Հայտնի է, թե ինչպես գտնել զուգահեռագծի տարածքը: Զուգահեռագիծը և նրա հատկությունները. Զուգահեռագծի մակերեսը: Զուգահեռագծի անկյան կիսաչափեր

Նշում. Սա երկրաչափության խնդիրներով դասի մի մասն է (զուգահեռագիծ բաժին): Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է լուծել երկրաչափության խնդիր, որն այստեղ չկա, գրեք այդ մասին ֆորումում: Խնդիրները լուծելիս քառակուսի արմատ հանելու գործողությունը նշելու համար օգտագործվում է √ կամ sqrt () նշանը, իսկ արմատական ​​արտահայտությունը նշվում է փակագծերում։

Տեսական նյութ

Զուգահեռագծի տարածքը գտնելու բանաձևերի բացատրությունները.

1. Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է նրա կողմերից մեկի երկարության և այդ կողմի բարձրության արտադրյալին:
2. Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է նրա երկու հարակից կողմերի և նրանց միջև անկյան սինուսի արտադրյալին
3. Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է նրա անկյունագծերի և նրանց միջև անկյան սինուսի արտադրյալի կեսին

Զուգահեռագծի տարածքը գտնելու խնդիրներ

Առաջադրանք.
Զուգահեռագրում փոքր բարձրությունը և փոքր կողմը համապատասխանաբար 9 սմ են, իսկ արմատը՝ 82: Ամենաերկար անկյունագիծը 15 սմ է: Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը:

Որոշում.
BK կետից իջած AD ավելի մեծ հիմքի վրա ABCD զուգահեռագծի ավելի փոքր բարձրությունը նշանակենք BK:
Գտե՛ք ABK ուղղանկյուն եռանկյան ոտքի արժեքը, որը կազմված է ավելի փոքր բարձրությունից, փոքր կողմից և ավելի մեծ հիմքի մի մասից: Պյութագորասի թեորեմի համաձայն.

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK=1

Եկեք երկարացնենք BC զուգահեռագծի վերին հիմքը և նրա վրա AN բարձրությունը գցենք ստորին հիմքից: AN = BK որպես ANBK ուղղանկյան կողմեր: Ստացված ANC ուղղանկյուն եռանկյունում մենք գտնում ենք NC ոտքը:
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC2 = √144
NC = 12

Հիմա եկեք գտնենք ABCD զուգահեռագծի BC հիմքը:
BC=NC-NB
Մենք հաշվի ենք առնում, որ NB = AK որպես ուղղանկյան կողմեր, ապա
BC=12 - 1=11

Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է հիմքի արտադրյալին և այս հիմքի բարձրությանը:
S=ah
S=BC * BK
S=11*9=99

Պատասխանել 99 սմ2:

Առաջադրանք

ABCD զուգահեռագրում ուղղահայաց BO-ն իջնում ​​է AC-ի անկյունագծին: Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը, եթե AO=8, OS=6 և BO=4։

Որոշում.
Եկեք ևս մեկ ուղղահայաց DK գցենք անկյունագծային AC-ի վրա:
Համապատասխանաբար, AOB և DKC, COB և AKD եռանկյունները զույգ-զույգ համահունչ են: Կողմերից մեկը զուգահեռագծի հակառակ կողմն է, անկյուններից մեկն ուղղանկյուն է, քանի որ այն ուղղահայաց է անկյունագծին, իսկ մնացած անկյուններից մեկը ներքին խաչ է, որը ընկած է զուգահեռագծի և հատվածի զուգահեռ կողմերի համար: շեղանկյունի.

Այսպիսով, զուգահեռագծի տարածքը հավասար է նշված եռանկյունների մակերեսին: այսինքն
Sparall = 2S AOB +2S BOC

Ուղղանկյուն եռանկյունու մակերեսը ոտքերի արտադրյալի կեսն է: Որտեղ
S \u003d 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) \u003d 56 սմ 2
Պատասխանել 56 սմ2:

«Get an A» տեսադասընթացը ներառում է մաթեմատիկայի քննությունը 60-65 միավորով հաջող հանձնելու համար անհրաժեշտ բոլոր թեմաները։ Ամբողջովին բոլոր առաջադրանքները 1-13 պրոֆիլի ՕԳՏԱԳՈՐԾՎԵԼ մաթեմատիկայի մեջ: Հարմար է նաև մաթեմատիկայի հիմնական USE-ն անցնելու համար: Եթե ​​ցանկանում եք քննությունը հանձնել 90-100 միավորով, ապա պետք է 1-ին մասը լուծեք 30 րոպեում և առանց սխալների։

Քննությանը նախապատրաստական ​​դասընթաց 10-11-րդ դասարանների, ինչպես նաև ուսուցիչների համար. Այն ամենը, ինչ անհրաժեշտ է մաթեմատիկայի քննության 1-ին մասը (առաջին 12 խնդիրները) և 13-րդ խնդիրը (եռանկյունաչափություն) լուծելու համար: Իսկ սա միասնական պետական ​​քննության 70 միավորից ավելին է, և ոչ հարյուր միավոր ուսանողը, ոչ հումանիստը առանց դրանց չեն կարող։

Բոլոր անհրաժեշտ տեսությունը. Արագ ուղիներքննության լուծումներ, թակարդներ և գաղտնիքներ. Վերլուծվել են FIPI-ի բանկի առաջադրանքների 1-ին մասի բոլոր համապատասխան առաջադրանքները: Դասընթացը լիովին համապատասխանում է USE-2018-ի պահանջներին:

Դասընթացը պարունակում է 5 խոշոր թեմա՝ յուրաքանչյուրը 2,5 ժամ: Յուրաքանչյուր թեմա տրված է զրոյից, պարզ ու հստակ։

Հարյուրավոր քննական առաջադրանքներ. Տեքստի խնդիրներ և հավանականությունների տեսություն. Պարզ և հեշտ հիշվող խնդիրների լուծման ալգորիթմներ: Երկրաչափություն. Տեսություն, տեղեկատու նյութ, բոլոր տեսակի USE առաջադրանքների վերլուծություն: Ստերեոմետրիա. Լուծելու խորամանկ հնարքներ, օգտակար խաբեբա թերթիկներ, տարածական երևակայության զարգացում։ Եռանկյունաչափությունը զրոյից - մինչև առաջադրանք 13. Խճճվելու փոխարեն հասկացողություն: Բարդ հասկացությունների տեսողական բացատրություն: Հանրահաշիվ. Արմատներ, հզորություններ և լոգարիթմներ, ֆունկցիա և ածանցյալ: Քննության 2-րդ մասի բարդ խնդիրների լուծման հիմք.

Զուգահեռագծի մակերեսը: Տարածքների հաշվարկման հետ կապված շատ երկրաչափական խնդիրներում, ներառյալ USE-ի առաջադրանքները, օգտագործվում են զուգահեռագծի և եռանկյունու մակերեսի բանաձևերը: Դրանցից մի քանիսը կան, այստեղ մենք կդիտարկենք դրանք ձեզ հետ:

Չափազանց հեշտ կլիներ թվարկել այս բանաձեւերը, այս լավությունն արդեն բավական է տեղեկատու գրքերում և տարբեր կայքերում։ Ես կցանկանայի փոխանցել էությունը, որպեսզի դուք անգիր չանեք դրանք, այլ հասկանաք և կարողանաք հեշտությամբ հիշել ցանկացած պահի: Հոդվածի նյութն ուսումնասիրելուց հետո կհասկանաք, որ այս բանաձեւերն ընդհանրապես ուսուցանելու կարիք չունեն։ Օբյեկտիվորեն ասած՝ դրանք այնքան հաճախ են լինում որոշումների մեջ, որ երկար ժամանակ պահվում են հիշողության մեջ։

1. Այսպիսով, եկեք նայենք զուգահեռագծին: Սահմանման մեջ ասվում է.

Ինչո՞ւ է այդպես։ Ամեն ինչ պարզ է! Հստակ ցույց տալու համար, թե որն է բանաձևի իմաստը, եկեք կատարենք մի քանի լրացուցիչ կոնստրուկցիաներ, մասնավորապես, մենք կկառուցենք բարձունքները.

Եռանկյունի (2) մակերեսը հավասար է եռանկյունու մակերեսին (1) - ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության երկրորդ նշանը «ոտքի և հիպոթենուսի երկայնքով»: Այժմ մենք մտավոր «կտրում» ենք երկրորդը և տեղափոխում այն՝ այն դնելով առաջինի վրա. ստանում ենք ուղղանկյուն, որի մակերեսը հավասար կլինի սկզբնական զուգահեռագծի մակերեսին.

Ուղղանկյան մակերեսը, ինչպես գիտեք, հավասար է նրա հարակից կողմերի արտադրյալին: Ինչպես երևում է էսքիզից, ստացված ուղղանկյան մի կողմը հավասար է զուգահեռագծի կողմին, իսկ մյուս կողմը հավասար է զուգահեռագծի բարձրությանը։ Այսպիսով, մենք ստանում ենք S = a∙h զուգահեռագծի տարածքի բանաձևըա

2. Շարունակենք, ևս մեկ բանաձև նրա տարածքի համար. Մենք ունենք:

Զուգահեռագծի տարածքի բանաձևը

Կողերը նշանակենք a և b, նրանց միջև անկյունը γ «գամմա», բարձրությունը h a։ Դիտարկենք ուղղանկյուն եռանկյունը.

Զուգահեռագիծքառանկյուն է, որի կողմերը զույգ-զույգ զուգահեռ են:

Այս նկարում հակառակ կողմերն ու անկյունները հավասար են միմյանց: Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են մի կետում և կիսում այն: Զուգահեռագծի տարածքի բանաձևերը թույլ են տալիս գտնել արժեքը կողմերի, բարձրության և անկյունագծերի միջոցով: Զուգահեռագիծը կարող է ներկայացվել նաև հատուկ դեպքերում։ Դրանք համարվում են ուղղանկյուն, քառակուսի և ռոմբուս:
Նախ, եկեք դիտարկենք զուգահեռագծի տարածքը ըստ բարձրության և այն կողմի հաշվման օրինակ, որին այն իջեցվել է:

Այս դեպքը համարվում է դասական և հետագա հետաքննություն չի պահանջում։ Ավելի լավ է հաշվի առնել երկու կողմերի միջով տարածքը և նրանց միջև անկյունը հաշվարկելու բանաձևը: Հաշվարկի ժամանակ օգտագործվում է նույն մեթոդը. Եթե ​​տրված են կողմերը և նրանց միջև եղած անկյունը, ապա մակերեսը հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.

Ենթադրենք մեզ տրված է a = 4 սմ, b = 6 սմ կողմերով զուգահեռագիծ, որոնց միջև անկյունը α = 30° է: Եկեք գտնենք տարածքը.

Զուգահեռագծի մակերեսը անկյունագծերի առումով

Անկյունագծերի առումով զուգահեռագծի տարածքի բանաձևը թույլ է տալիս արագ գտնել արժեքը:
Հաշվարկների համար անհրաժեշտ է անկյունագծերի միջև գտնվող անկյան արժեքը:

Դիտարկենք զուգահեռագծի տարածքը անկյունագծերի միջոցով հաշվարկելու օրինակ: Թող տրվի D = 7 սմ, d = 5 սմ անկյունագծերով զուգահեռագիծ, որոնց միջև անկյունը α = 30° է: Տվյալները փոխարինեք բանաձևով.

Անկյունագծով զուգահեռագծի տարածքը հաշվարկելու օրինակը մեզ գերազանց արդյունք տվեց՝ 8,75:

Իմանալով զուգահեռագծի տարածքի բանաձևը անկյունագծով, դուք կարող եք լուծել շատ հետաքրքիր խնդիրներ: Եկեք նայենք դրանցից մեկին:

Առաջադրանք.Տրված է զուգահեռագիծ 92 քառ. տես F կետը գտնվում է իր կողմի մեջտեղում մ.թ.ա. Եկեք գտնենք ADFB-ի trapezoid-ի տարածքը, որը կգտնվի մեր զուգահեռագծի վրա: Սկզբից եկեք նկարենք այն ամենը, ինչ ստացել ենք ըստ պայմանների։
Գանք լուծմանը.

Մեր պայմանների համաձայն, ah \u003d 92, և, համապատասխանաբար, մեր trapezoid-ի տարածքը հավասար կլինի.

Քառակուսի երկրաչափական պատկեր - երկրաչափական գործչի թվային բնութագիրը, որը ցույց է տալիս այս գործչի չափը (մակերեսի մի մասը, որը սահմանափակված է այս գործչի փակ եզրագծով): Տարածքի չափը արտահայտվում է դրանում պարունակվող քառակուսի միավորների քանակով։

Եռանկյունի տարածքի բանաձևերը

1. Եռանկյունի տարածքի բանաձևը կողմի և բարձրության համար
   Եռանկյունի մակերեսըհավասար է եռանկյան կողմի երկարության և այս կողմի վրա գծված բարձրության երկարության արտադրյալի կեսին
   
2. Եռանկյան տարածքի բանաձևը, որը տրված է երեք կողմերին և շրջագծված շրջանագծի շառավղին
   
3. Եռանկյան մակերեսի բանաձևը, որը տրված է երեք կողմերով և ներգծված շրջանագծի շառավղով
   Եռանկյունի մակերեսըհավասար է եռանկյան կիսաշրջագծի և ներգծված շրջանագծի շառավղի արտադրյալին։
   
որտեղ S-ը եռանկյան մակերեսն է,
- եռանկյունու կողմերի երկարությունները,
- եռանկյունու բարձրությունը,
- կողմերի միջև անկյունը և,
- ներգծված շրջանագծի շառավիղը,
R - շրջագծված շրջանագծի շառավիղը,

Քառակուսի տարածքի բանաձևեր

1. Քառակուսու մակերեսի բանաձևը, որը տրված է կողմի երկարությանը
   քառակուսի տարածքհավասար է իր կողմի երկարության քառակուսուն։
2. Քառակուսու մակերեսի բանաձևը՝ հաշվի առնելով անկյունագծի երկարությունը
   քառակուսի տարածքհավասար է իր անկյունագծի երկարության քառակուսու կեսին:
   

   S=	1	2
   	2

որտեղ S-ը քառակուսու մակերեսն է,
քառակուսու կողմի երկարությունն է,
քառակուսու շեղանկյունի երկարությունն է։

Ուղղանկյուն տարածքի բանաձևը

Ուղղանկյունի տարածքհավասար է նրա երկու հարակից կողմերի երկարությունների արտադրյալին

որտեղ S-ն ուղղանկյան մակերեսն է,
ուղղանկյան կողմերի երկարություններն են:

Զուգահեռագծի տարածքի բանաձևեր

1. Զուգահեռագծի տարածքի բանաձևը կողմի երկարության և բարձրության համար
   Զուգահեռագծի տարածք
2. Զուգահեռագծի մակերեսի բանաձևը, որը տրված է երկու կողմերին և նրանց միջև եղած անկյունին
   Զուգահեռագծի տարածքհավասար է նրա կողմերի երկարությունների արտադրյալին՝ բազմապատկած նրանց միջև անկյան սինուսով։
   

   a b sinα

որտեղ S-ը զուգահեռագծի մակերեսն է,
զուգահեռագծի կողմերի երկարություններն են,
զուգահեռագծի բարձրությունն է,
զուգահեռագծի կողմերի միջև եղած անկյունն է։

Ռոմբի մակերեսի բանաձևեր

1. Ռոմբի տարածքի բանաձևը, որը տրված է կողմի երկարությանը և բարձրությանը
   Ռոմբի տարածքհավասար է իր կողմի երկարության և այս կողմ իջեցված բարձրության երկարության արտադրյալին։
2. Ռոմբի մակերեսի բանաձևը՝ հաշվի առնելով կողմի երկարությունը և անկյունը
   Ռոմբի տարածքհավասար է իր կողմի երկարության քառակուսու և ռոմբի կողմերի միջև անկյան սինուսի արտադրյալին:
3. Ռոմբի մակերեսի բանաձևը նրա անկյունագծերի երկարություններից
   Ռոմբի տարածքհավասար է նրա անկյունագծերի երկարությունների արտադրյալի կեսին։
որտեղ S-ը ռոմբի մակերեսն է,
- ռոմբի կողմի երկարությունը,
- ռոմբի բարձրության երկարությունը,
- ռոմբի կողմերի միջև եղած անկյունը,
1, 2 - անկյունագծերի երկարությունները:

Trapezium տարածքի բանաձեւեր

1. Հերոնի բանաձևը trapezoid-ի համար

   Որտեղ S-ը trapezoid-ի մակերեսն է,
   - trapezoid-ի հիմքերի երկարությունը,
   - trapezoid-ի կողմերի երկարությունը,
   

Նախորդ հոդվածը. Ինչպե՞ս գտնել թվաբանական առաջընթաց: Հաջորդ հոդվածը. Թվաբանական առաջընթաց