Come risolvere equazioni logiche in informatica online. Risolvere equazioni logiche in matematica

Risolvere sistemi di equazioni logiche modificando le variabili

Il metodo di sostituzione delle variabili viene utilizzato se alcune variabili sono incluse nelle equazioni solo sotto forma di un'espressione specifica e nient'altro. Quindi questa espressione può essere denotata da una nuova variabile.

Esempio 1.

Quanti diversi insiemi di valori delle variabili logiche x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 esistono che soddisfano tutte le condizioni elencate di seguito?

(x1 → x2) → (x3 → x4) = 1

(x3 → x4) → (x5 → x6) = 1

(x5 → x6) → (x7 → x8) = 1

Non è necessario che la risposta elenchi tutti i diversi insiemi di valori delle variabili x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, per i quali questo sistema di uguaglianze è soddisfatto. Come risposta, è necessario indicare il numero di tali set.

Soluzione:

(x1 → x2) = y1; (x3 → x4) = y2; (x5 → x6) = y3; (x7 → x8) = y4.

Quindi possiamo scrivere il sistema sotto forma di un'unica equazione:

(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) = 1. La congiunzione è 1 (vera) quando ciascun operando assume il valore 1. Cioè ciascuna delle implicazioni deve essere vera, e questo vale per tutti i valori tranne (1 → 0). Quelli. nella tabella dei valori delle variabili y1, y2, y3, y4, uno non dovrebbe essere a sinistra dello zero:

Quelli. le condizioni sono soddisfatte per 5 set y1-y4.

Perché y1 = x1 → x2, allora il valore y1 = 0 si ottiene su un singolo insieme x1, x2: (1, 0), e il valore y1 = 1 – su tre insiemi x1, x2: (0,0) , (0 ,1), (1.1). Allo stesso modo per y2, y3, y4.

Poiché ogni insieme (x1,x2) per la variabile y1 è combinato con ogni insieme (x3,x4) per la variabile y2, ecc., i numeri di insiemi delle variabili x vengono moltiplicati:

Sommiamo il numero di serie: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121.

Risposta: 121

Esempio 2.

Quanti diversi insiemi di valori delle variabili logiche x1, x2, ... x9, y1, y2, ... y9 esistono che soddisfano tutte le condizioni elencate di seguito?

(¬ (x1 ≡ y1)) ≡ (x2 ≡ y2)

(¬ (x2 ≡ y2)) ≡ (x3 ≡ y3)

(¬ (x8 ≡ y8)) ≡ (x9 ≡ y9)

In risposta non c'è bisogno elencare tutti i diversi insiemi di valori delle variabili x1, x2, ... x9, y1, y2, ... y9 per i quali è soddisfatto il sistema di uguaglianze dato. Come risposta, è necessario indicare il numero di tali set.

Soluzione:

Facciamo un cambio di variabili:

(x1 ≡ y1) = z1, (x2 ≡ y2) = z2,…. ,(x9 ≡ y9) = z9

Il sistema può essere scritto come un’unica equazione:

(¬ z1 ≡ z2) ∧ (¬ z2 ≡ z3) ∧ …..∧ (¬ z8 ≡ z9)

L'equivalenza è vera solo se entrambi gli operandi sono uguali. Esistono due serie di soluzioni a questa equazione:

Perché zi = (xi ≡ yi), allora il valore zi = 0 corrisponde a due insiemi (xi,yi): (0,1) e (1,0), e il valore zi = 1 corrisponde a due insiemi (xi,yi ): (0 ,0) e (1,1).

Allora il primo insieme z1, z2,…, z9 corrisponde a 2 9 insiemi (x1,y1), (x2,y2),…, (x9,y9).

Lo stesso numero corrisponde al secondo insieme z1, z2,…, z9. Quindi ci sono un totale di 2 9 +2 9 = 1024 insiemi.

Risposta: 1024

Risoluzione di sistemi di equazioni logiche utilizzando il metodo di determinazione visiva della ricorsione.

Questo metodo viene utilizzato se il sistema di equazioni è abbastanza semplice e l'ordine di aumento del numero di insiemi quando si aggiungono variabili è ovvio.

Esempio 3.

Quante soluzioni diverse ha il sistema di equazioni?

¬x9 ∨ x10 = 1,

dove x1, x2, … x10 sono variabili logiche?

Non è necessario che la risposta elenchi tutti i diversi insiemi di valori x1, x2, ... x10 per i quali questo sistema di uguaglianze è soddisfatto. Come risposta, è necessario indicare il numero di tali set.

Soluzione:

Risolviamo la prima equazione. Una disgiunzione è uguale a 1 se almeno uno dei suoi operandi è uguale a 1. Cioè le soluzioni sono gli insiemi:

Per x1=0, ci sono due valori di x2 (0 e 1), e per x1=1 c'è un solo valore di x2 (1), tale che l'insieme (x1,x2) è una soluzione dell'equazione . Ci sono 3 set in totale.

Aggiungiamo la variabile x3 e consideriamo la seconda equazione. È simile al primo, il che significa che per x2=0 esistono due valori di x3 (0 e 1), e per x2=1 esiste un solo valore x3 (1), tale che l'insieme (x2 ,x3) è una soluzione dell'equazione. Ci sono 4 set in totale.

È facile vedere che quando si aggiunge un'altra variabile, viene aggiunto un set. Quelli. formula ricorsiva per il numero di insiemi di (i+1) variabili:

N i +1 = N i + 1. Quindi per dieci variabili otteniamo 11 insiemi.

Risposta: 11

Risoluzione di sistemi di equazioni logiche di vario tipo

Esempio 4.

Quanti diversi insiemi di valori delle variabili logiche x 1, ..., x 4, y 1,..., y 4, z 1,..., z 4 esistono che soddisfano tutte le condizioni elencate di seguito ?

(x 1 → x 2) ∧ (x 2 → x 3) ∧ (x 3 → x 4) = 1

(y 1 → y 2) ∧ (y 2 → y 3) ∧ (y 3 → y 4) = 1

(z1 → z2) ∧ (z2 → z3) ∧ (z3 → z4) = 1

x4 ∧ y4 ∧ z4 = 0

In risposta non c'è bisogno elencare tutti i diversi insiemi di valori delle variabili x 1, ..., x 4, y 1, ..., y 4, z 1, ..., z 4 per i quali questo sistema di uguaglianze è soddisfatto.

Come risposta, è necessario indicare il numero di tali set.

Soluzione:

Si noti che le tre equazioni del sistema sono le stesse su diversi insiemi di variabili indipendenti.

Consideriamo la prima equazione. Una congiunzione è vera (uguale a 1) solo se tutti i suoi operandi sono veri (uguali a 1). L'implicazione è 1 su tutte le tuple tranne (1,0). Ciò significa che la soluzione della prima equazione saranno i seguenti insiemi x1, x2, x3, x4, in cui 1 non si trova a sinistra di 0 (5 insiemi):

Allo stesso modo, le soluzioni della seconda e della terza equazione saranno assolutamente gli stessi insiemi y1,…,y4 e z1,…, z4.

Analizziamo ora la quarta equazione del sistema: x 4 ∧ y 4 ∧ z 4 = 0. La soluzione saranno tutti gli insiemi x4, y4, z4 in cui almeno una delle variabili è uguale a 0.

Quelli. per x4 = 0 sono adatti tutti gli insiemi possibili (y4, z4) e per x4 = 1 sono adatti gli insiemi (y4, z4) in cui c'è almeno uno zero: (0, 0), (0,1 ), (1, 0).

Il numero totale di set è 25 + 4*9 = 25 + 36 = 61.

Risposta: 61

Risolvere sistemi di equazioni logiche costruendo formule ricorrenti

Il metodo di costruzione di formule ricorrenti viene utilizzato quando si risolvono sistemi complessi in cui l'ordine di aumento del numero di insiemi non è ovvio e la costruzione di un albero è impossibile a causa dei volumi.

Esempio 5.

Quanti diversi insiemi di valori delle variabili logiche x1, x2, ... x7, y1, y2, ... y7 esistono che soddisfano tutte le condizioni elencate di seguito?

(x1 ∨ y1) ∧ ((x2 ∧ y2) → (x1 ∧ y1)) = 1

(x2 ∨ y2) ∧ ((x3 ∧ y3) → (x2 ∧ y2)) = 1

(x6 ∨ y6) ∧ ((x7 ∧ y7) → (x6 ∧ y6)) = 1

Non è necessario che la risposta elenchi tutti i diversi insiemi di valori delle variabili x1, x2, ..., x7, y1, y2, ..., y7 per i quali questo sistema di uguaglianze è soddisfatto. Come risposta, è necessario indicare il numero di tali set.

Soluzione:

Si noti che le prime sei equazioni del sistema sono identiche e differiscono solo nell'insieme delle variabili. Consideriamo la prima equazione. La sua soluzione sarà costituita dai seguenti insiemi di variabili:

Indichiamo:

numero di tuple (0,0) sulle variabili (x1,y1) fino ad A 1,

numero di tuple (0,1) sulle variabili (x1,y1) fino a B 1,

numero di tuple (1,0) sulle variabili (x1,y1) fino a C 1,

il numero di tuple (1,1) sulle variabili (x1,y1) fino a D 1 .

numero di tuple (0,0) sulle variabili (x2,y2) fino ad A 2 ,

numero di tuple (0,1) sulle variabili (x2,y2) fino a B 2,

numero di tuple (1,0) sulle variabili (x2,y2) fino a C 2,

il numero di tuple (1,1) sulle variabili (x2,y2) fino a D 2 .

Dall'albero decisionale lo vediamo

A1 =0, B1 =1, C1 =1, D1 =1.

Si noti che l'insieme (0,0) sulle variabili (x2,y2) è ottenuto dagli insiemi (0,1), (1,0) e (1,1) sulle variabili (x1,y1). Quelli. A2 =B1 +C1 +D1.

L'insieme (0,1) sulle variabili (x2,y2) è ottenuto dagli insiemi (0,1), (1,0) e (1,1) sulle variabili (x1,y1). Quelli. B2 =B1 +C1 +D1.

Ragionando in modo simile, notiamo che C 2 =B 1 +C 1 +D 1. D2 = D1.

Otteniamo quindi formule ricorrenti:

UN i+1 = B i + C i + D i

B i+1 = B i + C i + D i

C i+1 = B i + C i + D i

D i+1 = A i + B i + C i + D i

Facciamo un tavolo

L'ultima equazione (x7 ∨ y7) = 1 è soddisfatta da tutti gli insiemi tranne quelli in cui x7=0 e y7=0. Nella nostra tabella il numero di tali set è A 7.

Quindi il numero totale di serie è B 7 + C 7 + D 7 = 127+127+1 = 255

Risposta: 255

Esistono vari modi per risolvere sistemi di equazioni logiche. Questa è la riduzione a un'equazione, la costruzione di una tavola di verità e la scomposizione.

Compito: Risolvere un sistema di equazioni logiche:

Consideriamo metodo di riduzione a un'equazione . Questo metodo prevede la trasformazione delle equazioni logiche in modo che i loro lati destri siano uguali al valore di verità (cioè 1). Per fare ciò, utilizzare l'operazione di negazione logica. Quindi, se le equazioni contengono operazioni logiche complesse, le sostituiamo con quelle basilari: “AND”, “OR”, “NOT”. Il passo successivo è combinare le equazioni in una sola, equivalente al sistema, utilizzando l'operazione logica “AND”. Successivamente, dovresti trasformare l'equazione risultante in base alle leggi dell'algebra logica e ottenere una soluzione specifica per il sistema.

Soluzione 1: Applicare l'inversione a entrambi i membri della prima equazione:

Immaginiamo l’implicazione attraverso le operazioni basilari “OR” e “NOT”:

Poiché i membri a sinistra delle equazioni sono uguali a 1, possiamo combinarli utilizzando l'operazione "AND" in un'equazione equivalente al sistema originale:

Apriamo la prima parentesi secondo la legge di De Morgan e trasformiamo il risultato ottenuto:

L'equazione risultante ha una soluzione: A = 0, B = 0 e C = 1.

Il metodo successivo è costruzione di tavole di verità . Poiché le quantità logiche hanno solo due valori, puoi semplicemente esaminare tutte le opzioni e trovare tra queste quelle per le quali è soddisfatto un dato sistema di equazioni. Cioè, costruiamo una tabella di verità comune per tutte le equazioni del sistema e troviamo una linea con i valori richiesti.

Soluzione 2: Creiamo una tabella di verità per il sistema:

La riga per la quale sono soddisfatte le condizioni dell'attività è evidenziata in grassetto. Quindi A=0, B=0 e C=1.

Modo decomposizione . L'idea è di fissare il valore di una delle variabili (impostarla uguale a 0 o 1) e quindi semplificare le equazioni. Quindi puoi correggere il valore della seconda variabile e così via.

Soluzione 3: Sia A = 0, allora:

Dalla prima equazione otteniamo B = 0 e dalla seconda - C = 1. Soluzione del sistema: A = 0, B = 0 e C = 1.

Nell'Esame di Stato Unificato di Informatica, molto spesso è necessario determinare il numero di soluzioni di un sistema di equazioni logiche, senza trovare le soluzioni stesse; esistono anche alcuni metodi per questo. Il modo principale per trovare il numero di soluzioni di un sistema di equazioni logiche èsostituzione delle variabili. Innanzitutto, è necessario semplificare il più possibile ciascuna delle equazioni in base alle leggi dell'algebra logica, quindi sostituire le parti complesse delle equazioni con nuove variabili e determinare il numero di soluzioni per il nuovo sistema. Successivamente, torna alla sostituzione e determina il numero di soluzioni per essa.

Compito: Quante soluzioni ha l'equazione (A → B) + (C → D) = 1? Dove A, B, C, D sono variabili logiche.

Soluzione: Introduciamo nuove variabili: X = A →B e Y = C →D. Tenendo conto delle nuove variabili, l'equazione verrà scritta come: X + Y = 1.

La disgiunzione è vera in tre casi: (0;1), (1;0) e (1;1), mentre X e Y sono implicazioni, cioè è vera in tre casi e falsa in uno. Pertanto il caso (0;1) corrisponderà a tre possibili combinazioni di parametri. Caso (1;1) – corrisponderà a nove possibili combinazioni di parametri dell'equazione originale. Ciò significa che le possibili soluzioni totali di questa equazione sono 3+9=15.

Il prossimo modo per determinare il numero di soluzioni di un sistema di equazioni logiche è albero binario. Diamo un'occhiata a questo metodo utilizzando un esempio.

Compito: Quante soluzioni diverse ha il sistema di equazioni logiche:

Il sistema di equazioni dato è equivalente all'equazione:

(X 1 → X 2 )*(X 2 → X 3 )*…*(xm -1 → xm) = 1.

Facciamo finta che X 1 – è vero, allora dalla prima equazione otteniamo quello X 2 anche vero, dal secondo - X 3 =1 e così via fino a xm= 1. Ciò significa che l'insieme (1; 1; …; 1) di m unità è una soluzione del sistema. Lascialo adesso X 1 =0, quindi dalla prima equazione abbiamo X 2 =0 o X 2 =1.

Quando X 2 vero, otteniamo che anche le restanti variabili sono vere, cioè l'insieme (0; 1; ...; 1) è una soluzione del sistema. A X 2 =0 abbiamo capito X 3 =0 o X 3 =, e così via. Proseguendo con l'ultima variabile, troviamo che le soluzioni dell'equazione sono i seguenti insiemi di variabili (m+1 soluzione, ogni soluzione contiene m valori delle variabili):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

Questo approccio è ben illustrato costruendo un albero binario. Il numero di soluzioni possibili è il numero di rami diversi dell'albero costruito. È facile vedere che è uguale a m+1.

In caso di difficoltà di ragionamento ricerca e costruzionedi soluzioni con cui puoi cercare una soluzione utilizzando tavole di verità, per una o due equazioni.

Riscriviamo il sistema di equazioni nella forma:

E creiamo una tabella di verità separatamente per un'equazione:

Creiamo una tabella di verità per due equazioni:

L'uso delle equazioni è molto diffuso nella nostra vita. Sono utilizzati in molti calcoli, costruzione di strutture e persino sport. L'uomo usava le equazioni nei tempi antichi e da allora il loro uso non ha fatto che aumentare. In matematica ci sono alcuni problemi che riguardano la logica proposizionale. Per risolvere questo tipo di equazione è necessario possedere una certa conoscenza: conoscenza delle leggi della logica proposizionale, conoscenza delle tabelle di verità delle funzioni logiche di 1 o 2 variabili, metodi per convertire le espressioni logiche. Inoltre, è necessario conoscere le seguenti proprietà delle operazioni logiche: congiunzione, disgiunzione, inversione, implicazione ed equivalenza.

Qualsiasi funzione logica di \variables - \può essere specificata da una tabella di verità.

Risolviamo diverse equazioni logiche:

\[\rightharpoondown X1\vee X2=1 \]

\[\rightharpoondown X2\vee X3=1\]

\[\rightharpoondown X3\vee X4=1 \]

\[\rightharpoondown X9\vee X10=1\]

Iniziamo la soluzione con \[X1\] e determiniamo quali valori può assumere questa variabile: 0 e 1. Successivamente, considereremo ciascuno dei valori sopra indicati e vedremo cosa può essere \[X2.\].

Come si può vedere dalla tabella, la nostra equazione logica ha 11 soluzioni.

Dove posso risolvere un'equazione logica online?

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J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M ∧ (N ∨ ¬N) = 0, dove J, K, L, M, N sono variabili logiche?

Soluzione.

L'espressione (N ∨ ¬N) è vera quindi per qualsiasi N

J∧ ¬K∧ L∧ ¬M = 0.

Applichiamo la negazione a entrambi i lati dell'equazione logica e usiamo la legge di De Morgan ¬ (A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ B. Otteniamo ¬J ∨ K ∨ ¬L ∨ M = 1.

Una somma logica è uguale a 1 se almeno una delle sue affermazioni costituenti è uguale a 1. Pertanto, l'equazione risultante è soddisfatta da qualsiasi combinazione di variabili logiche tranne il caso in cui tutte le quantità incluse nell'equazione sono uguali a 0. Ciascuna di le 4 variabili possono essere uguali sia a 1 che a 0, quindi tutte le combinazioni possibili sono 2·2·2·2 = 16. Pertanto l'equazione ha 16 −1 = 15 soluzioni.

Resta da notare che le 15 soluzioni trovate corrispondono a uno qualsiasi dei due possibili valori della variabile logica N, quindi l'equazione originale ha 30 soluzioni.

Risposta: 30

Quante soluzioni diverse ha l'equazione?

((J → K) → (M ∧ N ∧ L)) ∧ ((J ∧ ¬K) → ¬ (M ∧ N ∧ L)) ∧ (M → J) = 1

dove J, K, L, M, N sono variabili logiche?

Non è necessario che la risposta elenchi tutti i diversi insiemi di valori di J, K, L, M e N per i quali vale questa uguaglianza. Come risposta, è necessario indicare il numero di tali set.

Soluzione.

Usiamo le formule A → B = ¬A ∨ B e ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B

Consideriamo la prima sottoformula:

(J → K) → (M ∧ N ∧ L) = ¬(¬J ∨ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L)

Consideriamo la seconda sottoformula

(J ∧ ¬K) → ¬(M ∧ N ∧ L) = ¬(J ∧ ¬K) ∨ ¬(M ∧ N ∧ L) = (¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L

Consideriamo la terza sottoformula

1) M → J = 1 quindi,

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (1 ∧ N ∧ L) = ¬K ∨ N ∧ L;

(0 ∨ K) ∨ 0 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ ¬N ∨ ¬L;

Uniamo:

¬K ∨ N ∧ L ∧ K ∨ ¬N ∨ ¬L = 0 ∨ L ∨ 0 ∨ ¬L = L ∨ ¬L = 1 quindi 4 soluzioni.

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = ¬K;

(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (0 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L

Uniamo:

K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L ∧ ¬K = 1 ∨ ¬N ∨ ¬L quindi 4 soluzioni.

c) M = 0 J = 0.

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (0 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = 0.

(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (1 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L.

Risposta: 4 + 4 = 8.

Risposta: 8

Quante soluzioni diverse ha l'equazione?

((K ∨ L) → (L ∧ M ∧ N)) = 0

dove K, L, M, N sono variabili logiche? Non è necessario che la risposta elenchi tutti i diversi insiemi di valori di K, L, M e N per i quali vale questa uguaglianza. Come risposta è necessario indicare il numero di tali set.

Soluzione.

Riscriviamo l'equazione utilizzando una notazione più semplice per le operazioni:

((K + L) → (L M N)) = 0

1) dalla tavola di verità dell'operazione “implicazione” (vedi primo problema) segue che tale uguaglianza è vera se e solo se allo stesso tempo

K + L = 1 e L M N = 0

2) dalla prima equazione segue che almeno una delle variabili, K o L, è uguale a 1 (o entrambe insieme); quindi consideriamo tre casi

3) se K = 1 e L = 0, allora la seconda uguaglianza è soddisfatta per qualsiasi M e N; poiché ci sono 4 combinazioni di due variabili booleane (00, 01, 10 e 11), abbiamo 4 soluzioni diverse

4) se K = 1 e L = 1, allora la seconda uguaglianza vale per M · N = 0; ci sono 3 combinazioni di questo tipo (00, 01 e 10), abbiamo altre 3 soluzioni

5) se K = 0, allora L = 1 (dalla prima equazione); in questo caso la seconda uguaglianza è soddisfatta quando M · N = 0; ci sono 3 combinazioni di questo tipo (00, 01 e 10), abbiamo altre 3 soluzioni

6) in totale otteniamo 4+3+3=10 soluzioni.

Risposta: 10

Quante soluzioni diverse ha l'equazione?

(K ∧ L) ∨ (M ∧ N) = 1

Soluzione.

L'espressione è vera in tre casi, quando (K ∧ L) e (M ∧ N) sono uguali rispettivamente a 01, 11, 10.

1) "01" K ∧ L = 0; M ∧ N = 1, => M, N sono uguali a 1, e K e L sono tutt'altro che contemporaneamente 1. Pertanto, ci sono 3 soluzioni.

2) "11" K ∧ L = 1; M ∧ N = 1. => 1 soluzione.

3) "10" K ∧ L = 1; M ∧ N = 0. => 3 soluzioni.

Risposta: 7.

Risposta: 7

Quante soluzioni diverse ha l'equazione?

(X ∧ Y ∨ Z) ​​→ (Z ∨ P) = 0

dove X, Y, Z, P sono variabili logiche? Non è necessario che la risposta elenchi tutti i diversi insiemi di valori per i quali vale questa uguaglianza. Come risposta, devi solo indicare il numero di tali set.

Soluzione.

(X ∧ Y ∨ Z) ​​→ (Z ∨ P) = 0 =>

¬(X ∧ Y ∨ Z) ​​​​∨ (Z ∨ P) = 0;

(¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;

L'OR logico è falso solo in un caso: quando entrambe le espressioni sono false.

Quindi,

(Z ∨ P) = 0 => Z = 0, P = 0.

¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z = 0 => ¬X ∨ ¬Y ∧ 1 = 0 =>

¬X ∨ ¬Y = 0 => X = 1; Y = 1.

Pertanto, esiste una sola soluzione all’equazione.

Risposta 1

Quante soluzioni diverse ha l'equazione?

(K ∨ L) ∧ (M ∨ N) = 1

dove K, L, M, N sono variabili logiche? Non è necessario che la risposta elenchi tutti i diversi insiemi di valori di K, L, M e N per i quali vale questa uguaglianza. Come risposta, devi solo indicare il numero di tali set.

Soluzione.

L'And logico è vero solo in un caso: quando tutte le espressioni sono vere.

K ∨ L = 1, M ∨ N = 1.

Ogni equazione dà 3 soluzioni.

Considera l'equazione A ∧ B = 1, se sia A che B assumono valori veri in tre casi ciascuno, quindi in totale l'equazione ha 9 soluzioni.

Quindi la risposta è 9.

Risposta: 9

Quante soluzioni diverse ha l'equazione?

((A → B)∧ C) ∨ (D ∧ ¬D)= 1,

dove A, B, C, D sono variabili logiche?

Non è necessario che la risposta elenchi tutti i diversi insiemi di valori A, B, C, D per i quali vale questa uguaglianza. Come risposta, è necessario indicare il numero di tali set.

Soluzione.

L'"OR" logico è vero quando almeno una delle affermazioni è vera.

(D ∧ ¬D)= 0 per qualsiasi D.

Quindi,

(A → B)∧ C) = 1 => C = 1; A → B = 1 => ¬ A ∨ B = 1, che ci dà 3 possibili soluzioni per ogni D.

(D ∧ ¬ D)= 0 per qualsiasi D, il che ci dà due soluzioni (per D = 1, D = 0).

Pertanto: soluzioni totali 2*3 = 6.

Totale 6 soluzioni.

Risposta: 6

Quante soluzioni diverse ha l'equazione?

(¬K ∨ ¬L ∨ ¬M) ∧ (L ∨ ¬M ∨ ¬N) = 0

dove K, L, M, N sono variabili logiche? Non è necessario che la risposta elenchi tutti i diversi insiemi di valori di K, L, M e N per i quali vale questa uguaglianza. Come risposta, devi solo indicare il numero di tali set.

Soluzione.

Applichiamo la negazione a entrambi i lati dell'equazione:

(K ∧ L ∧ M) ∨ (¬L ∧ M ∧ N) = 1

L'OR logico è vero in tre casi.

Opzione 1.

K ∧ L ∧ M = 1, allora K, L, M = 1 e ¬L ∧ M ∧ N = 0. N è arbitrario, cioè 2 soluzioni.

Opzione 2.

¬L ∧ M ∧ N = 1, allora N, M = 1; L = 0, K qualsiasi, cioè 2 soluzioni.

Quindi la risposta è 4.

Risposta: 4

A, B e C sono numeri interi per i quali l'affermazione è vera

¬ (A = B) ∧ ((A > B)→(B > C)) ∧ ((B > A)→(C > B)).

A cosa è uguale B se A = 45 e C = 43?

Soluzione.

Tieni presente che questa affermazione complessa è composta da tre semplici

1) ¬(A = B); (A > B)→(B > C); (B > A)→(C > B);

2) queste semplici istruzioni sono collegate dall'operazione ∧ (AND, congiunzione), cioè devono essere eseguite contemporaneamente;

3) da ¬(A = B)=1 segue immediatamente che A B;

4) supponiamo che A > B, allora dalla seconda condizione otteniamo 1→(B > C)=1; questa espressione può essere vera se e solo se B > C = 1;

5) quindi abbiamo A > B > C, solo il numero 44 corrisponde a questa condizione;

6) per ogni evenienza, controlliamo anche l'opzione A 0 →(B > C)=1;

questa espressione è vera per qualsiasi B; Ora guardiamo la terza condizione e otteniamo

questa espressione può essere vera se e solo se C > B, e qui abbiamo una contraddizione, perché non esiste un numero B per cui C > B > A.

Risposta: 44.

Risposta: 44

Costruisci una tavola di verità per una funzione logica

X = (A ↔ B) ∨ ¬(A → (B ∨ C))

in cui la colonna dei valori dell'argomento A è la rappresentazione binaria del numero 27, la colonna dei valori dell'argomento B è il numero 77, la colonna dei valori dell'argomento C è il numero 120. Il numero nella colonna si scrive dall'alto verso il basso dal più significativo al meno significativo (compreso lo zero set). Converti la rappresentazione binaria risultante dei valori della funzione X nel sistema numerico decimale.

Soluzione.

Scriviamo l'equazione utilizzando una notazione più semplice per le operazioni:

1) questa è un'espressione con tre variabili, quindi ci saranno delle linee nella tabella della verità; pertanto, la rappresentazione binaria dei numeri utilizzati per costruire le colonne A, B e C della tabella deve essere composta da 8 cifre

2) convertire i numeri 27, 77 e 120 nel sistema binario, aggiungendo immediatamente fino a 8 cifre di zeri all'inizio dei numeri

3) difficilmente riuscirai a scrivere subito i valori della funzione X per ogni combinazione, quindi è conveniente aggiungere ulteriori colonne alla tabella per calcolare i risultati intermedi (vedi tabella sotto)

4) compila le colonne della tabella:

il valore è 1 solo nelle righe in cui A = B

il valore è 1 in quelle righe dove B o C = 1

il valore è 0 solo in quelle righe dove A = 1 e B + C = 0

il valore è l'inverso della colonna precedente (0 è sostituito da 1 e 1 è sostituito da 0)

il risultato di X (ultima colonna) è la somma logica delle due colonne e

5) per ottenere la risposta, scrivi i bit della colonna X dall'alto verso il basso:

6) converti questo numero nel sistema decimale:

Risposta: 171

Qual è il più grande intero X per il quale l'affermazione (10 (X+1)·(X+2)) è vera?

Soluzione.

Un’equazione è un’operazione di implicazione tra due relazioni:

1) Naturalmente qui puoi applicare lo stesso metodo dell’esempio 2208, ma dovrai risolvere equazioni quadratiche (non voglio...);

2) Si noti che per condizione ci interessano solo gli interi, quindi possiamo provare a trasformare in qualche modo l'espressione originale, ottenendo un'affermazione equivalente (non ci interessano affatto i valori esatti delle radici!);

3) Consideriamo la disuguaglianza: ovviamente può essere sia un numero positivo che negativo;

4) È facile verificarlo nel dominio l'affermazione è vera per tutti i numeri interi e nel dominio per tutti i numeri interi (per non confondersi, è più conveniente utilizzare disuguaglianze non strette e , invece di E );

5) Pertanto per gli interi può essere sostituita da un'espressione equivalente

6) il dominio di verità di un'espressione è l'unione di due intervalli infiniti;

7) Consideriamo ora la seconda disuguaglianza: è ovvio che può essere anche un numero positivo o negativo;

8) Nella regione, l'affermazione è vera per tutti i numeri interi e nella regione - per tutti i numeri interi, quindi per i numeri interi può essere sostituita con un'espressione equivalente

9) il dominio di verità dell'espressione è un intervallo chiuso;

10) L'espressione data è vera ovunque, tranne che per le aree dove e ;

11) Si noti che il valore non è più adatto, perché lì e , cioè l'implicazione dà 0;

12) Quando si sostituisce 2, (10 (2+1) · (2+2)), o 0 → 0 che soddisfa la condizione.

Quindi la risposta è 2.

Risposta: 2

Qual è il più grande intero X per il quale l'affermazione è vera

(50 (X+1)·(X+1))?

Soluzione.

Applichiamo la trasformazione delle implicazioni e trasformiamo l'espressione:

(50 (X+1)·(X+1)) ⇔ ¬(X 2 > 50) ∨ ((X+1) 2) ∨ (|X+1|).

L'OR logico è vero quando almeno un'affermazione logica è vera. Avendo risolte entrambe le disuguaglianze e tenendo conto di ciò vediamo che il più grande intero per il quale almeno una di esse è soddisfatta è 7 (nella figura, la soluzione positiva della seconda disuguaglianza è mostrata in giallo, e la prima in blu).

Risposta: 7

Indicare i valori delle variabili K, L, M, N, a cui corrisponde l'espressione logica

(¬(M ∨ L) ∧ K) → (¬K ∧ ¬M ∨ N)

falso. Scrivi la risposta come una stringa di 4 caratteri: i valori delle variabili K, L, M e N (in quest'ordine). Quindi, ad esempio, la riga 1101 corrisponde al fatto che K=1, L=1, M=0, N=1.

Soluzione.

Duplica l'attività 3584.

Risposta: 1000

(¬K ∨ M) → (¬L ∨ M ∨ N)

Soluzione.

Applichiamo la trasformazione delle implicazioni:

(K ∧ ¬M) ∨ (¬L ∨ M ∨ N) = 0

Applichiamo la negazione a entrambi i lati dell'equazione:

(¬K ∨ M) ∧ L ∧ ¬M ∧ ¬N = 1

Trasformiamo:

(¬K ∧ L ∨ M ∧ L) ∧ ¬M ∧ ¬N = 1

Pertanto, M = 0, N = 0, consideriamo ora (¬K ∧ L ∨ M ∧ L):

dal fatto che M = 0, N = 0 segue che M ∧ L = 0, allora ¬K ∧ L = 1, cioè K = 0, L = 1.

Risposta: 0100

Specificare i valori delle variabili K, L, M, N in cui si trova l'espressione logica

(¬(M ∨ L) ∧ K) → ((¬K ∧ ¬M) ∨ N)

falso. Scrivi la tua risposta come una stringa di quattro caratteri: i valori delle variabili K, L, M e N (in quest'ordine). Quindi, ad esempio, la riga 1101 corrisponde al fatto che K=1, L=1, M=0, N=1.

Soluzione.

Scriviamo l'equazione utilizzando una notazione delle operazioni più semplice (la condizione “l'espressione è falsa” significa che è uguale allo zero logico):

1) dalla formulazione della condizione segue che l'espressione deve essere falsa solo per un insieme di variabili

2) dalla tavola di verità dell'operazione “implicazione” segue che tale espressione è falsa se e solo se contemporaneamente

3) la prima uguaglianza (il prodotto logico è uguale a 1) è soddisfatta se e solo se e ; da ciò ne consegue (la somma logica è pari a zero), cosa che può avvenire solo quando ; Pertanto, abbiamo già definito tre variabili

4) dalla seconda condizione, , for e otteniamo .

Duplica l'attività

Risposta: 1000

Specificare i valori delle variabili logiche P, Q, S, T, a cui corrisponde l'espressione logica

(P ∨ ¬Q) ∨ (Q → (S ∨ T)) è falso.

Scrivi la risposta come una stringa di quattro caratteri: i valori delle variabili P, Q, S, T (in quest'ordine).

Soluzione.

(1) (P∨ ¬Q) = 0

(2) (Q → (S ∨ Т)) = 0

(1) (P ∨ ¬Q) = 0 => P = 0, Q = 1.

(2) (Q → (S ∨ Т)) = 0 Applichiamo la trasformazione dell'implicazione:

¬Q ∨ S ∨ T = 0 => S = 0, T = 0.

Risposta: 0100

Specificare i valori delle variabili K, L, M, N in cui si trova l'espressione logica

(K → M) ∨ (L ∧ K) ∨ ¬N

falso. Scrivi la tua risposta come una stringa di quattro caratteri: i valori delle variabili K, L, M e N (in quest'ordine). Quindi, ad esempio, la riga 1101 corrisponde al fatto che K=1, L=1, M=0, N=1.

Soluzione.

L'OR logico è falso se e solo se entrambe le affermazioni sono false.

(K → M) = 0, (L ∧ K) ∨ ¬N = 0.

Applichiamo la trasformazione delle implicazioni per la prima espressione:

¬K ∨ M = 0 => K = 1, M = 0.

Consideriamo la seconda espressione:

(L ∧ K) ∨ ¬N = 0 (vedi il risultato della prima espressione) => L ∨ ¬N = 0 => L = 0, N = 1.

Risposta: 1001.

Risposta: 1001

Specificare i valori delle variabili K, L, M, N in cui si trova l'espressione logica

(K → M) ∧ (K → ¬M) ∧ (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N))

VERO. Scrivi la tua risposta come una stringa di quattro caratteri: i valori delle variabili K, L, M e N (in quest'ordine). Quindi, ad esempio, la riga 1101 corrisponde al fatto che K=1, L=1, M=0, N=1.

Soluzione.

L'"AND" logico è vero se e solo se entrambe le affermazioni sono vere.

1) (K → M) = 1 Applica la trasformazione di implicazione: ¬K ∨ M = 1

2) (K → ¬M) = 1 Applicare la trasformazione di implicazione: ¬K ∨ ¬M = 1

Ne consegue che K = 0.

3) (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N)) = 1 Applichiamo la trasformazione di implicazione: K ∨ (M ∧ ¬L ∧ N) = 1 dal fatto che K = 0 otteniamo.