Equazione di un piano passante per tre punti. Equazione piana: come comporre? Tipi di equazioni piane Equazione piana passante per un punto perpendicolare ad un vettore

Per ottenere l'equazione generale del piano, analizziamo il piano passante per un dato punto.

Lascia che ci siano tre assi di coordinate già a noi noti nello spazio - Bue, Ehi e Oz... Teniamo il foglio di carta in modo che rimanga piatto. L'aereo sarà il foglio stesso e la sua continuazione in tutte le direzioni.

Permettere P un piano arbitrario nello spazio. Viene chiamato qualsiasi vettore perpendicolare ad esso vettore normale a questo aereo. Naturalmente, stiamo parlando di un vettore diverso da zero.

Se si conosce un punto qualsiasi del piano P e qualche vettore normale ad esso, allora da queste due condizioni il piano nello spazio è completamente definito(attraverso un dato punto, puoi disegnare un singolo piano perpendicolare a questo vettore). L'equazione generale del piano sarà:

Quindi, ci sono condizioni che definiscono l'equazione del piano. Per ottenere me stesso equazione piana, che ha la forma sopra, prendiamo l'aereo P arbitrario punto m con coordinate variabili X, y, z... Questo punto appartiene al piano solo se vettore perpendicolare al vettore(Fig. 1). Per questo, a seconda della condizione di perpendicolarità dei vettori, è necessario e sufficiente che il prodotto scalare di questi vettori sia uguale a zero, cioè

Il vettore è specificato dalla condizione. Troviamo le coordinate del vettore con la formula :

Ora usando la formula del prodotto a punti vettoriali , esprimiamo il prodotto scalare in forma coordinata:

Dal momento che il punto M (x; y; z) viene scelto arbitrariamente sul piano, quindi l'ultima equazione è soddisfatta dalle coordinate di qualsiasi punto giacente sul piano P... Per punto n non sdraiato su un dato piano, cioè l'uguaglianza (1) è violata.

Esempio 1. Uguaglia un piano passante per un punto e perpendicolare a un vettore.

Soluzione. Usiamo la formula (1), diamo un'altra occhiata:

In questa formula, i numeri UN , B e C le coordinate del vettore e i numeri X0 , y0 e z0 - coordinate del punto.

I calcoli sono molto semplici: sostituiamo questi numeri nella formula e otteniamo

Moltiplichiamo tutto ciò che deve essere moltiplicato e aggiungiamo solo i numeri (che sono senza lettere). Risultato:

L'equazione del piano richiesta in questo esempio si è rivelata espressa dall'equazione generale di primo grado rispetto alle coordinate variabili x, y, z punto arbitrario del piano.

Quindi, un'equazione della forma

chiamato equazione generale del piano .

Esempio 2. Costruisci in un sistema di coordinate cartesiane rettangolare il piano dato dall'equazione .

Soluzione. Per costruire un piano, è necessario e sufficiente conoscere tre punti qualsiasi che non giacciono su una retta, ad esempio i punti di intersezione del piano con gli assi delle coordinate.

Come trovi questi punti? Per trovare il punto di intersezione con un asse Oz, devi sostituire gli zeri nell'equazione data nell'istruzione del problema invece di x e gioco: X = y= 0. Quindi otteniamo z= 6. Pertanto, il piano dato interseca l'asse Oz al punto UN(0; 0; 6) .

Allo stesso modo, troviamo il punto di intersezione del piano con l'asse Ehi... A X = z= 0 otteniamo y= −3, cioè il punto B(0; −3; 0) .

Infine, troviamo il punto di intersezione del nostro piano con l'asse Bue... A y = z= 0 otteniamo X= 2, cioè punto C(2; 0; 0). Per i tre punti ottenuti nella nostra soluzione UN(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) e C(2; 0; 0) costruisce il piano dato.

Considera ora casi speciali dell'equazione generale del piano... Questi sono i casi in cui alcuni coefficienti dell'equazione (2) svaniscono.

1. Quando D = 0 equazione definisce il piano passante per l'origine, a partire dalle coordinate del punto 0 (0; 0; 0) soddisfa questa equazione.

2. Quando A = 0 equazione definisce un piano parallelo all'asse Bue, poiché il vettore normale di questo piano è perpendicolare all'asse Bue(la sua proiezione sull'asse Bueè zero). Allo stesso modo, per B = 0 aereo asse parallelo Ehi, e a C = 0 aereo parallelo all'asse Oz.

3. Quando A = D = 0 l'equazione definisce il piano passante per l'asse Bue poiché è parallelo all'asse Bue (A =D = 0). Allo stesso modo, l'aereo passa per l'asse Ehi, e il piano passante per l'asse Oz.

4. Quando A = B = 0 l'equazione definisce un piano parallelo al piano delle coordinate xOy poiché è parallelo agli assi Bue (UN= 0) e Ehi (B= 0). Allo stesso modo, il piano è parallelo al piano yOz e l'aereo è l'aereo xOz.

5. Quando A = B = D = 0 equazione (o z = 0) definisce il piano delle coordinate xOy poiché è parallelo al piano xOy (A = B = 0) e passa per l'origine ( D = 0). Allo stesso modo, l'equazione y = 0 nello spazio definisce il piano delle coordinate xOz e l'equazione x = 0 - piano delle coordinate yOz.

Esempio 3. Componi l'equazione del piano P passando per l'asse Ehi e punto.

Soluzione. Quindi l'aereo passa per l'asse Ehi... Pertanto, nella sua equazione y= 0 e questa equazione ha la forma. Per determinare i coefficienti UN e C useremo il fatto che il punto appartiene al piano P .

Pertanto, tra le sue coordinate ci sono quelle che possono essere sostituite nell'equazione del piano, che abbiamo già derivato (). Guardiamo ancora le coordinate del punto:

m0 (2; −4; 3) .

Tra loro X = 2 , z= 3. Li sostituiamo nell'equazione generale e otteniamo l'equazione per il nostro caso particolare:

2UN + 3C = 0 .

Lasciamo 2 UN sul lato sinistro dell'equazione, sposta 3 C a destra e prendi

UN = −1,5C .

Sostituendo il valore trovato UN nell'equazione, otteniamo

o .

Questa è l'equazione richiesta nella condizione di esempio.

Risolvi tu stesso il problema sulle equazioni dell'aereo, quindi vedi la soluzione

Esempio 4. Definire un piano (o piani, se più di uno) relativo agli assi delle coordinate o ai piani delle coordinate se il piano o i piani sono specificati da un'equazione.

Soluzioni a problemi tipici che si verificano sulle carte di prova - nel manuale "Problemi sul piano: parallelismo, perpendicolarità, intersezione di tre piani in un punto".

Equazione di un piano passante per tre punti

Come già accennato, condizione necessaria e sufficiente per costruire un piano, oltre ad un punto ed un vettore normale, sono anche tre punti che non giacciono su una retta.

Siano dati tre punti diversi, e non giacenti su una retta. Poiché questi tre punti non giacciono su una retta, i vettori e non sono collineari, e quindi ogni punto del piano giace nello stesso piano dei punti, e se e solo se i vettori, e complanare, cioè se e solo se prodotto misto di questi vettoriè uguale a zero.

Usando l'espressione del prodotto misto in coordinate, otteniamo l'equazione del piano

(3)

Dopo la rivelazione del determinante, questa equazione diventa un'equazione della forma (2), cioè equazione generale del piano.

Esempio 5. Fare un'equazione per un piano passante per tre punti dati che non giacciono su una retta:

e determinare un caso speciale dell'equazione generale di una retta, se presente.

Soluzione. Per la formula (3) abbiamo:

Equazione normale del piano. Distanza dal punto al piano

L'equazione normale di un piano è la sua equazione scritta nella forma

In questo articolo parleremo di come comporre l'equazione di un piano passante per un dato punto nello spazio tridimensionale perpendicolare a una data retta. In primo luogo, analizzeremo il principio di trovare l'equazione di un piano passante per un dato punto perpendicolare a una determinata retta, dopodiché analizzeremo in dettaglio le soluzioni di esempi e problemi tipici.

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Trovare l'equazione del piano passante per un dato punto nello spazio perpendicolare a una data retta.

Poniamoci il seguente problema.

Sia Oxyz fissato nello spazio tridimensionale, è dato un punto, una retta a e si richiede di scrivere l'equazione di un piano passante per il punto М 1 perpendicolare alla retta a.

Ricordiamo prima un fatto importante.

Nelle lezioni di geometria al liceo si dimostra un teorema: un solo piano passa per un dato punto nello spazio tridimensionale, perpendicolare a questa retta (la dimostrazione di questo teorema si trova nel libro di geometria per le classi 10-11, indicato nella bibliografia a fine articolo).

Ora mostreremo come trovare l'equazione di questo singolo piano passante per un dato punto perpendicolare ad una data retta.

Nella proposizione del problema, ci vengono fornite le coordinate x 1, y 1, z 1 del punto M 1 attraverso il quale passa il piano. Quindi, se troviamo le coordinate del vettore normale del piano, possiamo elaborare l'equazione richiesta per un piano passante per un dato punto perpendicolare a una data retta.

Esempi di elaborazione dell'equazione di un piano passante per un dato punto perpendicolare a una data retta.

Considera le soluzioni di diversi esempi in cui l'equazione di un piano passante per un dato punto nello spazio è perpendicolare a una data retta.

Esempio.

Scrivi l'equazione di un piano che passa per un punto ed è perpendicolare alla linea di coordinate Oz.

Soluzione.

Il vettore di direzione della linea di coordinate Oz è ovviamente il vettore di coordinate. Quindi il vettore normale del piano, l'equazione di cui dobbiamo formulare, ha coordinate. Scriviamo l'equazione di un piano passante per un punto e avente un vettore normale con coordinate:
.

Mostriamo il secondo modo per risolvere questo problema.

Il piano perpendicolare alla linea delle coordinate Oz definisce un'equazione generale incompleta per il piano della vista. Troviamo i valori di C e D, in cui il piano passa per il punto, sostituendo le coordinate di questo punto nell'equazione:. Pertanto, i numeri C e D sono correlati dal rapporto. Prendendo C = 1, otteniamo D = -5. Sostituiamo nell'equazione il trovato C = 1 e D = -5 e otteniamo l'equazione desiderata del piano perpendicolare alla retta Oz e passante per il punto. Sembra.

Risposta:

Esempio.

Scrivi l'equazione di un piano che passa per l'origine ed è perpendicolare a una retta .

Soluzione.

Poiché il piano di cui dobbiamo ottenere l'equazione è perpendicolare alla retta , allora il vettore di direzione di una data retta può essere preso come vettore normale del piano. Poi ... Resta da scrivere l'equazione del piano passante per un punto e avente un vettore normale :. Questa è l'equazione desiderata del piano passante per l'origine delle coordinate perpendicolari a una data retta.

Risposta:

Esempio.

Nel sistema di coordinate rettangolare Oxyz, due punti e sono dati nello spazio tridimensionale. Il piano passa per il punto A perpendicolare alla retta AB. Scrivi l'equazione del piano in segmenti di linea.

Soluzione.

Equazione generale di un piano passante per un punto e avente un vettore normale del piano , sarà scritto come.

Resta da passare all'equazione richiesta del piano in segmenti:

.

Risposta:

In conclusione, notiamo che ci sono problemi in cui è necessario scrivere l'equazione di un piano passante per un dato punto e perpendicolare a due dati piani intersecanti. Infatti, la soluzione a questo problema si riduce a elaborare l'equazione di un piano passante per un dato punto perpendicolare ad una data retta, poiché due piani intersecanti definiscono una retta. In questo caso, la difficoltà principale è il processo di ricerca delle coordinate del vettore normale del piano, la cui equazione deve essere redatta, quindi il vettore di direzione della retta a è e:

Pertanto, il vettore è il vettore normale del piano perpendicolare alla retta a. Scriviamo l'equazione del piano passante per il punto e avendo un vettore normale :
.

Questa è l'equazione desiderata di un piano passante per un dato punto perpendicolare a una data retta.

Risposta:

Bibliografia.

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev SB, Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometria. Classi 7 - 9: un libro di testo per le istituzioni educative.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev SB, Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Un libro di testo per le classi 10-11 della scuola secondaria.
Pogorelov AV, Geometria. Libro di testo per i gradi 7-11 delle istituzioni educative.
Bugrov YS, Nikolsky SM Matematica superiore. Volume uno: Elementi di algebra lineare e geometria analitica.
Ilyin VA, Poznyak E.G. Geometria analitica.

Questo articolo dà un'idea di come scrivere l'equazione di un piano passante per un dato punto nello spazio tridimensionale perpendicolare a una data retta. Analizziamo l'algoritmo dato usando l'esempio della risoluzione di problemi tipici.

Trovare l'equazione di un piano passante per un dato punto nello spazio perpendicolare a una data retta

Sia dato uno spazio tridimensionale e un sistema di coordinate rettangolare O x y z in esso. Sono inoltre indicati il punto М 1 (x 1, y 1, z 1), la retta a e il piano α passante per il punto М 1 perpendicolare alla retta a. È necessario scrivere l'equazione del piano α.

Prima di iniziare a risolvere questo problema, ricordiamo il teorema di geometria del programma delle classi 10-11, che recita:

Definizione 1

Un singolo piano perpendicolare alla retta specificata passa per un dato punto nello spazio tridimensionale.

Consideriamo ora come trovare l'equazione di questo singolo piano passante per il punto originale e perpendicolare alla retta data.

È possibile scrivere l'equazione generale di un piano se si conoscono le coordinate di un punto appartenente a tale piano, nonché le coordinate del vettore normale del piano.

La condizione del problema ci fornisce le coordinate x 1, y 1, z 1 del punto M 1, attraverso il quale passa il piano α. Se determiniamo le coordinate del vettore normale del piano α, allora saremo in grado di scrivere l'equazione desiderata.

Il vettore normale del piano α, poiché è diverso da zero e giace sulla retta a perpendicolare al piano α, sarà un qualsiasi vettore di direzione della retta a. Quindi, il problema di trovare le coordinate del vettore normale del piano α si trasforma nel problema di determinare le coordinate del vettore direzionale della retta a.

La determinazione delle coordinate del vettore direttivo della retta a può essere effettuata con diversi metodi: dipende dalla variante di specificare la retta a nelle condizioni iniziali. Ad esempio, se la retta a nell'enunciato del problema è data da equazioni canoniche della forma

x - x 1 un x = y - y 1 un y = z - z 1 un z

o equazioni parametriche della forma:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

allora il vettore di direzione della retta avrà coordinate ax, ay e az. Nel caso in cui la retta a sia rappresentata da due punti М 2 (x 2, y 2, z 2) e М 3 (x 3, y 3, z 3), allora le coordinate del vettore di direzione saranno definite come (x3 - x2, y3 - y2 , z3 - z2).

Definizione 2

Algoritmo per trovare l'equazione di un piano passante per un dato punto perpendicolare ad una data retta:

Determinare le coordinate del vettore di direzione della retta a: a → = (a x, a y, a z) ;

Determiniamo le coordinate del vettore normale del piano α come coordinate del vettore di direzione della retta a:

n → = (A, B, C), dove A = una x, B = una y, C = una z;

Scriviamo l'equazione del piano passante per il punto М 1 (x 1, y 1, z 1) e avente un vettore normale n → = (LA, B, C) nella forma A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Questa sarà l'equazione richiesta di un piano che passa per un dato punto nello spazio ed è perpendicolare a una data retta.

L'equazione generale risultante del piano: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 permette di ottenere l'equazione del piano in segmenti o l'equazione normale del piano.

Risolviamo alcuni esempi usando l'algoritmo ottenuto sopra.

Esempio 1

Viene fornito un punto M 1 (3, - 4, 5), attraverso il quale passa il piano, e questo piano è perpendicolare alla linea di coordinate O z.

Soluzione

il vettore di direzione della linea di coordinate O z sarà il vettore di coordinate k ⇀ = (0, 0, 1). Pertanto, il vettore normale del piano ha coordinate (0, 0, 1). Scriviamo l'equazione del piano passante per un dato punto M 1 (3, - 4, 5), il cui vettore normale ha coordinate (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Risposta: z - 5 = 0.

Consideriamo un altro modo per risolvere questo problema:

Esempio 2

Un piano perpendicolare alla retta O z sarà dato da un'equazione generale incompleta del piano della forma C z + D = 0, C ≠ 0. Definiamo i valori di C e D: quelli in cui il piano passa per un dato punto. Sostituendo le coordinate di questo punto nell'equazione C z + D = 0, otteniamo: C · 5 + D = 0. Quelli. numeri, C e D sono correlati dal rapporto - D C = 5. Prendendo C = 1, otteniamo D = - 5.

Sostituisci questi valori nell'equazione C z + D = 0 e ottieni l'equazione richiesta del piano perpendicolare alla retta O z e passante per il punto M 1 (3, - 4, 5).

Sembrerà: z - 5 = 0.

Risposta: z - 5 = 0.

Esempio 3

Uguaglia il piano passante per l'origine e perpendicolare alla retta x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Soluzione

Sulla base delle condizioni del problema, si può argomentare che il vettore di direzione di una data retta può essere preso come un vettore normale n → di un dato piano. Quindi: n → = (- 3, - 7, 2). Scriviamo l'equazione del piano passante per il punto O (0, 0, 0) e avente un vettore normale n → = (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Abbiamo ottenuto l'equazione richiesta di un piano passante per l'origine perpendicolare ad una retta data.

Risposta:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Esempio 4

Viene fornito un sistema di coordinate rettangolare O x y z nello spazio tridimensionale, in esso sono presenti due punti A (2, - 1, - 2) e B (3, - 2, 4). Il piano α passa per il punto A perpendicolare alla retta A B. È necessario formulare l'equazione del piano α in segmenti.

Soluzione

Il piano α è perpendicolare alla retta А В, quindi il vettore А В → sarà il vettore normale del piano α. Le coordinate di questo vettore sono determinate come differenza tra le coordinate corrispondenti dei punti B (3, - 2, 4) e A (2, - 1, - 2):

LA B → = (3 - 2, - 2 - (- 1), 4 - (- 2)) ⇔ LA B → = (1, - 1, 6)

L'equazione generale del piano sarà scritta come segue:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Ora componiamo l'equazione richiesta del piano in segmenti:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Risposta:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Va anche notato che ci sono problemi che richiedono di scrivere l'equazione di un piano passante per un dato punto e perpendicolare a due piani dati. In generale, la soluzione a questo problema è formare un'equazione per un piano passante per un dato punto perpendicolare ad una data retta, poiché due piani intersecanti definiscono una retta.

Esempio 5

Viene fornito un sistema di coordinate rettangolare O x y z, in esso è il punto M 1 (2, 0, - 5). Vengono fornite anche le equazioni di due piani 3 x + 2 y + 1 = 0 e x + 2 z - 1 = 0, che si intersecano lungo la retta a. È necessario elaborare un'equazione per il piano passante per il punto M 1 perpendicolare alla retta a.

Soluzione

Determiniamo le coordinate del vettore di direzione della retta a. È perpendicolare sia al vettore normale n 1 → (3, 2, 0) del piano n → (1, 0, 2), sia al vettore normale 3 x + 2 y + 1 = 0 del piano x + 2 z - 1 = 0.

Quindi prendiamo il prodotto vettoriale dei vettori n 1 → e n 2 → come vettore di direzione α → linea a:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4, - 6, - 2 )

Pertanto, il vettore n → = (4, - 6, - 2) sarà il vettore normale del piano perpendicolare alla retta a. Scriviamo l'equazione richiesta del piano:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Risposta: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

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Se tutti i numeri A, B, C e D sono diversi da zero, viene chiamata l'equazione generale del piano completare... In caso contrario, viene chiamata l'equazione generale del piano incompleto.

Considera tutte le possibili equazioni generali incomplete di un piano in un sistema di coordinate rettangolare Oxyz nello spazio tridimensionale.

Sia D = 0, allora abbiamo un'equazione generale incompleta del piano della forma. Questo piano nel sistema di coordinate rettangolare Oxyz passa per l'origine. Infatti, sostituendo le coordinate di un punto nell'equazione incompleta risultante del piano, arriviamo all'identità.

At, o, o abbiamo equazioni generali incomplete dei piani, o, o, rispettivamente. Queste equazioni definiscono piani paralleli ai piani coordinati rispettivamente Oxy, Oxz e Oyz (vedi articolo sulla condizione di parallelismo dei piani) e passanti per i punti e corrispondentemente. A. Dal momento che il punto appartiene al piano per condizione, allora le coordinate di questo punto devono soddisfare l'equazione del piano, cioè l'uguaglianza deve essere vera. Da qui troviamo. Pertanto, l'equazione richiesta ha la forma.

Ecco un secondo modo per risolvere questo problema.

Poiché il piano, di cui dobbiamo comporre l'equazione generale, è parallelo al piano Oyz, allora come suo vettore normale possiamo prendere il vettore normale del piano Oyz. Il vettore normale del piano delle coordinate Oyz è il vettore delle coordinate. Ora conosciamo il vettore normale del piano e il punto del piano, quindi possiamo scrivere la sua equazione generale (abbiamo risolto un problema simile nel paragrafo precedente di questo articolo):
, allora le sue coordinate devono soddisfare l'equazione del piano. Pertanto, l'uguaglianza dove troviamo. Ora possiamo scrivere l'equazione generale desiderata del piano, ha la forma.

Risposta:

Bibliografia.

Bugrov YS, Nikolsky SM Matematica superiore. Volume uno: Elementi di algebra lineare e geometria analitica.
Ilyin VA, Poznyak E.G. Geometria analitica.

ANGOLO TRA I PIANI

Consideriamo due piani α 1 e α 2, dati rispettivamente dalle equazioni:

Sotto angolo tra due piani si intende uno degli angoli diedri formati da questi piani. Ovviamente l'angolo tra i vettori normali ed i piani α 1 e α 2 è uguale ad uno degli angoli diedri adiacenti indicati o ... Così ... Perché e , poi

Esempio. Determina l'angolo tra i piani X+2y-3z+ 4 = 0 e 2 X+3y+z+8=0.

Condizione di parallelismo di due piani.

Due piani α 1 e α 2 sono paralleli se e solo se i loro vettori normali e sono paralleli, il che significa .

Quindi, due piani sono paralleli tra loro se e solo se i coefficienti alle coordinate corrispondenti sono proporzionali:

Condizione di perpendicolarità dei piani.

È chiaro che due piani sono perpendicolari se e solo se i loro vettori normali sono perpendicolari, e quindi, o.

In questo modo, .

Esempi.

DIRETTAMENTE NELLO SPAZIO.

EQUAZIONE DELLA LINEA VETTORIALE.

EQUAZIONI PARAMETRICHE DELLA LINEA

La posizione di una retta nello spazio è completamente determinata specificando uno qualsiasi dei suoi punti fissi m 1 e un vettore parallelo a questa retta.

Viene chiamato un vettore parallelo a una retta guida vettore di questa linea.

Quindi lascia che sia dritto l passa per il punto m 1 (X 1 , y 1 , z 1) giacente su una retta parallela al vettore.

Considera un punto arbitrario M (x, y, z) su una linea retta. La figura lo mostra .

Vettori e sono collineari, quindi esiste un tale numero T, cosa, dov'è il fattore T può assumere qualsiasi valore numerico a seconda della posizione del punto m su una linea retta. Fattore T chiamato parametro. Indicando i vettori raggio dei punti m 1 e m rispettivamente attraverso e, otteniamo. Questa equazione è chiamata vettore equazione di una retta. Mostra che per ogni valore del parametro T corrisponde al vettore raggio di un punto m sdraiato su una linea retta.

Scriviamo questa equazione in forma di coordinate. Notare che , e da qui

Le equazioni risultanti sono chiamate parametrico equazioni di una retta.

Quando si modifica un parametro T cambiano le coordinate X, y e z e punto m si muove in linea retta.

Equazioni rettilinee canoniche

Permettere m 1 (X 1 , y 1 , z 1) è un punto che giace su una retta l, e È il suo vettore di direzione. Ancora una volta, prendi un punto arbitrario su una linea retta M (x, y, z) e considera un vettore.

È chiaro che i vettori e sono collineari, quindi le loro coordinate corrispondenti devono essere proporzionali, quindi

– canonico equazioni della retta.

Nota 1. Si noti che le equazioni canoniche della retta possono essere ottenute da quelle parametriche escludendo il parametro T... Infatti, dalle equazioni parametriche otteniamo o .

Esempio. Scrivi l'equazione di una retta in forma parametrica.

Indichiamo , da qui X = 2 + 3T, y = –1 + 2T, z = 1 –T.

Nota 2. Lascia che la retta sia perpendicolare a uno degli assi delle coordinate, ad esempio l'asse Bue... Allora il vettore di direzione è perpendicolare Bue, quindi, m= 0. Di conseguenza, le equazioni parametriche della retta prendono la forma

Eliminazione del parametro dalle equazioni T, otteniamo le equazioni della retta nella forma

Tuttavia, anche in questo caso, accettiamo di scrivere formalmente le equazioni canoniche della retta nella forma ... Pertanto, se il denominatore di una delle frazioni è zero, significa che la linea è perpendicolare all'asse delle coordinate corrispondente.

Allo stesso modo, le equazioni canoniche corrisponde ad una retta perpendicolare agli assi Bue e Ehi o parallela all'asse Oz.

Esempi.

EQUAZIONI GENERALI DI UNA LINEA COME LINEA DI INTERSEZIONE DI DUE PIANI

Un numero innumerevole di piani passa per ciascuna retta nello spazio. Due di loro, intersecantisi, lo definiscono nello spazio. Di conseguenza, le equazioni di due piani qualsiasi, considerati insieme, rappresentano le equazioni di questa retta.

In generale, due piani non paralleli qualsiasi dati dalle equazioni generali

definire la linea della loro intersezione. Queste equazioni sono chiamate equazioni generali dritto.

Esempi.

Costruisci una retta data da equazioni

Per costruire una retta basta trovare due dei suoi punti. Il modo più semplice è selezionare i punti di intersezione della linea con i piani delle coordinate. Ad esempio, il punto di intersezione con il piano xOy otteniamo dalle equazioni della retta, impostazione z= 0:

Dopo aver risolto questo sistema, troviamo il punto m 1 (1;2;0).

Allo stesso modo, l'impostazione y= 0, otteniamo il punto di intersezione della retta con il piano xOz:

Dalle equazioni generali di una retta, puoi passare alle sue equazioni canoniche o parametriche. Per fare questo, devi trovare un punto m 1 sulla retta e il vettore di direzione della retta.

Coordinate del punto m 1 sarà ottenuto da questo sistema di equazioni assegnando un valore arbitrario a una delle coordinate. Per trovare il vettore di direzione, si noti che questo vettore deve essere perpendicolare a entrambi i vettori normali e ... Pertanto, dietro il vettore di direzione della retta l possiamo prendere il prodotto incrociato di vettori normali:

Esempio. Fornisci le equazioni generali della retta alla forma canonica.

Trova un punto su una retta. Per fare ciò, scegliamo arbitrariamente una delle coordinate, ad esempio, y= 0 e risolvi il sistema di equazioni:

I vettori normali dei piani che definiscono la retta hanno coordinate Pertanto, il vettore di direzione della retta sarà

... Quindi, l: .

ANGOLO TRA DRITTO

Angolo tra rette nello spazio chiameremo uno qualsiasi degli angoli adiacenti formati da due rette tracciate attraverso un punto arbitrario parallelo ai dati.

Siano date due rette nello spazio:

Ovviamente, l'angolo tra le rette può essere preso come l'angolo tra i loro vettori di direzione e. Poiché, quindi, secondo la formula per il coseno dell'angolo tra i vettori, otteniamo

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