Una progresión aritmética es la suma de las diez primeras. ¿Cómo encontrar una progresión aritmética? Ejemplos de progresión aritmética con solución. Aplicación de la fórmula del enésimo miembro de una progresión aritmética

Así que sentémonos y comencemos a escribir algunos números. Por ejemplo:
Puede escribir cualquier número, y puede haber tantos como desee (en nuestro caso, ellos). Por muchos números que escribamos, siempre podemos decir cuál de ellos es el primero, cuál el segundo, y así hasta el último, es decir, podemos numerarlos. Este es un ejemplo de una secuencia numérica:

Secuencia numérica
Por ejemplo, para nuestra sucesión:

El número asignado es específico de un solo número de secuencia. En otras palabras, no hay números de tres segundos en la secuencia. El segundo número (como el -ésimo número) es siempre el mismo.
El número con el número se llama el -ésimo miembro de la secuencia.

Por lo general, llamamos a toda la secuencia alguna letra (por ejemplo,), y cada miembro de esta secuencia, la misma letra con un índice igual al número de este miembro: .

En nuestro caso:

Digamos que tenemos una secuencia numérica en la que la diferencia entre números adyacentes es la misma e igual.
Por ejemplo:

etc.
Tal secuencia numérica se llama progresión aritmética.
El término "progresión" fue introducido por el autor romano Boecio ya en el siglo VI y se entendió en un sentido más amplio como una secuencia numérica sin fin. El nombre "aritmética" se transfirió de la teoría de las proporciones continuas, en la que se involucraron los antiguos griegos.

Esta es una secuencia numérica, cada miembro de la cual es igual al anterior, sumado con el mismo número. Este número se llama la diferencia de una progresión aritmética y se denota.

Intenta determinar qué secuencias de números son una progresión aritmética y cuáles no:

un)
b)
C)
d)

¿Entiendo? Compara nuestras respuestas:
es un progresión aritmética - b, c.
No es progresión aritmética - a, d.

Volvamos a la progresión dada () e intentemos encontrar el valor de su miembro. Existir dos manera de encontrarlo.

1. Método

Podemos sumar al valor anterior del número de progresión hasta llegar al enésimo término de la progresión. Es bueno que no tengamos mucho que resumir, solo tres valores:

Entonces, el -ésimo miembro de la progresión aritmética descrita es igual a.

2. Método

¿Y si necesitáramos encontrar el valor del término th de la progresión? La sumatoria nos hubiera llevado más de una hora, y no es un hecho que no nos hubiésemos equivocado al sumar los números.
Por supuesto, los matemáticos han ideado una forma en la que no es necesario sumar la diferencia de una progresión aritmética al valor anterior. Mire de cerca la imagen dibujada ... Seguramente ya ha notado cierto patrón, a saber:

Por ejemplo, veamos qué constituye el valor del -ésimo miembro de esta progresión aritmética:


En otras palabras:

Intente encontrar de forma independiente el valor de un miembro de esta progresión aritmética.

¿Calculado? Compare sus entradas con la respuesta:

Fíjate que obtuviste exactamente el mismo número que en el método anterior, cuando sumamos sucesivamente los miembros de una progresión aritmética al valor anterior.
Intentemos "despersonalizar" esta fórmula: la llevamos a una forma general y obtenemos:

Ecuación de progresión aritmética.

Las progresiones aritméticas son crecientes o decrecientes.

Creciente- progresiones en las que cada valor posterior de los términos es mayor que el anterior.
Por ejemplo:

Descendente- progresiones en las que cada valor posterior de los términos es menor que el anterior.
Por ejemplo:

La fórmula derivada se utiliza en el cálculo de términos tanto en términos crecientes como decrecientes de una progresión aritmética.
Vamos a comprobarlo en la práctica.
Nos dan una progresión aritmética que consta de los siguientes números:

Desde entonces:

Por lo tanto, estábamos convencidos de que la fórmula funciona tanto en progresión aritmética decreciente como creciente.
Intenta encontrar los miembros -ésimo y -ésimo de esta progresión aritmética por tu cuenta.

Comparemos los resultados:

Propiedad de progresión aritmética

Compliquemos la tarea: derivamos la propiedad de una progresión aritmética.
Supongamos que se nos da la siguiente condición:
- Progresión aritmética, encontrar el valor.
Es fácil, dices, y empiezas a contar según la fórmula que ya conoces:

Sea, a, entonces:

Absolutamente correcto. Resulta que primero encontramos, luego lo agregamos al primer número y obtenemos lo que estamos buscando. Si la progresión está representada por valores pequeños, entonces no tiene nada de complicado, pero ¿y si nos dan números en la condición? De acuerdo, existe la posibilidad de cometer errores en los cálculos.
Ahora piensa, ¿es posible resolver este problema en un solo paso usando alguna fórmula? Por supuesto que sí, e intentaremos sacarlo ahora.

Denotemos el término deseado de la progresión aritmética ya que conocemos la fórmula para encontrarlo; esta es la misma fórmula que derivamos al principio:
, entonces:

• el miembro anterior de la progresión es:
• el siguiente término de la progresión es:

Vamos a sumar los miembros anteriores y siguientes de la progresión:

Resulta que la suma de los miembros anteriores y posteriores de la progresión es el doble del valor del miembro de la progresión ubicado entre ellos. En otras palabras, para encontrar el valor de un miembro de progresión con valores anteriores y sucesivos conocidos, es necesario sumarlos y dividirlos.

Así es, tenemos el mismo número. Arreglemos el material. Calcule usted mismo el valor de la progresión, porque no es nada difícil.

¡Bien hecho! ¡Sabes casi todo sobre la progresión! Queda por descubrir solo una fórmula, que, según la leyenda, uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos, el "rey de los matemáticos" - Carl Gauss, dedujo fácilmente por sí mismo...

Cuando Carl Gauss tenía 9 años, el maestro, ocupado revisando el trabajo de los estudiantes de otras clases, pidió la siguiente tarea en la lección: "Calcula la suma de todos los números naturales desde hasta (según otras fuentes hasta) inclusive. " Cuál fue la sorpresa del maestro cuando uno de sus alumnos (era Karl Gauss) después de un minuto dio la respuesta correcta a la tarea, mientras que la mayoría de los compañeros de clase del temerario después de largos cálculos recibieron un resultado erróneo...

El joven Carl Gauss notó un patrón que puedes notar fácilmente.
Digamos que tenemos una progresión aritmética que consta de miembros -ti: Necesitamos encontrar la suma de los miembros dados de la progresión aritmética. Por supuesto, podemos sumar manualmente todos los valores, pero ¿qué pasa si necesitamos encontrar la suma de sus términos en la tarea, como estaba buscando Gauss?

Vamos a representar la progresión que se nos ha dado. Mire de cerca los números resaltados e intente realizar varias operaciones matemáticas con ellos.


¿Intentó? ¿Qué notaste? ¡Correctamente! sus sumas son iguales

Ahora responde, ¿cuántos pares de estos habrá en la progresión que se nos ha dado? Por supuesto, exactamente la mitad de todos los números, eso es.
Partiendo de que la suma de dos miembros de una progresión aritmética es igual, y pares iguales semejantes, obtenemos que la suma total es igual a:
.
Así, la fórmula para la suma de los primeros términos de cualquier progresión aritmética será:

En algunos problemas, no conocemos el término th, pero conocemos la diferencia de progresión. Trate de sustituir en la fórmula de la suma, la fórmula del miembro th.
¿Qué obtuviste?

¡Bien hecho! Ahora volvamos al problema que se le planteó a Carl Gauss: calcule usted mismo cuál es la suma de los números a partir del -ésimo y la suma de los números a partir del -ésimo.

¿Cuanto conseguiste?
Gauss resultó que la suma de los términos es igual, y la suma de los términos. ¿Así lo decidiste?

De hecho, la fórmula para la suma de los miembros de una progresión aritmética fue probada por el antiguo científico griego Diofanto en el siglo III, y durante todo este tiempo, las personas ingeniosas utilizaron las propiedades de una progresión aritmética con poder y fuerza.
Por ejemplo, imagine el Antiguo Egipto y el sitio de construcción más grande de esa época: la construcción de una pirámide ... La figura muestra un lado.

¿Dónde está la progresión aquí que dices? Mire cuidadosamente y encuentre un patrón en el número de bloques de arena en cada fila de la pared de la pirámide.


¿Por qué no una progresión aritmética? Cuente cuántos bloques se necesitan para construir una pared si se colocan bloques de ladrillos en la base. Espero que no cuentes moviendo el dedo por el monitor, ¿recuerdas la última fórmula y todo lo que dijimos sobre la progresión aritmética?

En este caso, la progresión se ve así:
Diferencia de progresión aritmética.
El número de miembros de una progresión aritmética.
Sustituyamos nuestros datos en las últimas fórmulas (contamos el número de bloques de 2 maneras).

Método 1.

Método 2.

Y ahora también puedes calcular en el monitor: compara los valores obtenidos con la cantidad de bloques que hay en nuestra pirámide. ¿Estuvo de acuerdo? Bien hecho, has dominado la suma de los términos de una progresión aritmética.
Por supuesto, no puedes construir una pirámide con los bloques en la base, pero ¿desde? Intente calcular cuántos ladrillos de arena se necesitan para construir una pared con esta condición.
¿Lograste?
La respuesta correcta es bloques:

Ejercicio

Tareas:

1. Masha se está poniendo en forma para el verano. Cada día aumenta el número de sentadillas. ¿Cuántas veces se pondrá en cuclillas Masha en semanas si hizo sentadillas en el primer entrenamiento?
2. ¿Cuál es la suma de todos los números impares contenidos en
3. Al almacenar troncos, los leñadores los apilan de tal manera que cada capa superior contiene un tronco menos que la anterior. ¿Cuántos troncos hay en una mampostería, si la base de la mampostería son troncos?

Respuestas:

1. Definamos los parámetros de la progresión aritmética. En este caso
   (semanas = días).

   Responder: En dos semanas, Masha debería ponerse en cuclillas una vez al día.

2. Primer número impar, último número.
   Diferencia de progresión aritmética.
   El número de números impares por la mitad, sin embargo, verifique este hecho usando la fórmula para encontrar el -ésimo miembro de una progresión aritmética:

   Los números contienen números impares.
   Sustituimos los datos disponibles en la fórmula:

   Responder: La suma de todos los números impares contenidos en es igual a.

3. Recuerda el problema de las pirámides. Para nuestro caso, a , dado que cada capa superior se reduce en un registro, solo hay un montón de capas, es decir.
   Sustituye los datos en la fórmula:

   Responder: Hay troncos en la mampostería.

Resumiendo

1. - una secuencia numérica en la que la diferencia entre números adyacentes es la misma e igual. Es creciente y decreciente.
2. Encontrar fórmula El miembro de una progresión aritmética se escribe mediante la fórmula - , donde es el número de números en la progresión.
3. Propiedad de los miembros de una progresión aritmética- - donde - el número de números en la progresión.
4. La suma de los miembros de una progresión aritmética. se puede encontrar de dos maneras:
   
   , donde es el número de valores.

PROGRESIÓN ARITMÉTICA. NIVEL MEDIO

Secuencia numérica

Sentémonos y comencemos a escribir algunos números. Por ejemplo:

Puede escribir cualquier número y puede haber tantos como desee. Pero siempre se puede saber cuál de ellos es el primero, cuál es el segundo, y así sucesivamente, es decir, podemos numerarlos. Este es un ejemplo de una secuencia numérica.

Secuencia numérica es un conjunto de números, a cada uno de los cuales se le puede asignar un número único.

En otras palabras, cada número puede estar asociado con un cierto número natural, y solo con uno. Y no asignaremos este número a ningún otro número de este conjunto.

El número con el número se llama el -ésimo miembro de la secuencia.

Por lo general, llamamos a toda la secuencia alguna letra (por ejemplo,), y cada miembro de esta secuencia, la misma letra con un índice igual al número de este miembro: .

Es muy conveniente si el -ésimo miembro de la secuencia se puede dar mediante alguna fórmula. Por ejemplo, la fórmula

establece la secuencia:

Y la fórmula es la siguiente secuencia:

Por ejemplo, una progresión aritmética es una secuencia (el primer término aquí es igual y la diferencia). O (, diferencia).

fórmula del término n

Llamamos fórmula recurrente a aquella fórmula en la que, para encontrar el enésimo término, es necesario conocer el anterior o varios anteriores:

Para encontrar, por ejemplo, el enésimo término de la progresión usando tal fórmula, tenemos que calcular los nueve anteriores. Por ejemplo, deja. Entonces:

Bueno, ahora está claro cuál es la fórmula.

En cada línea, sumamos, multiplicamos por algún número. ¿Para qué? Muy simple: este es el número del miembro actual menos:

Mucho más cómodo ahora, ¿verdad? Verificamos:

Decide por ti mismo:

En una progresión aritmética, encuentre la fórmula para el término n y encuentre el término centésimo.

Decisión:

El primer término es igual. ¿Y cual es la diferencia? Y esto es lo que:

(después de todo, se llama la diferencia porque es igual a la diferencia de los miembros sucesivos de la progresión).

Así que la fórmula es:

Entonces el centésimo término es:

¿Cuál es la suma de todos los números naturales de a?

Según la leyenda, el gran matemático Carl Gauss, siendo un niño de 9 años, calculó esta cantidad en pocos minutos. Observó que la suma del primer y el último número es igual, la suma del segundo y el penúltimo es la misma, la suma del tercero y el tercero desde el final es la misma, y ​​así sucesivamente. ¿Cuántos pares de estos hay? Así es, exactamente la mitad del número de todos los números, eso es. Asi que,

La fórmula general para la suma de los primeros términos de cualquier progresión aritmética será:

Ejemplo:
Encuentra la suma de todos los múltiplos de dos dígitos.

Decisión:

El primero de esos números es este. Cada siguiente se obtiene sumando un número al anterior. Así, los números que nos interesan forman una progresión aritmética con el primer término y la diferencia.

La fórmula para el enésimo término de esta progresión es:

¿Cuántos términos hay en la progresión si todos deben tener dos dígitos?

Muy fácil: .

El último término de la progresión será igual. Entonces la suma:

Responder: .

Ahora decide por ti mismo:

1. Cada día el atleta corre 1m más que el día anterior. ¿Cuántos kilómetros correrá en semanas si corrió km m el primer día?
2. Un ciclista recorre más kilómetros cada día que el anterior. El primer día recorrió el km. ¿Cuántos días tiene que conducir para recorrer un kilómetro? ¿Cuántos kilómetros recorrerá el último día del viaje?
3. El precio de un refrigerador en la tienda se reduce en la misma cantidad cada año. Determine cuánto disminuyó el precio de un refrigerador cada año si, puesto a la venta por rublos, seis años después se vendió por rublos.

Respuestas:

1. Lo más importante aquí es reconocer la progresión aritmética y determinar sus parámetros. En este caso, (semanas = días). Necesitas determinar la suma de los primeros términos de esta progresión:
   .
   Responder:
2. Aquí es dado:, es necesario encontrar.
   Obviamente, necesitas usar la misma fórmula de suma que en el problema anterior:
   .
   Sustituye los valores:

   La raíz obviamente no encaja, así que la respuesta.
   Calculemos la distancia recorrida durante el último día usando la fórmula del -ésimo miembro:
   (km).
   Responder:

3. Dado: . Encontrar: .
   No se vuelve más fácil:
   (frotar).
   Responder:

PROGRESIÓN ARITMÉTICA. BREVEMENTE SOBRE LOS PRINCIPALES

Esta es una secuencia numérica en la que la diferencia entre números adyacentes es la misma e igual.

La progresión aritmética es creciente () y decreciente ().

Por ejemplo:

La fórmula para encontrar el n-ésimo miembro de una progresión aritmética

se escribe como una fórmula, donde es el número de números en la progresión.

Propiedad de los miembros de una progresión aritmética

Hace que sea fácil encontrar un miembro de la progresión si se conocen los miembros vecinos: ¿dónde está el número de números en la progresión?

La suma de los miembros de una progresión aritmética.

Hay dos formas de encontrar la suma:

Donde está el número de valores.

Donde está el número de valores.

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Las matemáticas tienen su propia belleza, al igual que la pintura y la poesía.

Científico ruso, mecánico N.E. Zhukovsky

Tareas muy comunes en las pruebas de acceso a matemáticas son tareas relacionadas con el concepto de progresión aritmética. Para resolver con éxito tales problemas, es necesario conocer bien las propiedades de una progresión aritmética y tener ciertas habilidades en su aplicación.

Primero recordemos las principales propiedades de una progresión aritmética y presentemos las fórmulas más importantes., asociado a este concepto.

Definición. Secuencia numérica, en el que cada término subsiguiente difiere del anterior en el mismo número, llama progresión aritmética. Al mismo tiempo, el númerose llama la diferencia de progresión.

Para una progresión aritmética, las fórmulas son válidas

, (1)

donde . La fórmula (1) se denomina fórmula del término común de una progresión aritmética, y la fórmula (2) es la principal propiedad de una progresión aritmética: cada miembro de la progresión coincide con la media aritmética de sus miembros vecinos y .

Nótese que es precisamente por esta propiedad que la progresión bajo consideración se llama "aritmética".

Las fórmulas (1) y (2) anteriores se resumen como sigue:

(3)

Para calcular la suma primero miembros de una progresión aritméticase suele usar la formula

(5) donde y .

Si tenemos en cuenta la fórmula (1), entonces la fórmula (5) implica

Si designamos

donde . Como , las fórmulas (7) y (8) son una generalización de las fórmulas correspondientes (5) y (6).

En particular , de la fórmula (5) se sigue, qué

Entre las poco conocidas por la mayoría de los estudiantes se encuentra la propiedad de una progresión aritmética, formulada mediante el siguiente teorema.

Teorema. si, entonces

Prueba. si, entonces

El teorema ha sido probado.

Por ejemplo , usando el teorema, se puede demostrar que

Pasemos a la consideración de ejemplos típicos de resolución de problemas sobre el tema "Progresión aritmética".

Ejemplo 1 Sea y . Encontrar .

Decisión. Aplicando la fórmula (6), obtenemos . Desde y , entonces o .

Ejemplo 2 Sea tres veces más, y al dividir por en el cociente, resulta 2 y el resto es 8. Determinar y.

Decisión. El sistema de ecuaciones se sigue de la condición del ejemplo.

Como , , y , entonces del sistema de ecuaciones (10) obtenemos

La solución de este sistema de ecuaciones son y .

Ejemplo 3 Encuentre si y .

Decisión. Según la fórmula (5), tenemos o . Sin embargo, usando la propiedad (9), obtenemos .

Dado que y , entonces de la igualdad la ecuacion sigue o .

Ejemplo 4 Encuentra si .

Decisión.Por la fórmula (5) tenemos

Sin embargo, usando el teorema, se puede escribir

De aquí y de la fórmula (11) obtenemos .

Ejemplo 5. Dado: . Encontrar .

Decisión. Desde entonces . Sin embargo, por lo tanto.

Ejemplo 6 Sea , y . Encontrar .

Decisión. Usando la fórmula (9), obtenemos . Por lo tanto, si , entonces o .

Desde y entonces aquí tenemos un sistema de ecuaciones

Resolviendo cuál, obtenemos y .

Raíz natural de la ecuación es un .

Ejemplo 7 Encuentre si y .

Decisión. Como de acuerdo con la fórmula (3) tenemos que , entonces el sistema de ecuaciones se sigue de la condición del problema

Si sustituimos la expresiónen la segunda ecuación del sistema, entonces obtenemos o .

Las raíces de la ecuación cuadrática son y .

Consideremos dos casos.

1. Sea , entonces . Desde y , entonces .

En este caso, según la fórmula (6), tenemos

2. Si , entonces , y

Respuesta: y.

Ejemplo 8 Se sabe que y Encontrar .

Decisión. Teniendo en cuenta la fórmula (5) y la condición del ejemplo, escribimos y .

Esto implica el sistema de ecuaciones

Si multiplicamos la primera ecuación del sistema por 2 y luego la sumamos a la segunda ecuación, obtenemos

De acuerdo con la fórmula (9), tenemos. En este sentido, de (12) se sigue o .

Desde y , entonces .

Responder: .

Ejemplo 9 Encuentre si y .

Decisión. Dado que , y por condición , entonces o .

De la fórmula (5) se sabe, qué . Desde entonces .

Por lo tanto , aquí tenemos un sistema de ecuaciones lineales

De aquí obtenemos y . Teniendo en cuenta la fórmula (8), escribimos .

Ejemplo 10 Resuelve la ecuación.

Decisión. De la ecuación dada se sigue que . Supongamos que , y . En este caso .

Según la fórmula (1), podemos escribir o .

Como , la ecuación (13) tiene una única raíz adecuada .

Ejemplo 11. Encuentre el valor máximo siempre que y .

Decisión. Como , entonces la progresión aritmética considerada es decreciente. En este sentido, la expresión toma un valor máximo cuando es el número del mínimo término positivo de la progresión.

Usamos la fórmula (1) y el hecho, cual y . Entonces obtenemos eso o .

Porque entonces o . Sin embargo, en esta desigualdadnúmero natural más grande, Es por eso .

Si los valores y se sustituyen en la fórmula (6), entonces obtenemos .

Responder: .

Ejemplo 12. Encuentra la suma de todos los números naturales de dos dígitos que, al dividirlos por 6, tienen un resto de 5.

Decisión. Denote por el conjunto de todos los números naturales de dos valores, es decir, . A continuación, construimos un subconjunto que consta de aquellos elementos (números) del conjunto que, cuando se dividen por el número 6, dan un resto de 5.

Fácil de instalar, qué . Obviamente , que los elementos del conjuntoformar una progresión aritmética, en el que y .

Para determinar la cardinalidad (número de elementos) del conjunto, asumimos que . Como y , entonces la fórmula (1) implica o . Teniendo en cuenta la fórmula (5), obtenemos .

Los ejemplos anteriores de resolución de problemas no pueden pretender ser exhaustivos. Este artículo está escrito sobre la base de un análisis de los métodos modernos para resolver problemas típicos sobre un tema determinado. Para un estudio más profundo de los métodos para resolver problemas relacionados con la progresión aritmética, es recomendable consultar la lista de literatura recomendada.

1. Colección de tareas en matemáticas para aspirantes a universidades técnicas / Ed. MI. Escanavi. - M.: Mundo y Educación, 2013. - 608 págs.

2. Suprun V.P. Matemáticas para estudiantes de secundaria: secciones adicionales del currículo escolar. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 págs.

3. Medynsky M. M. Un curso completo de matemáticas elementales en tareas y ejercicios. Libro 2: Secuencias y Progresiones Numéricas. – M.: Editus, 2015. - 208 págs.

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¿Cuál es la esencia de la fórmula?

Esta fórmula le permite encontrar ninguna POR SU NÚMERO" norte" .

Por supuesto, necesitas saber el primer término. un 1 y diferencia de progresión d, bueno, sin estos parámetros, no puedes escribir una progresión específica.

No es suficiente memorizar (o hacer trampa) esta fórmula. Es necesario asimilar su esencia y aplicar la fórmula en diversos problemas. Sí, y no olvides en el momento adecuado, sí ...) Cómo No olvide- No sé. Y aquí como recordar Si es necesario, te daré una pista. Para aquellos que dominan la lección hasta el final.)

Entonces, tratemos con la fórmula del n-ésimo miembro de una progresión aritmética.

Qué es una fórmula en general, imaginamos.) Qué es una progresión aritmética, un número de miembro, una diferencia de progresión, se establece claramente en la lección anterior. Échale un vistazo si no lo has leído. Allí todo es sencillo. Queda por averiguar qué enésimo miembro.

La progresión en general se puede escribir como una serie de números:

un 1 , un 2 , un 3 , un 4 , un 5 , .....

un 1- denota el primer término de una progresión aritmética, un 3- tercer miembro un 4- cuarto, y así sucesivamente. Si estamos interesados ​​en el quinto término, digamos que estamos trabajando con un 5, si ciento veinte - de un 120.

Cómo definir en general ninguna miembro de una progresión aritmética, s ninguna¿número? ¡Muy simple! Me gusta esto:

un

Eso es lo que es n-ésimo miembro de una progresión aritmética. Debajo de la letra n se ocultan todos los números de miembros a la vez: 1, 2, 3, 4, etc.

¿Y qué nos da tal registro? Solo piensa, en lugar de un número, escribieron una letra ...

Esta notación nos brinda una poderosa herramienta para trabajar con progresiones aritméticas. Usando la notación un, podemos encontrar rápidamente ninguna miembro ninguna progresión aritmética. Y un montón de tareas para resolver en progresión. Verás más.

En la fórmula del enésimo miembro de una progresión aritmética:

un n = un 1 + (n-1)d

un 1- el primer miembro de la progresión aritmética;

norte- número de miembro.

La fórmula vincula los parámetros clave de cualquier progresión: un ; un 1; d y norte. Alrededor de estos parámetros, todos los rompecabezas giran en progresión.

La fórmula del término n también se puede usar para escribir una progresión específica. Por ejemplo, en el problema se puede decir que la progresión viene dada por la condición:

un n = 5 + (n-1) 2.

Tal problema puede incluso confundir ... No hay serie, no hay diferencia ... Pero, comparando la condición con la fórmula, es fácil darse cuenta de que en esta progresión a 1 \u003d 5, y d \u003d 2.

¡Y puede ser aún más enojado!) Si tomamos la misma condición: un n = 5 + (n-1) 2, sí, abre los paréntesis y da otros similares? Obtenemos una nueva fórmula:

an = 3 + 2n.

Este es Solo que no es general, sino para una progresión específica. Aquí es donde está la trampa. Algunas personas piensan que el primer término es un tres. Aunque en realidad el primer miembro es un cinco... Un poco más abajo trabajaremos con esa fórmula modificada.

En tareas para la progresión, hay otra notación: un n+1. Este es, lo adivinaste, el término "n más el primero" de la progresión. Su significado es simple e inofensivo.) Este es un miembro de la progresión, cuyo número es mayor que el número n por uno. Por ejemplo, si en algún problema tomamos por un quinto término, entonces un n+1 será el sexto integrante. Etc.

Muy a menudo la designación un n+1 ocurre en fórmulas recursivas. ¡No tengas miedo de esta terrible palabra!) Esta es solo una forma de expresar un término de una progresión aritmética a través de la anterior. Supongamos que se nos da una progresión aritmética de esta forma, usando la fórmula recurrente:

un norte+1 = un norte +3

un 2 = un 1 + 3 = 5+3 = 8

un 3 = un 2 + 3 = 8+3 = 11

Del cuarto al tercero, del quinto al cuarto, y así sucesivamente. Y cómo contar inmediatamente, digamos el vigésimo término, un 20? ¡Pero de ninguna manera!) Si bien el término 19 no se conoce, el 20 no se puede contar. Esta es la diferencia fundamental entre la fórmula recursiva y la fórmula del n-ésimo término. El recurso recursivo solo funciona a través de anterior término, y la fórmula del término n - a través de primero y permite inmediatamente encontrar cualquier miembro por su número. No contar toda la serie de números en orden.

En una progresión aritmética, una fórmula recursiva se puede convertir fácilmente en una regular. Cuenta un par de términos consecutivos, calcula la diferencia d, Encuentre, si es necesario, el primer término. un 1, escriba la fórmula en la forma habitual y trabaje con ella. En el GIA, tales tareas se encuentran a menudo.

Aplicación de la fórmula del n-ésimo miembro de una progresión aritmética.

Primero, veamos la aplicación directa de la fórmula. Al final de la lección anterior había un problema:

Dada una progresión aritmética (a n). Encuentre un 121 si a 1 = 3 y d = 1/6.

Este problema se puede resolver sin fórmulas, simplemente basándose en el significado de la progresión aritmética. Agregue, sí agregue ... Una hora o dos.)

Y según la fórmula, la solución tardará menos de un minuto. Puedes cronometrarlo). Nosotros decidimos.

Las condiciones proporcionan todos los datos para usar la fórmula: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Queda por ver qué norte.¡No hay problema! Necesitamos encontrar un 121. Aquí escribimos:

¡Por favor pon atención! En lugar de un índice norte apareció un número específico: 121. Lo cual es bastante lógico.) Estamos interesados ​​​​en el miembro de la progresión aritmética número ciento veintiuno. Este será nuestro norte. es este significado norte= 121 lo sustituiremos más adelante en la fórmula, entre paréntesis. Sustituye todos los números en la fórmula y calcula:

121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Eso es todo al respecto. Con la misma rapidez uno podría encontrar el miembro quinientos décimo, y el mil tercero, cualquiera. ponemos en su lugar norte el número deseado en el índice de la letra " un" y entre paréntesis, y consideramos.

Déjame recordarte la esencia: esta fórmula te permite encontrar ninguna término de una progresión aritmética POR SU NÚMERO" norte" .

Resolvamos el problema de manera más inteligente. Digamos que tenemos el siguiente problema:

Encuentre el primer término de la progresión aritmética (a n) si a 17 =-2; d=-0,5.

Si tienes alguna dificultad, te sugiero el primer paso. ¡Escriba la fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética! Sí Sí. Escriba a mano, directamente en su cuaderno:

un n = un 1 + (n-1)d

Y ahora, mirando las letras de la fórmula, entendemos qué datos tenemos y qué falta. Disponible d=-0.5, hay un decimoséptimo miembro... ¿Todo? Si crees que eso es todo, entonces no puedes resolver el problema, sí...

También tenemos un número norte! en la condición un 17 =-2 oculto dos opciones. Este es tanto el valor del decimoséptimo miembro (-2) como su número (17). Aquellas. n=17. Esta "pequeña cosa" a menudo se desliza más allá de la cabeza, y sin ella (¡sin la "pequeña cosa", no la cabeza!) El problema no se puede resolver. Aunque... y sin cabeza también.)

Ahora podemos simplemente sustituir estúpidamente nuestros datos en la fórmula:

un 17 \u003d un 1 + (17-1) (-0.5)

Oh sí, un 17 sabemos que es -2. Bien, vamos a ponerlo en:

-2 \u003d un 1 + (17-1) (-0.5)

Eso, en esencia, es todo. Queda por expresar el primer término de la progresión aritmética a partir de la fórmula, y calcular. Obtienes la respuesta: un 1 = 6.

Tal técnica, escribir una fórmula y simplemente sustituir datos conocidos, ayuda mucho en tareas simples. Bueno, por supuesto, debe poder expresar una variable a partir de una fórmula, pero ¿qué hacer? Sin esta habilidad, las matemáticas no se pueden estudiar en absoluto ...

Otro problema popular:

Encuentra la diferencia de la progresión aritmética (a n) si a 1 =2; un 15 = 12.

¿Que estamos haciendo? ¡Te sorprenderás, escribimos la fórmula!)

un n = un 1 + (n-1)d

Considere lo que sabemos: un 1 = 2; un 15 = 12; y (¡punto culminante especial!) n=15. Siéntase libre de sustituir en la fórmula:

12=2 + (15-1)d

Hagamos la aritmética.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Esta es la respuesta correcta.

Entonces, tareas un n, un 1 y d decidió. Queda por aprender cómo encontrar el número:

El número 99 es miembro de una progresión aritmética (a n), donde a 1 = 12; d=3. Encuentre el número de este miembro.

Sustituimos las cantidades conocidas en la fórmula del término n:

un norte = 12 + (n-1) 3

A primera vista, hay dos cantidades desconocidas aquí: una n y una n Pero un es algún miembro de la progresión con el número norte... Y este miembro de la progresión que conocemos! Es el 99. No sabemos su número. norte, así que este número también necesita ser encontrado. Sustituya el término de progresión 99 en la fórmula:

99 = 12 + (n-1) 3

Expresamos a partir de la fórmula norte, Nosotros pensamos. Obtenemos la respuesta: n=30.

Y ahora un problema sobre el mismo tema, pero más creativo):

Determine si el número 117 será miembro de una progresión aritmética (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Escribamos la fórmula de nuevo. ¿Qué, no hay opciones? Hm... ¿Por qué necesitamos ojos?) ¿Vemos al primer miembro de la progresión? Vemos. Esto es -3.6. Puedes escribir con seguridad: un 1 \u003d -3.6. Diferencia d se puede determinar a partir de la serie? Es fácil si sabes cuál es la diferencia de una progresión aritmética:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Sí, hicimos lo más simple. Queda por hacer frente a un número desconocido norte y un incomprensible número 117. En el problema anterior al menos se sabía que era el término de la progresión que se daba. Pero aquí ni eso sabemos... ¿¡Cómo ser!? Bueno, cómo ser, cómo ser... ¡Enciende tus habilidades creativas!)

Nosotros suponer que 117 es, después de todo, un miembro de nuestra progresión. Con un número desconocido norte. Y, al igual que en el problema anterior, intentemos encontrar este número. Aquellas. escribimos la fórmula (¡sí-sí!)) y sustituimos nuestros números:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

De nuevo expresamos a partir de la fórmulanorte, contamos y obtenemos:

¡Ups! El número resultó ¡fraccionario! Ciento uno y medio. Y números fraccionarios en progresiones. no puede ser.¿Qué conclusión sacamos? ¡Sí! número 117 no es miembro de nuestra progresión. Está en algún lugar entre los miembros 101 y 102. Si el número resultó ser natural, es decir. entero positivo, entonces el número sería un miembro de la progresión con el número encontrado. Y en nuestro caso, la respuesta al problema será: no.

Tarea basada en una versión real del GIA:

La progresión aritmética viene dada por la condición:

un n \u003d -4 + 6.8n

Encuentre los términos primero y décimo de la progresión.

Aquí la progresión se establece de una manera inusual. Algún tipo de fórmula ... Sucede.) Sin embargo, esta fórmula (como escribí anteriormente) - ¡también la fórmula del n-ésimo miembro de una progresión aritmética! Ella también permite encontrar cualquier miembro de la progresión por su número.

Estamos buscando al primer miembro. El que piensa. que el primer término es menos cuatro, ¡es un error fatal!) Porque la fórmula del problema está modificada. El primer término de una progresión aritmética en ella oculto. Nada, lo encontraremos ahora.)

Al igual que en las tareas anteriores, sustituimos n=1 en esta fórmula:

a 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8

¡Aquí! ¡El primer término es 2.8, no -4!

Del mismo modo, buscamos el décimo término:

un 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64

Eso es todo al respecto.

Y ahora, para los que hayan leído hasta estas líneas, el bono prometido.)

Suponga que, en una situación de combate difícil del GIA o del Examen de Estado Unificado, ha olvidado la útil fórmula del miembro n-ésimo de una progresión aritmética. Algo me viene a la mente, pero de alguna manera incierto ... Si norte allí, o n+1, o n-1...¿¡Cómo ser!?

¡Tranquilo! Esta fórmula es fácil de obtener. No muy estricto, ¡pero definitivamente suficiente para la confianza y la decisión correcta!) Para la conclusión, es suficiente recordar el significado elemental de la progresión aritmética y tener un par de minutos de tiempo. Solo necesitas hacer un dibujo. Para mayor claridad.

Dibujamos un eje numérico y marcamos el primero en él. segundo, tercero, etc miembros Y nota la diferencia d entre miembros Me gusta esto:

Miramos la imagen y pensamos: ¿a qué es igual el segundo término? Segundo uno d:

un 2 = un 1 + 1 d

¿Cuál es el tercer término? El tercero el término es igual al primer término más dos d.

un 3 = un 1 + 2 d

¿Lo entiendes? No pongo algunas palabras en negrita por nada. Bien, un paso más.)

¿Cuál es el cuarto término? Cuatro el término es igual al primer término más Tres d.

un 4 = un 1 + 3 d

Es hora de darse cuenta de que el número de lagunas, es decir, d, siempre uno menos que el número del miembro que está buscando norte. Es decir, hasta el número n, número de huecos será n-1. Entonces, la fórmula será (¡sin opciones!):

un n = un 1 + (n-1)d

En general, las imágenes visuales son muy útiles para resolver muchos problemas matemáticos. No descuides las imágenes. Pero si es difícil hacer un dibujo, entonces ... ¡solo una fórmula!) Además, la fórmula del enésimo término le permite conectar todo el poderoso arsenal de las matemáticas a la solución: ecuaciones, desigualdades, sistemas, etc. No puedes poner una imagen en una ecuación...

Tareas para decisión independiente.

Para entrar en calor:

1. En progresión aritmética (a n) a 2 =3; un 5 \u003d 5.1. Encuentra un 3.

Pista: según la imagen, el problema se resuelve en 20 segundos... Según la fórmula, resulta más difícil. Pero para dominar la fórmula, es más útil). En la Sección 555, este problema se resuelve tanto con la imagen como con la fórmula. ¡Siente la diferencia!)

Y esto ya no es un calentamiento.)

2. En progresión aritmética (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. Halla a 3 .

¿Qué, renuencia a hacer un dibujo?) ¡Aún así! Es mejor en la fórmula, sí...

3. La progresión aritmética viene dada por la condición:un 1 \u003d -5.5; un n+1 = un n +0.5. Encuentre el término ciento veinticinco de esta progresión.

En esta tarea, la progresión se da de forma recurrente. Pero contando hasta el término ciento veinticinco... No todos pueden hacer tal hazaña.) ¡Pero la fórmula del enésimo término está al alcance de todos!

4. Dada una progresión aritmética (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Encuentra el número del término positivo más pequeño de la progresión.

5. De acuerdo con la condición de la tarea 4, encuentre la suma de los miembros positivos más pequeños y negativos más grandes de la progresión.

6. El producto de los términos quinto y duodécimo de una progresión aritmética creciente es -2,5, y la suma de los términos tercero y undécimo es cero. Encuentra un 14 .

No es la tarea más fácil, sí ...) Aquí el método "en los dedos" no funcionará. Tienes que escribir fórmulas y resolver ecuaciones.

Respuestas (en desorden):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

¿Sucedió? ¡Es agradable!)

¿No todo sale bien? Sucede. Por cierto, en la última tarea hay un punto sutil. Se requerirá atención al leer el problema. y logica

La solución a todos estos problemas se analiza en detalle en la Sección 555. Y el elemento de fantasía para el cuarto, y el momento sutil para el sexto, y los enfoques generales para resolver cualquier problema para la fórmula del enésimo término: todo está pintado. Recomendar.

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Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)

puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Alguien trata la palabra "progresión" con cautela, como un término muy complejo de las secciones de matemáticas superiores. Mientras tanto, la progresión aritmética más simple es el trabajo del mostrador de taxis (donde aún permanecen). Y comprender la esencia (y en matemáticas no hay nada más importante que "comprender la esencia") de una secuencia aritmética no es tan difícil, habiendo analizado algunos conceptos elementales.

Secuencia numérica matemática

Se acostumbra llamar secuencia numérica a una serie de números, cada uno de los cuales tiene su propio número.

y 1 es el primer miembro de la secuencia;

y 2 es el segundo miembro de la secuencia;

y 7 es el séptimo miembro de la secuencia;

yn es el n-ésimo miembro de la secuencia;

Sin embargo, no nos interesa ningún conjunto arbitrario de cifras y números. Centraremos nuestra atención en una secuencia numérica en la que el valor del n-ésimo miembro está relacionado con su número ordinal mediante una dependencia que se puede formular matemáticamente con claridad. En otras palabras: el valor numérico del n-ésimo número es alguna función de n.

a - valor de un miembro de la secuencia numérica;

n es su número de serie;

f(n) es una función donde el ordinal en la secuencia numérica n es el argumento.

Definición

Una progresión aritmética generalmente se denomina secuencia numérica en la que cada término subsiguiente es mayor (menor) que el anterior por el mismo número. La fórmula para el n-ésimo miembro de una sucesión aritmética es la siguiente:

a n - el valor del miembro actual de la progresión aritmética;

a n+1 - la fórmula del siguiente número;

d - diferencia (un cierto número).

Es fácil determinar que si la diferencia es positiva (d>0), entonces cada miembro subsiguiente de la serie bajo consideración será mayor que el anterior, y tal progresión aritmética será creciente.

En el siguiente gráfico, es fácil ver por qué la secuencia numérica se llama "creciente".

En los casos en que la diferencia sea negativa (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

El valor del miembro especificado

A veces es necesario determinar el valor de algún término arbitrario de una progresión aritmética. Puedes hacerlo calculando sucesivamente los valores de todos los miembros de la progresión aritmética, desde el primero hasta el deseado. Sin embargo, esta forma no siempre es aceptable si, por ejemplo, es necesario encontrar el valor del término cincomilésima u ochomillonésima. El cálculo tradicional llevará mucho tiempo. Sin embargo, se puede investigar una progresión aritmética específica usando ciertas fórmulas. También hay una fórmula para el término n: el valor de cualquier miembro de una progresión aritmética se puede determinar como la suma del primer miembro de la progresión con la diferencia de la progresión, multiplicada por el número del miembro deseado, menos uno .

La fórmula es universal para la progresión creciente y decreciente.

Un ejemplo de cálculo del valor de un miembro dado

Resolvamos el siguiente problema de encontrar el valor del n-ésimo miembro de una progresión aritmética.

Condición: existe una progresión aritmética con parámetros:

El primer miembro de la secuencia es 3;

La diferencia en la serie numérica es 1,2.

Tarea: es necesario encontrar el valor de 214 términos

Solución: para determinar el valor de un miembro dado, usamos la fórmula:

a(n) = a1 + d(n-1)

Sustituyendo los datos del enunciado del problema en la expresión, tenemos:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Respuesta: El miembro 214 de la secuencia es igual a 258,6.

Las ventajas de este método de cálculo son obvias: la solución completa no ocupa más de 2 líneas.

Suma de un número dado de miembros

Muy a menudo, en una serie aritmética dada, se requiere determinar la suma de los valores de algunos de sus segmentos. Tampoco necesita calcular los valores de cada término y luego resumirlos. Este método es aplicable si el número de términos cuya suma se debe encontrar es pequeño. En otros casos, es más conveniente utilizar la siguiente fórmula.

La suma de los miembros de una progresión aritmética de 1 a n es igual a la suma de los miembros primero y n, multiplicada por el miembro número n y dividida por dos. Si en la fórmula se reemplaza el valor del n-ésimo miembro por la expresión del párrafo anterior del artículo, obtenemos:

Ejemplo de cálculo

Por ejemplo, resolvamos un problema con las siguientes condiciones:

El primer término de la sucesión es cero;

La diferencia es 0,5.

En el problema se requiere determinar la suma de los términos de la serie del 56 al 101.

Decisión. Usemos la fórmula para determinar la suma de la progresión:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Primero, determinamos la suma de los valores de 101 miembros de la progresión sustituyendo las condiciones dadas de nuestro problema en la fórmula:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Obviamente, para saber la suma de los términos de la progresión del 56 al 101, es necesario restar S 55 a S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Entonces, la suma de la progresión aritmética para este ejemplo es:

s 101 - s 55 \u003d 2525 - 742,5 \u003d 1782,5

Ejemplo de aplicación práctica de la progresión aritmética

Al final del artículo, volvamos al ejemplo de la secuencia aritmética dada en el primer párrafo: un taxímetro (taxi taxímetro). Consideremos tal ejemplo.

Subirse a un taxi (que incluye 3 km) cuesta 50 rublos. Cada kilómetro subsiguiente se paga a razón de 22 rublos / km. Distancia de recorrido 30 km. Calcular el costo del viaje.

1. Descartemos los primeros 3 km, cuyo precio está incluido en el coste del aterrizaje.

30 - 3 = 27 kilómetros.

2. El cálculo adicional no es más que analizar una serie de números aritméticos.

El número de miembro es el número de kilómetros recorridos (menos los tres primeros).

El valor del miembro es la suma.

El primer término de este problema será igual a 1 = 50 rublos.

Diferencia de progresión d = 22 p.

el número que nos interesa - el valor del (27 + 1) miembro de la progresión aritmética - la lectura del medidor al final del kilómetro 27 - 27.999 ... = 28 km.

un 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Los cálculos de datos de calendario para un período arbitrariamente largo se basan en fórmulas que describen ciertas secuencias numéricas. En astronomía, la longitud de la órbita depende geométricamente de la distancia del cuerpo celeste a la luminaria. Además, varias series numéricas se utilizan con éxito en estadística y otras ramas aplicadas de las matemáticas.

Otro tipo de secuencia numérica es la geométrica.

Una progresión geométrica se caracteriza por una gran tasa de cambio en comparación con una aritmética. No es casualidad que en política, sociología, medicina, muchas veces, para mostrar la alta velocidad de propagación de un determinado fenómeno, por ejemplo, una enfermedad durante una epidemia, se diga que el proceso se desarrolla exponencialmente.

El N-ésimo miembro de la serie de números geométricos difiere del anterior en que se multiplica por algún número constante: el denominador, por ejemplo, el primer miembro es 1, el denominador es 2, respectivamente, luego:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - el valor del miembro actual de la progresión geométrica;

b n+1 - la fórmula del siguiente miembro de la progresión geométrica;

q es el denominador de una progresión geométrica (número constante).

Si la gráfica de una progresión aritmética es una línea recta, entonces la geométrica dibuja una imagen ligeramente diferente:

Como en el caso de la aritmética, una progresión geométrica tiene una fórmula para el valor de un miembro arbitrario. Cualquier n-ésimo término de una progresión geométrica es igual al producto del primer término y el denominador de la progresión a la potencia de n reducido por uno:

Ejemplo. Tenemos una progresión geométrica con el primer término igual a 3 y el denominador de la progresión igual a 1,5. Encuentre el quinto término de la progresión.

segundo 5 \u003d segundo 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875

La suma de un número dado de miembros también se calcula usando una fórmula especial. La suma de los primeros n miembros de una progresión geométrica es igual a la diferencia entre el producto del n-ésimo miembro de la progresión y su denominador y el primer miembro de la progresión, dividido por el denominador menos uno:

Si b n se reemplaza usando la fórmula discutida anteriormente, el valor de la suma de los primeros n miembros de la serie de números considerada tomará la forma:

Ejemplo. La progresión geométrica comienza con el primer término igual a 1. El denominador se establece igual a 3. Hallemos la suma de los primeros ocho términos.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Sí, sí: la progresión aritmética no es un juguete para ti :)

Bueno, amigos, si están leyendo este texto, entonces la evidencia interna del tope me dice que aún no saben qué es una progresión aritmética, pero realmente (no, así: ¡MUUUUUY!) quieren saber. Por lo tanto, no lo atormentaré con presentaciones largas e inmediatamente me pondré manos a la obra.

Para empezar, un par de ejemplos. Considere varios conjuntos de números:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\raíz cuadrada(2);\ 2\raíz cuadrada(2);\ 3\raíz cuadrada(2);...$

¿Qué tienen en común todos estos conjuntos? A primera vista, nada. Pero en realidad hay algo. A saber: cada siguiente elemento difiere del anterior por el mismo número.

Juzga por ti mismo. El primer conjunto son solo números consecutivos, cada uno más que el anterior. En el segundo caso, la diferencia entre números adyacentes ya es igual a cinco, pero esta diferencia sigue siendo constante. En el tercer caso, hay raíces en general. Sin embargo, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, mientras que $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, es decir, en cuyo caso cada siguiente elemento simplemente aumenta en $\sqrt(2)$ (y no se asuste de que este número sea irracional).

Entonces: todas esas secuencias se llaman simplemente progresiones aritméticas. Vamos a dar una definición estricta:

Definición. Una secuencia de números en la que cada siguiente difiere del anterior en exactamente la misma cantidad se llama progresión aritmética. La misma cantidad en la que difieren los números se denomina diferencia de progresión y se denota con mayor frecuencia con la letra $d$.

Notación: $\left(((a)_(n)) \right)$ es la progresión en sí, $d$ es su diferencia.

Y sólo un par de comentarios importantes. En primer lugar, la progresión se considera sólo ordenado secuencia de números: se pueden leer estrictamente en el orden en que están escritos, y nada más. No puede reorganizar o intercambiar números.

En segundo lugar, la secuencia en sí puede ser finita o infinita. Por ejemplo, el conjunto (1; 2; 3) es obviamente una progresión aritmética finita. Pero si escribe algo como (1; 2; 3; 4; ...), esto ya es una progresión infinita. Los puntos suspensivos después del cuatro, por así decirlo, insinúan que muchos números van más allá. Infinitos, por ejemplo. :)

También me gustaría señalar que las progresiones están aumentando y disminuyendo. Ya hemos visto los crecientes: el mismo conjunto (1; 2; 3; 4; ...). Aquí hay ejemplos de progresiones decrecientes:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Está bien, está bien: el último ejemplo puede parecer demasiado complicado. Pero el resto, creo, lo entiendes. Por lo tanto, introducimos nuevas definiciones:

Definición. Una progresión aritmética se llama:

1. creciente si cada elemento siguiente es mayor que el anterior;
2. decreciente, si, por el contrario, cada elemento posterior es menor que el anterior.

Además, existen las llamadas secuencias "estacionarias": consisten en el mismo número repetido. Por ejemplo, (3; 3; 3; ...).

Solo queda una pregunta: ¿cómo distinguir una progresión creciente de una decreciente? Afortunadamente, aquí todo depende solo del signo del número $d$, es decir diferencias de progresión:

1. Si $d \gt 0$, entonces la progresión es creciente;
2. Si $d \lt 0$, entonces la progresión es obviamente decreciente;
3. Finalmente, está el caso $d=0$ — en este caso toda la progresión se reduce a una secuencia estacionaria de números idénticos: (1; 1; 1; 1; ...), etc.

Tratemos de calcular la diferencia $d$ para las tres progresiones decrecientes anteriores. Para hacer esto, basta con tomar dos elementos adyacentes cualesquiera (por ejemplo, el primero y el segundo) y restar el número de la izquierda del número de la derecha. Se verá así:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Como puede ver, en los tres casos la diferencia realmente resultó ser negativa. Y ahora que hemos descubierto más o menos las definiciones, es hora de descubrir cómo se describen las progresiones y qué propiedades tienen.

Miembros de la fórmula progresiva y recurrente

Dado que los elementos de nuestras secuencias no se pueden intercambiar, se pueden numerar:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \derecho\)\]

Los elementos individuales de este conjunto se denominan miembros de la progresión. Se indican así con la ayuda de un número: el primer miembro, el segundo miembro, etc.

Además, como ya sabemos, los miembros vecinos de la progresión están relacionados por la fórmula:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

En resumen, para encontrar el término $n$ de la progresión, necesitas saber el término $n-1$ y la diferencia $d$. Tal fórmula se llama recurrente, porque con su ayuda puede encontrar cualquier número, solo conociendo el anterior (y, de hecho, todos los anteriores). Esto es muy inconveniente, por lo que existe una fórmula más complicada que reduce cualquier cálculo al primer término y la diferencia:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Probablemente te hayas encontrado con esta fórmula antes. Les gusta darlo en todo tipo de libros de referencia y reshebniks. Y en cualquier libro de texto sensato sobre matemáticas, es uno de los primeros.

Sin embargo, te sugiero que practiques un poco.

Tarea número 1. Escribe los tres primeros términos de la progresión aritmética $\left(((a)_(n)) \right)$ si $((a)_(1))=8,d=-5$.

Decisión. Entonces, conocemos el primer término $((a)_(1))=8$ y la diferencia de progresión $d=-5$. Usemos la fórmula que acabamos de dar y sustituyamos $n=1$, $n=2$ y $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(alinear)\]

Respuesta: (8; 3; -2)

¡Eso es todo! Tenga en cuenta que nuestra progresión está disminuyendo.

Por supuesto, $n=1$ no se podría haber sustituido; ya conocemos el primer término. Sin embargo, al sustituir la unidad, nos aseguramos de que nuestra fórmula funcione incluso para el primer término. En otros casos, todo se reducía a la aritmética banal.

Tarea número 2. Escribe los primeros tres términos de una progresión aritmética si su séptimo término es −40 y su decimoséptimo término es −50.

Decisión. Escribimos la condición del problema en los términos usuales:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(alinear) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(alinear) \derecho.\]

Pongo la señal del sistema porque estos requisitos deben cumplirse simultáneamente. Y ahora notamos que si restamos la primera ecuación de la segunda ecuación (tenemos derecho a hacerlo, porque tenemos un sistema), obtenemos esto:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(alinear)\]

Así de simple, ¡encontramos la diferencia de progresión! Resta sustituir el número encontrado en cualquiera de las ecuaciones del sistema. Por ejemplo, en el primero:

\[\begin(matriz) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matriz)\]

Ahora, conociendo el primer término y la diferencia, queda por encontrar el segundo y tercer término:

\[\begin(alinear) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(alinear)\]

¡Listo! Problema resuelto.

Respuesta: (-34; -35; -36)

Presta atención a una propiedad curiosa de la progresión que descubrimos: si tomamos los términos $n$ésimo y $m$ésimo y los restamos entre sí, entonces obtenemos la diferencia de la progresión multiplicada por el número $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Una propiedad simple pero muy útil que definitivamente debería conocer: con su ayuda, puede acelerar significativamente la solución de muchos problemas de progresión. Aquí hay un buen ejemplo de esto:

Tarea número 3. El quinto término de la progresión aritmética es 8,4 y su décimo término es 14,4. Encuentre el decimoquinto término de esta progresión.

Decisión. Como $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, y necesitamos encontrar $((a)_(15))$, observamos lo siguiente:

\[\begin(alinear) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(alinear)\]

Pero por condición $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, entonces $5d=6$, de donde tenemos:

\[\begin(alinear) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(alinear)\]

Respuesta: 20.4

¡Eso es todo! No necesitábamos componer ningún sistema de ecuaciones y calcular el primer término y la diferencia: todo se decidió en solo un par de líneas.

Ahora consideremos otro tipo de problema: la búsqueda de miembros negativos y positivos de la progresión. No es ningún secreto que si la progresión aumenta, mientras que su primer término es negativo, tarde o temprano aparecerán términos positivos. Y viceversa: los términos de una progresión decreciente tarde o temprano se volverán negativos.

Al mismo tiempo, no siempre es posible encontrar este momento "en la frente", clasificando secuencialmente los elementos. A menudo, los problemas están diseñados de tal manera que, sin conocer las fórmulas, los cálculos tomarían varias hojas; simplemente nos quedaríamos dormidos hasta que encontráramos la respuesta. Por lo tanto, intentaremos resolver estos problemas de una manera más rápida.

Tarea número 4. Cuantos términos negativos en una progresión aritmética -38.5; -35,8; …?

Decisión. Entonces, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, de donde encontramos inmediatamente la diferencia:

Tenga en cuenta que la diferencia es positiva, por lo que la progresión es creciente. El primer término es negativo, por lo que en algún momento tropezaremos con números positivos. La única pregunta es cuándo sucederá esto.

Intentemos averiguar: cuánto tiempo (es decir, hasta qué número natural $n$) se conserva la negatividad de los términos:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(alinear)\]

La última línea necesita aclaración. Entonces sabemos que $n \lt 15\frac(7)(27)$. Por otro lado, solo nos convienen los valores enteros del número (además: $n\in \mathbb(N)$), por lo que el número más grande permitido es precisamente $n=15$, y en ningún caso 16.

Tarea número 5. En progresión aritmética $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Encuentra el número del primer término positivo de esta progresión.

Este sería exactamente el mismo problema que el anterior, pero no sabemos $((a)_(1))$. Pero los términos vecinos son conocidos: $((a)_(5))$ y $((a)_(6))$, por lo que podemos encontrar fácilmente la diferencia de progresión:

Además, intentemos expresar el quinto término en términos del primero y la diferencia usando la fórmula estándar:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(alinear)\]

Ahora procedemos por analogía con el problema anterior. Descubrimos en qué punto de nuestra secuencia aparecerán números positivos:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Flecha derecha ((n)_(\min ))=56. \\ \end(alinear)\]

La solución entera mínima de esta desigualdad es el número 56.

Tenga en cuenta que en la última tarea todo se redujo a una estricta desigualdad, por lo que la opción $n=55$ no nos conviene.

Ahora que hemos aprendido a resolver problemas simples, pasemos a los más complejos. Pero primero, aprendamos otra propiedad muy útil de las progresiones aritméticas, que nos ahorrará mucho tiempo y celdas desiguales en el futuro. :)

Media aritmética y sangrías iguales

Considere varios términos consecutivos de la progresión aritmética creciente $\left(((a)_(n)) \right)$. Intentemos marcarlos en una recta numérica:

Miembros de progresión aritmética en la recta numérica

Señalé específicamente los miembros arbitrarios $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, y no cualquier $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ etc. Porque la regla, que ahora les diré, funciona igual para cualquier "segmento".

Y la regla es muy simple. Recordemos la fórmula recursiva y anótela para todos los miembros marcados:

\[\begin(alinear) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(alinear)\]

Sin embargo, estas igualdades se pueden reescribir de manera diferente:

\[\begin(alinear) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(alinear)\]

Bueno, ¿y qué? Pero el hecho de que los términos $((a)_(n-1))$ y $((a)_(n+1))$ estén a la misma distancia de $((a)_(n)) $ . Y esta distancia es igual a $d$. Lo mismo puede decirse de los términos $((a)_(n-2))$ y $((a)_(n+2))$ - también se eliminan de $((a)_(n) )$ por la misma distancia igual a $2d$. Puede continuar indefinidamente, pero la imagen ilustra bien el significado.

Los miembros de la progresión se encuentran a la misma distancia del centro.

¿Qué significa esto para nosotros? Esto significa que puedes encontrar $((a)_(n))$ si se conocen los números vecinos:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Hemos deducido una afirmación magnífica: ¡cada miembro de una progresión aritmética es igual a la media aritmética de los miembros vecinos! Además, podemos desviarnos de nuestro $((a)_(n))$ hacia la izquierda y hacia la derecha no en un paso, sino en $k$ pasos, y aun así la fórmula será correcta:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Aquellas. podemos encontrar fácilmente algunos $((a)_(150))$ si conocemos $((a)_(100))$ y $((a)_(200))$, porque $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. A primera vista, puede parecer que este hecho no nos aporta nada útil. Sin embargo, en la práctica, muchas tareas se "perfeccionan" especialmente para el uso de la media aritmética. Echar un vistazo:

Tarea número 6. Encuentra todos los valores de $x$ tales que los números $-6((x)^(2))$, $x+1$ y $14+4((x)^(2))$ son miembros consecutivos de una progresión aritmética (en orden especificado).

Decisión. Dado que estos números son miembros de una progresión, la condición de la media aritmética se cumple para ellos: el elemento central $x+1$ se puede expresar en términos de elementos vecinos:

\[\begin(alinear) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(alinear)\]

El resultado es una ecuación cuadrática clásica. Sus raíces: $x=2$ y $x=-3$ son las respuestas.

Respuesta: -3; 2.

Tarea número 7. Encuentra los valores de $$ tales que los números $-1;4-3;(()^(2))+1$ formen una progresión aritmética (en ese orden).

Decisión. De nuevo, expresamos el término medio en términos de la media aritmética de los términos vecinos:

\[\begin(alinear) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(alinear)\]

Otra ecuación cuadrática. Y de nuevo dos raíces: $x=6$ y $x=1$.

Respuesta 1; 6.

Si en el proceso de resolver un problema obtienes números brutales, o no estás completamente seguro de la exactitud de las respuestas encontradas, entonces hay un truco maravilloso que te permite verificar: ¿resolvimos el problema correctamente?

Digamos que en el problema 6 obtuvimos las respuestas -3 y 2. ¿Cómo podemos comprobar que estas respuestas son correctas? Conectémoslos en la condición original y veamos qué sucede. Déjame recordarte que tenemos tres números ($-6(()^(2))$, $+1$ y $14+4(()^(2))$), que deben formar una progresión aritmética. Sustituye $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(alinear)\]

Obtuvimos los números -54; −2; 50 que difieren en 52 es sin duda una progresión aritmética. Lo mismo sucede para $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(alinear)\]

De nuevo una progresión, pero con una diferencia de 27. Así, el problema se resuelve correctamente. Aquellos que lo deseen pueden verificar la segunda tarea por su cuenta, pero lo diré de inmediato: todo está correcto allí también.

En general, al resolver los últimos problemas, nos topamos con otro hecho interesante que también debe recordarse:

Si tres números son tales que el segundo es el promedio del primero y el último, entonces estos números forman una progresión aritmética.

En el futuro, comprender esta declaración nos permitirá literalmente "construir" las progresiones necesarias en función de la condición del problema. Pero antes de emprender tal "construcción", debemos prestar atención a un hecho más, que se deriva directamente de lo que ya se ha considerado.

Agrupación y suma de elementos

Volvamos a la recta numérica de nuevo. Notamos allí varios miembros de la progresión, entre los cuales, quizás. Vale la pena muchos otros miembros:

6 elementos marcados en la recta numérica

Intentemos expresar la "cola izquierda" en términos de $((a)_(n))$ y $d$, y la "cola derecha" en términos de $((a)_(k))$ y $ d$. Es muy sencillo:

\[\begin(alinear) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(alinear)\]

Ahora tenga en cuenta que las siguientes sumas son iguales:

\[\begin(alinear) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(alinear)\]

En pocas palabras, si consideramos como inicio dos elementos de la progresión, que en total son iguales a algún número $S$, y luego comenzamos a caminar desde estos elementos en direcciones opuestas (uno hacia el otro o viceversa para alejarnos), entonces las sumas de los elementos con los que tropezaremos también serán iguales$S$. Esto se puede representar mejor gráficamente:

Las mismas sangrías dan sumas iguales

Comprender este hecho nos permitirá resolver problemas de un nivel de complejidad fundamentalmente más alto que los que consideramos anteriormente. Por ejemplo, estos:

Tarea número 8. Determinar la diferencia de una progresión aritmética en la que el primer término es 66, y el producto del segundo y el duodécimo términos es el menor posible.

Decisión. Escribamos todo lo que sabemos:

\[\begin(alinear) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(alinear)\]

Entonces, no conocemos la diferencia de la progresión $d$. En realidad, toda la solución se basará en la diferencia, ya que el producto $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ se puede reescribir de la siguiente manera:

\[\begin(alinear) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(alinear)\]

Para aquellos en el tanque: he sacado el factor común 11 del segundo paréntesis. Así, el producto deseado es una función cuadrática con respecto a la variable $d$. Por lo tanto, considere la función $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - su gráfica será una parábola con ramas hacia arriba, porque si abrimos los paréntesis, obtenemos:

\[\begin(alinear) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Como puede ver, el coeficiente con el término más alto es 11; este es un número positivo, por lo que en realidad estamos tratando con una parábola con ramas hacia arriba:

gráfica de una función cuadrática - parábola

Nota: esta parábola toma su valor mínimo en su vértice con la abscisa $((d)_(0))$. Por supuesto, podemos calcular esta abscisa según el esquema estándar (existe una fórmula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), pero sería mucho más razonable tenga en cuenta que el vértice deseado se encuentra en el eje de simetría de la parábola, por lo que el punto $((d)_(0))$ es equidistante de las raíces de la ecuación $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(alinear) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(alinear)\]

Por eso no tenía prisa por abrir los corchetes: en la forma original, las raíces eran muy, muy fáciles de encontrar. Por tanto, la abscisa es igual a la media aritmética de los números −66 y −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

¿Qué nos da el número descubierto? Con él, el producto requerido toma el valor más pequeño (por cierto, no calculamos $((y)_(\min ))$ - esto no es obligatorio para nosotros). Al mismo tiempo, este número es la diferencia de la progresión inicial, es decir encontramos la respuesta. :)

Respuesta: -36

Tarea número 9. Inserta tres números entre los números $-\frac(1)(2)$ y $-\frac(1)(6)$ para que junto con los números dados formen una progresión aritmética.

Decisión. De hecho, necesitamos hacer una secuencia de cinco números, con el primero y el último número ya conocidos. Denote los números que faltan por las variables $x$, $y$ y $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Tenga en cuenta que el número $y$ es el "medio" de nuestra secuencia: es equidistante de los números $x$ y $z$, y de los números $-\frac(1)(2)$ y $-\frac (1)(6)$. Y si por el momento no podemos obtener $y$ de los números $x$ y $z$, entonces la situación es diferente con los extremos de la progresión. Recuerda la media aritmética:

Ahora, sabiendo $y$, encontraremos los números restantes. Tenga en cuenta que $x$ se encuentra entre $-\frac(1)(2)$ y $y=-\frac(1)(3)$ que acaba de encontrar. Asi que

Argumentando de manera similar, encontramos el número restante:

¡Listo! Encontramos los tres números. Escribámoslos en la respuesta en el orden en que deben insertarse entre los números originales.

Respuesta: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tarea número 10. Entre los números 2 y 42, inserte varios números que, junto con los números dados, formen una progresión aritmética, si se sabe que la suma del primero, segundo y último de los números insertados es 56.

Decisión. Una tarea aún más difícil, que, sin embargo, se resuelve de la misma manera que las anteriores, a través de la media aritmética. El problema es que no sabemos exactamente cuántos números insertar. Por lo tanto, para mayor precisión, asumimos que después de insertar habrá exactamente $n$ números, y el primero de ellos es 2 y el último es 42. En este caso, la progresión aritmética deseada se puede representar como:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \derecho\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Tenga en cuenta, sin embargo, que los números $((a)_(2))$ y $((a)_(n-1))$ se obtienen de los números 2 y 42 que se encuentran en los bordes por un paso uno hacia el otro. , es decir . al centro de la secuencia. Y esto significa que

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Pero entonces la expresión anterior se puede reescribir así:

\[\begin(alinear) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(alinear)\]

Conociendo $((a)_(3))$ y $((a)_(1))$, podemos encontrar fácilmente la diferencia de progresión:

\[\begin(alinear) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Flecha derecha d=5. \\ \end(alinear)\]

Solo queda encontrar a los miembros restantes:

\[\begin(alinear) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(alinear)\]

Por lo tanto, ya en el noveno paso llegaremos al extremo izquierdo de la secuencia: el número 42. En total, solo se tuvieron que insertar 7 números: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Respuesta: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tareas de texto con progresiones

En conclusión, me gustaría considerar un par de problemas relativamente simples. Pues como simples: para la mayoría de los alumnos que estudian matemáticas en el colegio y no han leído lo escrito más arriba, estas tareas pueden parecer un gesto. Sin embargo, son precisamente estas tareas las que se encuentran en el OGE y el USE en matemáticas, por lo que le recomiendo que se familiarice con ellas.

Tarea número 11. El equipo produjo 62 piezas en enero, y en cada mes subsiguiente produjo 14 piezas más que en el anterior. ¿Cuántas piezas produjo la brigada en noviembre?

Decisión. Obviamente, el número de piezas, pintadas por mes, será una progresión aritmética creciente. Y:

\[\begin(alinear) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Noviembre es el mes 11 del año, por lo que necesitamos encontrar $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Por tanto, en noviembre se fabricarán 202 piezas.

Tarea número 12. El taller de encuadernación encuadernó 216 libros en enero, y cada mes encuadernó 4 libros más que el mes anterior. ¿Cuántos libros encuadernó el taller en diciembre?

Decisión. Todos iguales:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Diciembre es el último mes número 12 del año, por lo que estamos buscando $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Esta es la respuesta: 260 libros estarán encuadernados en diciembre.

Bueno, si has leído hasta aquí, me apresuro a felicitarte: has completado con éxito el “curso de jóvenes luchadores” en progresiones aritméticas. Podemos pasar con seguridad a la siguiente lección, donde estudiaremos la fórmula de la suma de la progresión, así como sus consecuencias importantes y muy útiles.

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