Гурван цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцны тэгшитгэл. Хавтгай тэгшитгэл: хэрхэн зохиох вэ? Хавтгай тэгшитгэлийн төрлүүд Векторт перпендикуляр цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгай тэгшитгэл

Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлийг гаргахын тулд өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайд дүн шинжилгээ хийцгээе.

Сансарт бидэнд аль хэдийн мэдэгдэж байсан гурван координатын тэнхлэг байцгаая - Үхэр, Өөболон Оз... Цаасан хуудсыг тэгш байлгахын тулд барьцгаая. Онгоц нь хуудас өөрөө, бүх чиглэлд түүний үргэлжлэл байх болно.

Байцгаая Псансар огторгуй дахь дурын хавтгай. Түүнд перпендикуляр дурын вектор гэж нэрлэдэг хэвийн вектор энэ онгоц руу. Мэдээжийн хэрэг, бид тэгээс өөр векторын тухай ярьж байна.

Хэрэв онгоцны аль нэг цэг нь мэдэгдэж байвал Пба түүнд ямар нэг хэвийн вектор байвал энэ хоёр нөхцөлөөр огторгуй дахь хавтгай бүрэн тодорхойлогдоно(өгөгдсөн цэгээр дамжуулан та энэ вектор руу перпендикуляр нэг хавтгай зурж болно). Онгоцны ерөнхий тэгшитгэл нь:

Тиймээс, хавтгайн тэгшитгэлийг тодорхойлох нөхцөлүүд байдаг. Өөрийгөө авахын тулд хавтгай тэгшитгэл, дээрх хэлбэрийг агуулсан, бид онгоцонд сууна Пдур зоргоороо цэг М хувьсах координаттай х, y, z... Энэ цэг нь зөвхөн онгоцонд хамаарна вектор векторт перпендикуляр(зураг 1). Үүний тулд векторуудын перпендикуляр байдлын нөхцлийн дагуу эдгээр векторуудын скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм.

Вектор нь нөхцөлөөр тодорхойлогддог. Бид векторын координатыг томъёогоор олно :

.

Одоо вектор цэгийн бүтээгдэхүүний томъёог ашиглаж байна , бид цэгийн үржвэрийг координат хэлбэрээр илэрхийлнэ:

Гол цэгээс хойш M (x; y; z)Хавтгай дээр дур мэдэн сонгогдвол хамгийн сүүлийн тэгшитгэл нь хавтгай дээр байрлах дурын цэгийн координатаар хангагдана. П... цэгийн хувьд Нөгөгдсөн онгоцонд хэвтэхгүй байх, өөрөөр хэлбэл. тэгш байдал (1) зөрчигдсөн.

Жишээ 1.Векторт перпендикуляр цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайг тэгшитгэ.

Шийдэл. Бид томъёог (1) ашигладаг бөгөөд үүнийг дахин хараарай:

Энэ томъёонд тоонууд А , Бболон Cвекторын координат ба тоонууд х0 , y0 болон z0 - цэгийн координат.

Тооцоолол нь маш энгийн: бид эдгээр тоог томъёонд орлуулж, бид олж авна

Бид үржүүлэх шаардлагатай бүх зүйлийг үржүүлж, зөвхөн тоонуудыг (үсэггүй) нэмнэ. Үр дүн:

.

Энэ жишээн дээрх хавтгайд шаардлагатай тэгшитгэлийг хувьсах координатын хувьд нэгдүгээр зэргийн ерөнхий тэгшитгэлээр илэрхийлсэн байна. x, y, zонгоцны дурын цэг.

Тиймээс, хэлбэрийн тэгшитгэл

дуудсан хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл .

Жишээ 2.Тэгшитгэлээр өгөгдсөн хавтгайг тэгш өнцөгт декартын координатын системд байгуул .

Шийдэл. Онгоц барихын тулд нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэгийг, жишээлбэл, онгоцны координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг мэдэх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Та эдгээр цэгүүдийг хэрхэн олох вэ? Тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг олох Оз, та асуудлын тайлбарт өгөгдсөн тэгшитгэлд x ба тоглоомын оронд тэгийг орлуулах хэрэгтэй: х = y= 0. Тиймээс бид авдаг z= 6. Тиймээс өгөгдсөн хавтгай нь тэнхлэгийг огтолж байна Озцэг дээр А(0; 0; 6) .

Үүнтэй адилаар бид онгоцны тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг олдог Өө... At х = z= 0 байна y= −3, өөрөөр хэлбэл цэг Б(0; −3; 0) .

Эцэст нь бид онгоцныхоо тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг олдог Үхэр... At y = z= 0 байна х= 2, өөрөөр хэлбэл цэг C(2; 0; 0). Бидний шийдэлд олж авсан гурван цэгийн хувьд А(0; 0; 6) , Б(0; −3; 0) ба C(2; 0; 0) өгөгдсөн хавтгайг байгуул.

Одоо бод хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлийн онцгой тохиолдлууд... Эдгээр нь (2) тэгшитгэлийн тодорхой коэффициентүүд алга болох тохиолдол юм.

1. Хэзээ D = 0 тэгшитгэл цэгийн координатаас хойш эхийг дайран өнгөрөх хавтгайг тодорхойлно 0 (0; 0; 0) энэ тэгшитгэлийг хангана.

2. Хэзээ A = 0 тэгшитгэл тэнхлэгтэй параллель хавтгайг тодорхойлно Үхэр, учир нь энэ хавтгайн хэвийн вектор тэнхлэгт перпендикуляр байна Үхэр(тэнхлэг дээрх түүний проекц Үхэртэг). Үүний нэгэн адил, төлөө B = 0 онгоц зэрэгцээ тэнхлэг Өө, болон at C = 0 онгоц тэнхлэгтэй зэрэгцээ Оз.

3. Хэзээ A = D = 0 тэгшитгэл нь тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайг тодорхойлно Үхэртэнхлэгтэй параллель байдаг тул Үхэр (A =D = 0). Үүний нэгэн адил онгоц тэнхлэгээр дамжин өнгөрдөг Өө, мөн тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх онгоц Оз.

4. Хэзээ A = B = 0 тэгшитгэл нь координатын хавтгайтай параллель хавтгайг тодорхойлно xOyтэнхлэгүүдтэй параллель байдаг тул Үхэр (А= 0) ба Өө (Б= 0). Үүний нэгэн адил, онгоц нь хавтгайтай параллель байна yOzмөн онгоц бол онгоц юм xOz.

5. Хэзээ A = B = D = 0 тэгшитгэл (эсвэл z = 0) координатын хавтгайг тодорхойлно xOyучир нь энэ нь хавтгайтай параллель байна xOy (A = B = 0) ба гарал үүслээр дамждаг ( D = 0). Үүний нэгэн адил тэгшитгэл у =Орон зай дахь 0 нь координатын хавтгайг тодорхойлдог xOzба тэгшитгэл x = 0 - координатын хавтгай yOz.

Жишээ 3.Хавтгайн тэгшитгэлийг байгуул Птэнхлэгээр дамжин өнгөрөх Өөба цэг.

Шийдэл. Тиймээс онгоц тэнхлэгээр дамжин өнгөрдөг Өө... Тиймээс түүний тэгшитгэлд y= 0 бөгөөд энэ тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна. Коэффициентийг тодорхойлох Аболон CБид тухайн цэг нь онгоцонд хамаарах баримтыг ашиглах болно П .

Тиймээс, түүний координатуудын дунд хавтгайн тэгшитгэлд орлуулж болох зүйлүүд байдаг бөгөөд үүнийг бид аль хэдийн гаргаж авсан (). Бид цэгийн координатыг дахин харна:

М0 (2; −4; 3) .

Тэдний дунд х = 2 , z= 3. Бид тэдгээрийг ерөнхий тэгшитгэлд орлуулж, тодорхой тохиолдлын тэгшитгэлийг олж авна.

2А + 3C = 0 .

Бид 2-ыг орхино Атэгшитгэлийн зүүн талд 3-ыг хөдөлгө Cбаруун талд, авах

А = −1,5C .

Олдсон утгыг орлуулах Атэгшитгэлд оруулбал бид олж авна

эсвэл .

Энэ бол жишээнүүдийн нөхцөлд шаардлагатай тэгшитгэл юм.

Хавтгайн тэгшитгэлийн асуудлыг өөрөө шийдэж, дараа нь шийдлийг харна уу

Жишээ 4.Хэрэв тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон бол координатын тэнхлэгүүд эсвэл координатын хавтгайтай харьцуулахад хавтгай (эсвэл нэгээс олон бол хавтгай) -ийг тодорхойлно.

Туршилтын цаасан дээр гардаг ердийн асуудлын шийдлүүд - "Хавтгай дээрх асуудлууд: параллелизм, перпендикуляр байдал, нэг цэг дээрх гурван хавтгайн огтлолцол" гарын авлагад.

Гурван цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцны тэгшитгэл

Өмнө дурьдсанчлан, онгоц барихад шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл нь нэг цэг ба хэвийн вектороос гадна нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэг юм.

Нэг шулуун дээр хэвтэхгүй гурван өөр цэг өгье. Эдгээр гурван цэг нь нэг шулуун дээр оршдоггүй тул векторууд нь хоорондоо уялдаа холбоогүй байдаг тул хавтгайн аль ч цэг нь цэгүүдтэй нэг хавтгайд оршдог бөгөөд хэрэв векторууд, ба coplanar, i.e. хэрвээ мөн л бол Эдгээр векторуудын холимог бүтээгдэхүүнтэгтэй тэнцүү байна.

Холимог бүтээгдэхүүний координат дахь илэрхийлэлийг ашиглан бид хавтгайн тэгшитгэлийг олж авна

(3)

Тодорхойлогчийг тодруулсны дараа энэ тэгшитгэл нь (2) хэлбэрийн тэгшитгэл болно, i.e. хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл.

Жишээ 5.Нэг шулуун дээр оршдоггүй өгөгдсөн гурван цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг гарга.

хэрэв байгаа бол шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийн тусгай тохиолдлыг тодорхойлно.

Шийдэл. Томъёогоор (3) бид:

Хавтгайн хэвийн тэгшитгэл. Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зай

Хавтгайн хэвийн тэгшитгэл нь хэлбэрээр бичигдсэн тэгшитгэл юм

Энэ өгүүлэлд бид өгөгдсөн шулуун шугамд перпендикуляр гурван хэмжээст орон зайд өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг хэрхэн бүрдүүлэх талаар ярих болно. Нэгдүгээрт, өгөгдсөн шулуун шугамд перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг олох зарчмыг задлан шинжилж, дараа нь ердийн жишээ, асуудлын шийдлийг нарийвчлан шинжлэх болно.

Хуудасны навигаци.

Өгөгдсөн шулуун шугамд перпендикуляр огторгуйн өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг олох.

Дараахь асуудлыг өөрсөддөө тавъя.

Гурван хэмжээст орон зайд Oxyz-ийг тогтоогоод, цэг өгөгдсөн, а шулуун ба шулуун шугаманд перпендикуляр М 1 цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Эхлээд нэг чухал баримтыг санацгаая.

Ахлах сургуулийн геометрийн хичээлд теорем батлагдсан: нэг хавтгай гурван хэмжээст орон зайд өгөгдсөн цэгээр дамждаг, энэ шулуунд перпендикуляр (энэ теоремын баталгааг 10-11-р ангийн геометрийн сурах бичгээс олж болно. Өгүүллийн төгсгөлд байгаа ном зүйд).

Одоо бид өгөгдсөн шулуун шугамд перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх энэ нэг хавтгайн тэгшитгэлийг хэрхэн олохыг харуулах болно.

Бодлогын өгүүлбэрт хавтгай өнгөрөх M 1 цэгийн x 1, y 1, z 1 координатуудыг бидэнд өгсөн. Дараа нь бид хавтгайн хэвийн векторын координатыг олбол өгөгдсөн шулуун шугамд перпендикуляр өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайд шаардлагатай тэгшитгэлийг гаргаж болно.

Өгөгдсөн шулуун шугамд перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг зурах жишээ.

Сансар огторгуйн өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэл нь өгөгдсөн шулуун шугамд перпендикуляр байх хэд хэдэн жишээнүүдийн шийдлүүдийг авч үзье.

Жишээ.

Oz координатын шулуунд перпендикуляр цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл.

Oz координатын шулууны чиглэлийн вектор нь координатын вектор болох нь ойлгомжтой. Дараа нь тэгшитгэлийг томъёолох шаардлагатай хавтгайн хэвийн вектор координаттай байна. Нэг цэгийг дайран өнгөрөх, координаттай хэвийн вектортой хавтгайн тэгшитгэлийг бичье.
.

Энэ асуудлыг шийдэх хоёр дахь аргыг үзүүлье.

Oz координатын шулуунтай перпендикуляр хавтгай нь үзэгдэх хавтгайд бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэлийг тодорхойлно. Энэ цэгийн координатыг тэгшитгэлд орлуулж, тухайн цэгийг дайран өнгөрөх C ба D утгыг олцгооё. Тиймээс C ба D тоонууд нь харьцаагаар холбогддог. C = 1-ийг авснаар бид D = -5 болно. Олсон C = 1 ба D = -5-ийг тэгшитгэлд орлуулж, Oz шулуунд перпендикуляр, цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайн хүссэн тэгшитгэлийг олж авна. Энэ нь иймэрхүү байна.

Хариулт:

Жишээ.

Эхийг дайран өнгөрөх ба шулуун шугамд перпендикуляр байх хавтгайн тэгшитгэлийг бич .

Шийдэл.

Тэгшитгэлийг нь авах шаардлагатай хавтгай нь шулуун шугамд перпендикуляр байдаг , тэгвэл өгөгдсөн шулуун шугамын чиглэлийн векторыг хавтгайн хэвийн вектор болгон авч болно. Дараа нь ... Цэгээр дамжин өнгөрөх, хэвийн вектортой онгоцны тэгшитгэлийг бичихэд л үлддэг :. Энэ нь өгөгдсөн шулуун шугамын перпендикуляр координатын эхийг дайран өнгөрөх онгоцны хүссэн тэгшитгэл юм.

Хариулт:

.

Жишээ.

Тэгш өнцөгт координатын системд Oxyz, хоёр цэг ба гурван хэмжээст орон зайд өгөгдсөн. Онгоц AB шулуунтай перпендикуляр А цэгийг дайран өнгөрдөг. Хавтгайн тэгшитгэлийг шугамын хэрчмүүдэд бич.

Шийдэл.

Нэг цэгийг дайран өнгөрөх ба хавтгайн хэвийн вектортой хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл , гэж бичнэ.

Энэ нь сегмент дэх онгоцны шаардлагатай тэгшитгэлд шилжих хэвээр байна.

.

Хариулт:

.

Дүгнэж хэлэхэд, өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх, өгөгдсөн хоёр огтлолцох хавтгайд перпендикуляр хавтгайн тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай асуудлууд байгааг бид тэмдэглэж байна. Үнэн хэрэгтээ, огтлолцсон хоёр хавтгай нь шулуун шугамыг тодорхойлдог тул өгөгдсөн шулуун шугамд перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг гаргахад энэ асуудлын шийдэл буурсан болно. Энэ тохиолдолд гол бэрхшээл нь тэгшитгэлийг гаргах шаардлагатай хавтгайн хэвийн векторын координатыг олох үйл явц юм.Тэгвэл a шулуун шугамын чиглэлийн вектор нь дараах байдалтай байна.

Тиймээс вектор a шулуунд перпендикуляр хавтгайн хэвийн вектор. Цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийг бичье ба хэвийн вектортой байна :
.

Энэ нь өгөгдсөн шулуун шугамд перпендикуляр өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайн хүссэн тэгшитгэл юм.

Хариулт:

.

Ном зүй.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдина И.И. Геометр. 7 - 9-р анги: боловсролын байгууллагуудад зориулсан сурах бичиг.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Е.Г. Геометр. Ерөнхий боловсролын сургуулийн 10-11 дүгээр ангийн сурах бичиг.
• Погорелов А.В., Геометр. Боловсролын байгууллагын 7-11-р ангийн сурах бичиг.
• Бугров Ю.С., Никольский С.М. Дээд математик. Нэгдүгээр боть: Шугаман алгебр ба аналитик геометрийн элементүүд.
• Ильин В.А., Позняк Е.Г. Аналитик геометр.

Энэ нийтлэл нь өгөгдсөн шулуун шугамд перпендикуляр гурван хэмжээст орон зайд өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг хэрхэн бичих тухай санааг өгдөг. Өгөгдсөн алгоритмыг ердийн асуудлыг шийдэх жишээн дээр шинжилье.

Өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр огторгуйн өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг олох

Гурван хэмжээст орон зай ба тэгш өнцөгт координатын систем O x y z өгөгдсөн байг. М 1 цэг (x 1, y 1, z 1), шулуун a шулуун ба М 1 цэгийг дайран өнгөрөх α хавтгай a шулуунд перпендикуляр байна. α хавтгайн тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Энэ асуудлыг шийдэж эхлэхээсээ өмнө 10-11-р ангийн хөтөлбөрөөс геометрийн теоремыг эргэн санацгаая.

Тодорхойлолт 1

Заасан шулуун шугамд перпендикуляр нэг хавтгай гурван хэмжээст орон зайд өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрдөг.

Одоо анхны цэгийг дайран өнгөрөх, өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр байх энэ нэг хавтгайн тэгшитгэлийг хэрхэн олохыг авч үзье.

Энэ хавтгайд хамаарах цэгийн координатууд, мөн хавтгайн хэвийн векторын координатууд мэдэгдэж байвал онгоцны ерөнхий тэгшитгэлийг бичих боломжтой.

Бодлогын нөхцөл нь α хавтгай өнгөрөх M 1 цэгийн x 1, y 1, z 1 координатуудыг бидэнд өгдөг. Хэрэв бид α хавтгайн хэвийн векторын координатыг тодорхойлох юм бол бид хүссэн тэгшитгэлээ бичиж болно.

α хавтгайд перпендикуляр а шулуун дээр байрлах тул α хавтгайн хэвийн вектор нь а шулууны дурын чиглэлийн вектор байх болно. Тэгэхээр α хавтгайн хэвийн векторын координатыг олох бодлого нь а шулууны чиглүүлэгч векторын координатыг тодорхойлох бодлого болж хувирав.

Шулуун шугамын чиглүүлэгч векторын координатыг тодорхойлохдоо янз бүрийн аргаар хийж болно: энэ нь эхний нөхцөлд шулуун шугамыг a-г тодорхойлох хувилбараас хамаарна. Жишээлбэл, хэрэв асуудлын өгүүлбэр дэх шулуун шугамыг а хэлбэрийн каноник тэгшитгэлээр өгсөн бол

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

эсвэл хэлбэрийн параметрийн тэгшитгэлүүд:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

тэгвэл шулуун шугамын чиглүүлэх вектор нь a x, a y, a z координатуудтай болно. А шулуун шугамыг М 2 (x 2, y 2, z 2) ба М 3 (x 3, y 3, z 3) гэсэн хоёр цэгээр дүрсэлсэн тохиолдолд чиглэлийн векторын координатыг дараах байдлаар тодорхойлно. (x3 - x2, y3 - y2 , z3 - z2).

Тодорхойлолт 2

Өгөгдсөн шулуун шугамд перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг олох алгоритм:

a шулуун шугамын чиглэлийн векторын координатыг тодорхойл. a → = (a x, a y, a z) ;

α хавтгайн хэвийн векторын координатыг a шулууны чиглэлийн векторын координатаар тодорхойлно.

n → = (A, B, C), хаана A = a x, B = a y, C = a z;

М 1 (x 1, y 1, z 1) цэгийг дайран өнгөрөх, хэвийн вектортой хавтгайн тэгшитгэлийг бичнэ. n → = (A, B, C) A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 хэлбэрээр. Энэ нь огторгуйн өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх ба өгөгдсөн шулуун шугамд перпендикуляр байх хавтгайд шаардлагатай тэгшитгэл байх болно.

Үүний үр дүнд хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 нь сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэл эсвэл хавтгайн хэвийн тэгшитгэлийг авах боломжтой болгодог.

Дээр олж авсан алгоритмыг ашиглан цөөн хэдэн жишээг шийдье.

Жишээ 1

M 1 (3, - 4, 5) цэг өгөгдсөн бөгөөд түүгээр хавтгай өнгөрөх ба энэ хавтгай нь координатын шугам O z-тэй перпендикуляр байна.

Шийдэл

координатын шулууны чиглэлийн вектор O z нь координатын вектор k ⇀ = (0, 0, 1) болно. Иймээс хавтгайн хэвийн вектор нь координаттай (0, 0, 1) байна. Норматив вектор нь координат (0, 0, 1) байх өгөгдсөн M 1 (3, - 4, 5) цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг бичье.

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Хариулт: z - 5 = 0.

Энэ асуудлыг шийдэх өөр аргыг авч үзье:

Жишээ 2

O z шулуунд перпендикуляр байгаа хавтгайг C z + D = 0, C ≠ 0 хэлбэрийн хавтгайн бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэлээр өгнө. C ба D утгуудыг тодорхойлъё: онгоц өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх утгууд. Энэ цэгийн координатыг C z + D = 0 тэгшитгэлд орлуулаад бид: C · 5 + D = 0 болно. Тэдгээр. тоонууд, C ба D нь харьцаагаар хамааралтай - D C = 5. C = 1-ийг авснаар бид D = - 5 болно.

Эдгээр утгыг C z + D = 0 тэгшитгэлд орлуулж, O z шулуун шугамд перпендикуляр, M 1 (3, - 4, 5) цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн шаардлагатай тэгшитгэлийг олоорой.

Энэ нь дараах байдлаар харагдах болно: z - 5 = 0.

Хариулт: z - 5 = 0.

Жишээ 3

Хавтгайг гарал үүслээр ба шулуунд перпендикуляр тэгшитгээрэй x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Шийдэл

Асуудлын нөхцөл дээр үндэслэн өгөгдсөн шулуун шугамын чиглэлийн векторыг өгөгдсөн хавтгайн n → хэвийн вектор болгон авч болно гэж үзэж болно. Тиймээс: n → = (- 3, - 7, 2). О (0, 0, 0) цэгийг дайран өнгөрөх, n → = (- 3, - 7, 2) хэвийн вектортой хавтгайн тэгшитгэлийг бичье.

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Өгөгдсөн шулуун шугамын перпендикуляр эхийг дайран өнгөрөх онгоцны шаардлагатай тэгшитгэлийг бид олж авсан.

Хариулт:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Жишээ 4

Гурван хэмжээст орон зайд тэгш өнцөгт координатын систем O x y z өгөгдсөн бөгөөд дотор нь A (2, - 1, - 2) ба B (3, - 2, 4) гэсэн хоёр цэг байдаг. α хавтгай нь А шулуунд перпендикуляр А цэгийг дайран өнгөрдөг B. α хавтгайн тэгшитгэлийг хэрчмүүдэд томъёолох шаардлагатай.

Шийдэл

α хавтгай нь А В шулуунд перпендикуляр байвал А В → вектор нь α хавтгайн хэвийн вектор болно. Энэ векторын координатыг B (3, - 2, 4) ба А (2, - 1, - 2) цэгүүдийн харгалзах координатуудын зөрүүгээр тодорхойлно.

A B → = (3 - 2, - 2 - (- 1), 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1, - 1, 6)

Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ.

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Одоо онгоцны шаардлагатай тэгшитгэлийг сегментээр байгуулъя.

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Хариулт:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх, өгөгдсөн хоёр хавтгайд перпендикуляр хавтгайн тэгшитгэлийг бичих шаардлага тавигддаг асуудлууд байдгийг бас тэмдэглэх нь зүйтэй. Ерөнхийдөө энэ асуудлын шийдэл нь өгөгдсөн шулуун шугамд перпендикуляр өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайд тэгшитгэл үүсгэх явдал юм. огтлолцсон хоёр хавтгай шулуун шугамыг тодорхойлно.

Жишээ 5

Тэгш өнцөгт координатын систем O x y z өгөгдсөн бөгөөд үүнд M 1 (2, 0, - 5) цэг байна. a шулууны дагуу огтлолцох 3 x + 2 y + 1 = 0 ба x + 2 z - 1 = 0 хоёр хавтгайн тэгшитгэлийг мөн өгөв. А шулуунд перпендикуляр М 1 цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайд тэгшитгэл зохиох шаардлагатай.

Шийдэл

a шулуун шугамын чиглэлийн векторын координатыг тодорхойлъё. Энэ нь n → (1, 0, 2) хавтгайн n 1 → (3, 2, 0) хэвийн вектор ба x + 2 хавтгайн хэвийн вектор 3 x + 2 у + 1 = 0 хоёуланд нь перпендикуляр байна. z - 1 = 0.

Дараа нь n 1 → ба n 2 → векторуудын вектор үржвэрийг α → a мөрийн чиглэлийн вектор болгон авна.

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4, - 6, - 2 )

Ийнхүү n → = (4, - 6, - 2) вектор нь а шулуунд перпендикуляр хавтгайн хэвийн вектор болно. Онгоцны шаардлагатай тэгшитгэлийг бичье.

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 у - z - 9 = 0

Хариулт: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг сонгоод Ctrl + Enter дарна уу

Хэрэв A, B, C, D бүх тоонууд тэгээс ялгаатай бол хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлийг гэнэ. бүрэн... Үгүй бол онгоцны ерөнхий тэгшитгэлийг нэрлэнэ бүрэн бус.

Гурван хэмжээст орон зайд тэгш өнцөгт координатын Oxyz систем дэх хавтгайн бүх боломжит ерөнхий бүрэн бус тэгшитгэлийг авч үзье.

D = 0 гэж үзье, тэгвэл бид хэлбэрийн хавтгайн ерөнхий бүрэн бус тэгшитгэлтэй болно. Тэгш өнцөгт координатын системийн Oxyz дээрх энэ хавтгай нь эх үүсвэрээр дамждаг. Үнэн хэрэгтээ, үүссэн хавтгайн бүрэн бус тэгшитгэлд цэгийн координатыг орлуулах үед бид ижил төстэй байдалд хүрнэ.

At, эсвэл, эсвэл бидэнд хавтгайнуудын ерөнхий бүрэн бус тэгшитгэлүүд байна, эсвэл, эсвэл. Эдгээр тэгшитгэлүүд нь Oxy, Oxz ба Oyz координатын хавтгайтай параллель (хавтгайн параллелизмын нөхцлийн өгүүллийг үзнэ үү) ба цэгүүдийг дайран өнгөрөх онгоцуудыг тодорхойлдог. мөн үүний дагуу. At. Гол цэгээс хойш нөхцөлөөр хавтгайд хамаарах бол энэ цэгийн координатууд нь хавтгайн тэгшитгэлийг хангах ёстой, өөрөөр хэлбэл тэгш байдал нь үнэн байх ёстой. Эндээс бид олдог. Тиймээс шаардлагатай тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна.

Энэ асуудлыг шийдэх хоёр дахь арга зам энд байна.

Бидний ерөнхий тэгшитгэлийг бүрдүүлэх шаардлагатай хавтгай нь Ойз хавтгайтай параллель байгаа тул түүний хэвийн вектор болгон бид Oyz хавтгайн хэвийн векторыг авч болно. Ойз координатын хавтгайн хэвийн вектор нь координатын вектор юм. Одоо бид онгоцны хэвийн вектор ба онгоцны цэгийг мэдэж байгаа тул түүний ерөнхий тэгшитгэлийг бичиж болно (бид энэ зүйлийн өмнөх догол мөрөнд ижил төстэй асуудлыг шийдсэн):
, тэгвэл түүний координатууд нь онгоцны тэгшитгэлийг хангах ёстой. Тиймээс тэгш байдал бид хаанаас олох. Одоо бид онгоцны хүссэн ерөнхий тэгшитгэлийг бичиж болно, энэ нь хэлбэртэй байна.

Хариулт:

Ном зүй.

• Бугров Ю.С., Никольский С.М. Дээд математик. Нэгдүгээр боть: Шугаман алгебр ба аналитик геометрийн элементүүд.
• Ильин В.А., Позняк Е.Г. Аналитик геометр.

ОНГОЦ ХООРОНДЫН ӨНЦӨГ

Тэгшитгэлээр өгөгдсөн α 1 ба α 2 гэсэн хоёр хавтгайг авч үзье.

Доод өнцөгхоёр хавтгайн хооронд бид эдгээр хавтгайнуудаас үүссэн хоёр талт өнцгүүдийн нэгийг хэлнэ. Хэвийн векторууд ба α 1 ба α 2 хавтгайн хоорондох өнцөг нь заасан зэргэлдээ хоёр талт өнцгүүдийн аль нэгтэй тэнцүү байх нь ойлгомжтой. ... Тийм ч учраас ... Учир нь болон , дараа нь

.

Жишээ.Онгоц хоорондын өнцгийг тодорхойлно уу х+2y-3z+ 4 = 0 ба 2 х+3y+z+8=0.

Хоёр хавтгайн параллелизмын нөхцөл.

Хоёр хавтгай α 1 ба α 2 нь зөвхөн тэдгээрийн хэвийн векторууд зэрэгцээ байвал зэрэгцээ байна. .

Тиймээс, харгалзах координат дээрх коэффициентүүд пропорциональ байвал хоёр хавтгай бие биетэйгээ параллель байна.

эсвэл

Хавтгайнуудын перпендикуляр байдлын нөхцөл.

Хоёр хавтгай нь хэвийн векторууд нь перпендикуляр байвал перпендикуляр байх нь ойлгомжтой, тиймээс, эсвэл.

Ийнхүү, .

Жишээ.

САНСАР ШУУД.

Вектор шугамын тэгшитгэл.

Шугамын параметрийн тэгшитгэл

Шулуун шугамын орон зай дахь байрлал нь түүний тогтмол цэгүүдийн аль нэгийг зааж өгснөөр бүрэн тодорхойлогддог М 1 ба энэ шулуунтай параллель вектор.

Шулуун шугамтай параллель векторыг нэрлэдэг чиглүүлэхэнэ шугамын вектор.

Тиймээс шулуун байцгаая лцэгээр дамждаг М 1 (х 1 , y 1 , z 1) вектортой параллель шулуун шугам дээр хэвтэж байна.

Дурын цэгийг авч үзье M (x, y, z)шулуун шугам дээр. Зураг нь үүнийг харуулж байна .

Векторууд ба коллинеар тул ийм тоо байна т, юу вэ, хүчин зүйл хаана байна тцэгийн байрлалаас хамааран ямар ч тоон утгыг авч болно Мшулуун шугам дээр. Хүчин зүйл тпараметр гэж нэрлэдэг. Цэгүүдийн радиус векторуудыг тэмдэглэж байна М 1 ба Мдамжуулан болон, бид авах. Энэ тэгшитгэл гэж нэрлэдэг векторшулуун шугамын тэгшитгэл. Энэ нь параметрийн утга бүрийн хувьд гэдгийг харуулж байна тзарим цэгийн радиус вектортой тохирч байна Мшулуун шугам дээр хэвтэж байна.

Энэ тэгшитгэлийг координат хэлбэрээр бичье. Анхаарна уу, мөн эндээс

Үүссэн тэгшитгэлийг нэрлэнэ параметрийншулуун шугамын тэгшитгэл.

Параметрийг өөрчлөх үед ткоординатууд өөрчлөгдөнө х, yболон zба цэг Мшулуун шугамаар хөдөлдөг.

Каноник шулуун тэгшитгэлүүд

Байцгаая М 1 (х 1 , y 1 , z 1) шулуун шугам дээр байрлах цэг юм л, ба Энэ нь түүний чиглэлийн вектор юм. Дахин хэлэхэд шулуун шугамын дурын цэгийг ав M (x, y, z)ба векторыг авч үзье.

Векторууд ба коллинеар байх нь тодорхой тул тэдгээрийн харгалзах координатууд нь пропорциональ байх ёстой.

– каноникшулуун шугамын тэгшитгэл.

Тайлбар 1.Шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг параметрийг хасах замаар параметрийн тэгшитгэлээс олж авч болохыг анхаарна уу. т... Үнэн хэрэгтээ бид параметрийн тэгшитгэлээс олж авдаг эсвэл .

Жишээ.Шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич параметрийн хэлбэрээр.

Бид тэмдэглэж байна , эндээс х = 2 + 3т, y = –1 + 2т, z = 1 –т.

Тайлбар 2.Шулуун шугамыг координатын тэнхлэгүүдийн аль нэгэнд, жишээлбэл, тэнхлэгт перпендикуляр болго Үхэр... Дараа нь чиглүүлэх вектор перпендикуляр байна Үхэр, тиймээс, м= 0. Үүний үр дүнд шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна

Тэгшитгэлээс параметрийг хасах т, бид шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэлбэрээр олж авна

Гэсэн хэдий ч энэ тохиолдолд бид шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг албан ёсоор хэлбэрээр бичихийг зөвшөөрч байна ... Тиймээс хэрэв аль нэг бутархайн хуваагч тэг байвал энэ нь шугам нь харгалзах координатын тэнхлэгт перпендикуляр байна гэсэн үг юм.

Үүнтэй адилаар каноник тэгшитгэлүүд тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугамтай тохирч байна Үхэрболон Өөэсвэл тэнхлэгтэй зэрэгцээ Оз.

Жишээ.

ХОЁР ХАВТГАЛЫН УУЛЗАЛТЫН ШУГАМ ГЭДЭГ ЕРӨНХИЙ ТЭГШИЖИЛТ

Сансар огторгуйн шулуун шугам бүрээр тоо томшгүй олон тооны онгоц өнгөрдөг. Тэдгээрийн аль ч хоёр нь огтлолцож, түүнийг орон зайд тодорхойлдог. Иймээс аль нэг ийм хоёр хавтгайн тэгшитгэлийг хамтад нь авч үзвэл энэ шулуун шугамын тэгшитгэлийг илэрхийлнэ.

Ерөнхийдөө ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөн аль ч хоёр зэрэгцээ бус хавтгай

тэдгээрийн огтлолцлын шугамыг тодорхойлно. Эдгээр тэгшитгэлийг нэрлэдэг ерөнхий тэгшитгэлЧигээрээ.

Жишээ.

Тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуун шугамыг байгуул

Шулуун шугам барихын тулд түүний дурын хоёр цэгийг олоход хангалттай. Хамгийн хялбар арга бол координатын хавтгайтай шугамын огтлолцох цэгүүдийг сонгох явдал юм. Жишээлбэл, онгоцтой огтлолцох цэг xOyБид шулуун шугамын тэгшитгэлээс олж авдаг, тохиргоо z= 0:

Энэ системийг шийдсэний дараа бид цэгийг олдог М 1 (1;2;0).

Үүнтэй адилаар тохиргоо y= 0, бид шулуун шугамын хавтгайтай огтлолцох цэгийг авна xOz:

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлээс та түүний каноник эсвэл параметрийн тэгшитгэл рүү очиж болно. Үүнийг хийхийн тулд та тодорхой цэгийг олох хэрэгтэй МШугаман дээрх 1 ба шугамын чиглэлийн вектор.

Цэгийн координат МЭнэ тэгшитгэлийн системээс координатуудын аль нэгэнд дурын утгыг оноож 1-ийг авна. Чиглэлийн векторыг олохын тулд энэ вектор хоёр хэвийн векторт перпендикуляр байх ёстойг анхаарна уу болон ... Тиймээс шулуун шугамын чиглүүлэх векторын ард лБид хэвийн векторуудын хөндлөн үржвэрийг авч болно:

.

Жишээ.Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өг канон хэлбэр рүү.

Шулуун шугам дээрх цэгийг ол. Үүнийг хийхийн тулд бид координатуудын аль нэгийг дур мэдэн сонгоно, жишээлбэл, y= 0 ба тэгшитгэлийн системийг шийд:

Шулуун шугамыг тодорхойлох хавтгайн хэвийн векторууд координаттай байдаг Тиймээс шулуун шугамын чиглүүлэх вектор нь байх болно

... Тиймээс, л: .

ШУУД ХООРОНДЫН ӨНЦӨГ

БуланОрон зайн шулуун шугамуудын хооронд бид өгөгдөлтэй параллель дурын цэгээр татсан хоёр шулуун шугамаас үүссэн зэргэлдээх өнцгүүдийн аль нэгийг нэрлэх болно.

Орон зайд хоёр шулуун шугам өгье.

Шулуун шугамын хоорондох өнцгийг тэдгээрийн чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөг гэж авч болох нь ойлгомжтой. Үүнээс хойш векторуудын хоорондох өнцгийн косинусын томъёоны дагуу бид олж авна

Өмнөх нийтлэл: Хоолойн үрэвсэлт өвчин Дараагийн нийтлэл: Гэрийн нөхцөлд гүйлсэн булчирхайг хэрхэн эмчлэх вэ?