Երեք կետերով անցնող ինքնաթիռի հավասարումը. Հարթության հավասարում. ինչպե՞ս կազմել: Հարթության հավասարումների տեսակները Հարթության հավասարում վեկտորին ուղղահայաց կետի միջով

Հարթության ընդհանուր հավասարումը ստանալու համար վերլուծենք տվյալ կետով անցնող հարթությունը։

Թող տիեզերքում մեզ արդեն հայտնի լինեն երեք կոորդինատային առանցքներ. Եզ, Օյև Օզ... Եկեք թղթի թերթիկը պահենք այնպես, որ այն հարթ մնա։ Ինքնաթիռը լինելու է հենց թերթիկը և դրա շարունակությունը բոլոր ուղղություններով։

Թող լինի Պկամայական ինքնաթիռ տիեզերքում. Նրան ուղղահայաց ցանկացած վեկտոր կոչվում է նորմալ վեկտոր այս ինքնաթիռին: Բնականաբար, խոսքը ոչ զրոյական վեկտորի մասին է։

Եթե ​​ինքնաթիռի որևէ կետ հայտնի է Պև դրա համար ինչ-որ նորմալ վեկտոր, ապա այս երկու պայմաններով հարթությունը տիեզերքում ամբողջությամբ որոշվում է(տվյալ կետի միջով կարող եք նկարել այս վեկտորին ուղղահայաց մեկ հարթություն): Ինքնաթիռի ընդհանուր հավասարումը կլինի.

Այսպիսով, կան պայմաններ, որոնք սահմանում են հարթության հավասարումը։ Ինձ ձեռք բերելու համար հարթության հավասարումը, որն ունի վերը նշված ձևը, մենք վերցնում ենք ինքնաթիռը Պկամայական կետ Մ փոփոխական կոորդինատներով x, y, զ... Այս կետը պատկանում է ինքնաթիռին միայն այն դեպքում, եթե վեկտոր ուղղահայաց վեկտորին(նկ. 1): Դրա համար, ըստ վեկտորների ուղղահայացության պայմանի, անհրաժեշտ և բավարար է, որ այս վեկտորների սկալյար արտադրյալը հավասար լինի զրոյի, այսինքն.

Վեկտորը նշված է պայմանով. Բանաձևով գտնում ենք վեկտորի կոորդինատները :

.

Այժմ օգտագործելով վեկտորային կետային արտադրանքի բանաձևը , կետային արտադրյալն արտահայտում ենք կոորդինատային ձևով.

Քանի որ կետը M (x; y; z)կամայականորեն ընտրվում է հարթության վրա, ապա վերջին հավասարումը բավարարվում է հարթության վրա գտնվող ցանկացած կետի կոորդինատներով. Պ... Կետի համար Նչպառկել տվյալ ինքնաթիռում, այսինքն. խախտված է հավասարությունը (1).

Օրինակ 1.Հավասարեք կետով անցնող և վեկտորին ուղղահայաց հարթությունը:

Լուծում. Մենք օգտագործում ենք բանաձևը (1), ևս մեկ նայեք դրան.

Այս բանաձեւում թվերը Ա , Բև Գվեկտորի կոորդինատները և թվերը x0 , y0 և զ0 - կետի կոորդինատները.

Հաշվարկները շատ պարզ են. մենք այս թվերը փոխարինում ենք բանաձևի մեջ և ստանում ենք

Մենք բազմապատկում ենք այն ամենը, ինչ պետք է բազմապատկվի և ավելացնում ենք միայն թվերը (որոնք առանց տառերի են): Արդյունք:

.

Այս օրինակում հարթության պահանջվող հավասարումը պարզվեց, որ արտահայտված է փոփոխական կոորդինատների նկատմամբ առաջին աստիճանի ընդհանուր հավասարմամբ. x, y, zինքնաթիռի կամայական կետ.

Այսպիսով, ձևի հավասարում

կանչեց ինքնաթիռի ընդհանուր հավասարումը .

Օրինակ 2.Կառուցեք ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգում հավասարմամբ տրված հարթությունը .

Լուծում. Հարթություն կառուցելու համար անհրաժեշտ և բավարար է իմանալ դրա ցանկացած երեք կետերը, որոնք չեն գտնվում մեկ ուղիղ գծի վրա, օրինակ՝ հարթության հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ։

Ինչպե՞ս եք գտնում այս կետերը: Գտնել առանցքի հետ հատման կետը Օզ, դուք պետք է փոխարինեք զրոները խնդրի դրույթում տրված հավասարման մեջ x-ի և խաղի փոխարեն. x = y= 0. Այսպիսով, մենք ստանում ենք զ= 6. Այսպիսով, տրված հարթությունը հատում է առանցքը Օզկետում Ա(0; 0; 6) .

Նույն կերպ մենք գտնում ենք հարթության առանցքի հետ հատման կետը Օյ... ժամը x = զ= 0 մենք ստանում ենք y= −3, այսինքն՝ կետը Բ(0; −3; 0) .

Եվ վերջապես մենք գտնում ենք մեր հարթության առանցքի հատման կետը Եզ... ժամը y = զ= 0 մենք ստանում ենք x= 2, այսինքն, կետ Գ(2; 0; 0): Մեր լուծման մեջ ստացված երեք կետերի համար Ա(0; 0; 6) , Բ(0; −3; 0) և Գ(2; 0; 0) կառուցել տրված հարթությունը:

Մտածեք հիմա ինքնաթիռի ընդհանուր հավասարման հատուկ դեպքեր... Սրանք այն դեպքերն են, երբ անհետանում են (2) հավասարման որոշ գործակիցներ։

1. Երբ D = 0 հավասարումը սահմանում է սկզբնակետով անցնող հարթությունը, քանի որ կետի կոորդինատները 0 (0; 0; 0) բավարարում է այս հավասարումը:

2. Երբ A = 0 հավասարումը սահմանում է առանցքին զուգահեռ հարթություն Եզ, քանի որ այս հարթության նորմալ վեկտորը ուղղահայաց է առանցքին Եզ(դրա պրոյեկցիան առանցքի վրա Եզզրո է): Նմանապես, համար B = 0 ինքնաթիռ զուգահեռ առանցք Օյ, և ժամը C = 0 ինքնաթիռ առանցքին զուգահեռ Օզ.

3. Երբ A = D = 0 հավասարումը սահմանում է առանցքի միջով անցնող հարթությունը Եզքանի որ այն զուգահեռ է առանցքին Եզ (A =D = 0): Նմանապես, ինքնաթիռն անցնում է առանցքի միջով Օյ, և հարթությունը առանցքի միջով Օզ.

4. Երբ A = B = 0 հավասարումը սահմանում է կոորդինատային հարթությանը զուգահեռ հարթություն xOyքանի որ այն զուգահեռ է առանցքներին Եզ (Ա= 0) և Օյ (Բ= 0): Նմանապես, ինքնաթիռը զուգահեռ է հարթությանը յՕզիսկ ինքնաթիռը ինքնաթիռն է xOz.

5. Երբ A = B = D = 0 հավասարումը (կամ z = 0) սահմանում է կոորդինատային հարթությունը xOyքանի որ այն զուգահեռ է հարթությանը xOy (A = B = 0) և անցնում է ծագման միջով ( D = 0): Նմանապես, հավասարումը y =Տիեզերքում 0-ը սահմանում է կոորդինատային հարթությունը xOzև հավասարումը x = 0 - կոորդինատային հարթություն յՕզ.

Օրինակ 3.Կազմի՛ր ինքնաթիռի հավասարումը Պառանցքի միջով անցնելը Օյև կետ.

Լուծում. Այսպիսով, ինքնաթիռը անցնում է առանցքի միջով Օյ... Հետեւաբար, իր հավասարման մեջ y= 0 և այս հավասարումն ունի ձև. Գործակիցները որոշելու համար Աև Գմենք կօգտագործենք այն փաստը, որ կետը պատկանում է հարթությանը Պ .

Հետևաբար, նրա կոորդինատների թվում կան այնպիսիք, որոնք կարող են փոխարինվել հարթության հավասարման մեջ, որը մենք արդեն ստացել ենք (): Մենք կրկին նայում ենք կետի կոորդինատներին.

Մ0 (2; −4; 3) .

Նրանց մեջ x = 2 , զ= 3. Մենք դրանք փոխարինում ենք ընդհանուր հավասարման մեջ և ստանում ենք մեր կոնկրետ դեպքի հավասարումը.

2Ա + 3Գ = 0 .

Մենք թողնում ենք 2 Ահավասարման ձախ կողմում տեղափոխել 3 Գդեպի աջ կողմը և ստացիր

Ա = −1,5Գ .

Գտնված արժեքի փոխարինում Ահավասարման մեջ, մենք ստանում ենք

կամ .

Սա օրինակի պայմանում պահանջվող հավասարումն է:

Ինքներդ լուծեք խնդիրը հարթության հավասարումների վրա, այնուհետև տեսեք լուծումը

Օրինակ 4.Սահմանեք հարթություն (կամ հարթություններ, եթե մեկից ավելի) հարաբերական կոորդինատային առանցքներին կամ կոորդինատային հարթություններին, եթե հարթությունը (ներ)ը նշված է հավասարմամբ:

Տիպիկ խնդիրների լուծումներ, որոնք առաջանում են թեստային թղթերի վրա - ձեռնարկում «Խնդիրները հարթության վրա. զուգահեռություն, ուղղահայացություն, երեք հարթությունների հատում մեկ կետում»:

Երեք կետերով անցնող ինքնաթիռի հավասարումը

Ինչպես արդեն նշվեց, հարթություն կառուցելու համար անհրաժեշտ և բավարար պայման, բացի մեկ կետից և նորմալ վեկտորից, նաև երեք կետերն են, որոնք չեն գտնվում մեկ ուղիղ գծի վրա։

Թող տրվի երեք տարբեր կետ, և ոչ թե պառկած մեկ ուղիղ գծի վրա: Քանի որ այս երեք կետերը չեն գտնվում մեկ ուղիղ գծի վրա, վեկտորները և համագիծ չեն, և, հետևաբար, հարթության ցանկացած կետ գտնվում է կետերի հետ նույն հարթության մեջ, և եթե և միայն, եթե վեկտորները, և համակողմանի, այսինքն. եթե և միայն եթե այս վեկտորների խառը արտադրանքըհավասար է զրոյի։

Օգտագործելով խառը արտադրյալի արտահայտությունը կոորդինատներով՝ ստանում ենք հարթության հավասարումը

(3)

Որոշիչի բացահայտումից հետո այս հավասարումը դառնում է (2) ձևի հավասարում, այսինքն. ինքնաթիռի ընդհանուր հավասարումը.

Օրինակ 5.Կազմեք հավասարում այն ​​հարթության համար, որն անցնում է երեք տրված կետերով, որոնք չեն գտնվում մեկ ուղիղ գծի վրա.

և որոշիր ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման հատուկ դեպք, եթե այդպիսիք կա:

Լուծում. Բանաձևով (3) մենք ունենք.

Ինքնաթիռի նորմալ հավասարումը. Հեռավորությունը կետից ինքնաթիռ

Ինքնաթիռի նորմալ հավասարումը ձևով գրված նրա հավասարումն է

Այս հոդվածում մենք կխոսենք այն մասին, թե ինչպես կարելի է կազմել տվյալ կետով եռաչափ տարածության մեջ տրված ուղիղ գծին ուղղահայաց հարթության հավասարումը։ Նախ կվերլուծենք տրված ուղիղ գծին ուղղահայաց տրված կետով անցնող հարթության հավասարումը գտնելու սկզբունքը, որից հետո մանրամասն կվերլուծենք բնորոշ օրինակների ու խնդիրների լուծումները։

Էջի նավարկություն.

Գտնել տրված ուղիղ գծին ուղղահայաց տարածության տվյալ կետով անցնող հարթության հավասարումը:

Եկեք մեզ դնենք հետևյալ խնդիրը.

Թող Oxyz-ը ֆիքսված լինի եռաչափ տարածության մեջ, տրված է կետ, ուղիղ a և պահանջվում է գրել Մ 1 կետով a ուղիղ գծին ուղղահայաց հարթության հավասարումը։

Նախ հիշենք մի կարևոր փաստ.

Ավագ դպրոցի երկրաչափության դասերին ապացուցվում է թեորեմ. մեկ հարթություն անցնում է տվյալ կետով եռաչափ տարածության մեջ՝ այս ուղղին ուղղահայաց (այս թեորեմի ապացույցը կարելի է գտնել 10-11-րդ դասարանների երկրաչափության դասագրքում, նշված է. հոդվածի վերջում գտնվող մատենագրության մեջ):

Այժմ մենք ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է գտնել այս հարթության հավասարումը, որն անցնում է տվյալ կետով, որը ուղղահայաց է տրված ուղիղ գծին:

Խնդրի դրույթում մեզ տրվում են M 1 կետի x 1, y 1, z 1 կոորդինատները, որով անցնում է հարթությունը։ Այնուհետև, եթե գտնենք հարթության նորմալ վեկտորի կոորդինատները, ապա կարող ենք կազմել տվյալ ուղիղ գծին ուղղահայաց տվյալ կետով անցնող հարթության համար անհրաժեշտ հավասարումը։

Տրված ուղիղ գծին ուղղահայաց տրված կետով անցնող հարթության հավասարումը կազմելու օրինակներ:

Դիտարկենք մի քանի օրինակների լուծումներ, որոնցում տարածության տվյալ կետով անցնող հարթության հավասարումը ուղղահայաց է տրված ուղիղ գծին:

Օրինակ.

Գրե՛ք հարթության հավասարումը, որն անցնում է կետով և ուղղահայաց է Օզ կոորդինատային ուղիղին:

Լուծում.

Oz կոորդինատային գծի ուղղության վեկտորն ակնհայտորեն կոորդինատային վեկտորն է: Այնուհետև հարթության նորմալ վեկտորը, որի հավասարումը պետք է ձևակերպենք, ունի կոորդինատներ։ Գրենք կետով անցնող և կոորդինատներով նորմալ վեկտոր ունեցող հարթության հավասարումը.
.

Եկեք ցույց տանք այս խնդրի լուծման երկրորդ ճանապարհը։

Օզ կոորդինատային ուղղին ուղղահայաց հարթությունը սահմանում է տեսարանի հարթության թերի ընդհանուր հավասարումը: Եկեք գտնենք C և D արժեքները, որոնցում հարթությունն անցնում է կետով, փոխարինելով այս կետի կոորդինատները հավասարման մեջ. Այսպիսով, C և D թվերը կապված են հարաբերակցությամբ: Վերցնելով C = 1, մենք ստանում ենք D = -5: Գտնված C = 1 և D = -5-ը փոխարինում ենք հավասարման մեջ և ստանում ենք Օզ ուղղին ուղղահայաց և կետով անցնող հարթության ցանկալի հավասարումը: Կարծես թե.

Պատասխան.

Օրինակ.

Գրե՛ք հարթության հավասարումը, որն անցնում է սկզբնակետով և ուղղահայաց է ուղիղ գծին .

Լուծում.

Քանի որ հարթությունը, որի հավասարումը մենք պետք է ստանանք, ուղղահայաց է ուղիղ գծին , ապա տրված ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը կարելի է ընդունել որպես հարթության նորմալ վեկտոր։ Հետո ... Մնում է գրել կետով անցնող և նորմալ վեկտոր ունեցող հարթության հավասարումը :. Սա տվյալ ուղիղ գծին ուղղահայաց կոորդինատների սկզբնակետով անցնող հարթության ցանկալի հավասարումն է։

Պատասխան.

.

Օրինակ.

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում Oxyz երկու կետ և տրված են եռաչափ տարածության մեջ: Հարթությունն անցնում է AB ուղղին ուղղահայաց A կետով: Ինքնաթիռի հավասարումը գրի՛ր ուղիղ հատվածներով:

Լուծում.

Կետով անցնող և հարթության նորմալ վեկտոր ունեցող հարթության ընդհանուր հավասարումը , կգրվի այսպես.

Մնում է անցնել հարթության պահանջվող հավասարմանը հատվածներով.

.

Պատասխան.

.

Եզրափակելով՝ նշում ենք, որ կան խնդիրներ, որոնց դեպքում պահանջվում է գրել տվյալ կետով անցնող և տրված երկու հատվող հարթություններին ուղղահայաց հարթության հավասարումը։ Փաստորեն, այս խնդրի լուծումը կրճատվում է տրված ուղիղ գծին ուղղահայաց տվյալ կետով անցնող հարթության հավասարումը կազմելով, քանի որ երկու հատվող հարթությունները սահմանում են ուղիղ գիծ: Այս դեպքում հիմնական դժվարությունը հարթության նորմալ վեկտորի կոորդինատները գտնելու գործընթացն է, որի հավասարումը պետք է կազմվի:Այնուհետև a ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը և.

Հետեւաբար, վեկտորը a ուղիղին ուղղահայաց հարթության նորմալ վեկտորն է։ Գրենք կետով անցնող հարթության հավասարումը և ունենալով նորմալ վեկտոր :
.

Սա տվյալ ուղիղ գծին ուղղահայաց տվյալ կետով անցնող հարթության ցանկալի հավասարումն է:

Պատասխան.

.

Մատենագիտություն.

• Աթանասյան Լ.Ս., Բուտուզով Վ.Ֆ., Կադոմցև Ս.Բ., Պոզնյակ Է.Գ., Յուդինա Ի.Ի. Երկրաչափություն. 7 - 9 դասարաններ՝ ուսումնական հաստատությունների դասագիրք.
• Աթանասյան Լ.Ս., Բուտուզով Վ.Ֆ., Կադոմցև Ս.Բ., Կիսելևա Լ.Ս., Պոզնյակ Է.Գ. Երկրաչափություն. Դասագիրք միջնակարգ դպրոցի 10-11-րդ դասարանների համար.
• Պոգորելով Ա.Վ., Երկրաչափություն. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների 7-11-րդ դասարանների համար.
• Բուգրով Յ.Ս., Նիկոլսկի Ս.Մ. Բարձրագույն մաթեմատիկա. Առաջին հատոր՝ Գծային հանրահաշվի և անալիտիկ երկրաչափության տարրեր։
• Իլյին Վ.Ա., Պոզնյակ Է.Գ. Անալիտիկ երկրաչափություն.

Այս հոդվածը տալիս է պատկերացում, թե ինչպես կարելի է գրել տվյալ կետով անցնող հարթության հավասարումը տրված ուղիղ գծին ուղղահայաց եռաչափ տարածության մեջ: Եկեք վերլուծենք տրված ալգորիթմը՝ օգտագործելով բնորոշ խնդիրների լուծման օրինակը։

Գտնել տրված ուղիղ գծին ուղղահայաց տարածության տվյալ կետով անցնող հարթության հավասարումը

Դրանում տրված լինեն եռաչափ տարածություն և ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ O x y z: Տրված են նաև М 1 կետը (x 1, y 1, z 1), a ուղիղը և a ուղիղը ուղղահայաց М 1 կետով անցնող α հարթությունը։ Անհրաժեշտ է գրել α հարթության հավասարումը։

Մինչ այս խնդրի լուծումը սկսելը, հիշենք երկրաչափության թեորեմը 10-11-րդ դասարանների ծրագրից, որտեղ ասվում է.

Սահմանում 1

Նշված ուղիղ գծին ուղղահայաց մեկ հարթություն անցնում է եռաչափ տարածության տվյալ կետով:

Հիմա եկեք տեսնենք, թե ինչպես կարելի է գտնել սկզբնական կետով անցնող և տվյալ ուղիղին ուղղահայաց այս մեկ հարթության հավասարումը:

Հնարավոր է գրել հարթության ընդհանուր հավասարումը, եթե հայտնի են այս հարթությանը պատկանող կետի կոորդինատները, ինչպես նաև հարթության նորմալ վեկտորի կոորդինատները։

Խնդրի պայմանը մեզ տալիս է M 1 կետի x 1, y 1, z 1 կոորդինատները, որով անցնում է α հարթությունը։ Եթե ​​որոշենք α հարթության նորմալ վեկտորի կոորդինատները, ապա կկարողանանք գրել ցանկալի հավասարումը։

α հարթության նորմալ վեկտորը, քանի որ այն զրոյական չէ և գտնվում է α հարթությանը ուղղահայաց ուղիղ գծի վրա, կլինի a ուղիղ գծի ցանկացած ուղղության վեկտոր: Այսպիսով, α հարթության նորմալ վեկտորի կոորդինատները գտնելու խնդիրը վերածվում է a ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորի կոորդինատների որոշման խնդրի։

Ուղիղ a-ի ուղղորդող վեկտորի կոորդինատների որոշումը կարող է իրականացվել տարբեր մեթոդներով. դա կախված է սկզբնական պայմաններում a ուղիղ գիծը նշելու տարբերակից։ Օրինակ, եթե խնդրի ձևակերպման մեջ a ուղիղ գիծը տրված է ձևի կանոնական հավասարումներով

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

կամ ձևի պարամետրային հավասարումներ.

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

ապա ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորը կունենա կոորդինատներ a x, a y և a z: Այն դեպքում, երբ a ուղիղը ներկայացված է М 2 (x 2, y 2, z 2) և М 3 (x 3, y 3, z 3) կետերով, ապա ուղղության վեկտորի կոորդինատները կսահմանվեն որպես. (x3 - x2, y3 - y2, z3 - z2):

Սահմանում 2

Տրված ուղիղ գծին ուղղահայաց տվյալ կետով անցնող հարթության հավասարումը գտնելու ալգորիթմ.

Որոշե՛ք ուղիղ գծի ուղղության վեկտորի կոորդինատները a. a → = (a x, a y, a z) ;

α հարթության նորմալ վեկտորի կոորդինատները որոշում ենք որպես a ուղիղ գծի ուղղության վեկտորի կոորդինատներ.

n → = (A, B, C), որտեղ A = a x, B = a y, C = a z;

Գրում ենք М 1 (x 1, y 1, z 1) կետով անցնող և նորմալ վեկտոր ունեցող հարթության հավասարումը. n → = (A, B, C) A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ձևով: Սա կլինի հարթության պահանջվող հավասարումը, որն անցնում է տարածության տվյալ կետով և ուղղահայաց է տվյալ ուղիղ գծին:

Ինքնաթիռի ստացված ընդհանուր հավասարումը. A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0-ը հնարավորություն է տալիս ստանալ հարթության հավասարումը հատվածներով կամ հարթության նորմալ հավասարումը:

Եկեք լուծենք մի քանի օրինակ՝ օգտագործելով վերը ստացված ալգորիթմը։

Օրինակ 1

Տրված է M 1 (3, - 4, 5) կետ, որով անցնում է հարթությունը, և այս հարթությունը ուղղահայաց է O z կոորդինատային ուղղին։

Լուծում

O z կոորդինատային գծի ուղղության վեկտորը կլինի կոորդինատային վեկտորը k ⇀ = (0, 0, 1): Հետևաբար, հարթության նորմալ վեկտորն ունի կոորդինատներ (0, 0, 1): Գրենք տրված M 1 կետով անցնող հարթության հավասարումը (3, - 4, 5), որի նորմալ վեկտորն ունի կոորդինատներ (0, 0, 1).

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Պատասխան. z - 5 = 0:

Դիտարկենք այս խնդրի լուծման մեկ այլ եղանակ.

Օրինակ 2

Հարթությունը, որը ուղղահայաց է O z ուղիղ գծին, կտրվի C z + D = 0, C ≠ 0 ձևի հարթության ոչ լրիվ ընդհանուր հավասարմամբ: Սահմանենք C-ի և D-ի արժեքները, որոնցով ինքնաթիռն անցնում է տվյալ կետով: Փոխարինեք այս կետի կոորդինատները C z + D = 0 հավասարման մեջ, ստանում ենք՝ C · 5 + D = 0: Նրանք. թվերը, C և D-ը կապված են հարաբերակցությամբ՝ D C = 5: Վերցնելով C = 1, մենք ստանում ենք D = - 5:

Փոխարինեք այս արժեքները C z + D = 0 հավասարման մեջ և ստացեք ինքնաթիռի պահանջվող հավասարումը, որը ուղղահայաց է O z ուղիղ գծին և անցնում է M 1 կետով (3, - 4, 5):

Այն նման կլինի՝ z - 5 = 0:

Պատասխան. z - 5 = 0:

Օրինակ 3

Հավասարեք հարթությունը սկզբի միջով և ուղղահայաց x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Լուծում

Ելնելով խնդրի պայմաններից՝ կարելի է պնդել, որ տրված ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը կարելի է ընդունել որպես տվյալ հարթության նորմալ վեկտոր n →։ Այսպիսով՝ n → = (- 3, - 7, 2): Գրենք O (0, 0, 0) կետով անցնող և նորմալ վեկտոր n → = (- 3, - 7, 2) հարթության հավասարումը.

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Մենք ստացել ենք տվյալ ուղիղ գծին ուղղահայաց սկզբնակետով անցնող հարթության պահանջվող հավասարումը։

Պատասխան.- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Օրինակ 4

Եռաչափ տարածության մեջ տրված է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ O x y z, որի մեջ կա երկու կետ A (2, - 1, - 2) և B (3, - 2, 4): α հարթությունն անցնում է A կետով, որն ուղղահայաց է A B ուղղին։ Անհրաժեշտ է α հարթության հավասարումը հատվածներով ձևակերպել։

Լուծում

α հարթությունը ուղղահայաց է А В ուղիղ գծին, ապա А В → վեկտորը կլինի α հարթության նորմալ վեկտորը։ Այս վեկտորի կոորդինատները որոշվում են որպես B (3, - 2, 4) և A (2, - 1, - 2) կետերի համապատասխան կոորդինատների տարբերություն.

A B → = (3 - 2, - 2 - (- 1), 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1, - 1, 6)

Ինքնաթիռի ընդհանուր հավասարումը կգրվի հետևյալ կերպ.

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Այժմ կազմենք հարթության պահանջվող հավասարումը հատվածներով.

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Պատասխան.x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Հարկ է նաև նշել, որ կան խնդիրներ, որոնց պահանջն է գրել տվյալ կետով անցնող և տրված երկու հարթություններին ուղղահայաց հարթության հավասարումը։ Ընդհանուր առմամբ, այս խնդրի լուծումը տրված ուղիղ գծին ուղղահայաց տվյալ կետով անցնող հարթության համար հավասարման ձևավորումն է, քանի որ. երկու հատվող հարթություններ սահմանում են ուղիղ գիծ:

Օրինակ 5

Տրված է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ O x y z, դրանում M 1 կետն է (2, 0, - 5): Տրված են նաև երկու հարթությունների 3 x + 2 y + 1 = 0 և x + 2 z - 1 = 0 հավասարումները, որոնք հատվում են a ուղիղ գծով։ Անհրաժեշտ է կազմել հավասարում a ուղիղ գծին ուղղահայաց M 1 կետով անցնող հարթության համար.

Լուծում

Որոշենք ուղիղ գծի ուղղության վեկտորի կոորդինատները a. Այն ուղղահայաց է և՛ n → (1, 0, 2) հարթության n 1 → (3, 2, 0) նորմալ վեկտորին, և՛ x + 2 հարթության 3 x + 2 y + 1 = 0 հարթության։ z - 1 = 0:

Այնուհետև մենք վերցնում ենք n 1 → և n 2 → վեկտորների վեկտորային արտադրյալը որպես α → տող a.

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4, - 6, - 2)

Այսպիսով, n → = (4, - 6, - 2) վեկտորը կլինի a ուղիղին ուղղահայաց հարթության նորմալ վեկտորը։ Գրենք հարթության պահանջվող հավասարումը.

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Պատասխան. 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատում, խնդրում ենք ընտրել այն և սեղմել Ctrl + Enter

Եթե ​​բոլոր A, B, C և D թվերը զրոյական չեն, ապա ինքնաթիռի ընդհանուր հավասարումը կոչվում է. ամբողջական... Հակառակ դեպքում կոչվում է ինքնաթիռի ընդհանուր հավասարումը թերի.

Դիտարկենք հարթության բոլոր հնարավոր ընդհանուր թերի հավասարումները ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում Oxyz եռաչափ տարածության մեջ:

Թող D = 0, ապա մենք ունենք ձևի հարթության ընդհանուր թերի հավասարում: Այս հարթությունը ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում Oxyz անցնում է սկզբնակետով: Իրոք, երբ կետի կոորդինատները փոխարինում ենք հարթության արդյունքում ստացված թերի հավասարման մեջ, մենք հասնում ենք նույնությանը:

ժամը, կամ, կամ մենք ունենք հարթությունների ընդհանուր թերի հավասարումներ, կամ, կամ, համապատասխանաբար: Այս հավասարումները սահմանում են համապատասխանաբար Oxy, Oxz և Oyz կոորդինատային հարթություններին զուգահեռ հարթություններ (տե՛ս հարթությունների զուգահեռության պայմանի մասին հոդվածը) և անցնող կետերով։ և համապատասխանաբար. ժամը. Քանի որ կետը ըստ պայմանի պատկանում է հարթությանը, ապա այս կետի կոորդինատները պետք է բավարարեն հարթության հավասարումը, այսինքն՝ հավասարությունը պետք է ճշմարիտ լինի։ Այստեղից մենք գտնում ենք. Այսպիսով, պահանջվող հավասարումն ունի ձևը.

Ահա այս խնդիրը լուծելու երկրորդ միջոցը.

Քանի որ հարթությունը, որի ընդհանուր հավասարումը պետք է կազմենք, զուգահեռ է Oyz հարթությանը, ապա որպես նրա նորմալ վեկտոր կարող ենք վերցնել Oyz հարթության նորմալ վեկտորը։ Oyz կոորդինատային հարթության նորմալ վեկտորը կոորդինատային վեկտորն է: Այժմ մենք գիտենք հարթության նորմալ վեկտորը և հարթության կետը, հետևաբար, մենք կարող ենք գրել դրա ընդհանուր հավասարումը (մենք լուծեցինք նմանատիպ խնդիր այս հոդվածի նախորդ պարբերությունում).
, ապա դրա կոորդինատները պետք է բավարարեն հարթության հավասարումը։ Հետեւաբար, հավասարությունը որտեղ մենք գտնում ենք. Այժմ մենք կարող ենք գրել ինքնաթիռի ցանկալի ընդհանուր հավասարումը, այն ունի ձևը.

Պատասխան.

Մատենագիտություն.

• Բուգրով Յ.Ս., Նիկոլսկի Ս.Մ. Բարձրագույն մաթեմատիկա. Առաջին հատոր՝ Գծային հանրահաշվի և անալիտիկ երկրաչափության տարրեր։
• Իլյին Վ.Ա., Պոզնյակ Է.Գ. Անալիտիկ երկրաչափություն.

ԱՆԿՅՈՒՆԻ ՄԻՋԵՎ ԻՆՔՆԱԹԻՐՆԵՐԻ

Դիտարկենք α 1 և α 2 երկու հարթություններ, որոնք տրված են համապատասխանաբար հավասարումներով.

Տակ անկյուներկու հարթությունների միջև նկատի ունենք այս հարթությունների կողմից ձևավորված երկփեղկ անկյուններից մեկը։ Ակնհայտ է, որ նորմալ վեկտորների և α 1 և α 2 հարթությունների միջև անկյունը հավասար է նշված հարակից երկփեղկ անկյուններից մեկին կամ ... Ահա թե ինչու ... Որովհետեւ և , ապա

.

Օրինակ.Որոշեք հարթությունների միջև եղած անկյունը x+2y-3զ+ 4 = 0 և 2 x+3y+զ+8=0.

Երկու հարթությունների զուգահեռության պայման.

Երկու հարթություններ α 1 և α 2 զուգահեռ են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրանց նորմալ վեկտորները զուգահեռ են, ինչը նշանակում է. .

Այսպիսով, երկու հարթություններ միմյանց զուգահեռ են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե համապատասխան կոորդինատների գործակիցները համաչափ են.

կամ

Հարթությունների ուղղահայացության պայմանը.

Պարզ է, որ երկու հարթություններ ուղղահայաց են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրանց նորմալ վեկտորները ուղղահայաց են, և հետևաբար, կամ:

Այսպիսով, .

Օրինակներ.

ՈՒՂԻՂ Տիեզերքում.

ՎԵԿՏՈՐԱՅԻՆ ԳԾԻ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄ.

ԳԾԻ ՊԱՐԱՄԵՏՐԱԿԱՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԸ

Ուղիղ գծի դիրքը տարածության մեջ ամբողջությամբ որոշվում է՝ նշելով դրա ֆիքսված կետերից որևէ մեկը Մ 1 և այս ուղիղին զուգահեռ վեկտոր:

Ուղիղ գծին զուգահեռ վեկտորը կոչվում է ուղղորդողայս գծի վեկտորը:

Ուրեմն թող ուղիղ լինի լանցնում է կետով Մ 1 (x 1 , y 1 , զ 1) վեկտորին զուգահեռ ուղիղ գծի վրա պառկած.

Դիտարկենք կամայական կետ M (x, y, z)ուղիղ գծի վրա. Նկարը ցույց է տալիս, որ .

Վեկտորները և համագիծ են, ուստի կա այդպիսի թիվ տ, ինչ, որտեղ է գործոնը տկարող է վերցնել ցանկացած թվային արժեք՝ կախված կետի դիրքից Մուղիղ գծի վրա. Գործոն տկոչվում է պարամետր: Նշանակում ենք կետերի շառավղային վեկտորները Մ 1 և Մհամապատասխանաբար միջոցով եւ, մենք ստանում ենք. Այս հավասարումը կոչվում է վեկտորուղիղ գծի հավասարում. Այն ցույց է տալիս, որ պարամետրի յուրաքանչյուր արժեքի համար տհամապատասխանում է ինչ-որ կետի շառավիղի վեկտորին Մուղիղ գծի վրա պառկած.

Այս հավասարումը գրենք կոորդինատային տեսքով։ Ուշադրություն դարձրեք, որ, և այստեղից

Ստացված հավասարումները կոչվում են պարամետրայինուղիղ գծի հավասարումներ.

Պարամետրը փոխելիս տկոորդինատների փոփոխություն x, yև զև կետ Մշարժվում է ուղիղ գծով.

Կանոնական ուղիղ հավասարումներ

Թող լինի Մ 1 (x 1 , y 1 , զ 1) ուղիղ գծի վրա ընկած կետ է լ, և Նրա ուղղության վեկտորն է: Կրկին վերցրեք կամայական կետ ուղիղ գծի վրա M (x, y, z)և հաշվի առեք վեկտորը:

Հասկանալի է, որ վեկտորները և միաձույլ են, ուստի դրանց համապատասխան կոորդինատները պետք է լինեն համաչափ, հետևաբար.

– կանոնականուղիղ գծի հավասարումներ.

Դիտողություն 1.Նկատի ունեցեք, որ ուղիղ գծի կանոնական հավասարումները կարելի է ստանալ պարամետրայինից՝ բացառելով պարամետրը. տ... Իրոք, պարամետրային հավասարումներից մենք ստանում ենք կամ .

Օրինակ.Գրի՛ր ուղիղ գծի հավասարումը պարամետրային ձևով.

Նշում ենք , այստեղից x = 2 + 3տ, y = –1 + 2տ, զ = 1 –տ.

Դիտողություն 2.Թող ուղիղ գիծը ուղղահայաց լինի կոորդինատային առանցքներից մեկին, օրինակ՝ առանցքին Եզ... Այնուհետեւ ուղղորդող վեկտորը ուղղահայաց է Եզ, հետևաբար, մ= 0. Հետևաբար, ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները ձև են ստանում

Պարամետրը հավասարումներից հեռացնելը տ, ձևով ստանում ենք ուղիղ գծի հավասարումները

Այնուամենայնիվ, այս դեպքում ևս համաձայն ենք ձևով գրել ուղիղ գծի կանոնական հավասարումները ... Այսպիսով, եթե կոտորակներից մեկի հայտարարը զրո է, ապա դա նշանակում է, որ ուղիղը ուղղահայաց է համապատասխան կոորդինատային առանցքին։

Նմանապես, կանոնական հավասարումները համապատասխանում է առանցքներին ուղղահայաց ուղիղ գծի Եզև Օյկամ առանցքին զուգահեռ Օզ.

Օրինակներ.

ՈՒՂԻ ԸՆԴՀԱՆՈՒՐ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԸ ՈՐՊԵՍ ԵՐԿՈՒ ՀԱՍՏԱՏՈՒԹՅԱՆ ՀԱՏՄՄԱՆ ԳԻԾ.

Տիեզերքի յուրաքանչյուր ուղիղ գծով անցնում են անթիվ թվով ինքնաթիռներ։ Նրանցից ցանկացած երկուսը, հատվելով, սահմանում են այն տարածության մեջ: Հետևաբար, ցանկացած երկու նման հարթությունների հավասարումները, միասին դիտարկված, ներկայացնում են այս ուղիղ գծի հավասարումները:

Ընդհանուր առմամբ, ընդհանուր հավասարումներով տրված ցանկացած երկու ոչ զուգահեռ հարթություններ

սահմանել դրանց հատման գիծը. Այս հավասարումները կոչվում են ընդհանուր հավասարումներուղիղ.

Օրինակներ.

Կառուցեք ուղիղ գիծ, ​​որը տրված է հավասարումներով

Ուղիղ գիծ կառուցելու համար բավական է գտնել դրա ցանկացած երկու կետ։ Ամենահեշտ ճանապարհը կոորդինատային հարթությունների հետ գծի հատման կետերն ընտրելն է։ Օրինակ՝ հարթության հետ հատման կետը xOyմենք ստանում ենք ուղիղ գծի հավասարումներից, սահմանելով զ= 0:

Այս համակարգը լուծելով, մենք գտնում ենք կետը Մ 1 (1;2;0).

Նմանապես, կարգավորում y= 0, մենք ստանում ենք հարթության հետ ուղիղ գծի հատման կետը xOz:

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումներից կարող եք անցնել նրա կանոնական կամ պարամետրային հավասարումներին: Դա անելու համար հարկավոր է ինչ-որ կետ գտնել Մ 1 գծի վրա և գծի ուղղության վեկտորը:

Կետերի կոորդինատները Մ 1-ը կստացվի հավասարումների այս համակարգից՝ կոորդինատներից մեկին կամայական արժեք վերագրելով։ Ուղղության վեկտորը գտնելու համար նշենք, որ այս վեկտորը պետք է ուղղահայաց լինի երկու նորմալ վեկտորներին և ... Հետևաբար, ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորի հետևում լմենք կարող ենք վերցնել նորմալ վեկտորների խաչաձև արտադրյալը.

.

Օրինակ.Տրե՛ք ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումները կանոնական ձևին.

Գտեք մի կետ ուղիղ գծի վրա: Դա անելու համար մենք կամայականորեն ընտրում ենք կոորդինատներից մեկը, օրինակ. y= 0 և լուծել հավասարումների համակարգը.

Ուղիղ գիծը սահմանող հարթությունների նորմալ վեկտորներն ունեն կոորդինատներ Հետեւաբար, ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորը կլինի

... Հետևաբար, լ: .

ՈՒՂԻՂ ՄԻՋԵՎ ԱՆԿՅՈՒՆ

ԱնկյունՏարածության ուղիղ գծերի միջև մենք կկոչենք հարակից անկյուններից որևէ մեկը, որը կազմված է տվյալներին զուգահեռ կամայական կետով գծված երկու ուղիղ գծերով:

Թող տարածության մեջ տրվեն երկու ուղիղ.

Ակնհայտ է, որ ուղիղ գծերի միջև եղած անկյունը կարելի է ընդունել որպես նրանց ուղղության վեկտորների և. Քանի որ, ուրեմն, ըստ վեկտորների միջև անկյան կոսինուսի բանաձևի, մենք ստանում ենք

Նախորդ հոդվածը. Կծկված աշակերտներ - ի՞նչ է դա նշանակում: Հաջորդ հոդվածը. Միզապարկի կատետերիզացում փափուկ կաթետերով