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Se sabe cómo encontrar el área de un paralelogramo. Paralelogramo y sus propiedades. El área de un paralelogramo. Bisectrices de un paralelogramo

Nota. Esto es parte de la lección con problemas de geometría (sección de paralelogramo). Si necesita resolver un problema de geometría, que no está aquí, escríbalo en el foro. Para denotar la acción de extraer una raíz cuadrada en la resolución de problemas, se usa el símbolo √ o sqrt (), y la expresión radical se indica entre paréntesis.

Material teórico

Explicaciones a las fórmulas para encontrar el área de un paralelogramo:

  1. El área de un paralelogramo es igual al producto de la longitud de uno de sus lados por la altura de ese lado.
  2. El área de un paralelogramo es igual al producto de sus dos lados adyacentes por el seno del ángulo entre ellos
  3. El área de un paralelogramo es igual a la mitad del producto de sus diagonales por el seno del ángulo entre ellas

Problemas para hallar el área de un paralelogramo

Una tarea.
En un paralelogramo, la altura menor y el lado menor son 9 cm y la raíz de 82, respectivamente. La diagonal mayor es 15 cm. Halla el área del paralelogramo.

Solución.
Denotemos la altura menor del paralelogramo ABCD, bajado desde el punto B hasta la base mayor AD como BK.
Halla el valor del cateto de un triángulo rectángulo ABK formado por una altura menor, un lado menor y una parte de una base mayor. Según el teorema de Pitágoras:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AC=1

Prolonguemos la base superior del paralelogramo BC y dejemos caer sobre él la altura AN desde su base inferior. AN = BK como lados del rectángulo ANBK. En el triángulo rectángulo resultante ANC encontramos el cateto NC.
AN 2 + NC 2 = CA 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC2 = √144
NC = 12

Ahora encontremos la base mayor BC del paralelogramo ABCD.
BC=NC-NB
Tomamos en cuenta que NB = AK como los lados del rectángulo, entonces
BC=12 - 1=11

El área de un paralelogramo es igual al producto de la base por la altura a esta base.
S = ah
S=BC * BK
S=11*9=99

Responder: 99 cm2.

Una tarea

En el paralelogramo ABCD, la perpendicular BO se reduce a la diagonal AC. Encuentra el área del paralelogramo si AO=8, OS=6 y BO=4.

Solución.
Dejemos caer una DK perpendicular más sobre la diagonal AC.
En consecuencia, los triángulos AOB y DKC, COB y AKD son congruentes por pares. Uno de los lados es el lado opuesto del paralelogramo, uno de los ángulos es recto, ya que es perpendicular a la diagonal, y uno de los ángulos restantes es la cruz interna que se encuentra entre los lados paralelos del paralelogramo y la secante. de la diagonal

Así, el área del paralelogramo es igual al área de los triángulos indicados. Es decir
Espaciado = 2S AOB +2S BOC

El área de un triángulo rectángulo es la mitad del producto de los catetos. Donde
S \u003d 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) \u003d 56 cm 2
Responder: 56 cm2.

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El área de un paralelogramo. En muchos problemas de geometría relacionados con el cálculo de áreas, incluidas las tareas para el Examen de Estado Unificado, se utilizan las fórmulas para el área de un paralelogramo y un triángulo. Hay varios de ellos, aquí los consideraremos con usted.

Sería demasiado fácil enumerar estas fórmulas, esta bondad ya es suficiente en libros de referencia y en varios sitios. Me gustaría transmitir la esencia, para que no los memorice, sino que los entienda y pueda recordarlos fácilmente en cualquier momento. Después de estudiar el material del artículo, comprenderá que no es necesario enseñar estas fórmulas en absoluto. Hablando objetivamente, ocurren con tanta frecuencia en las decisiones que se almacenan en la memoria durante mucho tiempo.

1. Así que echemos un vistazo a un paralelogramo. La definición dice:


¿Porqué es eso? ¡Todo es sencillo! Para mostrar claramente cuál es el significado de la fórmula, realicemos algunas construcciones adicionales, a saber, construiremos las alturas:

El área del triángulo (2) es igual al área del triángulo (1), el segundo signo de igualdad de los triángulos rectángulos "a lo largo del cateto y la hipotenusa". Ahora "cortemos" mentalmente el segundo y transfiéralo superponiéndolo al primero: obtenemos un rectángulo cuya área será igual al área del paralelogramo original:


El área de un rectángulo, como sabes, es igual al producto de sus lados adyacentes. Como se puede ver en el boceto, un lado del rectángulo resultante es igual al lado del paralelogramo y el otro es su altura del paralelogramo. Por lo tanto, obtenemos la fórmula para el área de un paralelogramo S = a∙h a

2. Sigamos, una fórmula más para su área. Tenemos:

fórmula del área del paralelogramo

Denotemos los lados como a y b, el ángulo entre ellos γ "gamma", la altura h a. Considere un triángulo rectángulo:


Paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados son paralelos por pares.

En esta figura, los lados y ángulos opuestos son iguales entre sí. Las diagonales de un paralelogramo se cortan en un punto y lo bisecan. Las fórmulas del área del paralelogramo le permiten encontrar el valor a través de los lados, la altura y las diagonales. El paralelogramo también se puede representar en casos especiales. Se consideran rectángulo, cuadrado y rombo.
Primero, consideremos un ejemplo de cálculo del área de un paralelogramo por altura y el lado al que se baja.

Este caso se considera un clásico y no requiere mayor investigación. Es mejor considerar la fórmula para calcular el área de dos lados y el ángulo entre ellos. El mismo método se utiliza en el cálculo. Si se dan los lados y el ángulo entre ellos, entonces el área se calcula de la siguiente manera:

Supongamos que nos dan un paralelogramo con lados a = 4 cm, b = 6 cm, el ángulo entre ellos es α = 30°. Encontremos el área:

Área de un paralelogramo en términos de diagonales


La fórmula para el área de un paralelogramo en términos de diagonales le permite encontrar rápidamente el valor.
Para los cálculos, necesita el valor del ángulo ubicado entre las diagonales.

Considere un ejemplo de cálculo del área de un paralelogramo a través de diagonales. Sea dado un paralelogramo con diagonales D = 7 cm, d = 5 cm, el ángulo entre ellos es α = 30°. Sustituye los datos en la fórmula:

Un ejemplo de cálculo del área de un paralelogramo a través de una diagonal nos dio un excelente resultado: 8.75.

Conociendo la fórmula del área de un paralelogramo en términos de una diagonal, puedes resolver muchos problemas interesantes. Veamos uno de ellos.

Una tarea: Dado un paralelogramo con un área de 92 sq. ver El punto F está ubicado en el medio de su lado BC. Encontremos el área del trapezoide ADFB, que estará en nuestro paralelogramo. Para empezar, dibujemos todo lo que recibimos de acuerdo con las condiciones.
Vamos a la solución:

Según nuestras condiciones, ah \u003d 92, y en consecuencia, el área de nuestro trapezoide será igual a

Área figura geometrica - una característica numérica de una figura geométrica que muestra el tamaño de esta figura (parte de la superficie delimitada por un contorno cerrado de esta figura). El tamaño del área se expresa por el número de unidades cuadradas que contiene.

Fórmulas del área del triángulo

  1. fórmula del área del triángulo para lado y altura
    Area de un triangulo igual a la mitad del producto de la longitud de un lado de un triángulo y la longitud de la altura trazada a este lado
  2. La fórmula para el área de un triángulo dados tres lados y el radio del círculo circunscrito
  3. La fórmula para el área de un triángulo dados tres lados y el radio de un círculo inscrito
    Area de un triangulo es igual al producto del semiperímetro del triángulo por el radio de la circunferencia inscrita.
    4. donde S es el área del triángulo,
    - las longitudes de los lados del triángulo,
    - la altura del triángulo,
    - el ángulo entre los lados y,
    - radio de la circunferencia inscrita,
    R - radio del círculo circunscrito,

fórmulas de área cuadrada

  1. La formula del area de un cuadrado dada la longitud de un lado
    área cuadrada es igual al cuadrado de la longitud de su lado.
  2. La formula del area de un cuadrado dada la longitud de la diagonal
    área cuadrada igual a la mitad del cuadrado de la longitud de su diagonal.
    S=1 2
    2
    3. donde S es el área del cuadrado,
    es la longitud del lado del cuadrado,
    es la longitud de la diagonal del cuadrado.

fórmula del área del rectángulo

    área del rectángulo es igual al producto de las longitudes de sus dos lados adyacentes

    donde S es el área del rectángulo,
    son las longitudes de los lados del rectángulo.

Fórmulas para el área de un paralelogramo

  1. Fórmula del área del paralelogramo para la longitud y la altura del lado
    área del paralelogramo
  2. La fórmula para el área de un paralelogramo dados dos lados y el ángulo entre ellos
    área del paralelogramo es igual al producto de las longitudes de sus lados por el seno del ángulo que los forma.

    a b sinα

    3. donde S es el área del paralelogramo,
    son las longitudes de los lados del paralelogramo,
    es la altura del paralelogramo,
    es el ángulo entre los lados del paralelogramo.

Formulas para el area de un rombo

  1. Fórmula del área del rombo dada la longitud y la altura del lado
    área de rombo es igual al producto de la longitud de su lado por la longitud de la altura bajada a este lado.
  2. La formula del area de un rombo dada la longitud del lado y el angulo
    área de rombo es igual al producto del cuadrado de la longitud de su lado por el seno del ángulo entre los lados del rombo.
  3. La fórmula para el área de un rombo a partir de las longitudes de sus diagonales.
    área de rombo es igual a la mitad del producto de las longitudes de sus diagonales.
    4. donde S es el área del rombo,
    - longitud del lado del rombo,
    - la longitud de la altura del rombo,
    - el ángulo entre los lados del rombo,
    1, 2 - las longitudes de las diagonales.

Fórmulas del área del trapecio

  1. Fórmula de Heron para un trapecio

    Donde S es el área del trapezoide,
    - la longitud de las bases del trapezoide,
    - la longitud de los lados del trapezoide,



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