Espressioni irrazionali (espressioni con radici) e loro trasformazione. Espressioni irrazionali (espressioni con radici) e loro trasformazione Trasformazione dei compiti di espressioni contenenti radicali dall'Esame di Stato Unificato

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Classe: 8

Obiettivi della lezione:

Educativo:

1. Approfondire le conoscenze degli studenti sul tema delle radici quadrate e riassumere il materiale didattico.
2. Introdurre gli studenti al concetto di doppio radicale.
3. Impara a trasformare i radicali doppi isolando il quadrato completo dell'espressione radicale.
4. Insegna agli studenti a utilizzare la formula del doppio radicale.
5. Sviluppare competenze e abilità per lavorare con espressioni irrazionali.

Sviluppo:

1. Sviluppare l'attenzione degli studenti.
2. Sviluppare la capacità di ottenere risultati lavorativi.
3. Sviluppare l’interesse per lo studio dell’algebra e le capacità di lavoro indipendente.

Educare:

1. Promuovere un senso di collettivismo.
2. Formazione di un senso di responsabilità per il risultato del lavoro.
3. Formazione di un'adeguata autostima negli studenti quando scelgono un voto per il lavoro in classe.

Attrezzatura: computer, proiettore.

Durante le lezioni

Fase 1 del lavoro. Organizzare il tempo.

Fase 2 del lavoro. Motivazione e risoluzione dei problemi

Fino all'ottavo anno, eseguivamo cinque operazioni aritmetiche sui numeri: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione ed esponenziale, e nei calcoli utilizzavamo attivamente varie proprietà di queste operazioni.

Nel corso di algebra dell'ottavo anno è stata introdotta una nuova operazione: prendere la radice quadrata di un numero non negativo. Le espressioni contenenti l'operazione di estrazione della radice quadrata sono dette irrazionali.

In un ampio dizionario esplicativo si può trovare la seguente definizione di irrazionalità:

Da un punto di vista filosofico, l’irrazionalità è l’inaccessibilità alla ragione, qualcosa che non può essere compreso dalla ragione, che chiaramente non obbedisce alle leggi della logica e che non può essere espresso in concetti logici, che viene valutato come “superragionevole”. Da un punto di vista matematico l'irrazionalità è incommensurabilità con l'unità; non è né un numero intero né una frazione.

Il concetto di irrazionalità è davvero qualcosa di “incomprensibile, incommensurabile, inconcepibile”?

Cercheremo di trovare una risposta a questa domanda oggi.

Fase 3 del lavoro. Ripetizione di materiale precedentemente studiato

1) Proprietà della radice quadrata

Per trasformare correttamente le espressioni che contengono un'operazione di radice quadrata, è necessario conoscere le proprietà di questa operazione.

Ricordiamo queste proprietà:

1) La radice quadrata del prodotto di due numeri non negativi è uguale al prodotto delle radici quadrate di questi numeri.

2) Se a≥0, b>0, allora l'uguaglianza è vera

3) Se a≥0 en è un numero naturale, allora

4) Per ogni a l'identità vale

Se conosci bene i metodi di trasformazione delle espressioni razionali, i metodi di trasformazione delle frazioni algebriche, padroneggi la definizione del concetto di radice e le proprietà di radice quadrata, sai inserire un fattore sotto il segno di radice quadrata, rimuovere un fattore da sotto il segno della radice quadrata, puoi trasformare qualsiasi espressione contenente l'operazione di estrazione di una radice quadrata

2) Metodi per la conversione dei radicali

Oltre ai teoremi elencati, quando si trasformano i radicali vengono utilizzate alcune tecniche speciali, che derivano anche da questi teoremi, ma richiedono una certa abilità.

Primo si chiama distruzione dell'irrazionalità nel denominatore della frazione. Se il denominatore di una frazione contiene una o più radici, gestire tale frazione non è del tutto conveniente. Il significato di questa tecnica è che è necessario selezionare un fattore tale che il suo prodotto per il denominatore non contenga radici.

Secondo Un'interessante trasformazione dei radicali è chiamata doppia trasformazione radicale.

Fase 4 del lavoro. Introduci il concetto di radicale doppio e dimostra la formula per un radicale complesso.

Espressioni della forma e sono chiamate radicali doppi o radicali complessi. Trasformare un doppio radicale significa eliminare il radicale esterno.

Le identità sono valide

A ogni espressione radicale è non negativa.

Dimostriamo queste uguaglianze (lo studente dimostra):

Per fare ciò, eleviamo al quadrato entrambi i lati di queste espressioni, utilizzando la formula del quadrato della somma (differenza) di due numeri e la formula della differenza dei quadrati.

Quadratiamo il lato sinistro:

Quadratiamo il lato destro:

= ∙ = = = = = = =

Si noti che l'identità dimostrata consente di semplificare notevolmente calcoli e trasformazioni se l'espressione rappresenta un quadrato completo.

Fase 5 del lavoro. Diamo un'occhiata ai modi per trasformare un doppio radicale.

1 modo:

È possibile eseguire operazioni algebriche su alcune espressioni contenenti doppi radicali.

Esempi:

= = = = = =

= = = = = =

= = = = = =

Metodo 2

Puoi ridurre l'espressione radicale a un quadrato perfetto.

Esempi:

Pertanto, se l'espressione radicale è rappresentata come un quadrato perfetto, puoi facilmente eliminare il radicale esterno.

Proviamo a risolvere

NON RIESCE!!!

3 vie

Nei casi in cui l'espressione radicale non è facile da rappresentare sotto forma di quadrato perfetto, è possibile utilizzare la formula già pronta per un radicale complesso

Esempi:

Fase 6 del lavoro. Consolidamento del materiale studiato.

Convertire espressioni contenenti doppi radicali:

Fase 7 del lavoro. Conclusione della lezione.

Puoi convertire i doppi radicali come segue:

1. eseguire operazioni algebriche in un'espressione contenente doppi radicali, applicando le proprietà delle radici quadrate;
2. ridurre l'espressione radicale a un quadrato perfetto;
3. utilizzando formule radicali complesse.

Fase 8 del lavoro. Compiti a casa.

A casa trasformerai i doppi radicali in diversi modi (distribuisci fogli di lavoro).

La lezione è finita. Grazie per la lezione!

Le proprietà delle radici sono alla base delle due trasformazioni successive, chiamate portarle sotto il segno della radice e portarle fuori da sotto il segno della radice, alle quali ora ci rivolgiamo.

Inserimento di un moltiplicatore sotto il segno della radice

Introdurre un fattore sotto il segno implica sostituire l'espressione , dove B e C sono alcuni numeri o espressioni, e n è un numero naturale maggiore di uno, con un'espressione identicamente uguale della forma o .

Ad esempio, dopo aver introdotto un fattore 2 sotto il segno della radice, un'espressione irrazionale assume la forma .

I fondamenti teorici di questa trasformazione, le regole per la sua attuazione, nonché le soluzioni a vari esempi tipici sono forniti nell'articolo che introduce un moltiplicatore sotto il segno della radice.

Rimuovere il moltiplicatore da sotto il segno della radice

Una trasformazione, in un certo senso opposta all'introduzione di un fattore sotto il segno della radice, è togliere il fattore sotto il segno della radice. Consiste nel rappresentare la radice come prodotto per n dispari o come prodotto per n pari, dove B e C sono alcuni numeri o espressioni.

Per fare un esempio, torniamo al paragrafo precedente: l’espressione irrazionale, tolto il fattore sotto il segno della radice, assume la forma . Un altro esempio: rimuovendo il fattore da sotto il segno della radice nell'espressione si ottiene il prodotto, che può essere riscritto come .

Su cosa si basa questa trasformazione e con quali regole viene effettuata, esamineremo in un articolo a parte la rimozione del moltiplicatore da sotto il segno della radice. Lì forniremo anche soluzioni ad esempi ed elencheremo modi per ridurre un'espressione radicale a una forma conveniente per la moltiplicazione.

Conversione di frazioni contenenti radici

Le espressioni irrazionali possono contenere frazioni che hanno radici nel numeratore e nel denominatore. Con tali frazioni puoi eseguire qualsiasi operazione di base trasformazioni di identità delle frazioni.

Innanzitutto, nulla ti impedisce di lavorare con espressioni al numeratore e al denominatore. Ad esempio, considera la frazione. L'espressione irrazionale al numeratore è ovviamente identicamente uguale a e, ricorrendo alle proprietà delle radici, l'espressione al denominatore può essere sostituita dalla radice . Di conseguenza, la frazione originale viene convertita nella forma .

In secondo luogo, puoi cambiare il segno davanti a una frazione cambiando il segno del numeratore o del denominatore. Ad esempio, si verificano le seguenti trasformazioni di un'espressione irrazionale: .

In terzo luogo, a volte è possibile e consigliabile ridurne una frazione. Ad esempio, come negarsi il piacere di ridurre una frazione all'espressione irrazionale, di conseguenza otteniamo .

È chiaro che in molti casi, prima di ridurre una frazione, è necessario fattorizzare le espressioni del suo numeratore e denominatore, cosa che in casi semplici può essere ottenuta mediante formule di moltiplicazione abbreviate. E a volte aiuta ridurre una frazione sostituendo una variabile, il che consente di passare dalla frazione originale con irrazionalità a una frazione razionale, con cui è più comodo e familiare lavorare.

Prendiamo ad esempio l'espressione . Introduciamo nuove variabili e, in queste variabili l'espressione originale ha la forma. Avendo eseguito nel numeratore

Chiamiamo espressioni algebriche che utilizzano non solo quattro azioni razionali, ma anche segni radicali (da espressioni letterali) espressioni algebriche irrazionali.

Queste sono, ad esempio, le espressioni

Nel determinare o. d.z. Per le espressioni algebriche irrazionali si tenga presente che le espressioni sotto il segno di un radicale di grado pari non devono essere negative.Quando si trovano i valori numerici di un'espressione per dati valori letterali dei parametri, radici pari grado sono intesi in senso aritmetico.

Esempio 1. Trova o. d.z. espressioni

e il suo valore a .

Soluzione. O.d.z. determinato dalle condizioni. Troviamo che p. d.z. è determinato dalle disuguaglianze. Quando calcoliamo il valore in un dato punto otteniamo

Quando si trasformano espressioni algebriche irrazionali, vengono utilizzate tutte le regole per le operazioni con radici (Capitolo I, § 2). Consideriamo innanzitutto le possibili semplificazioni di espressioni come “la radice di un monomio” o “la radice del quoziente di due monomi”. Diremo che una radice è ridotta alla sua forma più semplice se: 1) non contiene irrazionalità al denominatore, 2) è impossibile ridurre il suo esponente con l'esponente dell'espressione radicale, e, infine, 3) tutte le possibili i fattori vengono rimossi dalla radice. Qualsiasi radice data può essere ridotta alla sua forma più semplice, cioè sostituita da una identicamente uguale, ma che soddisfi tutte e tre le condizioni elencate.

Esempio 2. Riduci le seguenti radici alla loro forma più semplice:

Soluzione, a) Ridurre di 3 l'esponente della radice e l'esponente di ciascuno dei fattori dell'espressione radicale

Togliamo i fattori a e ; da sotto il segno della radice.

Le radici le cui forme più semplici differiscono, forse solo nei coefficienti (numerici o alfabetici), sono solitamente chiamate simili. Ad esempio, le radici e sono simili, poiché e le radici non sono simili, poiché

Quando si aggiungono e sottraggono radici simili, vengono tutte ridotte alla forma più semplice, quindi la radice viene tolta dalle parentesi.

Esempio 3. Eseguire le seguenti azioni:

Soluzione. Riduciamo ciascuna delle radici alla sua forma più semplice:

Ora troviamo (tutte le radici si sono rivelate simili)

Quando si rimuovono i fattori sotto il segno di una radice di grado pari, è necessario ricordare che la radice è intesa in senso aritmetico. Quindi, se i segni a, b non sono indicati, non dovresti scriverli. Qui circa. d.z. consiste non solo di valori, ma anche di valori a

Esempio 4: semplificare un'espressione

Sono possibili i seguenti casi:

Se non lo assumi in anticipo, risolvere l'esempio diventerà ancora più complicato, poiché dovrai scrivere la risposta in forma generale:

e poi consideriamo quattro possibili casi: . Lasciamo al lettore il completamento di questa analisi.

Nell'esempio appena risolto le espressioni radicali erano rappresentate in modo ovvio come i quadrati esatti di alcuni binomi. In alcuni casi, questa rappresentazione dell’espressione radicale non è fatta in modo così ovvio. Quindi, a volte puoi semplificare i radicali della forma

In terza media, gli scolari nelle lezioni di matematica vengono introdotti al concetto di "radicale" o, in poche parole, "radice". Fu allora che incontrarono per la prima volta il problema della semplificazione dei radicali complessi. I radicali complessi sono espressioni in cui una radice è sotto un'altra. Pertanto, a volte vengono chiamati radicali nidificati. In questo articolo il tutor di matematica e fisica ne parla in dettaglio come semplificare un radicale complesso.

Metodi per semplificare radicali complessi

Semplificare un radicale complesso significa eliminare la radice esterna. È meglio iniziare a studiare questo argomento semplificando i doppi radicali. Dopotutto, se impariamo a semplificare i doppi radicali, allora saremo in grado di semplificare anche quelli più complessi.

Come ci liberiamo della radice esterna? È chiaro che per questo è necessario trasformare l'espressione radicale, presentandola sotto forma di un quadrato completo. Per fare ciò utilizzeremo la nota formula “Quadrato della differenza”:

Qui, come puoi vedere, il termine negativo ha un fattore a destra. Pertanto, prendiamo questo fattore alla radice. Per fare ciò, lo presentiamo come un prodotto di:

Poi e. Resta solo da prestare attenzione al fatto che . Ora possiamo vedere che sotto la radice abbiamo una differenza al quadrato:

Adesso ricordiamocelo. Esattamente il modulo. Questo è molto importante in questo caso perché la radice quadrata è un numero positivo. Quindi otteniamo:

Bene, poiché title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="21" width="61" style="vertical-align: -3px;">, модуль раскрывается со знаком минус. В результате в ответе получаем:!}

È così che siamo riusciti a semplificare questo radicale. Ma ci sono anche casi più complessi in cui non è immediatamente possibile indovinare come rappresentare un'espressione radicale sotto forma di un quadrato completo. Ad esempio, nel seguente esempio.

Per non tormentarti a lungo, puoi utilizzare il seguente metodo.

Lascia che ti ricordi che il nostro obiettivo è rappresentare l'espressione sotto la radice come un quadrato perfetto. Nello specifico in questo esempio, sotto forma di quadrato della somma:

Ebbene, il quadrato della somma si rivela secondo la nota formula, che abbiamo già scritto oggi:

Quindi, l'idea, in effetti, è di prendere la parte irrazionale dell'espressione radicale per e la parte razionale per. Quindi otteniamo il seguente sistema di equazioni:

È chiaro che . Altrimenti la seconda equazione del sistema non è soddisfatta. Quindi esprimiamo il coefficiente della seconda equazione:

Il denominatore di questa frazione non è uguale a zero, il che significa che il suo numeratore è uguale a zero. Otteniamo un'equazione biquadratica, che può essere risolta nel modo standard (per maggiori dettagli vedere il video allegato). Risolvendolo, otteniamo ben 4 radici. Puoi prenderne uno qualunque. Mi piace di più. Poi . Quindi, finalmente otteniamo:

Ecco un modo per semplificare un radicale complesso. Ce n'è uno in più. Per coloro a cui piace memorizzare formule complesse, cosa che a me non piace. Ma per completezza vi parlerò anche di lui.

Formula dei radicali complessi

Ecco come appare la formula:

Abbastanza spaventoso, non è vero? Ma non abbiate paura, in alcuni casi può effettivamente essere utilizzato con successo. Diamo un'occhiata ad un esempio:

Sostituiamo i valori corrispondenti nella formula:

Questa è la risposta.

Allora, oggi in classe ho parlato di come semplificare un radicale complesso. Se non conoscevi in ​​precedenza i metodi discussi oggi, molto probabilmente hai ancora molto da imparare per sentirti sicuro nell'esame di stato unificato o nell'esame di ammissione in matematica. Ma non preoccuparti, posso insegnarti tutto questo. Tutte le informazioni necessarie sulle mie lezioni sono attive. Buona fortuna a te!

Materiale preparato da Sergey Valerievich