiau nei praėjusį. Kiek dalių brigada pagamino lapkritį?
Sprendimas. Akivaizdu, kad dalių skaičius, nudažytas pagal mėnesį, bus didėjanti aritmetinė progresija. Ir:
\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(lygiuoti)\]
Lapkritis yra 11 metų mėnuo, todėl turime rasti $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Todėl lapkričio mėnesį bus pagamintos 202 dalys.
Užduotis numeris 12. Įrišimo cechas sausio mėnesį įrišo 216 knygų, o kiekvieną kitą mėnesį – 4 knygomis daugiau nei praėjusį. Kiek knygų seminaras įrišo gruodžio mėnesį?
Sprendimas. Visi vienodi:
$\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(lygiuoti)$
Gruodis yra paskutinis, 12 metų mėnuo, todėl ieškome $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Tai yra atsakymas – gruodžio mėnesį bus įrišta 260 knygų.
Na, o jei perskaitėte iki šiol, skubu jus pasveikinti: sėkmingai baigėte „jaunojo kovotojo kursą“ aritmetinėje progresijoje. Galime drąsiai pereiti prie kitos pamokos, kurioje išnagrinėsime progresavimo sumos formulę, taip pat svarbias ir labai naudingas jos pasekmes.
Ankstesnis straipsnis: Kiek kalorijų 100 gramų grietinės Kitas straipsnis: Kaip numesti svorio laikantis kefyro dietos