Cómo llevar fracciones a un denominador común. Reducción de fracciones a un denominador común (Moskalenko M.V.). La regla para reducir fracciones a un denominador específico

Originalmente quería incluir los métodos del denominador común en el párrafo "Sumar y restar fracciones". Pero había tanta información, y su importancia es tan grande (después de todo, no solo las fracciones numéricas tienen denominadores comunes), que es mejor estudiar este tema por separado.

Así que digamos que tenemos dos fracciones con diferentes denominadores. Y queremos asegurarnos de que los denominadores sean iguales. La propiedad principal de una fracción viene al rescate, que, permítanme recordarles, suena así:

Una fracción no cambia si su numerador y denominador se multiplican por el mismo número distinto de cero.

Por lo tanto, si elige los factores correctamente, los denominadores de las fracciones serán iguales; este proceso se llama reducción a un denominador común. Y los números deseados, "nivelando" los denominadores, se llaman factores adicionales.

¿Por qué necesitas llevar fracciones a un denominador común? Aquí hay algunas razones:

1. Suma y resta de fracciones con distinto denominador. No hay otra forma de realizar esta operación;
2. Comparación de fracciones. A veces, la reducción a un denominador común simplifica mucho esta tarea;
3. Resolución de problemas sobre acciones y porcentajes. Los porcentajes son, de hecho, expresiones ordinarias que contienen fracciones.

Hay muchas maneras de encontrar números que igualen los denominadores cuando se multiplican. Consideraremos solo tres de ellos, en orden creciente de complejidad y, en cierto sentido, eficiencia.

Multiplicación "entrecruzada"

La forma más simple y confiable, que está garantizada para igualar los denominadores. Actuaremos "por delante": multiplicamos la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, y la segunda por el denominador de la primera. Como resultado, los denominadores de ambas fracciones serán iguales al producto de los denominadores originales. Echar un vistazo:

Como factores adicionales, considere los denominadores de las fracciones vecinas. Obtenemos:

Sí, es así de simple. Si recién está comenzando a aprender fracciones, es mejor trabajar con este método; de esta manera, se asegurará contra muchos errores y obtendrá el resultado garantizado.

El único inconveniente de este método es que hay que contar mucho, porque los denominadores se multiplican "por delante", y como resultado se pueden obtener números muy grandes. Ese es el precio de la fiabilidad.

Método del divisor común

Esta técnica ayuda a reducir en gran medida los cálculos, pero, desafortunadamente, rara vez se usa. El método es como sigue:

1. Mire los denominadores antes de pasar "a través" (es decir, "entrecruzado"). Quizás uno de ellos (el que es más grande) sea divisible por el otro.
2. El número resultante de tal división será un factor adicional para una fracción con un denominador más pequeño.
3. Al mismo tiempo, una fracción con un denominador grande no necesita multiplicarse por nada: este es el ahorro. Al mismo tiempo, la probabilidad de error se reduce drásticamente.

Tarea. Encuentre valores de expresión:

Tenga en cuenta que 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Como en ambos casos un denominador es divisible sin resto por el otro, usamos el método de los factores comunes. Tenemos:

Tenga en cuenta que la segunda fracción no se multiplicó por nada en absoluto. De hecho, ¡hemos reducido la cantidad de cálculos a la mitad!

Por cierto, tomé las fracciones en este ejemplo por una razón. Si está interesado, intente contarlos usando el método entrecruzado. Después de la reducción, las respuestas serán las mismas, pero habrá mucho más trabajo.

Esta es la fuerza del método de los divisores comunes, pero, de nuevo, solo se puede aplicar cuando uno de los denominadores se divide por el otro sin dejar resto. Lo cual sucede muy raramente.

Método del mínimo común múltiplo

Cuando reducimos fracciones a un denominador común, esencialmente estamos tratando de encontrar un número que sea divisible por cada uno de los denominadores. Luego llevamos los denominadores de ambas fracciones a este número.

Hay muchos de esos números, y el más pequeño de ellos no será necesariamente igual al producto directo de los denominadores de las fracciones originales, como se supone en el método "en cruz".

Por ejemplo, para los denominadores 8 y 12, el número 24 es bastante adecuado, ya que 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Este número es mucho menor que el producto 8 12 = 96.

El número más pequeño que es divisible por cada uno de los denominadores se llama su mínimo común múltiplo (LCM).

Notación: El mínimo común múltiplo de a y b se denota por MCM(a ; b ) . Por ejemplo, MCM(16; 24) = 48 ; MCM(8; 12) = 24 .

Si logra encontrar ese número, la cantidad total de cálculos será mínima. Mira los ejemplos:

Tarea. Encuentre valores de expresión:

Tenga en cuenta que 234 = 117 2; 351 = 117 3 . Los factores 2 y 3 son coprimos (no tienen divisores comunes excepto 1) y el factor 117 es común. Por lo tanto MCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Del mismo modo, 15 = 5 3; 20 = 5 4 . Los factores 3 y 4 son primos relativos y el factor 5 es común. Por lo tanto MCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Ahora llevemos las fracciones a denominadores comunes:

Tenga en cuenta lo útil que resultó ser la factorización de los denominadores originales:

1. Habiendo encontrado los mismos factores, llegamos inmediatamente al mínimo común múltiplo, que, en términos generales, es un problema no trivial;
2. A partir de la expansión resultante, puedes averiguar qué factores "faltan" para cada una de las fracciones. Por ejemplo, 234 3 \u003d 702, por lo tanto, para la primera fracción, el factor adicional es 3.

Para apreciar cuánto gana el método del mínimo común múltiplo, intente calcular los mismos ejemplos usando el método entrecruzado. Eso sí, sin calculadora. Creo que después de eso los comentarios serán redundantes.

No piense que fracciones tan complejas no estarán en ejemplos reales. Se reúnen todo el tiempo, ¡y las tareas anteriores no son el límite!

El único problema es cómo encontrar este NOC. A veces, todo se encuentra en unos segundos, literalmente "a simple vista", pero en general, este es un problema computacional complejo que requiere una consideración por separado. Aquí no tocaremos esto.

En este material, analizaremos cómo llevar fracciones correctamente a un nuevo denominador, qué es un factor adicional y cómo encontrarlo. Después de eso, formulamos la regla básica para reducir fracciones a nuevos denominadores y la ilustramos con ejemplos de problemas.

El concepto de reducir una fracción a un denominador diferente

Recuerda la propiedad básica de una fracción. Según él, la fracción ordinaria a b (donde a y b son números cualesquiera) tiene un número infinito de fracciones que son iguales a ella. Tales fracciones se pueden obtener multiplicando el numerador y el denominador por el mismo número m (natural). En otras palabras, todo fracciones comunes pueden ser reemplazadas por otras de la forma a · m b · m . Esta es la reducción del valor original a una fracción con el denominador deseado.

Puedes llevar una fracción a un denominador diferente multiplicando su numerador y denominador por cualquier número natural. La condición principal es que el multiplicador debe ser el mismo para ambas partes de la fracción. El resultado es una fracción igual a la original.

Ilustremos esto con un ejemplo.

Ejemplo 1

Convierte la fracción 11 25 a un nuevo denominador.

Decisión

Tome un número natural arbitrario 4 y multiplique ambas partes de la fracción original por él. Consideramos: 11 4 \u003d 44 y 25 4 \u003d 100. El resultado es una fracción de 44.100.

Todos los cálculos se pueden escribir de esta forma: 11 25 \u003d 11 4 25 4 \u003d 44 100

Resulta que cualquier fracción se puede reducir a una gran cantidad de denominadores diferentes. En lugar de cuatro, podríamos tomar otro número natural y obtener otra fracción equivalente a la original.

Pero no cualquier número puede convertirse en el denominador de una nueva fracción. Entonces, para a b el denominador solo puede contener números b · m que son múltiplos de b . Recuerde los conceptos básicos de división: múltiplos y divisores. Si el número no es múltiplo de b, pero no puede ser divisor de una nueva fracción. Expliquemos nuestra idea con un ejemplo de cómo resolver el problema.

Ejemplo 2

Calcula si es posible reducir la fracción 5 9 a los denominadores 54 y 21.

Decisión

54 es un múltiplo de nueve, que es el denominador de la nueva fracción (es decir, 54 se puede dividir por 9). Por lo tanto, tal reducción es posible. Y no podemos dividir 21 entre 9, por lo que tal acción no se puede realizar para esta fracción.

El concepto de un multiplicador adicional

Formulemos qué es un factor adicional.

Definición 1

multiplicador adicional es un número natural por el cual ambas partes de una fracción se multiplican para llevarla a un nuevo denominador.

Aquellas. cuando realizamos esta acción en una fracción, le tomamos un multiplicador adicional. Por ejemplo, para reducir la fracción 7 10 a la forma 21 30, necesitamos un factor adicional 3 . Y puedes obtener una fracción 15 40 de 3 8 usando un multiplicador 5.

En consecuencia, si conocemos el denominador al que se debe reducir la fracción, entonces podemos calcular un factor adicional para ella. Averigüemos cómo hacerlo.

Tenemos una fracción a b , que se puede reducir a algún denominador c ; calcular el factor adicional m . Necesitamos multiplicar el denominador de la fracción original por m. Obtenemos b · m , y según la condición del problema b · m = c . Recuerda cómo se relacionan la multiplicación y la división. Esta conexión nos llevará a la siguiente conclusión: el factor adicional no es más que el cociente de dividir c por b, es decir, m = c: b.

Por lo tanto, para encontrar un factor adicional, necesitamos dividir el denominador requerido por el original.

Ejemplo 3

Encuentra el factor adicional por el cual la fracción 17 4 se llevó al denominador 124 .

Decisión

Usando la regla anterior, simplemente dividimos 124 por el denominador de la fracción original, cuatro.

Consideramos: 124: 4 \u003d 31.

Este tipo de cálculo a menudo se requiere cuando se reducen fracciones a un denominador común.

La regla para reducir fracciones a un denominador específico

Pasemos a la definición de la regla básica, con la que puedes llevar fracciones al denominador especificado. Asi que,

Definición 2

Para llevar una fracción al denominador especificado, necesitas:

1. determinar un multiplicador adicional;
2. multiplica por él tanto el numerador como el denominador de la fracción original.

¿Cómo aplicar esta regla en la práctica? Pongamos un ejemplo de resolución del problema.

Ejemplo 4

Realiza la reducción de la fracción 7 16 al denominador 336 .

Decisión

Comencemos por calcular el multiplicador adicional. Divide: 336: 16 = 21.

Multiplicamos la respuesta recibida por ambas partes de la fracción original: 7 16 \u003d 7 21 16 21 \u003d 147 336. Así que llevamos la fracción original al denominador deseado 336.

Respuesta: 7 16 = 147 336.

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Esquema de reducción a un denominador común

1. Es necesario determinar cuál será el mínimo común múltiplo para los denominadores de las fracciones. Si está tratando con un número mixto o entero, primero debe convertirlo en una fracción y solo luego determinar el mínimo común múltiplo. Para convertir un número entero en una fracción, debe escribir el número en el numerador y uno en el denominador. Por ejemplo, el número 5 como fracción se vería así: 5/1. Para convertir un número mixto en una fracción, debes multiplicar el número entero por el denominador y sumarle el numerador. Ejemplo: 8 enteros y 3/5 como fracción = 8x5+3/5 = 43/5.
2. Después de eso, es necesario encontrar un factor adicional, que se determina dividiendo la NOZ por el denominador de cada fracción.
3. El último paso es multiplicar la fracción por un factor adicional.

Es importante recordar que la reducción a un denominador común es necesaria no solo para sumar o restar. Para comparar varias fracciones con diferentes denominadores, también es necesario reducir primero cada una de ellas a un denominador común.

Llevar fracciones a un denominador común

Para comprender cómo reducir una fracción a un denominador común, es necesario comprender algunas propiedades de las fracciones. Entonces, una propiedad importante que se usa para reducir a NOZ es la igualdad de fracciones. En otras palabras, si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican por un número, entonces el resultado es una fracción igual a la anterior. Tomemos el siguiente ejemplo como ejemplo. Para reducir las fracciones 5/9 y 5/6 al mínimo común denominador, debes hacer lo siguiente:

1. Primero, encuentra el mínimo común múltiplo de los denominadores. En este caso, para los números 9 y 6, el NOC será 18.
2. Determinamos factores adicionales para cada una de las fracciones. Esto se hace de la siguiente manera. Dividimos el MCM por el denominador de cada una de las fracciones, como resultado obtenemos 18: 9 \u003d 2 y 18: 6 \u003d 3. Estos números serán factores adicionales.
3. Llevamos dos fracciones a NOZ. Al multiplicar una fracción por un número, debes multiplicar tanto el numerador como el denominador. La fracción 5/9 se puede multiplicar por un factor adicional de 2, lo que da como resultado una fracción igual a la dada: 10/18. Hacemos lo mismo con la segunda fracción: multiplicamos 5/6 por 3, resultando 15/18.

Como puede ver en el ejemplo anterior, ambas fracciones se han reducido al mínimo común denominador. Para finalmente entender cómo encontrar un denominador común, necesitas dominar una propiedad más de las fracciones. Se encuentra en el hecho de que el numerador y el denominador de una fracción se pueden reducir por el mismo número, que se llama divisor común. Por ejemplo, la fracción 12/30 se puede reducir a 2/5 si se divide por un divisor común, el número 6.

En esta lección, veremos cómo reducir fracciones a un denominador común y resolveremos problemas sobre este tema. Demos una definición del concepto de denominador común y un factor adicional, recordemos los números coprimos. Definamos el concepto del mínimo común denominador (LCD) y resolvamos una serie de problemas para encontrarlo.

Tema: Sumar y restar fracciones con diferente denominador

Lección: Reducir fracciones a un denominador común

Repetición. Propiedad básica de una fracción.

Si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican o dividen por el mismo número natural, entonces se obtendrá una fracción igual a él.

Por ejemplo, el numerador y el denominador de una fracción se pueden dividir por 2. Obtenemos una fracción. Esta operación se llama reducción de fracciones. También puedes realizar la transformación inversa multiplicando el numerador y el denominador de la fracción por 2. En este caso, decimos que hemos reducido la fracción a un nuevo denominador. El número 2 se llama factor adicional.

Conclusión. Una fracción se puede reducir a cualquier denominador que sea múltiplo del denominador de la fracción dada. Para llevar una fracción a un nuevo denominador, su numerador y denominador se multiplican por un factor adicional.

1. Lleva la fracción al denominador 35.

El número 35 es múltiplo de 7, es decir, 35 es divisible por 7 sin resto. Entonces esta transformación es posible. Encontremos un factor adicional. Para hacer esto, dividimos 35 por 7. Obtenemos 5. Multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción original por 5.

2. Lleva la fracción al denominador 18.

Encontremos un factor adicional. Para ello, dividimos el nuevo denominador por el original. Obtenemos 3. Multiplicamos el numerador y el denominador de esta fracción por 3.

3. Lleva la fracción al denominador 60.

Al dividir 60 por 15, obtenemos un multiplicador adicional. Es igual a 4. Multipliquemos el numerador y el denominador por 4.

4. Llevar la fracción al denominador 24

En casos simples, la reducción a un nuevo denominador se realiza en la mente. Se acostumbra indicar solo un factor adicional detrás del paréntesis un poco a la derecha y arriba de la fracción original.

Una fracción se puede reducir a un denominador de 15 y una fracción se puede reducir a un denominador de 15. Las fracciones tienen un denominador común de 15.

El denominador común de las fracciones puede ser cualquier múltiplo común de sus denominadores. Por simplicidad, las fracciones se reducen al mínimo común denominador. Es igual al mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones dadas.

Ejemplo. Reducir al mínimo común denominador de la fracción y .

Primero, encuentra el mínimo común múltiplo de los denominadores de estas fracciones. Este número es 12. Busquemos un factor adicional para la primera y la segunda fracción. Para ello, dividimos 12 entre 4 y entre 6. Tres es un factor adicional para la primera fracción y dos para la segunda. Llevamos las fracciones al denominador 12.

Reducimos las fracciones a un denominador común, es decir, encontramos fracciones que son iguales a ellas y tienen el mismo denominador.

Regla. Para llevar fracciones al mínimo común denominador,

Primero, encuentra el mínimo común múltiplo de los denominadores de estas fracciones, que será su mínimo común denominador;

En segundo lugar, divide el mínimo común denominador entre los denominadores de estas fracciones, es decir, encuentra un factor adicional para cada fracción.

En tercer lugar, multiplica el numerador y el denominador de cada fracción por su factor adicional.

a) Reducir las fracciones y a un común denominador.

El mínimo común denominador es 12. El factor adicional para la primera fracción es 4, para la segunda - 3. Llevamos las fracciones al denominador 24.

b) Reducir las fracciones y a un denominador común.

El mínimo común denominador es 45. Al dividir 45 por 9 por 15, obtenemos 5 y 3, respectivamente. Llevamos las fracciones al denominador 45.

c) Reducir las fracciones y a un denominador común.

El denominador común es 24. Los factores adicionales son 2 y 3, respectivamente.

A veces es difícil encontrar verbalmente el mínimo común múltiplo para los denominadores de fracciones dadas. Luego, el denominador común y los factores adicionales se encuentran factorizando en factores primos.

Reducir a un común denominador de la fracción y .

Descompongamos los números 60 y 168 en factores primos. Escribamos la expansión del número 60 y agreguemos los factores faltantes 2 y 7 de la segunda expansión. Multiplique 60 por 14 y obtenga un denominador común de 840. El factor adicional para la primera fracción es 14. El factor adicional para la segunda fracción es 5. Reduzcamos las fracciones a un denominador común de 840.

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Puede descargar los libros especificados en la cláusula 1.2. Esta lección.

Tarea

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. y otros Matemáticas 6. - M .: Mnemozina, 2012. (ver enlace 1.2)

Tarea: No. 297, No. 298, No. 300.

Otras tareas: #270, #290