Come portare correttamente le frazioni a un denominatore comune. Ridurre le frazioni a un denominatore comune (Moskalenko M.V.). La regola per ridurre le frazioni al denominatore specificato

Inizialmente, volevo includere i metodi del denominatore comune nel paragrafo Addizione e sottrazione di frazioni. Ma c'erano così tante informazioni e la sua importanza è così grande (dopotutto, i denominatori comuni non sono solo per le frazioni numeriche) che è meglio studiare questo problema separatamente.

Quindi, diciamo che abbiamo due frazioni con denominatori diversi. E vogliamo assicurarci che i denominatori diventino gli stessi. La proprietà di base di una frazione viene in soccorso, che, ricorda, suona così:

La frazione non cambierà se il suo numeratore e denominatore vengono moltiplicati per lo stesso numero diverso da zero.

Pertanto, se scegli i fattori giusti, i denominatori delle frazioni diventano uguali: questo processo è chiamato riduzione del denominatore comune. E i numeri richiesti, "livellando" i denominatori, sono chiamati fattori aggiuntivi.

Perché hai anche bisogno di portare le frazioni a un denominatore comune? Ecco solo alcuni motivi:

1. Addizione e sottrazione di frazioni con denominatori diversi. Non c'è altro modo per eseguire questa operazione;
2. Confronto di frazioni. A volte la conversione a un denominatore comune rende questo compito molto più semplice;
3. Risoluzione di problemi per quote e percentuali. Le percentuali sono, infatti, espressioni comuni che contengono frazioni.

Esistono molti modi per trovare numeri che, moltiplicati per, rendono uguali i denominatori delle frazioni. Ne prenderemo in considerazione solo tre, in ordine di complessità crescente e, in un certo senso, di efficienza.

Moltiplicazione incrociata

Il modo più semplice e affidabile che è garantito per allineare i denominatori. Andiamo avanti: moltiplichiamo la prima frazione per il denominatore della seconda frazione e la seconda per il denominatore della prima. Di conseguenza, i denominatori di entrambe le frazioni diventeranno uguali al prodotto dei denominatori originali. Guarda:

Considera i denominatori delle frazioni vicine come fattori aggiuntivi. Noi abbiamo:

Sì, è così semplice. Se stai appena iniziando a imparare le frazioni, è meglio lavorare con questo particolare metodo: in questo modo ti assicurerai contro molti errori e avrai la garanzia di ottenere il risultato.

L'unico inconveniente di questo metodo è che devi contare molto, perché i denominatori vengono moltiplicati "in anticipo" e, di conseguenza, si possono ottenere numeri molto grandi. Questo è il prezzo da pagare per l'affidabilità.

Metodo dei divisori comuni

Questa tecnica aiuta a ridurre notevolmente i calcoli, ma, sfortunatamente, è usata raramente. Il metodo è il seguente:

1. Prima di andare avanti (cioè il metodo incrociato), dai un'occhiata ai denominatori. Forse uno di loro (quello che è più grande) è diviso per l'altro.
2. Il numero ottenuto come risultato di tale divisione sarà un fattore aggiuntivo per la frazione con denominatore inferiore.
3. In questo caso, una frazione con un grande denominatore non ha bisogno di essere moltiplicata per nulla: questo è il risparmio. Allo stesso tempo, la probabilità di errore è drasticamente ridotta.

Compito. Trova i valori delle espressioni:

Nota che 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Poiché in entrambi i casi un denominatore è divisibile per l'altro senza resto, applichiamo il metodo dei fattori comuni. Abbiamo:

Nota che la seconda frazione non è mai stata moltiplicata per nulla. In effetti, abbiamo dimezzato la quantità di calcolo!

A proposito, ho preso le frazioni in questo esempio per un motivo. Se sei curioso, prova a contarli trasversalmente. Dopo la riduzione, le risposte saranno le stesse, ma ci sarà molto più lavoro.

Questa è la forza del metodo dei divisori comuni, ma, ripeto, si può applicare solo quando uno dei denominatori è divisibile per l'altro senza resto. Il che è abbastanza raro.

Metodo multiplo meno comune

Quando portiamo le frazioni a un denominatore comune, stiamo essenzialmente cercando di trovare un numero divisibile per ciascuno dei denominatori. Quindi portiamo i denominatori di entrambe le frazioni a questo numero.

Esistono molti di questi numeri e il più piccolo di essi non sarà necessariamente uguale al prodotto diretto dei denominatori delle frazioni originali, come si presume nel metodo "incrociato".

Ad esempio, per i denominatori 8 e 12, il numero 24 è abbastanza adatto, poiché 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Questo numero è molto inferiore al prodotto 8 12 = 96.

Il numero più piccolo che è divisibile per ciascuno dei denominatori è chiamato il loro minimo comune multiplo (LCM).

Notazione: il minimo comune multiplo di aeb è indicato con LCM (a; b). Ad esempio, LCM (16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24.

Se riesci a trovare un tale numero, la quantità totale di calcolo sarà minima. Dai un'occhiata agli esempi:

Compito. Trova i valori delle espressioni:

Nota che 234 = 117 · 2; 351 = 117 3. I fattori 2 e 3 sono relativamente primi (non hanno fattori comuni diversi da 1) e il fattore 117 è comune. Pertanto, LCM (234; 351) = 117 · 2 · 3 = 702.

Allo stesso modo, 15 = 5 · 3; 20 = 5 4. I fattori 3 e 4 sono relativamente primi e il fattore 5 è comune. Pertanto, LCM (15; 20) = 5 3 4 = 60.

Ora portiamo le frazioni ai denominatori comuni:

Nota quanto è stato utile scomporre in fattori i denominatori originali:

1. Trovati gli stessi fattori, siamo subito arrivati ​​al minimo comune multiplo, che in genere è un problema non banale;
2. Dall'espansione risultante, puoi scoprire quali fattori sono "mancanti" per ciascuna delle frazioni. Ad esempio, 234 3 = 702, quindi, per la prima frazione, il fattore aggiuntivo è 3.

Per stimare i guadagni colossali forniti dal metodo multiplo meno comune, prova a calcolare gli stessi esempi utilizzando il metodo incrociato. Senza calcolatrice, ovviamente. Penso che dopo i commenti saranno superflui.

Non pensare che frazioni così complesse non saranno negli esempi reali. Si incontrano sempre e le attività di cui sopra non sono il limite!

L'unico problema è come trovare questo stesso NOC. A volte tutto si trova in pochi secondi, letteralmente "a occhio", ma nel complesso si tratta di un problema computazionale complesso che richiede una considerazione a parte. Non toccheremo questo qui.

In questo materiale, analizzeremo come ridurre correttamente le frazioni a un nuovo denominatore, cos'è un fattore aggiuntivo e come trovarlo. Successivamente, formuleremo la regola di base per ridurre le frazioni a nuovi denominatori e illustreremo con esempi di problemi.

Il concetto di ridurre una frazione a un denominatore diverso

Ricordiamo la proprietà fondamentale di una frazione. Secondo lui, una frazione ordinaria a b (dove aeb sono qualsiasi numero) ha un numero infinito di frazioni uguali ad essa. Tali frazioni si ottengono moltiplicando numeratore e denominatore per lo stesso numero m (naturale). In altre parole, tutto frazioni comuni può essere sostituito da altri tipi di a · m b · m. Questa è la riduzione del valore originale a una frazione con il denominatore desiderato.

Puoi ridurre una frazione a un denominatore diverso moltiplicando il numeratore e il denominatore per qualsiasi numero naturale. La condizione principale è che il moltiplicatore sia lo stesso per entrambe le parti della frazione. Di conseguenza, ottieni una frazione uguale a quella originale.

Illustriamo questo con un esempio.

Esempio 1

Riduci la frazione 11 25 al nuovo denominatore.

Soluzione

Prendi un numero naturale arbitrario 4 e moltiplica entrambi i lati della frazione originale per esso. Consideriamo: 11 4 = 44 e 25 4 = 100. Il risultato è la frazione 44 100.

Tutti i calcoli possono essere scritti come segue: 11 25 = 11 4 25 4 = 44 100

Si scopre che qualsiasi frazione può essere ridotta a un numero enorme di denominatori diversi. Invece di quattro, potremmo prendere un altro numero naturale e ottenere un'altra frazione equivalente a quella originale.

Ma nessun numero può diventare il denominatore di una nuova frazione. Quindi, per a b, il denominatore può contenere solo numeri b · m multipli di b. Ricorda i concetti di base della divisione: multipli e divisori. Se il numero non è un multiplo di b, ma non può essere un divisore della nuova frazione. Spieghiamo il nostro pensiero con un esempio di risoluzione del problema.

Esempio 2

Calcola se è possibile ridurre la frazione 5 9 ai denominatori 54 e 21.

Soluzione

54 è un multiplo di nove, che è nel denominatore della nuova frazione (cioè 54 può essere diviso per 9). Ciò significa che tale riduzione è possibile. E non possiamo dividere 21 per 9, quindi questa azione non può essere eseguita per questa frazione.

Concetto di moltiplicatore complementare

Formuliamo cos'è un fattore aggiuntivo.

Definizione 1

Moltiplicatore aggiuntivoè un numero naturale per il quale vengono moltiplicati entrambi i lati della frazione per portarla a un nuovo denominatore.

Quelli. quando eseguiamo questa azione su una frazione, prendiamo un fattore aggiuntivo per essa. Ad esempio, per portare la frazione 7 10 nella forma 21 30, abbiamo bisogno di un fattore aggiuntivo di 3. E puoi ottenere la frazione 15 40 su 3 8 usando il moltiplicatore 5.

Di conseguenza, se conosciamo il denominatore a cui è necessario ridurre la frazione, possiamo calcolare un fattore aggiuntivo per esso. Vediamo come farlo.

Abbiamo una frazione a b, che può essere ridotta a qualche denominatore c; calcolare il fattore aggiuntivo m. Dobbiamo moltiplicare il denominatore della frazione originale per m. Otteniamo b m, e per l'affermazione del problema b m = c. Ricordiamo come sono correlate la moltiplicazione e la divisione. Questa connessione ci dirà la seguente conclusione: il fattore addizionale non è altro che il quoziente della divisione di c per b, in altre parole, m = c: b.

Quindi, per trovare un fattore aggiuntivo, dobbiamo dividere il denominatore richiesto per quello originale.

Esempio 3

Trova il fattore aggiuntivo per il quale la frazione 17 4 è stata ridotta al denominatore 124.

Soluzione

Usando la regola sopra, divideremo semplicemente 124 per il denominatore della frazione originale, quattro.

Contiamo: 124: 4 = 31.

Questo tipo di calcolo è spesso richiesto quando si convertono le frazioni in un denominatore comune.

La regola per ridurre le frazioni al denominatore specificato

Passiamo alla definizione della regola di base con cui puoi ridurre le frazioni al denominatore specificato. Così,

Definizione 2

Per ridurre la frazione al denominatore specificato, è necessario:

1. determinare un fattore aggiuntivo;
2. moltiplicare sia il numeratore che il denominatore della frazione originale per esso.

Come applicare in pratica questa regola? Facciamo un esempio di risoluzione del problema.

Esempio 4

Trascina la frazione 7 16 al denominatore 336.

Soluzione

Iniziamo calcolando il fattore aggiuntivo. Dividiamo: 336: 16 = 21.

Moltiplichiamo la risposta ricevuta per entrambi i lati della frazione originale: 7 16 = 7 21 16 21 = 147 336. Quindi abbiamo portato la frazione originale al denominatore desiderato 336.

Risposta: 7 16 = 147 336.

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Schema di riduzione del denominatore comune

1. È necessario determinare quale sarà il più piccolo comune multiplo per i denominatori delle frazioni. Se hai a che fare con un numero misto o intero, devi prima trasformarlo in una frazione e solo dopo determinare il minimo comune multiplo. Per convertire un intero in una frazione, devi scrivere il numero stesso al numeratore e uno al denominatore. Ad esempio, il numero 5 come frazione sarebbe simile a questo: 5/1. Per trasformare un numero misto in una frazione, devi moltiplicare l'intero numero per il denominatore e aggiungervi il numeratore. Esempio: 8 interi e 3/5 come frazione = 8x5 + 3/5 = 43/5.
2. Successivamente, è necessario trovare un fattore aggiuntivo, che viene determinato dividendo il NOZ per il denominatore di ciascuna frazione.
3. L'ultimo passaggio consiste nel moltiplicare la frazione per un fattore aggiuntivo.

È importante ricordare che la conversione a un denominatore comune non è solo per addizione o sottrazione. Per confrontare più frazioni con denominatori diversi, devi anche prima portare ciascuna di esse a un denominatore comune.

Denominatore comune di frazioni

Per capire come portare una frazione a un denominatore comune, è necessario comprendere alcune delle proprietà delle frazioni. Quindi, un'importante proprietà utilizzata per ridurre a NCD è l'uguaglianza delle frazioni. In altre parole, se il numeratore e il denominatore di una frazione vengono moltiplicati per un numero, il risultato è una frazione uguale alla precedente. Prendiamo come esempio il seguente esempio. Per portare le frazioni 5/9 e 5/6 al minimo comun denominatore, devi fare quanto segue:

1. Per prima cosa, trova il minimo comune multiplo dei denominatori. In questo caso, per i numeri 9 e 6, il LCM sarà 18.
2. Determinare fattori aggiuntivi per ciascuna delle frazioni. Questo è fatto come segue. Dividiamo il LCM per il denominatore di ciascuna delle frazioni, di conseguenza otteniamo 18: 9 = 2 e 18: 6 = 3. Questi numeri saranno fattori aggiuntivi.
3. Portiamo due frazioni alla NOZ. Quando moltiplichi una frazione per un numero, devi moltiplicare sia il numeratore che il denominatore. La frazione 5/9 può essere moltiplicata per un ulteriore fattore di 2, ottenendo una frazione pari a questa - 10/18. Facciamo lo stesso con la seconda frazione: moltiplichiamo 5/6 per 3, ottenendo 15/18.

Come puoi vedere dall'esempio sopra, entrambe le frazioni sono state ridotte al minimo comune denominatore. Per capire finalmente come trovare un denominatore comune, devi padroneggiare un'altra proprietà delle frazioni. Sta nel fatto che numeratore e denominatore di una frazione possono essere cancellati dallo stesso numero, che si chiama divisore comune. Ad esempio, 12/30 può essere ridotto a 2/5 dividendo per un fattore comune, 6.

In questa lezione, esamineremo la riduzione delle frazioni a un denominatore comune e risolveremo i problemi su questo argomento. Diamo una definizione al concetto di denominatore comune e di un fattore aggiuntivo, ricordiamoci dei numeri primi tra loro. Definiamo il concetto di minimo comune denominatore (LCM) e risolviamo una serie di problemi per trovarlo.

Argomento: addizione e sottrazione di frazioni con diversi denominatori

Lezione: Conversione di frazioni in un denominatore comune

Ripetizione. La proprietà principale di una frazione.

Se il numeratore e il denominatore di una frazione vengono moltiplicati o divisi per lo stesso numero naturale, si ottiene una frazione uguale.

Ad esempio, il numeratore e il denominatore di una frazione possono essere divisi per 2. Otteniamo una frazione. Questa operazione è chiamata riduzione della frazione. Puoi anche eseguire la trasformazione inversa moltiplicando il numeratore e il denominatore della frazione per 2. In questo caso, dicono che abbiamo ridotto la frazione a un nuovo denominatore. Il numero 2 è chiamato fattore complementare.

Produzione. Una frazione può essere ridotta a qualsiasi denominatore, un multiplo del denominatore di una data frazione. Per portare una frazione a un nuovo denominatore, il suo numeratore e denominatore vengono moltiplicati per un fattore aggiuntivo.

1. Porta la frazione al denominatore 35.

35 è un multiplo di 7, cioè 35 è divisibile per 7 senza resto. Ciò significa che questa trasformazione è possibile. Troviamo un fattore aggiuntivo. Per fare ciò, dividi 35 per 7. Otteniamo 5. Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione originale per 5.

2. Porta la frazione al denominatore 18.

Troviamo un fattore aggiuntivo. Per fare ciò, dividiamo il nuovo denominatore per quello originale. Otteniamo 3. Moltiplica il numeratore e il denominatore di questa frazione per 3.

3. Porta la frazione al denominatore 60.

Dividendo 60 per 15, otteniamo un moltiplicatore aggiuntivo. È 4. Moltiplicare numeratore e denominatore per 4.

4. Riduci la frazione al denominatore 24

In casi semplici, la riduzione a un nuovo denominatore viene eseguita nella mente. È accettato solo indicare un moltiplicatore aggiuntivo fuori dalla parentesi appena a destra e sopra la frazione originale.

Una frazione può essere ridotta a un denominatore di 15 e una frazione può essere ridotta a un denominatore di 15. Anche le frazioni hanno un denominatore comune di 15.

Il denominatore comune delle frazioni può essere qualsiasi multiplo comune dei loro denominatori. Per semplicità, le frazioni producono il minimo comune denominatore. È uguale al minimo comune multiplo dei denominatori di queste frazioni.

Esempio. Riduci al minimo comun denominatore della frazione e.

Per prima cosa, trova il minimo comune multiplo dei denominatori di queste frazioni. Questo numero è 12. Troviamo un fattore aggiuntivo per la prima e la seconda frazione. Per fare ciò, dividi 12 per 4 e 6. Tre è un fattore aggiuntivo per la prima frazione e due per la seconda. Riduciamo le frazioni al denominatore 12.

Abbiamo portato le frazioni a un denominatore comune, cioè abbiamo trovato frazioni uguali ad esse, che hanno lo stesso denominatore.

Regola. Per portare le frazioni al minimo comun denominatore, è necessario

Innanzitutto, trova il minimo comun multiplo dei denominatori di queste frazioni, sarà il loro minimo comun denominatore;

In secondo luogo, dividi il minimo comun denominatore per i denominatori di queste frazioni, ovvero trova un fattore aggiuntivo per ciascuna frazione.

Terzo, moltiplica il numeratore e il denominatore di ciascuna frazione per il suo fattore aggiuntivo.

a) Ridurre la frazione e ad un denominatore comune.

Il minimo comun denominatore è 12. Il fattore aggiuntivo per la prima frazione è 4 e per la seconda 3. Porta le frazioni al denominatore 24.

b) Ridurre la frazione e ad un denominatore comune.

Il minimo comune denominatore è 45. Dividendo 45 per 9 per 15 si ottengono rispettivamente 5 e 3. Porta le frazioni al denominatore 45.

c) Ridurre la frazione e ad un denominatore comune.

Il denominatore comune è 24. I fattori aggiuntivi sono rispettivamente 2 e 3.

A volte è difficile trovare oralmente il minimo comune multiplo per i denominatori di queste frazioni. Quindi il denominatore comune e i fattori aggiuntivi si trovano usando la scomposizione in fattori primi.

Riduci la frazione e a denominatore comune.

Dividiamo i numeri 60 e 168 in fattori primi. Scriviamo la scomposizione di 60 e aggiungiamo i fattori mancanti 2 e 7 dalla seconda scomposizione. Moltiplica 60 per 14 per ottenere un denominatore comune di 840. Il fattore complementare per la prima frazione è 14. Il fattore complementare per la seconda frazione è 5. Riduci le frazioni a un denominatore comune di 840.

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È possibile scaricare i libri specificati nella clausola 1.2. di questa lezione.

Compiti a casa

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. et al.Mathematics 6. - M.: Mnemosina, 2012. (link vedi 1.2)

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