È noto come trovare l'area di un parallelogramma. Parallelogramma e sue proprietà. L'area di un parallelogramma. Bisettrici angolari di un parallelogramma

Nota. Questa è parte della lezione con problemi di geometria (sezione parallela). Se hai bisogno di risolvere un problema di geometria, che non è qui, scrivi al riguardo nel forum. Per denotare l'azione di estrarre una radice quadrata nella risoluzione di problemi, si usa il simbolo √ o sqrt() e l'espressione radicale è indicata tra parentesi.

Materiale teorico

Spiegazioni alle formule per trovare l'area di un parallelogramma:

1. L'area di un parallelogramma è uguale al prodotto della lunghezza di uno dei suoi lati e dell'altezza su quel lato.
2. L'area di un parallelogramma è uguale al prodotto dei suoi due lati adiacenti e il seno dell'angolo tra di loro
3. L'area di un parallelogramma è uguale alla metà del prodotto delle sue diagonali e del seno dell'angolo tra di loro

Problemi per trovare l'area di un parallelogramma

Un compito.
In un parallelogramma, l'altezza più piccola e il lato più corto sono rispettivamente 9 cm e la radice di 82. La diagonale più lunga è 15 cm Trova l'area del parallelogramma.

Soluzione.
Indichiamo come BK l'altezza minore del parallelogramma ABCD, abbassata dal punto B alla base maggiore AD.
Trova il valore della gamba di un triangolo rettangolo ABK formato da un'altezza minore, un lato minore e una parte di base maggiore. Secondo il teorema di Pitagora:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK=1

Estendiamo la base superiore del parallelogramma BC e lasciamo cadere su di essa l'altezza AN dalla sua base inferiore. AN = BK come lati del rettangolo ANBK. Nel triangolo rettangolo risultante ANC troviamo la gamba NC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC2 = √144
NC = 12

Troviamo ora la base maggiore BC del parallelogramma ABCD.
BC=NC-NB
Prendiamo in considerazione che NB = AK come i lati del rettangolo, quindi
BC=12 - 1=11

L'area di un parallelogramma è uguale al prodotto della base e l'altezza di questa base.
S=ah
S=BC * BK
S=11*9=99

Risposta: 99 cm2.

Un compito

Nel parallelogramma ABCD, la perpendicolare BO è calata alla diagonale AC. Trova l'area del parallelogramma se AO=8, OS=6 e BO=4.

Soluzione.
Lasciamo cadere un altro DK perpendicolare sulla diagonale AC.
Di conseguenza, i triangoli AOB e DKC, COB e AKD sono congruenti a coppie. Uno dei lati è il lato opposto del parallelogramma, uno degli angoli è retto, poiché è perpendicolare alla diagonale, e uno degli angoli rimanenti è una croce interna giacente per i lati paralleli del parallelogramma e della secante della diagonale.

Pertanto, l'area del parallelogramma è uguale all'area dei triangoli indicati. Questo è
Sparall = 2S AOB +2S BOC

L'area di un triangolo rettangolo è la metà del prodotto delle gambe. Dove
S \u003d 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) \u003d 56 cm 2
Risposta: 56 cm2.

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L'area di un parallelogramma. In moltissimi problemi di geometria relativi al calcolo delle aree, compresi i compiti per l'esame di stato unificato, vengono utilizzate le formule per l'area di un parallelogramma e di un triangolo. Ce ne sono molti, qui li considereremo con te.

Sarebbe troppo facile elencare queste formule, questa bontà è già sufficiente nei libri di consultazione e su vari siti. Vorrei trasmettere l'essenza, in modo che tu non li memorizzi, ma li capisca e li ricordi facilmente in qualsiasi momento. Dopo aver studiato il materiale dell'articolo, capirai che queste formule non devono essere insegnate affatto. Obiettivamente, si verificano così spesso nelle decisioni che vengono archiviate nella memoria per molto tempo.

1. Quindi diamo un'occhiata a un parallelogramma. La definizione recita:

Perché? Tutto è semplice! Per mostrare chiaramente qual è il significato della formula, eseguiamo alcune costruzioni aggiuntive, ovvero costruiremo le altezze:

L'area del triangolo (2) è uguale all'area del triangolo (1) - il secondo segno dell'uguaglianza dei triangoli rettangoli "lungo la gamba e l'ipotenusa". Ora "tagliamo" mentalmente il secondo e trasferiamolo sovrapponendolo al primo: otteniamo un rettangolo la cui area sarà uguale all'area del parallelogramma originale:

L'area di un rettangolo, come sai, è uguale al prodotto dei suoi lati adiacenti. Come si può vedere dallo schizzo, un lato del rettangolo risultante è uguale al lato del parallelogramma e l'altro è la sua altezza del parallelogramma. Pertanto, otteniamo la formula per l'area di un parallelogramma S = a∙h un

2. Continuiamo, un'altra formula per la sua area. Abbiamo:

Formula dell'area del parallelogramma

Indichiamo i lati come aeb, l'angolo tra loro γ "gamma", l'altezza h a. Considera un triangolo rettangolo:

Parallelogrammaè un quadrilatero i cui lati sono paralleli a coppie.

In questa figura, lati e angoli opposti sono uguali tra loro. Le diagonali di un parallelogramma si intersecano in un punto e lo bisecano. Le formule dell'area del parallelogramma consentono di trovare il valore attraverso i lati, l'altezza e le diagonali. Il parallelogramma può essere rappresentato anche in casi particolari. Sono considerati un rettangolo, un quadrato e un rombo.
Innanzitutto, consideriamo un esempio di calcolo dell'area di un parallelogramma in base all'altezza e al lato a cui è abbassato.

Questo caso è considerato un classico e non richiede ulteriori indagini. È meglio considerare la formula per calcolare l'area attraverso due lati e l'angolo tra di loro. Lo stesso metodo viene utilizzato nel calcolo. Se vengono forniti i lati e l'angolo tra di loro, l'area viene calcolata come segue:

Supponiamo di avere un parallelogramma con i lati a = 4 cm, b = 6 cm e l'angolo tra loro sia α = 30°. Troviamo la zona:

Area di un parallelogramma in termini di diagonali

La formula per l'area di un parallelogramma in termini di diagonali consente di trovare rapidamente il valore.
Per i calcoli, è necessario il valore dell'angolo situato tra le diagonali.

Considera un esempio di calcolo dell'area di un parallelogramma attraverso le diagonali. Sia dato un parallelogramma con le diagonali D = 7 cm, d = 5 cm L'angolo tra loro è α = 30°. Sostituisci i dati nella formula:

Un esempio di calcolo dell'area di un parallelogramma attraverso una diagonale ci ha dato un risultato eccellente: 8,75.

Conoscendo la formula per l'area di un parallelogramma in termini di diagonale, puoi risolvere molti problemi interessanti. Diamo un'occhiata a uno di loro.

Un compito: Dato un parallelogramma con un'area di 92 mq. vedi il punto F si trova al centro del suo lato BC. Troviamo l'area del trapezio ADFB, che giace nel nostro parallelogramma. Per cominciare, disegniamo tutto ciò che abbiamo ricevuto in base alle condizioni.
Veniamo alla soluzione:

Secondo le nostre condizioni, ah \u003d 92 e, di conseguenza, l'area del nostro trapezio sarà uguale a

Piazza figura geometrica - una caratteristica numerica di una figura geometrica che mostra le dimensioni di questa figura (parte della superficie delimitata da un contorno chiuso di questa figura). La dimensione dell'area è espressa dal numero di unità quadrate in essa contenute.

Formule dell'area del triangolo

1. Formula dell'area del triangolo per lato e altezza
   Area di un triangolo uguale alla metà del prodotto della lunghezza di un lato di un triangolo per la lunghezza dell'altezza tracciata su questo lato
   
2. La formula per l'area di un triangolo dati tre lati e il raggio del cerchio circoscritto
   
3. La formula per l'area di un triangolo dati tre lati e il raggio di un cerchio inscritto
   Area di un triangoloè uguale al prodotto del semiperimetro del triangolo per il raggio del cerchio inscritto.
   
dove S è l'area del triangolo,
- le lunghezze dei lati del triangolo,
- l'altezza del triangolo,
- l'angolo tra i lati e,
- raggio del cerchio inscritto,
R - raggio del cerchio circoscritto,

Formule di area quadrata

1. La formula per l'area di un quadrato data la lunghezza di un lato
   area quadrataè uguale al quadrato della sua lunghezza laterale.
2. La formula per l'area di un quadrato data la lunghezza della diagonale
   area quadrata uguale alla metà del quadrato della lunghezza della sua diagonale.
   

   S=	1	2
   	2

dove S è l'area del quadrato,
è la lunghezza del lato del quadrato,
è la lunghezza della diagonale del quadrato.

Formula dell'area del rettangolo

Area rettangolareè uguale al prodotto delle lunghezze dei suoi due lati adiacenti

dove S è l'area del rettangolo,
sono le lunghezze dei lati del rettangolo.

Formule per l'area di un parallelogramma

1. Formula dell'area del parallelogramma per la lunghezza e l'altezza del lato
   Area del parallelogramma
2. La formula per l'area di un parallelogramma dati due lati e l'angolo tra di loro
   Area del parallelogrammaè uguale al prodotto delle lunghezze dei suoi lati moltiplicato per il seno dell'angolo tra loro.
   

   a b sinα

dove S è l'area del parallelogramma,
sono le lunghezze dei lati del parallelogramma,
è l'altezza del parallelogramma,
è l'angolo tra i lati del parallelogramma.

Formule per l'area di un rombo

1. Formula dell'area del rombo data la lunghezza e l'altezza del lato
   Area del romboè uguale al prodotto della lunghezza del suo lato per la lunghezza dell'altezza abbassata a questo lato.
2. La formula per l'area di un rombo data la lunghezza del lato e l'angolo
   Area del romboè uguale al prodotto del quadrato della lunghezza del suo lato e del seno dell'angolo tra i lati del rombo.
3. La formula per l'area di un rombo dalle lunghezze delle sue diagonali
   Area del romboè uguale alla metà del prodotto delle lunghezze delle sue diagonali.
dove S è l'area del rombo,
- lunghezza del lato del rombo,
- la lunghezza dell'altezza del rombo,
- l'angolo tra i lati del rombo,
1, 2 - le lunghezze delle diagonali.

Formule dell'area del trapezio

1. La formula di Heron per un trapezio

   Dove S è l'area del trapezio,
   - la lunghezza delle basi del trapezio,
   - la lunghezza dei lati del trapezio,
   

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