Encuentra n número en progresión aritmética. Progresión aritmética. Media aritmética y sangrías iguales

Tipo de lección: aprendiendo material nuevo.

Objetivos de la lección:

• expansión y profundización de las ideas de los estudiantes sobre tareas resueltas usando progresión aritmética; organización de la actividad de búsqueda de los estudiantes al derivar la fórmula para la suma de los primeros n miembros de una progresión aritmética;
• desarrollo de habilidades para adquirir nuevos conocimientos de forma independiente, utilizar los conocimientos ya adquiridos para lograr la tarea;
• desarrollo del deseo y necesidad de generalizar los hechos obtenidos, desarrollo de la independencia.

Tareas:

• generalizar y sistematizar los conocimientos existentes sobre el tema “Progresión aritmética”;
• derivar fórmulas para calcular la suma de los primeros n miembros de una progresión aritmética;
• enseñar cómo aplicar las fórmulas obtenidas para resolver varios problemas;
• llamar la atención de los estudiantes sobre el procedimiento para encontrar el valor de una expresión numérica.

Equipo:

• tarjetas con tareas para trabajar en grupos y parejas;
• papel de evaluación;
• presentación"Progresión aritmética".

I. Actualización de conocimientos básicos.

1. Trabajo independiente en parejas.

1ra opción:

Defina una progresión aritmética. Escribe una fórmula recursiva que defina una progresión aritmética. Da un ejemplo de una progresión aritmética e indica su diferencia.

2da opción:

Escribe la fórmula del término n de una progresión aritmética. Encuentre el término 100 de una progresión aritmética ( un}: 2, 5, 8 …
En este momento, dos estudiantes en la parte posterior de la pizarra están preparando respuestas para las mismas preguntas.
Los estudiantes evalúan el trabajo del compañero comparándolo con la pizarra. (Se entregan folletos con las respuestas).

2. Momento del juego.

Ejercicio 1.

Maestro. Concebí una progresión aritmética. Hazme solo dos preguntas para que después de las respuestas puedas nombrar rápidamente al 7º miembro de esta progresión. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Preguntas de los estudiantes.

1. ¿Cuál es el sexto término de la progresión y cuál es la diferencia?
2. ¿Cuál es el octavo término de la progresión y cuál es la diferencia?

Si no hay más preguntas, entonces el maestro puede estimularlas: una "prohibición" de d (diferencia), es decir, no está permitido preguntar cuál es la diferencia. Puede hacer preguntas: ¿cuál es el sexto término de la progresión y cuál es el octavo término de la progresión?

Tarea 2.

Hay 20 números escritos en la pizarra: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

El profesor está de espaldas a la pizarra. Los estudiantes dicen el número del número y el maestro llama inmediatamente al número. Explique como puedo hacerlo?

El profesor recuerda la fórmula del término n un n \u003d 3n - 2 y, sustituyendo los valores dados de n, encuentra los valores correspondientes un .

II. Enunciado de la tarea educativa.

Propongo resolver un viejo problema que data del segundo milenio antes de Cristo, encontrado en papiros egipcios.

Una tarea:“Que os sea dicho: repartid 10 medidas de cebada entre 10 personas, la diferencia entre cada persona y su vecino es 1/8 de la medida”.

• ¿Cómo se relaciona este problema con el tema de la progresión aritmética? (Cada siguiente persona obtiene 1/8 de la medida más, por lo que la diferencia es d=1/8, 10 personas, por lo que n=10).
• ¿Qué crees que significa el número 10? (La suma de todos los miembros de la progresión.)
• ¿Qué más necesita saber para que sea fácil y simple dividir la cebada según la condición del problema? (El primer término de la progresión.)

Objetivo de la lección- obtener la dependencia de la suma de los términos de la progresión con su número, el primer término y la diferencia, y comprobar si el problema se resolvía correctamente en la antigüedad.

Antes de derivar la fórmula, veamos cómo los antiguos egipcios resolvieron el problema.

Y lo resolvieron así:

1) 10 medidas: 10 = 1 medida - cuota media;
2) 1 medida ∙ = 2 medidas - doblado promedio Cuota.
duplicado promedio la cuota es la suma de las cuotas de la 5ª y 6ª persona.
3) 2 medidas - 1/8 medida = 1 7/8 medidas - el doble de la parte de la quinta persona.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - la parte del quinto; y así sucesivamente, puede encontrar la participación de cada persona anterior y posterior.

Obtenemos la secuencia:

tercero La solución de la tarea.

1. Trabajar en grupo

1er grupo: Encuentra la suma de 20 números naturales consecutivos: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

En general

II grupo: Encuentra la suma de los números naturales del 1 al 100 (La leyenda de Little Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Conclusión:

III grupo: Encuentra la suma de los números naturales del 1 al 21.

Solución: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Conclusión:

IV grupo: Encuentra la suma de los números naturales del 1 al 101.

Conclusión:

Este método para resolver los problemas considerados se denomina "método de Gauss".

2. Cada grupo presenta la solución al problema en la pizarra.

3. Generalización de las soluciones propuestas para una progresión aritmética arbitraria:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Encontramos esta suma argumentando de manera similar:

4. ¿Hemos resuelto la tarea?(Sí.)

IV. Comprensión primaria y aplicación de las fórmulas obtenidas en la resolución de problemas.

1. Comprobación de la solución de un viejo problema por la fórmula.

2. Aplicación de la fórmula en la resolución de diversos problemas.

3. Ejercicios para la formación de la capacidad de aplicar la fórmula en la resolución de problemas.

A) Nº 613

Dado :( y N) - progresión aritmética;

(una n): 1, 2, 3, ..., 1500

Encontrar: $ 1500

Solución: , y 1 = 1, y 1500 = 1500,

B) Dado: ( y N) - progresión aritmética;
(y n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Encontrar: norte
Solución:

V. Trabajo independiente con verificación mutua.

Denis se puso a trabajar como mensajero. En el primer mes, su salario fue de 200 rublos, en cada mes subsiguiente aumentó en 30 rublos. ¿Cuánto ganó en un año?

Dado :( y N) - progresión aritmética;
1 = 200, d=30, n=12
Encontrar: S 12
Solución:

Respuesta: Denis recibió 4380 rublos por año.

VI. Instrucción de tarea.

1. Pág. 4.3 - aprender la derivación de la fórmula.
2. №№ 585, 623 .
3. Componga un problema que se resolvería usando la fórmula para la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética.

VIII. Resumiendo la lección.

1. Hoja de puntuación

2. Continuar las oraciones

• Hoy en clase aprendí...
• Fórmulas aprendidas...
• Creo que …

3. ¿Puedes encontrar la suma de los números del 1 al 500? ¿Qué método usarás para resolver este problema?

Bibliografía.

1. Álgebra, 9º grado. Libro de texto para instituciones educativas. ed. GV Dorofeeva. Moscú: Ilustración, 2009.

Por ejemplo, la secuencia \(2\); \(5\); \(ocho\); \(once\); \(14\)… es una progresión aritmética, porque cada siguiente elemento difiere del anterior en tres (se puede obtener del anterior sumando tres):

En esta progresión, la diferencia \(d\) es positiva (igual a \(3\)), y por tanto cada término siguiente es mayor que el anterior. Tales progresiones se llaman creciente.

Sin embargo, \(d\) también puede ser un número negativo. Por ejemplo, en progresión aritmética \(16\); \(diez\); \(cuatro\); \(-2\); \(-8\)… la diferencia de progresión \(d\) es igual a menos seis.

Y en este caso, cada elemento siguiente será menor que el anterior. Estas progresiones se llaman decreciente.

Notación de progresión aritmética

La progresión se denota con una letra latina minúscula.

Los números que forman una progresión se llaman así. miembros(o elementos).

Se denotan con la misma letra que la progresión aritmética, pero con un índice numérico igual al número del elemento en orden.

Por ejemplo, la progresión aritmética \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) consta de los elementos \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) y así sucesivamente.

En otras palabras, para la progresión \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Resolución de problemas de progresión aritmética

En principio, la información anterior ya es suficiente para resolver casi cualquier problema sobre una progresión aritmética (incluidos los que se ofrecen en la OGE).

Ejemplo (OGE). La progresión aritmética viene dada por las condiciones \(b_1=7; d=4\). Encuentra \(b_5\).
Solución:

Responder: \(b_5=23\)

Ejemplo (OGE). Se dan los tres primeros términos de una progresión aritmética: \(62; 49; 36…\) Halla el valor del primer término negativo de esta progresión..
Solución:

	Se nos dan los primeros elementos de la secuencia y sabemos que es una progresión aritmética. Es decir, cada elemento se diferencia del vecino por el mismo número. Averigua cuál restando el anterior del siguiente elemento: \(d=49-62=-13\).
	Ahora podemos restaurar nuestra progresión al elemento deseado (primer negativo).
	Listo. Puedes escribir una respuesta.

Responder: \(-3\)

Ejemplo (OGE). Se dan varios elementos sucesivos de una progresión aritmética: \(...5; x; 10; 12.5...\) Encuentra el valor del elemento denotado por la letra \(x\).
Solución:

	Para encontrar \(x\), necesitamos saber cuánto difiere el siguiente elemento del anterior, en otras palabras, la diferencia de progresión. Encontrémoslo a partir de dos elementos vecinos conocidos: \(d=12.5-10=2.5\).
	Y ahora encontramos lo que buscamos sin ningún problema: \(x=5+2.5=7.5\).
	Listo. Puedes escribir una respuesta.

Responder: \(7,5\).

Ejemplo (OGE). La progresión aritmética viene dada por las siguientes condiciones: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Encuentra la suma de los primeros seis términos de esta progresión.
Solución:

Necesitamos encontrar la suma de los primeros seis términos de la progresión. Pero no conocemos sus significados, solo se nos da el primer elemento. Por lo tanto, primero calculamos los valores a su vez, utilizando lo que se nos ha dado: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Y habiendo calculado los seis elementos que necesitamos, encontramos su suma.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Se ha encontrado la cantidad solicitada.

Responder: \(S_6=9\).

Ejemplo (OGE). En progresión aritmética \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Encuentra la diferencia de esta progresión.
Solución:

Responder: \(d=7\).

Fórmulas importantes de progresión aritmética

Como puede ver, muchos problemas de progresión aritmética se pueden resolver simplemente entendiendo lo principal: que una progresión aritmética es una cadena de números, y cada siguiente elemento en esta cadena se obtiene sumando el mismo número al anterior (la diferencia de la progresión).

Sin embargo, a veces hay situaciones en las que es muy inconveniente resolver "en la frente". Por ejemplo, imagine que en el primer ejemplo, necesitamos encontrar no el quinto elemento \(b_5\), sino el trescientos ochenta y seis \(b_(386)\). ¿Qué es, \ (385 \) veces para sumar cuatro? O imagine que en el penúltimo ejemplo, necesita encontrar la suma de los primeros setenta y tres elementos. Contar es confuso...

Por lo tanto, en tales casos, no resuelven "en la frente", sino que usan fórmulas especiales derivadas de la progresión aritmética. Y las principales son la fórmula del enésimo término de la progresión y la fórmula de la suma \(n\) de los primeros términos.

Fórmula para el miembro \(n\)th: \(a_n=a_1+(n-1)d\), donde \(a_1\) es el primer miembro de la progresión;
\(n\) – número del elemento requerido;
\(a_n\) es un miembro de la progresión con el número \(n\).

Esta fórmula nos permite encontrar rápidamente al menos el elemento trescientos, incluso el millonésimo, conociendo solo el primero y la diferencia de progresión.

Ejemplo. La progresión aritmética viene dada por las condiciones: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Encuentra \(b_(246)\).
Solución:

Responder: \(b_(246)=1850\).

La fórmula para la suma de los primeros n términos es: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), donde

\(a_n\) es el último término sumado;

Ejemplo (OGE). La progresión aritmética viene dada por las condiciones \(a_n=3.4n-0.6\). Encuentra la suma de los primeros \(25\) términos de esta progresión.
Solución:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Para calcular la suma de los primeros veinticinco elementos, necesitamos saber el valor del primer y vigésimo quinto término. Nuestra progresión viene dada por la fórmula del n-ésimo término en función de su número (ver detalles). Calculemos el primer elemento reemplazando \(n\) con uno.
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\)		Ahora encontremos el vigésimo quinto término sustituyendo veinticinco en lugar de \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\)		Bueno, ahora calculamos la cantidad requerida sin ningún problema.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		La respuesta está lista.

Responder: \(S_(25)=1090\).

Para la suma \(n\) de los primeros términos, puedes obtener otra fórmula: solo necesitas \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) en lugar de \(a_n\) sustituye la fórmula por \(a_n=a_1+(n-1)d\). Obtenemos:

La fórmula para la suma de los primeros n términos es: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), donde

\(S_n\) – la suma requerida \(n\) de los primeros elementos;
\(a_1\) es el primer término que se suma;
\(d\) – diferencia de progresión;
\(n\) - el número de elementos en la suma.

Ejemplo. Encuentre la suma de los primeros \(33\)-ex términos de la progresión aritmética: \(17\); \(15,5\); \(catorce\)…
Solución:

Responder: \(S_(33)=-231\).

Problemas de progresión aritmética más complejos

Ahora tienes toda la información que necesitas para resolver casi cualquier problema de progresión aritmética. Terminemos el tema considerando problemas en los que no solo necesitas aplicar fórmulas, sino también pensar un poco (en matemáticas, esto puede ser útil ☺)

Ejemplo (OGE). Encuentra la suma de todos los términos negativos de la progresión: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Solución:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		La tarea es muy similar a la anterior. Empezamos a resolver de la misma manera: primero encontramos \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Ahora sustituiríamos \(d\) en la fórmula de la suma... y aquí aparece un pequeño matiz: no sabemos \(n\). En otras palabras, no sabemos cuántos términos se necesitarán agregar. ¿Cómo averiguarlo? Pensemos. Dejaremos de agregar elementos cuando lleguemos al primer elemento positivo. Es decir, debe averiguar el número de este elemento. ¿Cómo? Escribamos la fórmula para calcular cualquier elemento de una progresión aritmética: \(a_n=a_1+(n-1)d\) para nuestro caso.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\)		Necesitamos que \(a_n\) sea mayor que cero. Averigüemos por qué \(n\) sucederá esto.
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\)
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\)		Dividimos ambos lados de la desigualdad por \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Transferimos menos uno, sin olvidar cambiar de signo.
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Informática...
\(n>65,333…\)		…y resulta que el primer elemento positivo tendrá el número \(66\). En consecuencia, el último negativo tiene \(n=65\). Por si acaso, vamos a comprobarlo.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1) 0.3=0.2\)		Por lo tanto, necesitamos agregar los primeros elementos \(65\).
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		La respuesta está lista.

Responder: \(S_(65)=-630.5\).

Ejemplo (OGE). La progresión aritmética viene dada por las condiciones: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Encuentre la suma de \(26\)th a \(42\) elemento inclusive.
Solución:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	En este problema, también necesitas encontrar la suma de los elementos, pero comenzando no desde el primero, sino desde el \(26\)ésimo. No tenemos una fórmula para esto. ¿Cómo decidir? Fácil: para obtener la suma de \(26\)th a \(42\)th, primero debe encontrar la suma de \(1\)th a \(42\)th, y luego restarle la suma de el primero a \ (25 \) th (ver foto).
	Para nuestra progresión \(a_1=-33\), y la diferencia \(d=4\) (después de todo, sumamos cuatro al elemento anterior para encontrar el siguiente). Sabiendo esto, encontramos la suma de los primeros \(42\)-uh elementos.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Ahora la suma de los primeros \(25\)-ésimos elementos.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Y finalmente, calculamos la respuesta.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Responder: \(S=1683\).

Para una progresión aritmética, existen varias fórmulas más que no hemos considerado en este artículo debido a su escasa utilidad práctica. Sin embargo, puedes encontrarlos fácilmente.

Alguien trata la palabra "progresión" con cautela, como un término muy complejo de las secciones de matemáticas superiores. Mientras tanto, la progresión aritmética más simple es el trabajo del mostrador de taxis (donde aún permanecen). Y comprender la esencia (y en matemáticas no hay nada más importante que "comprender la esencia") de una secuencia aritmética no es tan difícil, habiendo analizado algunos conceptos elementales.

Secuencia numérica matemática

Se acostumbra llamar secuencia numérica a una serie de números, cada uno de los cuales tiene su propio número.

y 1 es el primer miembro de la secuencia;

y 2 es el segundo miembro de la secuencia;

y 7 es el séptimo miembro de la secuencia;

yn es el n-ésimo miembro de la secuencia;

Sin embargo, no nos interesa ningún conjunto arbitrario de cifras y números. Centraremos nuestra atención en una secuencia numérica en la que el valor del n-ésimo miembro está relacionado con su número ordinal mediante una dependencia que se puede formular matemáticamente con claridad. En otras palabras: el valor numérico del n-ésimo número es alguna función de n.

a - valor de un miembro de la secuencia numérica;

n es su número de serie;

f(n) es una función donde el ordinal en la secuencia numérica n es el argumento.

Definición

Una progresión aritmética generalmente se denomina secuencia numérica en la que cada término subsiguiente es mayor (menor) que el anterior por el mismo número. La fórmula para el n-ésimo miembro de una sucesión aritmética es la siguiente:

a n - el valor del miembro actual de la progresión aritmética;

a n+1 - la fórmula del siguiente número;

d - diferencia (un cierto número).

Es fácil determinar que si la diferencia es positiva (d>0), entonces cada miembro subsiguiente de la serie bajo consideración será mayor que el anterior, y tal progresión aritmética será creciente.

En el siguiente gráfico, es fácil ver por qué la secuencia numérica se llama "creciente".

En los casos en que la diferencia sea negativa (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

El valor del miembro especificado

A veces es necesario determinar el valor de algún término arbitrario de una progresión aritmética. Puedes hacer esto calculando sucesivamente los valores de todos los miembros de la progresión aritmética, desde el primero hasta el deseado. Sin embargo, esta forma no siempre es aceptable si, por ejemplo, es necesario encontrar el valor del término cincomilésima u ochomillonésima. El cálculo tradicional llevará mucho tiempo. Sin embargo, se puede investigar una progresión aritmética específica usando ciertas fórmulas. También hay una fórmula para el término n: el valor de cualquier miembro de una progresión aritmética se puede determinar como la suma del primer miembro de la progresión con la diferencia de la progresión, multiplicada por el número del miembro deseado, menos uno .

La fórmula es universal para la progresión creciente y decreciente.

Un ejemplo de cálculo del valor de un miembro dado

Resolvamos el siguiente problema de encontrar el valor del n-ésimo miembro de una progresión aritmética.

Condición: existe una progresión aritmética con parámetros:

El primer miembro de la secuencia es 3;

La diferencia en la serie numérica es 1,2.

Tarea: es necesario encontrar el valor de 214 términos

Solución: para determinar el valor de un miembro dado, usamos la fórmula:

a(n) = a1 + d(n-1)

Sustituyendo los datos del enunciado del problema en la expresión, tenemos:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Respuesta: El miembro 214 de la secuencia es igual a 258,6.

Las ventajas de este método de cálculo son obvias: la solución completa no ocupa más de 2 líneas.

Suma de un número dado de miembros

Muy a menudo, en una serie aritmética dada, se requiere determinar la suma de los valores de algunos de sus segmentos. Tampoco necesita calcular los valores de cada término y luego resumirlos. Este método es aplicable si el número de términos cuya suma se debe encontrar es pequeño. En otros casos, es más conveniente utilizar la siguiente fórmula.

La suma de los miembros de una progresión aritmética de 1 a n es igual a la suma de los miembros primero y n, multiplicada por el miembro número n y dividida por dos. Si en la fórmula se reemplaza el valor del n-ésimo miembro por la expresión del párrafo anterior del artículo, obtenemos:

Ejemplo de cálculo

Por ejemplo, resolvamos un problema con las siguientes condiciones:

El primer término de la sucesión es cero;

La diferencia es 0,5.

En el problema se requiere determinar la suma de los términos de la serie del 56 al 101.

Solución. Usemos la fórmula para determinar la suma de la progresión:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Primero, determinamos la suma de los valores de 101 miembros de la progresión sustituyendo las condiciones dadas de nuestro problema en la fórmula:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Obviamente, para saber la suma de los términos de la progresión del 56 al 101, es necesario restar S 55 a S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Entonces, la suma de la progresión aritmética para este ejemplo es:

s 101 - s 55 \u003d 2525 - 742,5 \u003d 1782,5

Ejemplo de aplicación práctica de la progresión aritmética

Al final del artículo, volvamos al ejemplo de la secuencia aritmética dada en el primer párrafo: un taxímetro (taxi taxímetro). Consideremos tal ejemplo.

Subirse a un taxi (que incluye 3 km) cuesta 50 rublos. Cada kilómetro subsiguiente se paga a razón de 22 rublos / km. Distancia de recorrido 30 km. Calcular el costo del viaje.

1. Descartemos los primeros 3 km, cuyo precio está incluido en el coste del aterrizaje.

30 - 3 = 27 kilómetros.

2. El cálculo adicional no es más que analizar una serie de números aritméticos.

El número de miembro es el número de kilómetros recorridos (menos los tres primeros).

El valor del miembro es la suma.

El primer término de este problema será igual a 1 = 50 rublos.

Diferencia de progresión d = 22 p.

el número que nos interesa - el valor del (27 + 1) miembro de la progresión aritmética - la lectura del medidor al final del kilómetro 27 - 27.999 ... = 28 km.

un 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Los cálculos de datos de calendario para un período arbitrariamente largo se basan en fórmulas que describen ciertas secuencias numéricas. En astronomía, la longitud de la órbita depende geométricamente de la distancia del cuerpo celeste a la luminaria. Además, varias series numéricas se utilizan con éxito en estadística y otras ramas aplicadas de las matemáticas.

Otro tipo de secuencia numérica es la geométrica.

Una progresión geométrica se caracteriza por una gran tasa de cambio en comparación con una aritmética. No es casualidad que en política, sociología, medicina, muchas veces, para mostrar la alta velocidad de propagación de un determinado fenómeno, por ejemplo, una enfermedad durante una epidemia, se diga que el proceso se desarrolla exponencialmente.

El N-ésimo miembro de la serie de números geométricos difiere del anterior en que se multiplica por algún número constante: el denominador, por ejemplo, el primer miembro es 1, el denominador es 2, respectivamente, luego:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - el valor del miembro actual de la progresión geométrica;

b n+1 - la fórmula del siguiente miembro de la progresión geométrica;

q es el denominador de una progresión geométrica (número constante).

Si la gráfica de una progresión aritmética es una línea recta, entonces la geométrica dibuja una imagen ligeramente diferente:

Como en el caso de la aritmética, una progresión geométrica tiene una fórmula para el valor de un miembro arbitrario. Cualquier n-ésimo término de una progresión geométrica es igual al producto del primer término y el denominador de la progresión a la potencia de n reducido por uno:

Ejemplo. Tenemos una progresión geométrica con el primer término igual a 3 y el denominador de la progresión igual a 1,5. Encuentre el quinto término de la progresión.

segundo 5 \u003d segundo 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875

La suma de un número dado de miembros también se calcula usando una fórmula especial. La suma de los primeros n miembros de una progresión geométrica es igual a la diferencia entre el producto del n-ésimo miembro de la progresión y su denominador y el primer miembro de la progresión, dividido por el denominador menos uno:

Si b n se reemplaza usando la fórmula discutida anteriormente, el valor de la suma de los primeros n miembros de la serie de números considerada tomará la forma:

Ejemplo. La progresión geométrica comienza con el primer término igual a 1. El denominador se establece igual a 3. Hallemos la suma de los primeros ocho términos.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Las matemáticas tienen su propia belleza, al igual que la pintura y la poesía.

Científico ruso, mecánico N.E. Zhukovsky

Tareas muy comunes en las pruebas de acceso a matemáticas son tareas relacionadas con el concepto de progresión aritmética. Para resolver con éxito tales problemas, es necesario conocer bien las propiedades de una progresión aritmética y tener ciertas habilidades en su aplicación.

Primero recordemos las principales propiedades de una progresión aritmética y presentemos las fórmulas más importantes., asociado a este concepto.

Definición. Secuencia numérica, en el que cada término subsiguiente difiere del anterior en el mismo número, llama progresión aritmética. Al mismo tiempo, el númerose llama la diferencia de progresión.

Para una progresión aritmética, las fórmulas son válidas

, (1)

dónde . La fórmula (1) se denomina fórmula del término común de una progresión aritmética, y la fórmula (2) es la principal propiedad de una progresión aritmética: cada miembro de la progresión coincide con la media aritmética de sus miembros vecinos y .

Nótese que es precisamente por esta propiedad que la progresión bajo consideración se llama "aritmética".

Las fórmulas (1) y (2) anteriores se resumen como sigue:

(3)

Para calcular la suma primero miembros de una progresión aritméticase suele usar la formula

(5) donde y .

Si tenemos en cuenta la fórmula (1), entonces la fórmula (5) implica

Si designamos

dónde . Como , las fórmulas (7) y (8) son una generalización de las fórmulas correspondientes (5) y (6).

En particular , de la fórmula (5) se sigue, qué

Entre las poco conocidas por la mayoría de los estudiantes se encuentra la propiedad de una progresión aritmética, formulada mediante el siguiente teorema.

Teorema. si, entonces

Prueba. si, entonces

El teorema ha sido probado.

Por ejemplo , usando el teorema, se puede demostrar que

Pasemos a la consideración de ejemplos típicos de resolución de problemas sobre el tema "Progresión aritmética".

Ejemplo 1 Sea y . Encontrar .

Solución. Aplicando la fórmula (6), obtenemos . Desde y , entonces o .

Ejemplo 2 Sea tres veces más, y cuando se divide por 2 en el cociente, el resto es 8. Define y.

Solución. El sistema de ecuaciones se sigue de la condición del ejemplo.

Como , , y , entonces del sistema de ecuaciones (10) obtenemos

La solución de este sistema de ecuaciones son y .

Ejemplo 3 Encuentre si y .

Solución. Según la fórmula (5), tenemos o . Sin embargo, usando la propiedad (9), obtenemos .

Dado que y , entonces de la igualdad la ecuacion sigue o .

Ejemplo 4 Encuentra si .

Solución.Por la fórmula (5) tenemos

Sin embargo, usando el teorema, uno puede escribir

De aquí y de la fórmula (11) obtenemos .

Ejemplo 5. Dado: . Encontrar .

Solución. Desde entonces . Sin embargo, por lo tanto.

Ejemplo 6 Sea , y . Encontrar .

Solución. Usando la fórmula (9), obtenemos . Por lo tanto, si , entonces o .

Desde y entonces aquí tenemos un sistema de ecuaciones

Resolviendo cuál, obtenemos y .

Raíz natural de la ecuación es .

Ejemplo 7 Encuentre si y .

Solución. Como de acuerdo con la fórmula (3) tenemos que , entonces el sistema de ecuaciones se sigue de la condición del problema

Si sustituimos la expresiónen la segunda ecuación del sistema, entonces obtenemos o .

Las raíces de la ecuación cuadrática son y .

Consideremos dos casos.

1. Sea , entonces . Desde y , entonces .

En este caso, según la fórmula (6), tenemos

2. Si , entonces , y

Respuesta: y.

Ejemplo 8 Se sabe que y Encontrar .

Solución. Teniendo en cuenta la fórmula (5) y la condición del ejemplo, escribimos y .

Esto implica el sistema de ecuaciones

Si multiplicamos la primera ecuación del sistema por 2 y luego la sumamos a la segunda ecuación, obtenemos

De acuerdo con la fórmula (9), tenemos. En este sentido, de (12) se sigue o .

Desde y , entonces .

Responder: .

Ejemplo 9 Encuentre si y .

Solución. Dado que , y por condición , entonces o .

De la fórmula (5) se sabe, qué . Desde entonces .

Como consecuencia , aquí tenemos un sistema de ecuaciones lineales

De aquí obtenemos y . Teniendo en cuenta la fórmula (8), escribimos .

Ejemplo 10 Resuelve la ecuación.

Solución. De la ecuación dada se sigue que . Supongamos que , y . En este caso .

Según la fórmula (1), podemos escribir o .

Como , la ecuación (13) tiene una única raíz adecuada .

Ejemplo 11. Encuentre el valor máximo siempre que y .

Solución. Como , entonces la progresión aritmética considerada es decreciente. En este sentido, la expresión toma un valor máximo cuando es el número del mínimo término positivo de la progresión.

Usamos la fórmula (1) y el hecho, cual y . Entonces obtenemos eso o .

Porque entonces o . Sin embargo, en esta desigualdadnúmero natural más grande, es por eso .

Si los valores y se sustituyen en la fórmula (6), entonces obtenemos .

Responder: .

Ejemplo 12. Encuentra la suma de todos los números naturales de dos dígitos que, al dividirlos por 6, tienen un resto de 5.

Solución. Denote por el conjunto de todos los números naturales de dos valores, es decir, . A continuación, construimos un subconjunto que consta de aquellos elementos (números) del conjunto que, cuando se dividen por el número 6, dan un resto de 5.

Fácil de instalar, qué . Obviamente , que los elementos del conjuntoformar una progresión aritmética, en el que y .

Para determinar la cardinalidad (número de elementos) del conjunto, asumimos que . Como y , entonces la fórmula (1) implica o . Teniendo en cuenta la fórmula (5), obtenemos .

Los ejemplos anteriores de resolución de problemas no pueden pretender ser exhaustivos. Este artículo está escrito sobre la base de un análisis de los métodos modernos para resolver problemas típicos sobre un tema determinado. Para un estudio más profundo de los métodos para resolver problemas relacionados con la progresión aritmética, es recomendable consultar la lista de literatura recomendada.

1. Colección de tareas en matemáticas para aspirantes a universidades técnicas / Ed. MI. Escanavi. - M.: Mundo y Educación, 2013. - 608 págs.

2. Suprun V.P. Matemáticas para estudiantes de secundaria: secciones adicionales del currículo escolar. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 págs.

3. Medynsky M.M. Un curso completo de matemáticas elementales en tareas y ejercicios. Libro 2: Secuencias y Progresiones Numéricas. – M.: Editus, 2015. - 208 págs.

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