Условие равновесия материальной точки и твердого тела. Статика. Равновесие механической системы (абсолютно твердого тела). Центр тяжести плоской фигуры

Очевидно, что тело может покоиться только по отношению к одной определенной системе координат. В статике изучают условия равновесия тел именно в такой системе. При равновесии скорости и ускорения всех участков (элементов) тела равны нулю. Учитывая это, можно установить одно из необходимых условии равновесия тел, используя теорему о движении центра масс (см. § 7.4).

Внутренние силы не влияют на движение центра масс, так как их сумма всегда равна нулю. Определяют движение центра масс тела (или системы тел) лишь внешние силы. Так как при равновесии тела ускорение всех его элементов равно нулю, то равно нулю и ускорение центра масс. Но ускорение центра масс определяется векторной суммой внешних сил, приложенных к телу (см. формулу (7.4.2)). Поэтому при равновесии эта сумма должна равняться нулю.

Действительно, если сумма внешних сил F i равна нулю, то и ускорение центра масс а c = 0. Отсюда следует, что скорость центра масс с = const. Если в начальный момент скорость центра масс равнялась нулю, то и в дальнейшем центр масс остается в покое.

Полученное условие неподвижности центра масс является необходимым (но, как мы скоро увидим, недостаточным) условием равновесия твердого тела. Это так называемое первое условие равновесия. Его можно сформулировать следующим образом.

Для равновесия тела необходимо, чтобы сумма внешних сил, приложенных к телу, была равна нулю:

Если сумма сил равна нулю, то равна нулю и сумма проекций сил_на все три оси координат. Обозначая внешние силы через 1 , 2 , 3 и т. д., получим три уравнения, эквивалентных одному векторному уравнению (8.2.1):

Для того чтобы тело покоилось, необходимо еще, чтобы начальная скорость центра масс была равна нулю.

Второе условие равновесия твердого тела

Равенство нулю суммы внешних сил, действующих на тело, необходимо для равновесия, но недостаточно. При выполнении этого условия лишь центр масс с необходимостью будет покоиться. В этом нетрудно убедиться.

Приложим к доске в разных точках равные по модулю и противоположные по направлению силы так, как показано на рисунке 8.1 (две такие силы называют парой сил). Сумма этих сил равна нулю: + (-) = 0. Но доска будет поворачиваться. В покое находится только центр масс, если его начальная скорость (скорость до приложения сил) была равна нулю.

Рис. 8.1

Точно так же две одинаковые по модулю и противоположные по направлению силы поворачивают руль велосипеда или автомобиля (рис. 8.2) вокруг оси вращения.

Рис. 8.2

Нетрудно понять, в чем здесь дело. Любое тело находится в равновесии, когда сумма всех сил, действующих на каждый его элемент, равна нулю. Но если сумма внешних сил равна нулю, то сумма всех сил, приложенных к каждому элементу тела, может быть и не равной нулю. В этом случае тело не будет находиться в равновесии. В рассмотренных примерах доска и руль потому и не находятся в равновесии, что сумма всех сил, действующих на отдельные элементы этих тел, не равна нулю. Тела вращаются.

Выясним, какое еще условие, кроме равенства нулю суммы внешних сил, должно выполняться, чтобы тело не вращалось и находилось в равновесии. Для этого воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела (см. § 7.6):

Напомним, что в формуле (8.2.3)

представляет собой сумму моментов приложенных к телу внешних сил относительно оси вращения, a J - момент инерции тела относительно той же оси.

Если , то и Р = 0, т. е. тело не имеет углового ускорения, и, значит, угловая скорость тела

Если в начальный момент угловая скорость равнялась нулю, то и в дальнейшем тело не будет совершать вращательное движение. Следовательно, равенство

(при ω = 0) является вторым условием, необходимым для равновесия твердого тела.

При равновесии твердого тела сумма моментов всех внешних сил, действующих на него относительно любой оси (1), равна нулю .

В общем случае произвольного числа внешних сил условия равновесия твердого тела запишутся в виде:

Эти условия необходимы и достаточны для равновесия любого твердого тела. Если они выполняются, то векторная сумма сил (внешних и внутренних), действующих на каждый элемент тела, равна нулю.

Равновесие деформируемых тел

Если тело не абсолютно твердое, то под действием приложенных к нему внешних сил оно может не находиться в равновесии, хотя сумма внешних сил и сумма их моментов относительно любой оси равна нулю. Это происходит потому, что под действием внешних сил тело может деформироваться и в процессе деформации сумма всех сил, действующих на каждый его элемент, в этом случае не будет равна нулю.

Приложим, например, к концам резинового шнура две силы, равные по модулю и направленные вдоль шнура в противоположные стороны. Под действием этих сил шнур не будет находиться в равновесии (шнур растягивается), хотя сумма внешних сил равна нулю и равна нулю сумма их моментов относительно оси, проходящей через любую точку шнура.

При деформации тел, кроме того, происходит изменение плеч сил и, следовательно, изменение моментов сил при заданных силах. Отметим еще, что только у твердых тел можно переносить точку приложения силы вдоль линии действия силы в любую другую точку тела. Это не меняет момента силы и внутреннего состояния тела.

В реальных телах переносить точку приложений силы вдоль линии ее действия можно лишь тогда, когда деформации, которые вызывает эта сила, малы и ими можно пренебречь. В этом случае изменение внутреннего состояния тела при переносе точки приложения силы несущественно. Если же деформациями пренебречь нельзя, то такой перенос недопустим. Так, например, если вдоль резинового бруска к двум его концам приложить две равные по модулю и прямо противоположные по направлению силы 1 и 2 (рис. 8.3, а), то брусок будет растянут. При переносе точек приложения этих сил вдоль линии действия в противоположные концы бруска (рис. 8.3, б) те же силы будут сжимать брусок и его внутреннее состояние окажется иным.

Рис. 8.3

Для расчета равновесия деформируемых тел нужно знать их упругие свойства, т. е. зависимость деформаций от действующих сил. Эту сложную задачу мы решать не будем. Простые случаи поведения деформируемых тел будут рассмотрены в следующей главе.

(1) Мы рассматривали моменты сил относительно реальной оси вращения тела. Но можно доказать, что при равновесии тела сумма моментов сил равна нулю относительно любой оси (геометрической линии), в частности относительно трех осей координат или относительно оси, проходящей через центр масс.

Основным признаком взаимодействия тел в динамике является возникновение ускорений. Однако часто бывает нужно знать, при каких условиях тело, на которое действует несколько различных сил, не движется с ускорением. Подвесим

шар на нити. На шар действует сила тяжести, но не вызывает ускоренного движения к Земле. Этому препятствует действие равной по модулю и направленной в противоположную сторону силы упругости. Сила тяжести и сила упругости уравновешивают друг друга, их равнодействующая равна нулю, поэтому равно нулю и ускорение шара (рис. 40).

Точку, через которую проходит равнодействующая сил тяжести при любом расположении тела, называют центром тяжести (рис. 41).

Раздел механики, изучающий условия равновесия сил, называется статикой.

Равновесие невращающихся тел.

Равномерное прямолинейное поступательное движение тела или его покой возможны только при равенстве нулю геометрической суммы всех сил, приложенных к телу.

Невращающееся тело находится в равновесии, если геометрическая сумма сил, приложенных к телу, равна нулю.

Равновесие тел, имеющих ось вращения.

В повседневной жизни и технике часто встречаются тела, которые не могут двигаться поступательно, но могут вращаться вокруг оси. Примерами таких тел могут служить двери и окна, колеса автомобиля, качели и т. д. Если вектор силы Р лежит на прямой, пересекающей ось вращения, то эта сила уравновешивается силой упругости со стороны оси вращения (рис. 42).

Если же прямая, на которой лежит вектор силы F, не пересекает ось вращения, то эта сила не может быть уравновешена

силой упругости со стороны оси вращения, и тело поворачивается вокруг оси (рис. 43).

Вращение тела вокруг оси под действием одной силы может быть остановлено действием второй силы Опыт показывает, что если две силы по отдельности вызывают вращение тела в противоположных направлениях, то при их одновременном действии тёло находится в равновесии, если выполняется условие:

где - кратчайшие расстояния от прямых, на которых лежат векторы сил (линии действия сил), до оси вращения (рис. 44). Расстояние называется плечом силы, а произведение модуля силы на плечо называется моментом силы М:

Если моментам сил, вызывающим вращение тела вокруг оси по часовой стрелке, приписать положительный знак, а моментам сил, вызывающим вращение против часовой стрелки, - отрицательный знак, то условие равновесия тела, имеющего ось вращения, можно сформулировать в виде правила моментов: тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю:

За единицу вращающего момента в СИ принимается момент силы в 1 Н, линия действия которой находится на расстоянии от оси вращения. Эту единицу называют ньютон-метром

Общее условие равновесия тела. Объединяя два вывода, можно сформулировать общее условие равновесия тела: тело находится в равновесии, если равны нулю геометрическая сумма векторов всех приложенных к нему сил и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно оси вращения.

При выполнении общего условия равновесия тело необязательно находится в покое. Согласно второму закону Ньютона при равенстве нулю равнодействующей всех сил ускорение тела равно нулю и оно может находиться в покое или? двигаться равномерно и прямолинейно.

Равенство нулю алгебраической суммы моментов сил не означает также, что при этом тело обязательно находится в покое. На протяжении нескольких миллиардов лет с постоянным периодом продолжается вращение Земли вокруг оси именно потому, что алгебраическая сумма моментов сил, действующих на Землю со стороны других тел, очень мала. По той же причине продолжает вращение с постоянной частотой раскрученное велосипедное колесо, и только внешние силы останавливают это вращение.

Виды равновесия.

В практике большую роль играет не только выполнение условия равновесия тел, но и качественная характеристика равновесия, называемая устойчивостью. Различают три вида равновесия тел: устойчивое, неустойчивое и безразличное.

Равновесие называется устойчивым, если после небольших внешних воздействий тело возвращается в исходное состояние равновесия. Это происходит, если при небольшом смещении тела в любом направлении от первоначального положения равнодействующая сил, действующих на тело, становится отличной от нуля и направлена к положению равновесия. В устойчивом равновесии находится, например, шар на дне углубления (рис. 45).

Равновесие называется неустойчивым, если при небольшом смещении тела из положения равновесия равнодействующая приложенных к нему сил отлична от нуля и направлена от положения равновесия (рис. 46).

Еслн при небольших смещениях тела из первоначального положения равнодействующая приложенных к телу сил остается равной нулю, то тело находится в состоянии безразличного равновесия. В безразличном равновесии находится шар на горизонтальной поверхности (рис. 47).

Условия равновесия твёрдого тела в курсе физики средней школы изучаются в разделе «Механика» при изучении статики как раздела механики. Освещается факт, что движение тела бывает двух видов: поступательное и вращательное. Поступательным называют движение, при котором любая прямая, проведённая через любые две точки тела в данной инерциальной системе отсчёта в процессе движения остаётся параллельной самой себе. Вращательным называют такое движение, при котором все точки, принадлежащие телу, за данный промежуток времени поворачиваются относительно оси вращения на одинаковый угол.

Вводится центр тяжести тела. Для этого тело мысленно разбивается на множество элементов. Центром тяжести будет точка, где пересекаются прямые, на которых лежат векторы сил тяжести, действующие на элементы тела. Далее рассматриваются частные случаи, иллюстрирующие зависимость вида движения твёрдого тела от точки приложения внешней силы:

1. Пусть сила приложена к центру тяжести или незакреплённой оси вращения - тело будет двигаться поступательно, вращения не будет;
2. Пусть сила приложена к произвольной точке тела, при этом ось вращения закреплена - тело будет вращаться, поступательного движения не будет;
3. Пусть сила приложена к произвольной точке тела, при этом ось вращения не закреплена - тело будет вращаться вокруг своей оси и при этом двигаться поступательно.

Вводится момент силы. Момент силы - это векторная физическая величина, характеризующая вращательный эффект силы. Математически в вузовском курсе общей физики момент силы вводят как векторное произведение плеча силы на вектор данной силы:

где - это плечо силы. Очевидно, что уравнение (2) является следствием уравнения (1).

Учащимся объясняется, что плечо силы - это кратчайшее расстояние от точки опоры (или оси вращения) до линии действия силы.

Первое условие (уравнение (3)) обеспечивает отсутствие поступательного движения, второе условие (уравнение (4)) - отсутствие вращательного. Неплохо было бы обратить внимание на то, что уравнение (3) является частным случаем 2-го закона Ньютона (при ).

Учащимся необходимо усвоить, что момент силы - это векторная величина, поэтому при скалярной записи уравнения (4) необходимо учитывать знак момента. Для учащихся школы правила звучат так:

1. Если сила стремится повернуть тело против часовой стрелки - её момент относительно данной оси положительный;
2. Если сила стремится повернуть тело по часовой стрелке - её момент относительно данной оси отрицательный.

Как пример применения условий равновесия твёрдого тела служит применение рычагов и блоков. Пусть на одно плечо рычага действует сила , на другое - (рис. 1).

В данном случае представим, что опора тела неподвижна, поэтому нам понадобится только второе условие равновесия:

В скалярном виде, учтя знаки, получаем:

Полученное выражение называется условием равновесия рычага. Учащиеся должны твёрдо усвоить, что это лишь частный случай, и в более общих случаях необходимо опираться на уравнение (4).

Как известно из курса 7-го класса, блоки бывают подвижный и неподвижный. С помощью условий равновесия анализируют работу по равномерному подъёму груза с помощью неподвижного блока и системы подвижного и неподвижного блоков.

1. Неподвижный блок.
Пусть диаметр блока d . Воспользовавшись условием равновесия (4), получаем: Полученный факт иллюстрирует, что неподвижный блок не даёт выигрыша в силе, то есть мы должны будем приложить для подъёма груза силу, равную по модулю весу груза. Неподвижный блок применяется только лишь для удобства, в основном в паре с подвижным блоком.
2. Подвижный блок.
Воспользуемся уравнением (4) аналогично случаю с неподвижным блоком:

Мы получили, что в системе подвижного и неподвижного блоков при отсутствии сил трения получается выигрыш в силе в 2 раза. В данном случае диаметры блоков были одинаковы. Полезно будет с учащимися разобрать способы получения выигрыша в силе в 4, 6 и т. д. раз.

В заключение, проанализировав то, о чём говорилось выше, формулируется «золотое правило» механики. Решаются задачи на рычаги, блоки и другие случаи равновесия тел.

«Физика - 10 класс»

Вспомните, что такое момент силы.
При каких условиях тело находится в покое?

Если тело находится в покое относительно выбранной системы отсчёта, то говорят, что это тело находится в равновесии. Здания, мосты, балки вместе с опорами, части машин, книга на столе и многие другие тела покоятся, несмотря на то что к ним со стороны других тел приложены силы. Задача изучения условий равновесия тел имеет большое практическое значение для машиностроения, строительного дела, приборостроения и других областей техники. Все реальные тела под влиянием приложенных к ним сил изменяют свою форму и размеры, или, как говорят, деформируются.

Во многих случаях, которые встречаются на практике, деформации тел при их равновесии незначительны. В этих случаях деформациями можно пренебречь и вести расчёт, считая тело абсолютно твёрдым .

Для краткости абсолютно твёрдое тело будем называть твёрдым телом или просто телом . Изучив условия равновесия твёрдого тела, мы найдём условия равновесия реальных тел в тех случаях, когда их деформации можно не учитывать.

Вспомните определение абсолютно твёрдого тела.

Раздел механики, в котором изучаются условия равновесия абсолютно твёрдых тел, называется статикой .

В статике учитываются размеры и форма тел, в этом случае существенным является не только значение сил, но и положение точек их приложения.

Выясним вначале с помощью законов Ньютона, при каком условии любое тело будет находиться в равновесии. С этой целью разобьём мысленно всё тело на большое число малых элементов, каждый из которых можно рассматривать как материальную точку. Как обычно, назовём силы, действующие на тело со стороны других тел, внешними, а силы, с которыми взаимодействуют элементы самого тела, внутренними (рис. 7.1). Так, сила 1,2 - это сила, действующая на элемент 1 со стороны элемента 2. Сила же 2,1 действует на элемент 2 со стороны элемента 1. Это внутренние силы; к ним относятся также силы 1,3 и 3,1 , 2,3 и 3,2 . Очевидно, что геометрическая сумма внутренних сил равна нулю, так как согласно третьему закону Ньютона

12 = - 21 , 23 = - 32 , 31 = - 13 и т.д.

Статика - частный случай динамики, так как покой тел, когда на них действуют силы, есть частный случай движения ( = 0).

На каждый элемент в общем случае может действовать несколько внешних сил. Под 1 , 2 , 3 и т. д. будем понимать все внешние силы, приложенные соответственно к элементам 1, 2, 3, ... . Точно так же через " 1 , " 2 , " 3 и т. д. обозначим геометрическую сумму внутренних сил, приложенных к элементам 2, 2, 3, ... соответственно (эти силы не показаны на рисунке), т. е.

" 1 = 12 + 13 + ... , " 2 = 21 + 22 + ... , " 3 = 31 + 32 + ... и т.д.

Если тело находится в покое, то ускорение каждого элемента равно нулю. Поэтому согласно второму закону Ньютона будет равна нулю и геометрическая сумма всех сил, действующих на любой элемент. Следовательно, можно записать:

1 + "1 = 0, 2 + "2 = 0, 3 + "3 = 0. (7.1)

Каждое из этих трёх уравнений выражает условие равновесия элемента твёрдого тела.

Первое условие равновесия твёрдого тела.

Выясним, каким условиям должны удовлетворять внешние силы, приложенные к твёрдому телу, чтобы оно находилось в равновесии. Для этого сложим уравнения (7.1):

(1 + 2 + 3) + ("1 + "2 + "3) = 0.

В первых скобках этого равенства записана векторная сумма всех внешних сил, приложенных к телу, а во вторых - векторная сумма всех внутренних сил, действующих на элементы этого тела. Но, как известно, векторная сумма всех внутренних сил системы равна нулю, так как согласно третьему закону Ньютона любой внутренней силе соответствует сила, равная ей по модулю и противоположная по направлению. Поэтому в левой части последнего равенства останется только геометрическая сумма внешних сил, приложенных к телу:

1 + 2 + 3 + ... = 0 . (7.2)

В случае абсолютно твёрдого тела условие (7.2) называют первым условием его равновесия .

Оно является необходимым, но не является достаточным.

Итак, если твёрдое тело находится в равновесии, то геометрическая сумма внешних сил, приложенных к нему, равна нулю.

Если сумма внешних сил равна нулю, то равна нулю и сумма проекций этих сил на оси координат. В частности, для проекций внешних сил на ось ОХ можно записать:

F 1x + F 2x + F 3x + ... = 0. (7.3)

Такие же уравнения можно записать и для проекций сил на оси OY и OZ.

Второе условие равновесия твёрдого тела.

Убедимся, что условие (7.2) является необходимым, но недостаточным для равновесия твёрдого тела. Приложим к доске, лежащей на столе, в различных точках две равные по модулю и противоположно направленные силы так, как показано на рисунке 7.2. Сумма этих сил равна нулю:

+ (-) = 0. Но доска тем не менее будет поворачиваться. Точно так же две одинаковые по модулю и противоположно направленные силы поворачивают руль велосипеда или автомобиля (рис. 7.3).

Какое же ещё условие для внешних сил, кроме равенства нулю их суммы, должно выполняться, чтобы твёрдое тело находилось в равновесии? Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии.

Найдём, например, условие равновесия стержня, шарнирно закреплённого на горизонтальной оси в точке О (рис. 7.4). Это простое устройство, как вам известно из курса физики основной школы, представляет собой рычаг первого рода.

Пусть к рычагу приложены перпендикулярно стержню силы 1 и 2 .

Кроме сил 1 и 2 , на рычаг действует направленная вертикально вверх сила нормальной реакции 3 со стороны оси рычага. При равновесии рычага сумма всех трёх сил равна нулю: 1 + 2 + 3 = 0.

Вычислим работу, которую совершают внешние силы при повороте рычага на очень малый угол α. Точки приложения сил 1 и 2 пройдут пути s 1 = ВВ 1 и s 2 = CC 1 (дуги ВВ 1 и СС 1 при малых углах α можно считать прямолинейными отрезками). Работа А 1 = F 1 s 1 силы 1 положительна, потому что точка В перемещается по направлению действия силы, а работа А 2 = -F 2 s 2 силы 2 отрицательна, поскольку точка С движется в сторону, противоположную направлению силы 2 . Сила 3 работы не совершает, так как точка её приложения не перемещается.

Пройденные пути s 1 и s 2 можно выразить через угол поворота рычага а, измеренный в радианах: s 1 = α|ВО| и s 2 = α|СО|. Учитывая это, перепишем выражения для работы так:

А 1 = F 1 α|BO|, (7.4)
А 2 = -F 2 α|CO|.

Радиусы ВО и СО дуг окружностей, описываемых точками приложения сил 1 и 2 , являются перпендикулярами, опущенными из оси вращения на линии действия этих сил

Как вы уже знаете, плечо силы - это кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы. Будем обозначать плечо силы буквой d. Тогда |ВО| = d 1 - плечо силы 1 , а |СО| = d 2 - плечо силы 2 . При этом выражения (7.4) примут вид

А 1 = F 1 αd 1 , А 2 = -F 2 αd 2 . (7.5)

Из формул (7.5) видно, что работа каждой из сил равна произведению момента силы на угол поворота рычага. Следовательно, выражения (7.5) для работы можно переписать в виде

А 1 = М 1 α, А 2 = М 2 α, (7.6)

а полную работу внешних сил можно выразить формулой

А = А 1 + А 2 = (М 1 + М 2)α. α, (7.7)

Так как момент силы 1 положителен и равен М 1 = F 1 d 1 (см. рис. 7.4), а момент силы 2 отрицателен и равен М 2 = -F 2 d 2 , то для работы А можно записать выражение

А = (М 1 - |М 2 |)α.

Когда тело приходит в движение, его кинетическая энергия увеличивается. Для увеличения кинетической энергии внешние силы должны совершать работу, т. е. в этом случае А ≠ 0 и соответственно М 1 + М 2 ≠ 0.

Если работа внешних сил равна нулю, то кинетическая энергия тела не изменяется (остаётся равной нулю) и тело остаётся неподвижным. Тогда

М 1 + М 2 = 0 . (7.8)

Уравнение (7 8) и есть второе условие равновесия твёрдого тела .

При равновесии твёрдого тела сумма моментов всех внешних сил, действующих на него относительно любой оси, равна нулю.

Итак, в случае произвольного числа внешних сил условия равновесия абсолютно твёрдого тела следующие:

1 + 2 + 3 + ... = 0, (7.9)
М 1 + М 2 + М 3 + ... = 0 .

Второе условие равновесия можно вывести из основного уравнения динамики вращательного движения твёрдого тела. Согласно этому уравнению где М - суммарный момент сил, действующих на тело, М = М 1 + М 2 + М 3 + ... , ε - угловое ускорение. Если твёрдое тело неподвижно, то ε = 0, и, следовательно, М = 0. Таким образом, второе условие равновесия имеет вид М = М 1 + М 2 + М 3 + ... = 0.

Если тело не абсолютно твёрдое, то под действием приложенных к нему внешних сил оно может и не оставаться в равновесии, хотя сумма внешних сил и сумма их моментов относительно любой оси равны нулю.

Приложим, например к концам резинового шнура две силы, равные по модулю и направленные вдоль шнура в противоположные стороны. Под действием этих сил шнур не будет находиться в равновесии (шнур растягивается), хотя сумма внешних сил равна нулю и нулю равна сумма их моментов относительно оси, проходящей через любую точку шнура.

Статический расчет инженерных сооружений во многих случаях сводится к рассмотрению условий равновесия конструкции из систе­мы тел, соединенных, какими-нибудь связями. Связи, соединяющие части данной конструкции, будем называть внутренними в отличие от внешних связей, скрепляющих кон­струкцию с телами, в неё не входя­щими (например, с опорами).

Если после отбрасывания внешних связей (опор) конструкция остается жесткой, то для нее задачи статики решаются как для абсолютно твердо­го тела. Однако могут встречаться такие инженерные конструкции, ко­торые после отбрасывания внешних связей не остаются жесткими. Примером такой конструкции является трехшарнирная арка. Если отбросить опоры А и В, то арка не будет жесткой: ее части могут поворачиваться вокруг шарнира С.

На основании принципа отвердевания система сил, действующих на такую конструкцию, должна при равновесии удовлетворять ус­ловиям равновесия твердого тела. Но эти условия, как указывалось, будучи необходимыми, не будут являться достаточными; поэтому из них нельзя определить все неизвестные величины. Для решения задачи необходимо дополнительно рассмотреть равновесие какой-нибудь одной или нескольких частей конструкции.

Например, составляя условия равновесия для сил, действующих на трехшарнирную арку, мы получим три уравнения с четырьмя неизвестными Х А, Y A , X B , Y B . Рассмотрев дополнительно условия равновесия левой (или правой) ее половины, получим еще три уравнения, содержащие два новых неизвестных Х С, Y С, на рис. 61 не показанных. Решая полученную систему шести уравнений, найдем все шесть неизвестных.

14. Частные случаи приведения пространственной системы сил

Если при приведении системы сил к динамическому винту главный момент динамы оказался равным нулю, а главный век­тор отличен от нуля, то это означает, что система сил приведена к равнодействующей, причем центральная ось является линией действия этой равнодействующей. Выясним, при каких условиях, относящихся к главному век­тору Fp и главному моменту М 0 , это может быть. Поскольку главный момент динамы М* равен составляющей главного мо­мента М 0 , направленной по главному вектору, то рассматривае­мый случай М* =О означает, что главный момент М 0 перпенди­кулярен главному вектору, т. е. / 2 = Fo*M 0 = 0. Отсюда непо­средственно вытекает, что если главный вектор F 0 не равен нулю, а второй инвариант равен нулю, Fo≠O, / 2 = F 0 *M 0 =0, (7.9)то рассматриваемая система приводится к равнодействующей.

В частности, если для какого-либо центра приведения F 0 ≠0, а М 0 = 0, то это означает, что система сил приведена к равно­действующей, проходящей через данный центр приведения; при этом условие (7.9) также будет выполнено.Обобщим приведенную в главе V теорему о моменте равно­действующей (теорему Вариньона) на случай пространственной системы сил.Если пространственная система . сил приводится к равнодейст­вующей, то момент равнодействующей относительно произвольной точки равен геометрической сумме моментов всех сил относительно той же точки. П
усть система сил имеет равнодействующуюR и точка О лежит на линии действия этой равнодействующей. Если приводить заданную систему сил к этой точке, то получим, что главный момент равен нулю.
Возьмем какой-либо другой центр приведения О1; (7.10)С
другой стороны, на основании формулы (4.14) имеемMo1=Mo+Mo1(Fo), (7.11) т.к М 0 = 0. Сравнивая выражения (7.10) и (7.11) и учиты­вая, что в данном случае F 0 = R, получаем (7.12).

Таким образом, теорема доказана.

Пусть при каком-либо выборе центра приведения Fo=О, М ≠0. Так как главный вектор не зависит от центра приведе­ния, то он равен нулю и при любом другом выборе центра при­ведения. Поэтому главный момент тоже не меняется при пере­мене центра приведения, и, следовательно, в этом случае система сил приводится к паре сил с моментом, равным M0 .

Составим теперь таблицу всех возможных случаев приведения пространственной системы сил:

Если все силы находятся в одной плоскости, например, в пло­скости Оху, то их проекции на ось г и моменты относительно осей х и у будут равны нулю. Следовательно, Fz=0; Mox=0, Moy=0. Внося эти значения в формулу (7.5), найдем, что второй инва­риант плоской системы сил равен нулю.Тот же результат мы получим и для пространственной системы параллельных сил. Действительно, пусть все силы параллельны оси z . Тогда проекции их на оси х и у и моменты относительно оси z будут равны 0. Fx=0, Fy=0, Moz=0

На основании доказанного можно утверждать, что плоская система сил и система параллельных сил не приводятся к динамическому винту.

11. Равновесие тела при наличии трения скольжения Если два тела / и // (рис. 6.1) взаимодействуют друг с другом, соприкасаясь в точке А, то всегда реакцию R A , дейст­вующую, например, со стороны тела // и приложенную к телу /, можно разложить на две составляю­щие: N.4, направленную по общей нормали к поверхности соприкасаю­щихся тел в точке Л, и Т 4 , лежащую в касательной плоскости. Составляю­щая N.4 называется нормальной реак­цией, сила Т л называется силой тре­ния скольжения - она препятствует" скольжению тела / по телу //. В со­ответствии с аксиомой 4 (3 з-он Ньютона) на тело // со стороны тела / действует равная по модулю и противоположно направленная сила реакции. Ее составляющая, перпендикулярная касательной плос­кости, называется силой нормального давления. Как было сказано выше, сила трения Т А = О, если соприкасающиеся поверхности идеально гладкие. В реальных условиях поверхности шероховаты и во многих случаях пренебречь силой трения нельзя.Для выяснения основных свойств сил трения произведем опыт по схеме, представленной на рис. 6.2, а. К телу 5, нахо­дящемуся на неподвижной плите D, присоединена перекинутая через блок С нить, свободный конец которой снабжен опорной площадкой А. Если площадку А постепенно нагружать, то с уве­личением ее общего веса будет возрастать натяжение нити S , которое стремится сдвинуть тело вправо. Однако пока общая нагрузка не слишком велика, сила трения Т будет удерживать тело В в покое. На рис. 6.2, б изображены действующие на тело В силы, причем через Р обозначена сила тяжести, а через N - нормальная реакция плиты D . Если нагрузка недостаточна для нарушения покоя, справед­ливы следующие уравнения равновесия: N - P = 0, (6.1) S-T = 0. (6.2).Отсюда следует, что N = P и T = S. Таким образом, пока тело находится в покое, сила трения остается равной силе натя­жения нити S. Обозначим через Tmax силу трения в критический момент процесса нагружения, когда тело В теряет равновесие и начинает скользить по плите D . Следовательно, если тело нахо­дится в равновесии, то T≤Tmax.Максимальная сила трения Т тах зависит от свойств материа­лов, из которых сделаны тела, их состояния (например, от харак­тера обработки поверхности), а также от величины нормального давления N. Как показывает опыт, максимальная сила трения при­ближенно пропорциональна нор­мальному давлению, т. е. имеет место равенство Tmax = fN . (6.4).Это соотношение носит название закона Амонтона - Кулона. Безразмерный коэффициент / называется коэффициентом тре­ния скольжения. Как следует из опыта, его величина в широких пределах не зависит от площади соприкасающихся поверхностей, но зависит от материала и степени шероховатости соприкасаю­щихся поверхностей. Значения коэффициентов трения устанавли­ваются опытным путем и их можно найти в справочных таблицах. Неравенство" (6.3) можно теперь записать в виде T≤fN (6,5).Случай строгого равенства в (6.5) отвечает максимальному значению силы трения. Это значит, что силу трения можно вычислять по формуле T = fN только в тех случаях, когда зара­нее известно, что имеет место критический случай. Во всех же других случаях силу трения следует определять из уравнений равновесия.Рассмотрим тело, находящееся на шероховатой поверхности. Будем считать, что в результате действия активных сил и сил реакции тело находится в предельном равновесии. На рис. 6.6, a показана предельная реакция R и ее составляющие N и Т тах (в положении, изображенном на этом рисунке, активные силы стремятся сдвинуть тело вправо, максимальная сила трения Т та х направлена влево). Угол ф между предельной реакцией R и нор­малью к поверхности называется углом трения. Найдем этот угол. Из рис. 6.6, а имеем tgφ=Tmax/N или, пользуясь выражением (6.4), tgφ= f (6-7)Из этой формулы видно, что вместо коэффициента трения можно задавать угол трения (в справочных таблицах п

риводятся обе величины).

Предыдущая статья: Рецензия: «включаем обаяние по методике спецслужб» — как подружиться с кем угодно Следующая статья: Одиночество души: «Человек одинок всегда и никогда